胡翔宇

（江蘇大學(xué)卓越學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212000）

1 研究背景

FAST 的主動反射面系統(tǒng)[1]的主體結(jié)構(gòu)是一個口徑500m 的可調(diào)節(jié)球面[2]，主動反射面可分為兩個狀態(tài)：基準(zhǔn)態(tài)和工作態(tài)。該反射面可主動變換形狀，形成工作拋物面[2]。

2 理想反射面模型

觀測天體S 位于基準(zhǔn)球面正上方，促動器的伸縮范圍為-0.6 至+0.6 米且其伸縮沿著基準(zhǔn)球面徑向（故拋物面頂點的移動范圍也為-0.6 至+0.6 米）。我們擬應(yīng)用粒子群智能算法在主索節(jié)點變化范圍內(nèi)以最大調(diào)整距離最小作目標(biāo)函數(shù)搜索最優(yōu)的伸縮量，從而確定理想拋物面。

2.1 模型的建立

可知球心C 為原點。拋物面的焦點在以坐標(biāo)C 為原點，以0.534R 為半徑的球面上，天體S 位于球面正上方，SC 的連線與焦面的交點為P（0,0,-0.534R）示意圖如圖1 所示[3]。

圖1 示意圖

我們設(shè)基準(zhǔn)球面的最低點為A，則A 處下拉索的伸縮方向即為豎直方向，且由于促動器伸縮范圍的為[-0.6,+0.6]，考慮到反射面板調(diào)節(jié)的因素，得到拋物面焦距的取值范圍為：

則拋物面的方程為：

同時僅用到了下半球面的基準(zhǔn)球面的球面方程為：

根據(jù)饋源艙的照明范圍直徑為300m，由圖形的對稱性，因此照明區(qū)域內(nèi)節(jié)點應(yīng)在半徑為150m 的圓內(nèi)，即：

因此聯(lián)立上述方程，我們可以得到：

由于兩者均具有關(guān)于z 軸的各向同性，因此令x2=x2+y2，則聯(lián)立方程組可化簡為：

為方便數(shù)學(xué)計算推導(dǎo)，我們進行極坐標(biāo)變換，即：

可以得到：

根據(jù)一元二次方程的求根公式，由于考慮到ρ1≥0，于是我們舍去負根，得到ρ1的表達式為：

而當(dāng)φ 為270 度時，cos φ 為0，因此此時公式（11）為一元一次方程，所以得到ρ1的表達式為：

我們定義拋物面與球面的徑向距離為ρ0，其中ρ2=R，則ρ0可以表示為：

我們對焦距的取值區(qū)間進行離散化, 得到{f0，. . . ,fn}，其中f0=0.466R-0.6，fn=0.466R+0.6，我們?nèi)∷笑?中最大的為ai，即：

則根據(jù)焦距f 的變化，得到關(guān)于ai的集合S，而記S 中的最小值為a*，即：

為使反射面板調(diào)節(jié)盡量均衡，即尋求最小的徑向調(diào)整距離，因此我們的搜索目標(biāo)即為：

搜索獲得最小的a*，其對應(yīng)的fi記為f*，則得到理想拋物面的表達式即為：

2.2 模型的求解

為了在促動器的限制范圍內(nèi)搜索最優(yōu)焦距，從而確定理想拋物面，我們采用粒子群算法，以焦距f 為待優(yōu)化參數(shù)，以a*為適應(yīng)度函數(shù)，則優(yōu)化模型如下：

搜索目標(biāo)函數(shù)：min a*

通過粒子群算法進行全局搜索求得最優(yōu)解.

3 結(jié)論分析

我們求解得到最優(yōu)的焦距f 為140.1324m，同時由幾何關(guān)系: f = 0.466R + h，得到A 點的最優(yōu)伸縮距離h 為0.3324m。各節(jié)點對應(yīng)伸縮距離的三維空間圖，基準(zhǔn)球面與理想拋物面的二維截面圖像如圖2、3 所示。

圖2 二維伸縮距離與三維伸縮距離

圖3 二維基準(zhǔn)球面與理想拋物面截面圖

可以觀察到曲線交替變換，且其幅度較為均衡，符合我們尋求調(diào)整最為均衡的目標(biāo),圖片證明了所得理想拋物面在調(diào)節(jié)上的均衡性,因此結(jié)果較為合理。

綜上所述，在α=0°，β=90°時，結(jié)合反射面板調(diào)節(jié)因素，得到理想拋物面的方程為：

4 基準(zhǔn)反射球面模型

4.1 模型的建立

由于計算光通量在角度上的變換較為復(fù)雜，于是為了便捷的確定饋源艙區(qū)域內(nèi)的有效信號通量，我們通過坐標(biāo)變換，將原拋物面轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的理想拋物面。

4.1.1 坐標(biāo)變換

首先我們要將非標(biāo)準(zhǔn)位置調(diào)節(jié)后的節(jié)點坐標(biāo)變換為標(biāo)準(zhǔn)位置的坐標(biāo)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)矩陣公式，得到相應(yīng)的XYZ 軸旋轉(zhuǎn)矩陣為：

則非標(biāo)準(zhǔn)位置的拋物面對應(yīng)節(jié)點變換到標(biāo)準(zhǔn)位置后的坐標(biāo)即為：

隨后結(jié)合求得的理想拋物面參數(shù)可以得到進行坐標(biāo)變換后的理想拋物面球坐標(biāo)方程，因此我們可以根據(jù)相同的方位角與仰角θ，φ 得到每一個節(jié)點(ri，θi，φi) 在相同方位角與仰角θ，φ 情況下對應(yīng)的理想拋物面上半徑ri*，故我們可運用最小二乘法優(yōu)化節(jié)點位置。

同時由于節(jié)點調(diào)節(jié)的變化幅度小于0.07%，即可得到相應(yīng)約束條件為：

由于促動器的調(diào)節(jié)范圍為±0.6m，因此可得到相應(yīng)約束為：

通過優(yōu)化求解得到一系列節(jié)點調(diào)整后的球坐標(biāo)（ri'，θi'，φi')，再將球坐標(biāo)變換為空間直角坐標(biāo)(xi'，yi'，zi')。

我們利用粒子群算法求解得到各節(jié)點的調(diào)整方案，各個節(jié)點調(diào)整距離以及調(diào)整前后的對比如圖4 所示。

圖4 主索節(jié)點調(diào)整方案對比

4.1.2 信號通量計算模型

由于饋源艙接收信號的有效范圍為1m 直徑的圓，因此在三維空間中我們可以寫為：

然后設(shè)D1，D2，D3為變換后某個三角形的三個頂點，坐標(biāo)為：D1(x1，y1，z1)，D2(x2，y2，z2)，D3(x3，y3，z3)。三角形D1，D2，D3的有效面積就是其投影到水平面上的三角形D1' D2' D3' 的面積。然后要求出反射光線，我們先求出三角形D1D2D3所在平面的方程，則有：

那么設(shè)三角形D1D2D3的單位法向量為則可以由平面方程得到：

設(shè)P1為D1入射光線上一點，入射光線的方向向量為(0，0，-1)，那么P1關(guān)于過D1的法向量所在直線的對稱點P1'的坐標(biāo)即可通過空間幾何解得：

因此反射光線的方程即為：

接下來我們設(shè)LD1與饋源艙所在平面的交點為KD1，那么聯(lián)立方程可算出交點的坐標(biāo)：

同理我們可以算出KD2，KD3的坐標(biāo)，然后可以算出三角形KD1KD2KD3的面積。

設(shè)Sj表示三角形與饋源艙有效區(qū)域重合部分的面積；設(shè)Hj表示三角形D1'D2'D3' 在三角形D1D2D3上反射到饋源艙并被接收到的信號，因此：

記饋源艙有效區(qū)域接收到反射信號與300 米口徑內(nèi)反射面的反射信號之比為N，則有：

4.2 模型的求解

由于判別信號是否有效的過程均為復(fù)雜，因此我們采用蒙特卡羅模擬法，具體流程為：則對于某一點P 求出與三角形ABC 的三個頂點構(gòu)成向量P■→A，P■→B，P■→C 的叉積。如果叉積是同號，則判斷點P 在三角形內(nèi)部即該三角形反射信號有效，否則反射信號無效。

4.3 結(jié)果分析

通過計算機編程以及模擬，我們得到饋源艙接收比為67.42%；饋源艙接收比與基準(zhǔn)反射球面接收比的比值為5.26%，其分布如圖5 所示。

圖5 饋源艙信號接收與基準(zhǔn)球面反射面信號接收

其經(jīng)過拋物面調(diào)整后的饋源艙的信號接收比相對于以基準(zhǔn)球面為反射面的饋源艙接收比有了明顯提升，因此我們認為該計算結(jié)果是符合要求的。