高 峰， 劉秀婷， 花國祥

(1.南京信息工程大學(xué) 濱江學(xué)院，江蘇 無錫 214105；2.東北大學(xué) 航空動力裝備振動及控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 沈陽 110819;3.東北大學(xué) 材料各向異性與織構(gòu)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 沈陽 110819)

飛機(jī)想要實(shí)現(xiàn)飛行就離不開巨大的推力，而發(fā)動機(jī)就是幫助其對抗飛機(jī)自身動力的氣流制造機(jī)。因此，能夠有效提升發(fā)動機(jī)推力的整體葉盤得到了越來越廣泛的應(yīng)用。另一方面，由于缺少榫頭和榫槽的摩擦耗能，整體葉盤自身的振動阻尼一般較小，在惡劣環(huán)境下工作時易產(chǎn)生過大的振動應(yīng)力或響應(yīng)，甚至?xí)?dǎo)致疲勞破壞，因此必須對整體葉盤進(jìn)行有效減振[1]?？紤]到盤片不可分離的結(jié)構(gòu)特征和惡劣的工作環(huán)境，應(yīng)用于傳統(tǒng)榫接葉盤的葉冠[2]、凸肩[3]和緣板[4]等摩擦阻尼器和黏彈性材料[5]都無法有效抑制整體葉盤的振動應(yīng)力。因此，迫切需要尋找一種能夠適用于整體葉盤的阻尼減振方案。

基于金屬基(接觸面結(jié)合性能較好)、陶瓷基(阻尼特性較好)或兩者混合物組成的硬涂層[6]具有抗高溫高壓、抗摩擦腐蝕[7-8]等優(yōu)點(diǎn)，一般用于結(jié)構(gòu)件的表面強(qiáng)化。文獻(xiàn)[9]的研究發(fā)現(xiàn)，硬涂層在較大的溫變范圍內(nèi)都能保持良好的阻尼能力，可用于高溫高壓環(huán)境下薄壁結(jié)構(gòu)件的阻尼減振[10]。此外發(fā)現(xiàn)，硬涂層的力學(xué)參數(shù)具有獨(dú)特的非線性特征，其彈性模量與損耗因子總是隨著硬涂層結(jié)構(gòu)件應(yīng)變的改變而變化，稱之為應(yīng)變依賴性[11]。與此同時，振動結(jié)構(gòu)件在涂敷硬涂層后也將具有應(yīng)變依賴性，這種材料非線性特征對硬涂層復(fù)合結(jié)構(gòu)件的振動特性分析帶來了很大的困難和挑戰(zhàn)。

考慮到振動結(jié)構(gòu)件的阻尼減振研究，國內(nèi)外眾多學(xué)者廣泛利用復(fù)模量理論對附加外部阻尼的復(fù)合結(jié)構(gòu)件進(jìn)行振動分析。在國內(nèi)，胥小強(qiáng)[12]利用復(fù)模量理論和Hencky板/殼理論建立了復(fù)合材料層合板等效振動參數(shù)預(yù)測模型與動力學(xué)有限元模型，并通過與試驗(yàn)結(jié)果的比較驗(yàn)證了模型的有效性；許海艷[13]利用復(fù)模量理論和黏彈性基本理論建立附加黏彈性材料的高架鐵路的能帶計(jì)算模型和動力響應(yīng)模型，分析了黏彈性梁的復(fù)模量和黏彈性支座的復(fù)剛度對能帶圖的影響。在國外，Gounaris等[14]利用復(fù)模量理論、本構(gòu)模型與迭代復(fù)特征值法建立了振動結(jié)構(gòu)件的非線性動力學(xué)模型，重點(diǎn)研究了振動結(jié)構(gòu)件在共振域內(nèi)的滯后阻尼特性。

充分考慮附加外部阻尼材料的夾層結(jié)構(gòu)件特征，在分析其阻尼減振特性時通常需要考慮板厚度方向的剪切變形。因此，很多學(xué)者普遍將Mindlin板理論與其他理論相結(jié)合來研究附加阻尼層合板的振動特性。Huang等[15]利用Mindlin板理論與傅里葉余弦級數(shù)建立了功能梯度材料矩形板的動力學(xué)模型和動力學(xué)方程，分析了多功能梯度材料矩形板的自由振動特性，研究了不同高寬比和厚寬比對矩形板前六階振動頻率的影響；此外，基于Mindlin板理論、非線性Kármán’s板理論和Hamilton理論，F(xiàn)ilippi等[16]建立了帶側(cè)裂紋矩形板在平面預(yù)加載下的非線性動力學(xué)方程，通過Galerkin法和Ritz法求解帶側(cè)裂紋矩形板的非線性固有頻率，并分別研究了側(cè)裂紋及平面預(yù)加載對矩形板振動特性的影響規(guī)律。

考慮整體葉盤的結(jié)構(gòu)特征和工作環(huán)境的特殊性，本文提出一種基于非線性硬涂層的被動阻尼減振方法，并分析了硬涂層整體葉盤的非線性振動特性。首先，基于試驗(yàn)數(shù)據(jù)與高階多項(xiàng)式得到非線性硬涂層的連續(xù)力學(xué)參數(shù)規(guī)律；然后，基于考慮應(yīng)變依賴性復(fù)模量理論和復(fù)合Mindlin板理論的能量有限元法創(chuàng)建了硬涂層整體葉盤的非線性動力學(xué)模型；其次，提出一套基于Newton-Raphson法的非線性迭代計(jì)算流程，求解硬涂層整體葉盤的非線性動力學(xué)特性；最后，以葉片涂敷NiCoCrAlY+YSZ硬涂層的整體葉盤為實(shí)例，通過數(shù)值與試驗(yàn)數(shù)據(jù)比較校驗(yàn)非線性動力學(xué)模型的可靠性，分析了硬涂層及其應(yīng)變依賴性對硬涂層整體葉盤振動特性的影響。

1 硬涂層的應(yīng)變依賴性力學(xué)參數(shù)

(1)

(2)

式中，q和Q分別是多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)和最大項(xiàng)。

將式(3)和式(4)代入式(2)并整理可得

(5)

(6)

圖1所示為基于硬涂層薄板振動測試和反推法得到的NiCoCrAlY+YSZ硬涂層的非線性力學(xué)參數(shù)，其彈性模量Ec(εe)與損耗因子ηc(εe)分別表示為

圖1 NiCoCrAlY+YSZ硬涂層的應(yīng)變依賴性力學(xué)參數(shù)

(7)

(8)

2 硬涂層整體葉盤的非線性振動特性分析

2.1 非線性有限元模型的建立

圖2所示為葉片涂敷硬涂層的整體葉盤非線性有限元模型，輪盤與硬涂層葉片分別簡化為單層板和復(fù)合板。圖3所示為硬涂層葉片和硬涂層板在笛卡爾坐標(biāo)系中的示意圖。其中，硬涂層板的中性面與x軸重合，葉片(或Mindlin板)的厚度表示為hs，單層硬涂層的厚度表示為hc,并具有以下關(guān)系

圖2 葉片涂敷硬涂層的整體葉盤非線性有限元模型

(a)

(9)

根據(jù)Mindlin板理論可知，硬涂層葉片上某一點(diǎn)在笛卡爾坐標(biāo)系的位移(u,v,z)表示為

(10)

式中:u、v和w分別為某一點(diǎn)在x軸、y軸和z軸方向上的位移;θx和θy分別為中性面法線繞x軸和y軸的轉(zhuǎn)角角度。

硬涂層葉片上某一點(diǎn)的平面應(yīng)變ε和橫向剪切應(yīng)變γ分別表示為

(11)

(12)

葉片的應(yīng)變能Us和動能Ts分別表示為

(13)

(14)

應(yīng)變依賴性硬涂層的應(yīng)變能Uc可以表示為

(15)

基于此，通過推導(dǎo)可得到具有應(yīng)變依賴性的硬涂層的應(yīng)變能Tc，表示為

(16)

硬涂層葉片的應(yīng)變能U由葉片的應(yīng)變能Us和硬涂層的應(yīng)變能Uc共同組成，硬涂層葉片的動能T由葉片的應(yīng)變能Ts和硬涂層的動能Tc共同組成，分別為

U=Us+Uc

(17)

T=Ts+Tc

(18)

本研究選用圖4 所示的四節(jié)點(diǎn)等參板單元對硬涂層葉片進(jìn)行離散化。硬涂層葉片復(fù)合Mindlin板單元的位移向量δe表示為

(a) 等參Mindlin板單元

(19)

則硬涂層葉片的復(fù)合Mindlin板單元形函數(shù)N為

(20)

式中:Nj為節(jié)點(diǎn)j的形函數(shù)矩陣;ξj和nj分別為節(jié)點(diǎn)j坐標(biāo)值，取值為-1或1。

δ=[wθxθy]T=Nδe

(21)

(22)

根據(jù)式(17)與式(21)可得硬涂層葉片復(fù)合Mindlin板單元的應(yīng)變能Ue，表示為

(23)

(24)

(25)

根據(jù)式(18)與式(22)可得硬涂層葉片復(fù)合Mindlin板單元的動能Te，表示為

式中:Te,s和Te,c分別為葉片的單元動能和硬涂層的單元動能;Hs、Huc和Hlc分別表示為

(27)

隨后，基于哈密頓原理可由式(23)得到硬涂層葉片復(fù)合Mindlin板單元的質(zhì)量矩陣me，表示為

(28)

式中，me,s和me,c分別為葉片和硬涂層的質(zhì)量矩陣。

(29)

(30)

式中:K(εe)和D(εe)分別為硬涂層整體葉盤的應(yīng)變依賴性剛度和阻尼矩陣;X和F分別為硬涂層整體葉盤的節(jié)點(diǎn)位移向量和基礎(chǔ)激勵力;ω為角頻率。特別的，硬涂層的等效應(yīng)變影響硬涂層整體葉盤振動特性的計(jì)算精度，本文利用材料力學(xué)理論與應(yīng)變能密度相等原則推導(dǎo)獲得了等效應(yīng)變εe的求解公式[18-19]

(31)

式中:Re[·]為取復(fù)數(shù)ke,c(εe)的實(shí)值部分;ke,c(εe)和Vc分別為硬涂層的應(yīng)變依賴性單元剛度矩陣和單元體積;φ和q分別為硬涂層整體葉盤的模態(tài)振型矩陣和正則化振動響應(yīng)向量。

2.2 非線性振動特性的求解

硬涂層整體葉盤的振動響應(yīng)向量X表示為

X=φq

(32)

將式(32)代入式(30)可得硬涂層整體葉盤正則化的非線性動力學(xué)方程，表示為

(33)

(34)

(35)

(36)

則通過式(33)可得到其殘余向量R，表示為

(37)

隨后，將式(31)、式(35)與式(36)代入式(37)并整理，則可將殘余向量R進(jìn)一步表示為

(38)

需要注意的是，本研究是利用復(fù)模量理論將硬涂層和整體葉盤的阻尼能力引入動力學(xué)模型中，所以式(38)中的振動響應(yīng)向量q是復(fù)數(shù)形式，表示為

(39)

為了準(zhǔn)確求解硬涂層整體葉盤的非線性動力學(xué)方程，本研究提出一種基于Newton-Raphson方法的非線性迭代計(jì)算流程。在這里，硬涂層整體葉盤的振動響應(yīng)向量q在k+1次的迭代公式表示為

(40)

(41)

根據(jù)計(jì)算精度自主預(yù)設(shè)計(jì)算精度l，并選擇非線性動力學(xué)方程殘余向量R的二階范數(shù)作為迭代計(jì)算的終止條件，表示為

(44)

最終，可以求得考慮應(yīng)變依賴性的硬涂層整體葉盤非線性動力學(xué)特性，表示為

(45)

需要注意的是，硬涂層整體葉盤的振動特性在全局上呈現(xiàn)非線性的特點(diǎn)，但在瞬態(tài)上則呈現(xiàn)線性的特點(diǎn)，即：當(dāng)硬涂層的等效應(yīng)變?nèi)∧硞€確定值時，硬涂層整體葉盤振動特性是線性的。特別的，硬涂層的等效應(yīng)變在迭代計(jì)算過程中的初始值為零，硬涂層整體葉盤的應(yīng)變依賴性復(fù)模量和非線性振動響應(yīng)會基于前一次的計(jì)算結(jié)果迭代更新，直至滿足預(yù)設(shè)的計(jì)算精度。

3 實(shí)例研究與分析

利用大氣等離子技術(shù)對葉片兩側(cè)噴涂總厚度為0.3 mm的NiCoCrAlY+YSZ硬涂層。整體葉盤厚度為3 mm，輪盤內(nèi)、外徑分別為80 mm和100 mm，葉片寬度和長度分別為24 mm和80 mm。硬涂層整體葉盤的力學(xué)參數(shù)參考表1，硬涂層的應(yīng)變依賴性彈性模量和材料損耗因子分別參考式(7)與式(8)。

表1 硬涂層整體葉盤的力學(xué)參數(shù)

圖5所示為硬涂層整體葉盤的模態(tài)與受迫振動試驗(yàn)設(shè)備及相關(guān)測試流程?？紤]到硬涂層的應(yīng)變依賴性特征對共振頻率的影響，首先對硬涂層整體葉盤試驗(yàn)件進(jìn)行模態(tài)測試確定其固有頻率的大致范圍，然后對試驗(yàn)件進(jìn)行掃頻測試確定其準(zhǔn)確的共振頻率與響應(yīng)。

3.1 有限元模型校驗(yàn)

創(chuàng)建有效可靠的理論分析模型是進(jìn)行結(jié)構(gòu)振動特性研究的基礎(chǔ)?；诖?，首先，本文分別利用能量有限元法和振動測試研究硬涂層整體葉盤的非線性振動特性，并通過比較理論數(shù)據(jù)與試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行動力學(xué)模型校驗(yàn)。其中，與有限元分析不同的是，振動測試必定受到試驗(yàn)環(huán)境和人員操作經(jīng)驗(yàn)等因素的影響，所以理論和試驗(yàn)數(shù)據(jù)之間存在不可避免的誤差。

表2和表3所示為基于能量有限元法和振動測試得到的硬涂層整體葉盤在相同基礎(chǔ)激勵下(1g加速度激勵)的二階共振頻率和響應(yīng)。從中可以發(fā)現(xiàn)，基于能量有限元法得到的理論振動特性數(shù)據(jù)與基于振動測試得到的試驗(yàn)振動特性數(shù)據(jù)存在可接受的數(shù)據(jù)偏差，即：硬涂層整體葉盤共振頻率的理論與試驗(yàn)數(shù)據(jù)之間的偏差始終在1.46%～3.99%；共振響應(yīng)的理論與試驗(yàn)數(shù)據(jù)之間的偏差最小值為1.02%，最大值不超過7%。這就說明，在相同的激勵下硬涂層整體葉盤的非線性動力學(xué)模型具有較高的計(jì)算精度。

表2 硬涂層整體葉盤在相同激勵下的非線性共振頻率

表3 硬涂層整體葉盤在相同激勵下的非線性共振響應(yīng)

圖6所示為基于能量有限元法和振動測試得到的硬涂層整體葉盤在不同基礎(chǔ)激勵下(的二階頻域響應(yīng)曲線?？梢园l(fā)現(xiàn)，基于能量有限元法與振動測試得到的二階頻域響應(yīng)之間存在可接受的數(shù)據(jù)偏差，而且兩者的頻域振動響應(yīng)具有相似的變化趨勢，即：隨著加速度激勵的不斷增大，硬涂層整體葉盤的理論和試驗(yàn)共振響應(yīng)都在逐漸增大，且共振響應(yīng)對應(yīng)的共振頻率逐漸減小。這就說明，在不同激勵下硬涂層整體葉盤的非線性動力學(xué)模型具有較好的計(jì)算精度。綜上可知，創(chuàng)建的硬涂層整體葉盤的非線性動力學(xué)分析模型是有效的，為應(yīng)變依賴性的影響分析奠定了可靠基礎(chǔ)。

(a) 非線性動力學(xué)理論數(shù)據(jù)

圖5 硬涂層整體葉盤的模態(tài)與受迫振動試驗(yàn)設(shè)備及相關(guān)測試流程

Fig.5 Modal and forced response test device and testing process of the hard-coating blisk

3.2 應(yīng)變依賴性的影響

在不考慮硬涂層應(yīng)變依賴性的前提下，硬涂層對整體葉盤的阻尼減振研究已在Gao等的研究中詳細(xì)討論，這里不再贅述。 本文重點(diǎn)研究硬涂層的應(yīng)變依賴性特征對葉片力學(xué)參數(shù)和整體葉盤振動特性的影響規(guī)律。

圖7所示為葉片、(不考慮應(yīng)變依賴性)線性硬涂層葉片和(考慮應(yīng)變依賴性)非線性硬涂層葉片在不同等效應(yīng)變下的力學(xué)參數(shù)。通過圖7(a)可以發(fā)現(xiàn)，隨著等效應(yīng)變的不斷增大，葉片彈性模量E1和線性硬涂層葉片彈性模量E2保持不變，而非線性硬涂層葉片彈性模量E3逐漸減小；特別的，葉片在涂敷線性或非線性硬涂層后的彈性模量均減小(即E3L1和L3>L1)，這就說明硬涂層可以有效增強(qiáng)葉片的振動阻尼能力；特別的，應(yīng)變依賴性會進(jìn)一步提高硬涂層葉片的損耗因子(即L3>L2)，這就說明應(yīng)變依賴性能夠有效增強(qiáng)硬涂層葉片的振動阻尼能力。

圖8所示為整體葉盤、(不考慮應(yīng)變依賴性)線性硬涂層整體葉盤和(考慮應(yīng)變依賴性)非線性硬涂層整體葉盤的二階頻率響應(yīng)曲線。從中可以看到，在相同的激勵水平下(取5g加速度激勵)，整體葉盤在涂敷線性硬涂層后的共振頻率略微降低(即f2

(a) 彈性模量

圖8 葉片、線性硬涂層整體葉盤和非線性硬涂層整體葉盤的二階頻率響應(yīng)曲線

4 結(jié) 論

本文主要研究了考慮應(yīng)變依賴性的硬涂層整體葉盤的非線性振動特性，重點(diǎn)分析了硬涂層的應(yīng)變依賴性對振動特性的影響，得到以下結(jié)論：

(1) 基于能量有限元法建立的硬涂層整體葉盤的非線性動力學(xué)模型具有較高的計(jì)算精度，可為后續(xù)非線性動力學(xué)研究提供可靠的理論模型。

(2) 硬涂層及其應(yīng)變依賴性特征會影響葉片的力學(xué)參數(shù)，進(jìn)而影響整體葉盤的振動特性,硬涂層及其應(yīng)變依賴性彈性模量會對整體葉盤的共振頻率產(chǎn)生略微影響，而硬涂層及其應(yīng)變依賴性損耗因則能明顯增強(qiáng)整體葉盤的振動阻尼能力。

(3) 硬涂層對整體葉盤有較好的阻尼減振能力，有助于抑制整體葉盤過大的振動響應(yīng)；在此基礎(chǔ)上，硬涂層力學(xué)參數(shù)具有的應(yīng)變依賴性特征能夠進(jìn)一步增強(qiáng)硬涂層對整體葉盤的阻尼減振能力。