衛(wèi)昱含， 及春寧， 許 棟， 陳威霖

(天津大學 水利工程仿真與安全國家重點實驗室,天津 300072)

流體流經(jīng)柱體時會在柱體后方產(chǎn)生旋渦，進而誘發(fā)柱體產(chǎn)生振動。根據(jù)產(chǎn)生機理的不同，流致振動可以分為渦激振動和馳振兩種。渦激振動是由脫渦和柱體相互作用引起的振動，因此脫渦與振動具有相同的頻率。渦激振動具有自限性，大幅振動僅在一定的流速范圍內(nèi)出現(xiàn)。根據(jù)研究參數(shù)的不同，對于低質量比層流條件，當柱體的振動頻率與脫渦頻率一致并且接近柱體在真空中的固有頻率時，鎖定出現(xiàn)，此時柱體的振幅較大，而超出鎖定區(qū)間后，柱體的振動將會受到顯著抑制。馳振則是由于流動分離和旋渦脫落而產(chǎn)生的流體動力負阻尼分量引起的振動。馳振不具有自限性，表現(xiàn)為一種低頻高振幅響應。隨著流速的增加，響應振幅單調增大。一方面，流致振動常常會引起像海洋立管、海底輸油管道、橋梁等結構疲勞破壞，從而造成巨大的經(jīng)濟損失。另一方面，流致振動也可用于海流能的開發(fā)利用[1-2]。長期以來，學者們對流致振動響應的研究多集中在圓柱上，并且得到了很多重要的結論[3-7]，然而馳振多發(fā)生于正方形、矩形、三角形等復雜不規(guī)則的非流線型截面結構中[8-10]。由于三角柱截面具有尖角、固定的流體分離點以及分離尾流中的后體，使得其不再像圓柱具有絕對對稱性，同時也表現(xiàn)出了更多的振動特性。防風屏障和橋面都是容易發(fā)生馳振的細長結構，這些結構中都具有三角形截面，因此研究三角柱的流致振動機理具有重要的科學和現(xiàn)實意義。

Wang等[11]對不同迎流攻角下Re=100和m*=2時三角柱流致振動的研究發(fā)現(xiàn)α=60°(頂點迎流)、30°時三角柱發(fā)生了與圓柱類似的渦激振動響應模式，α=0°時出現(xiàn)了典型的低頻高振幅馳振響應。此外，α=0°、30°時觀察到2S尾渦模式，α=60°出現(xiàn)了P+S和2P尾渦模式。類似地，Zhang等[12]在等邊三角柱(邊垂直迎流)的流致振動試驗中也觀察到渦振和馳振響應模式，并且在渦振到馳振的過渡區(qū)域發(fā)現(xiàn)了渦振-馳振轉變分支，該分支發(fā)生在7.8

結合以上綜述可以發(fā)現(xiàn)，目前對三角柱流致振動的系統(tǒng)研究仍比較少。本文對不同迎流攻角下正三角柱的流致振動進行數(shù)值模擬研究并對以下3個關鍵問題給出解答。①不同迎流攻角下三角柱振動響應和頻率隨折合流速將出現(xiàn)怎樣的變化。②為什么升力系數(shù)偶次諧波分量是對稱工況下結構平衡位置偏移不為零的原因。③準穩(wěn)定性理論能否準確預測三角柱發(fā)生馳振響應的迎流攻角范圍。

1 數(shù)值模擬方法

流致振動的數(shù)值模擬方法采用浸入邊界法[23]，其控制方程如下

(1)

?·u=0

(2)

式中:u為速度;t為時間;p為壓強;v為運動黏滯系數(shù)；?為梯度算子；f為附加體積力矢量，代表流固耦合邊界條件。

對以上控制方程采用二階精度的Admas-Bashforth時間格式進行離散，得到如下形式

(3)

?·un+1=0

(4)

式中:h=?·(-uu+ν(?u+?uT))由對流項與擴散項組成;上標T為矩陣轉置，附加體積力表示為

(5)

對于傳統(tǒng)浸入邊界法施加邊界條件精度不高的問題，Ji等提出了基于嵌入式迭代的浸入邊界法，將浸入邊界法嵌入到壓強泊松方程的迭代求解中，利用壓強的中間解比初始值更接近真實值的特點，迭代修正附加體積力，在不顯著增加計算耗時的前提下，提高了整個算法的求解精度。

僅做橫流向振動的彈性支撐剛性三角柱的運動方程如下

(6)

式中:m為三角柱質量；c為系統(tǒng)結構阻尼；k為彈簧剛度系數(shù)；Fy為三角柱受到的橫向流體力。方程采用標準的Newmark-β法求解。

2 數(shù)值模型及其驗證

2.1 問題描述

對不同迎流攻角下正三角柱的流致振動展開了數(shù)值模擬研究，其中三角柱僅在橫流向自由振動。三角柱的邊長為D=1，雷諾數(shù)為Re=UDe/v=100，De為三角柱迎流有效長度，質量比為m*=m/mf=5，m為柱體的質量，mf為柱體排開水的質量，迎流攻角為α=0°～60°，以其中一尖角迎流的情況為α=60°,如圖1所示，折合流速為Ur=U/fnD=2～20，fn為柱體的自然頻率。此外，為激發(fā)大振幅振動結構阻尼比c取為零。

圖1 三角柱的布置示意圖

2.2 模型設置

如圖2所示，采用的計算域為50D×50D，在柱體周圍采用局部加密網(wǎng)格，網(wǎng)格大小為Δx=Δy=1/64D，其中加密區(qū)大小為4D×8D。柱體中心放置在距離入流邊界24D，距離上邊界25D的位置。邊界條件設置如下：入口邊界條件為均勻來流，u=U，v=0；出口邊界條件為Newmann型邊界，?u/?x=0，?v/?x=0；上下邊界為滑移邊界，?u/?y=0，v=0；柱體表面為無滑移邊界，u=0，v=dy/dt。

圖2 計算域與邊界條件設置

2.3 方法驗證

表1 雷諾數(shù)Re=100條件下三角柱繞流結果對比

3 結果和討論

3.1 振動響應

3.1.1 橫向振幅

圖3 不同迎流攻角下三角柱的振動振幅隨折合流速變化情況

圖4 不同迎流攻角下三角柱的振動頻率隨折合流速變化情況

3.1.2 振動頻率

(a) α=0°

圖6 α=20°時升力和振幅的頻率譜隨折合流速的變化

3.1.3 水動力系數(shù)

(a) 阻力均值

3.1.4 升力與位移的相位差

圖8 不同迎流攻角下三角柱的升力與位移的相位差隨折合流速變化情況

3.1.5 尾渦模式

圖9給出了不同折合流速和迎流攻角下三角柱的尾渦模式情況。按照柱體向下振動脫渦個數(shù)(n)+向上振動脫渦個數(shù)(m)的方式來命名脫渦模式(nS+mS)。由于三角柱出現(xiàn)了渦振-馳振聯(lián)合和渦振-馳振分離的響應，所以在研究范圍內(nèi)出現(xiàn)了多種形式的尾渦模式。馳振分支內(nèi)三角柱在一個振動周期內(nèi)脫渦個數(shù)隨著折合流速的增加而增加。整體而言，振幅越大，脫渦個數(shù)越多。特別地，對于渦振響應(α=25°～60°)，尾渦模式均為2S模式，僅在α=25°、Ur=5～6內(nèi)出現(xiàn)了S+2S脫渦模式。圖10為不同尾渦模式的示意圖。2S模式中兩個單獨的渦分別從三角柱兩邊脫落，S+2S模式中三角柱交替脫落一個單渦和一個渦對，與自激振動圓柱的P+S尾渦模式相似，2S+2S模式中三角柱從兩側交替脫落兩個渦對，與自激振動圓柱的2P尾渦模式相似。一個振動周期內(nèi)，三角柱脫落更多數(shù)量的渦(n>2或m>2)僅在馳振模式下出現(xiàn)。

圖9 三角柱的尾渦模式

圖10 尾渦模式的示意圖

以α=0°和Ur=20時三角柱的尾渦模式5S+5S對馳振分支的尾流情況進行說明。圖11給出了該模式的渦量等值線時程變化情況。從渦量等值線圖來看，三角柱在向下過程中脫落2個逆時針渦(2、4)和3個順時針渦(1、3、5)，升力均值為負，而向上過程中對應脫落2個順時針渦(2′、4′)和3個逆時針渦(1′、3′、5′)，升力均值為正?？梢钥闯觯隈Y振分支內(nèi)，振動周期明顯大于脫渦周期，與Zhao等對方柱馳振的研究結果一致。

(a)

3.2 平衡位置偏移

圖12 不同折合流速下三角柱的平衡位置偏移隨折合流速變化情況

表2 α=0°時不同折合流速下升力的頻率

為了進一步說明升力偶次諧波分量出現(xiàn)的原因，分別選取了平衡位置偏移為零和非零的兩個折合流速Ur=8、13進行對比，如圖12所示。對比渦量等值線圖(圖13(a)和圖13(c)，A：三角柱位于振動波峰，B：三角柱位于振動波谷)可以發(fā)現(xiàn)：Ur=8工況中，三角柱位于波峰和波谷時的渦量不對稱，且逆時針渦占主導，所以平衡位置向上偏移；而Ur=13工況中，三角柱位于波峰和波谷時的渦量對稱，所以未發(fā)生平衡位置偏移，這說明了脫渦在平衡位置偏移中起到了重要作用。

(a) Ur=8時三角柱的渦量等值線圖

根據(jù)Govardhan等[34]對升力的分解方法將升力分為渦力分量和勢能力分量

Ctotal(t)=Cvortex(t)+Cpotential(t)

(7)

Cpotential(t)=2π3(y(t)/D)/(Ur/f*)2

(8)

式中:Ctotal為總的升力系數(shù);Cvortex為渦力分量系數(shù)，Cpotential為勢能力分量系數(shù);f*為無量綱升力頻率。

如圖13(b)和圖13(d)所示，由Ur=8、13時升力的分解結果，可以看到勢能力分量在三角柱向上和向下運動過程中均對稱，而Ur=8時渦力分量在三角柱向上和向下運動過程中出現(xiàn)了不對稱現(xiàn)象，這進一步佐證了平衡位置偏移不為零是由脫渦引起的。

3.3 準穩(wěn)態(tài)分析

如圖3所示，三角柱在α=0°～22.5°時出現(xiàn)了馳振現(xiàn)象，本文通過準穩(wěn)定性分析方法研究Re=100時三角柱發(fā)生馳振的迎流攻角范圍。該方法假設流體力與柱體振動速度同相，將作用在運動物體上的瞬時力替換為相同迎流攻角(考慮來流速度和物體速度)的物體所受的靜態(tài)力[35]。

Cl=Cl|α′=0+[(?Cl/?α′)|α′=0]α′+…

(9)

(10)

(11)

式中:ζ為阻尼比;ωn為角頻率。方括號中的值為0是馳振響應發(fā)生的臨界條件[37]，由此可以推得臨界流速Uc=4mωnζ/[ρD(?Cl/?α′)]，對其進行無量綱化得到臨界折合流速

(12)

當Ur>Ucr時，馳振開始發(fā)生。由于本文數(shù)值模擬的c=0，即ζ=0，所以α=0°時，馳振發(fā)生于Ur=0。對于迎流不對稱的工況，由于升力均值不為0，即Cl|α′=0≠0，所以發(fā)生馳振時Ur>0，這一點與圖3結果是一致的。

根據(jù)Den Hartog[38]提出的橫向馳振判據(jù)，對于無阻尼系統(tǒng)將在下述條件成立時發(fā)生馳振失穩(wěn)現(xiàn)象

(13)

圖14為Re=100條件下，通過三角柱繞流的數(shù)值模擬結果得到的β隨α′的變化趨勢。其中，初始角度α0=0°?？梢钥闯觯寒敠痢?24.4°時，β>0，所以在α<24.4°內(nèi)三角柱發(fā)生馳振響應。對比3.1.1節(jié)對橫流向振動振幅的分析，三角柱確實在α≤22.5°的攻角范圍內(nèi)出現(xiàn)了馳振分支，特別是當α=22.5°時，僅在Ur=10處出現(xiàn)了一個小的馳振分支。整體來看，準穩(wěn)定性理論對預測馳振發(fā)生的攻角范圍具有較好的效果。

圖14 三角柱的β隨α′的變化趨勢圖

4 結 論

應用嵌入式迭代浸入邊界法研究了層流條件下不同迎流攻角時正三角柱的流致振動現(xiàn)象，分析了各工況下三角柱的橫流向振幅、振動頻率、水動力系數(shù)、升力與位移的相位差以及尾渦模式隨迎流攻角和折合流速變化的情況，最后檢驗了準穩(wěn)態(tài)分析對馳振現(xiàn)象的預測可靠性。

研究結果表明：

(1) 當α=0°～15°時，三角柱的振動為渦振-馳振聯(lián)合模式；當α=20.0°～22.5°時，振動為渦振-馳振分離模式；當α=25°～60°時，振動為渦振模式。由于三角柱的分離點固定，振動頻率隨著折合流速線性增加，渦振響應表現(xiàn)出非鎖定特性。

(2) 隨著迎流攻角和折合流速的變化，三角柱出現(xiàn)了多種尾渦模式。對于發(fā)生渦振的迎流攻角，其尾渦模式表現(xiàn)為和低質量阻尼比時圓柱類似的2S模式。而對于具有馳振分支的迎流角度，其脫渦個數(shù)隨著振幅的增大而增大。

(3) 當α=0°時三角柱出現(xiàn)了平衡位置偏移不為零的現(xiàn)象，通過快速傅里葉變換對升力進行頻譜分析，發(fā)現(xiàn)該現(xiàn)象的出現(xiàn)是因為升力存在偶次諧波分量，而偶次諧波分量的出現(xiàn)與脫渦相關。

(4) 準穩(wěn)定分析預測的三角柱發(fā)生馳振的迎流攻角范圍與數(shù)值模擬結果一致，說明準穩(wěn)態(tài)分析可以準確預測馳振不穩(wěn)定性。