莫品強 劉 堯 高新慰 章 正

（1.中國礦業(yè)大學 深部巖土力學與地下工程國家重點實驗室 力學與土木工程學院，江蘇徐州 221116；2.中冶集團武漢勘察研究院有限公司，湖北武漢 430080）

0 引言

樁基礎(chǔ)按照成樁過程分為擠土樁、部分擠土樁和非擠土樁。由于擠土樁造價低廉、噪音小、環(huán)境污染小等優(yōu)點，現(xiàn)已廣泛應(yīng)用于實際工程。目前確定樁基承載力最直接的方法是進行原位靜荷載試驗法，但由于靜荷載試驗費時、費力，將會對經(jīng)濟和工程進度產(chǎn)生嚴重的影響，因此需要采用一種新型方法來預(yù)測樁基的承載力。

樁基承載力主要分為樁端阻力和樁側(cè)摩阻力兩大部分。目前我國大多數(shù)學者提出的樁基承載力計算方法主要有荷載傳遞法和彈性理論法等，但計算復雜，未考慮土體的連續(xù)性；根據(jù)大量的工程實測資料和地質(zhì)條件[1]，對樁基承載力計算進行修正，得到的計算方法具有地域局限性，不能在大多數(shù)地區(qū)進行推廣應(yīng)用[2-3]。

擠土樁成樁過程會對周圍土體產(chǎn)生擠壓作用，而小孔擴張理論是研究擠土效應(yīng)的有效方法之一。目前，隨著彈塑性理論的不斷發(fā)展，巖土介質(zhì)小孔擴張解析解已取得了顯著進展。Hill[4]根據(jù)Tresca 準則推導了小孔擴張的解析解；余海歲[5]基于Mohr-Coulomb 屈服準則，考慮了剪脹角的影響，推導了無限介質(zhì)小孔擴張的理論解，獲得了小孔擴張過程中土體的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系；賈尚華[6]基于空間準滑動面理論（SMP 屈服準則）推導了柱形孔擴張半徑和孔擴壓力的理論關(guān)系。然而，目前小孔擴張理論解析解大多建立在無限空間土體的假設(shè)上，且主要用于分析沉樁過程的擠土效應(yīng)[7-10]，較少研究樁基承載力以及沉降曲線。

針對上述不足，本文基于Mohr-Coulomb 屈服準則推導有限介質(zhì)小孔擴張理論，考慮初始地表效應(yīng)的影響，將樁端部分假設(shè)為球形孔擴張模型，樁側(cè)部分假設(shè)為柱形孔擴張模型進行計算分析單樁樁基承載性能，為樁基承載力預(yù)測提供新的計算方法。

1 有限介質(zhì)小孔擴張理論

小孔擴張理論是研究土體擴張（收縮）時周圍應(yīng)力場和位移場的經(jīng)典理論，是解決巖土基本問題的有效手段之一[5]。本節(jié)在前人研究基礎(chǔ)上推導有限Mohr-Coulomb 介質(zhì)中球形-柱形小孔擴張統(tǒng)一解。土體中小孔擴張模型如圖1所示。小孔初始半徑為a0，有限介質(zhì)外半徑為b0，土中各點的徑向應(yīng)力為σr,0，切向應(yīng)力為σθ,0。假設(shè)外邊界土體徑向應(yīng)力保持不變，土體服從各向同性假設(shè)，并設(shè)定張力為正。擴張過程中，小孔半徑從a0擴張至a，土體外半徑將會從b0擴張至b，土中徑向應(yīng)力和切向應(yīng)力將分別演化為σr和 σθ。

圖1 小孔擴張模型

小孔擴張過程中土體各點應(yīng)力應(yīng)滿足平衡方程式[5](1)：

且滿足兩個邊界條件：

式中：r為極坐標下半徑，表示土體內(nèi)任意點到小孔中心的距離；p為擴張后土體內(nèi)壁孔壓；p0為土體外壁壓力；k為用于統(tǒng)一球形-柱形孔的常數(shù)，k=1時為柱形孔擴張，k=2時為球形孔擴張。

1.1 彈性解

隨著小孔擴張的內(nèi)壁孔壓從初始值p0不斷增大，初始階段土體變形為純彈性變形，并未達到屈服狀態(tài)，在此過程中，土體滿足胡克定律，土體的彈性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為[11]

將邊界條件(2)-(5)聯(lián)立得

式中：G=E/[2(1+ν)]；E為土體彈性模量；ν為土體泊松比。

土體擴張進入塑性變形階段時服從Mohr-Coulomb 屈服準則，形式為[5]

聯(lián)立式(6)、式(7)、式(9)，可得土體剛進入塑性時的小孔壓力為

1.2 彈-塑性應(yīng)力分析

塑性擴張階段的土體可分為塑性區(qū)(a＜r≤c)和彈性區(qū)(c＜r≤b)，c表示土體彈塑性界面半徑。根據(jù)余海歲[5]，塑性區(qū)應(yīng)力分布為

由式(1)-式(5)可得彈性區(qū)土體的應(yīng)力分布：

其中，A和B為常數(shù)。

根據(jù)彈塑性界面連續(xù)性，令式(11)=式(13)，式(12)=式(14)組成方程組解得

聯(lián)立式(11)、式(2)得到塑性區(qū)半徑c與小孔內(nèi)壓p的關(guān)系為

當彈塑性界面達到小孔外邊界，即c=b時，整個范圍內(nèi)土體均進入塑性，由式(17)得此時小孔內(nèi)壓為

1.3 彈塑性區(qū)土體位移

將式(13)、式(14)代入式(5)得彈性區(qū)間土體位移

同時，土體外邊界的位移表達式為

土體的塑性變形可分為彈性和塑性兩部分，分別采用上標‘e’和‘p’表示。為了和Mohr-Coulomb 屈服方程形式保持一致，本文采用一種簡單的非相關(guān)流動法則[5]描述小孔擴張的土體塑性變形，徑向塑性應(yīng)變和環(huán)向塑性應(yīng)變的比例關(guān)系表述為

根據(jù)余海歲[5]，將彈性應(yīng)變解式(4)、式(5)代入塑性流動法則得

考慮塑性大應(yīng)變影響，采用對數(shù)形式定義大應(yīng)變，即

根據(jù)余海歲[5]，將式(24)、式(25)和式(11)、式(12)代入式(23)得

其中

通過下列轉(zhuǎn)換

在式(19)中令r=c，同時將式(26)在區(qū)間[r,c]上積分，聯(lián)立得

引入無窮級數(shù)

同時在式(31)中令r=a和r0=a0，可以得到

1.4 有限介質(zhì)小孔擴張的全塑性解

當孔壓繼續(xù)增大，土體塑性區(qū)半徑c會逐漸增大直到c=b，即土體完全進入塑性狀態(tài)，此時上述部分塑性土體方程就不再有效。

1.4.1 全塑性土體應(yīng)力

對于全塑性土體仍滿足平衡方程和Mohr-Coulomb 屈服準則，即塑性區(qū)應(yīng)力為

其中，D為常數(shù)。

將外邊界條件式(3)代入式(36)得

1.4.2 全塑性土體位移

當塑性區(qū)域c=b時，土體孔擴張達到完全塑性狀態(tài)，上述部分塑性土體擴張過程的位移方程將不再適用，此時將由塑性流動準則求得的式(26)在整個區(qū)間[r,b]積分后，可以得到

其中，ω 可通過令c=b從式(28)中求得

令式(39)中的r=a和r0=a0，可得完全塑性小孔的位移方程

其中

1.5 計算流程

由于方程解答計算較為復雜，采用數(shù)值計算軟件Matlab 進行計算，具體計算過程如下：

（1）輸入土體物理力學參數(shù)E，ν，C，ψ，φ和小孔的初始內(nèi)徑a0，外徑b0。

（2）計算常數(shù)參數(shù)G，Y，α，β，γ，δ。

（3）計算小孔擴張達到初始屈服孔壓和初始完全屈服孔壓的p1y和p2y，對于給定小孔內(nèi)壁孔壓p，若小孔壓力p＜p1y，即土體為完全彈性階段，則可通過式(4)-式(7)求得土體的應(yīng)力應(yīng)變分布。

（4）若小孔壓力p＞p1y且p＜p2y，即土體為彈塑性階段，通過式(17)、式(20)、式(35)求解：對于給定的c/b值(小于1，大于a0/b0)，由式(20)計算c/a0和c/b0，式(35)計算c/a和a/a0，式(17)計算小孔擴張所需的孔壓p與給定的孔壓進行匹配找出塑性區(qū)半徑c和土體外邊界b；然后運用式(11)、式(12)、式(24)、式(25)計算土體塑性區(qū)的應(yīng)力和應(yīng)變，運用式(13)、式(14)、式(4)、式(5)計算土體彈性區(qū)的應(yīng)力和應(yīng)變。

（5）若小孔壓力p＞p2y，即土體為完全塑性階段，通過式(41)求解，然后運用式(36)、式(37)、式(24)、式(25)計算塑性土體的應(yīng)力和應(yīng)變。

2 樁基承載力

本文樁基承載力的計算是基于第1 節(jié)的有限介質(zhì)小孔擴張理論模型。假設(shè)樁端處小孔擴張，且周圍土體介質(zhì)半徑為樁基深度zp，計算模型如圖2所示。

圖2 樁端阻力計算模型

對于擠土樁打樁過程和樁基承載力的計算分為兩個部分：

(1)樁端阻力：將樁端部分土體近似簡化成球形小孔擴張，從而計算樁端阻力。對于球形小孔擴張的外邊界取為樁長，小孔擴張的起始半徑相當于土顆粒的間距(a0≈d50/2)，擴張后小孔半徑為位移樁半徑(a=rp，rp為擠土樁半徑)，計算擠土樁施工過程所改變的土體應(yīng)力場，在更新后的應(yīng)力場，采用的承載力計算依據(jù)10%沉降原則，對于小孔擴張的起始孔半徑a0=rp和擴張后小孔半徑變?yōu)閍=1.1rp，計算的初始應(yīng)力取塑性區(qū)土體的平均應(yīng)力，從而計算樁端阻力。如圖2所示，zp為樁的埋深。

(2)樁側(cè)摩擦力：樁周土體假設(shè)為圓柱形孔擴張，可根據(jù)Randolph[12]進行計算，但在樁周土周圍由于土體的剪脹作用，會形成一個柱形彈性小孔的剪脹帶，在計算時考慮上述兩部分。

樁基承載力的計算流程包括初始條件輸入、擠土樁施工過程的樁端/樁側(cè)阻力計算、擠土引起的土體應(yīng)力變化和施工后承載力計算，具體如圖3所示。

圖3 樁基承載力計算流程圖

在擠土樁貫入完成后，基于改變的應(yīng)力場計算小孔擴張內(nèi)壁孔壓pf，樁端阻力的計算由Randolph[12]方法進行計算

樁側(cè)摩阻力計算

式中：pa為柱形孔擴張孔壁內(nèi)壓；Δy≈0.02 mm；δf為樁土間摩擦角；剪切模量[14]以式(50)計算

式中：P0為樁側(cè)土體平均應(yīng)力；c′=1000；n′=0.5；σatm=100 kPa，為一個標準大氣壓。

由上述可知，樁基總承載力為

擠土樁在成樁過程中會對樁周土產(chǎn)生擾動，形成擠土效應(yīng)，從而使與樁身對周圍土體形成擠密作用。根據(jù)Randolph[12]，土的內(nèi)摩擦角和剪脹角取值按式（43）、式（44）計算

Bolton[13]依據(jù)三軸試驗給出了最大摩擦角和最大剪脹角的計算方法：

式中：IR為相對剪脹系數(shù)，IR=Id(Q′-lnP0)-R′，Id為相對密實度，P0為土體原位應(yīng)力，Q′=9.4，R′=0.28[14]。

擠土樁施工將會使部分土體進入塑性狀態(tài)，如圖4所示。此貫入過程的小孔內(nèi)壓為pg，可根據(jù)上述理論求得。由于擠土樁的貫入過程與靜力觸探過程相似，在擠土樁貫入過程中的貫入阻力根據(jù)Yasufuku[15]計算

圖4 樁端土體應(yīng)力狀態(tài)

3 結(jié)果與分析

3.1 有限介質(zhì)小孔擴張解

假設(shè)土體的力學參數(shù)為c=20 kPa；E=100 MPa；P0=200 kPa；ν=0.3；φ=30?；ψ=15?，土體從a0=1擴張到a=3，土體外邊界b0=5不斷增大，擴張后土體的內(nèi)壁孔壓如圖5所示。將本文的有限介質(zhì)小孔擴張結(jié)果與余海歲[5]的無限介質(zhì)小孔擴張結(jié)果進行對比，發(fā)現(xiàn)對于柱形孔擴張，當b0/a≈110時，有限土體擴張的內(nèi)壁孔壓與塑性區(qū)范圍與無限土體擴張所得出的大致相同，球形孔土體擴張b0/a≈25才與無限土體擴張得出的曲線相一致。驗證了本文計算結(jié)果的正確性，同時說明對于土體的小孔擴張過程，土體的邊界效應(yīng)對于擴張過程中孔壁內(nèi)壓的影響隨著邊界的增大而逐漸消失。相比之下，對于柱形孔擴張，小孔外邊界效應(yīng)的影響強于球形孔擴張。對于擠土樁施工過程，由于地表的存在，土體的邊界并非是一個完全的無限邊界條件，故對于擠土樁的樁基承載力計算應(yīng)該考慮地表效應(yīng)的影響。

圖5 小孔擴張土體外邊界的影響

3.2 擠土樁施工過程土體應(yīng)力場改變

假設(shè)樁基施工土體為粗砂，計算中的土體的土顆粒直徑d50=0.5 mm，土體的黏聚力c=1 kPa，彈性模量E=20 MPa，臨界摩擦角φcrit=32?，土體的重度γw=18 kN/m3，相對密實度Id=0.8，土體的側(cè)壓力系數(shù)K0=0.5，泊松比ν=0.3，樁半徑rp=0.5 m，樁基的埋深H=10 m。

圖6 為打樁過程中樁身受到的側(cè)摩阻力的分布，隨著樁不斷打入土體，樁側(cè)摩阻力不斷增大，增長趨勢剛開始緩慢，在z=3 m時趨勢逐漸增大，說明孔擴張所得的孔壓變化逐漸加快，擠土樁對樁側(cè)土體造成的擠密作用會隨著深度的增大影響逐漸明顯。在z=8 m時趨勢逐漸減緩，這是由于隨著深度的增加，土體在自重應(yīng)力作用下會較為密實，使得土體樁側(cè)土體的正應(yīng)力增長較緩。圖7 給出了打樁過程的土體應(yīng)力場的變化圖。圖7(a)表示打樁之前土體的初始應(yīng)力場。隨著深度增加，應(yīng)力呈線性趨勢增長；打樁過程中土體的應(yīng)力場變化見圖7(b)。沿著樁身方向樁周土形成不同程度的擠密作用，土體的塑性區(qū)逐漸增大，樁周土體應(yīng)力場以改變沿著樁身橫向方向逐漸減小，樁端土體塑性區(qū)范圍約為樁徑的5 倍，此現(xiàn)象正與圖6 結(jié)果對應(yīng)。

圖6 樁側(cè)摩阻力分布

圖7 樁側(cè)摩阻力的分布及樁周應(yīng)力場變化

3.3 樁基承載力的驗證

樁基承載力分為樁端阻力和樁側(cè)摩阻力，Vesic[16]認為樁端土體發(fā)生局部刺入破壞，樁端阻力為式(52)，樁側(cè)摩阻力可根據(jù)有效應(yīng)力法式(53)進行計算

式中：qp為樁端阻力；為土體剛度系數(shù)，C為黏聚力；為土體平均應(yīng)力，為靜土壓力系數(shù)；γ′l為樁端處自重應(yīng)力，Δ為塑性區(qū)土體的平均體積應(yīng)變；qs為樁側(cè)摩阻力；μ為樁側(cè)摩阻力系數(shù)；σv樁側(cè)土豎向有效自重應(yīng)力。

現(xiàn)行《建筑樁基技術(shù)規(guī)范》（JGJ 94-2008）[16]，對于單樁樁基豎向極限承載力標準值可按照式(54)進行計算

式中：u為 樁身周長；li為樁周土第i層厚度；Ap為樁端面積；qsik為樁側(cè)第i層土的極限側(cè)阻力標準值；qpk為樁端阻力標準值。

根據(jù)上述3.2 節(jié)算例計算樁基承載力。表1 為計算樁基承載力不同方法的計算值對比。由表1 可知，采用無限介質(zhì)小孔擴張理論計算的樁基承載力最大。這是由于無限介質(zhì)小孔擴張假設(shè)土體為無限介質(zhì)，未考慮地表效應(yīng)影響。對于規(guī)范中的樁端阻力標準值和極限側(cè)阻力標準值按照規(guī)范取值，本文方法計算值和規(guī)范方法計算值結(jié)果相近，與Vesic 法[17]和有效應(yīng)力法[18]計算結(jié)果相比略小。但對比樁端阻力和樁側(cè)摩阻力的計算值，本文方法計算的樁端阻力值偏小，樁側(cè)摩阻力偏大，這是由于在打樁過程中對土的擠密作用使得樁身周圍的土出現(xiàn)塑性變形區(qū)，樁身周圍受到的水平向荷載提高使得樁側(cè)摩阻力增大；計算結(jié)果具有一定合理性，且考慮了土體的塑性變形和打樁過程中的擠土效應(yīng)。

表1 樁基承載力計算值

4 工程實例分析

本文的工程實例選取昆山市花橋鎮(zhèn)[19]的靜載荷試驗。試驗場地的地質(zhì)資料和土層物理力學性質(zhì)指標如表2所示。由于未給出上述計算所需的彈性模量，取泊松比ν=0.3，土體的彈性模量與壓縮模量關(guān)系式(55)得

表2 試驗土層的物理力學性質(zhì)指標[19]

試驗樁的樁長L=15 m，半徑0.25 m，樁基施工工藝為靜壓樁施工工藝，對于本文樁基承載力的計算所需的土體物理力學性質(zhì)參數(shù)簡化為樁端土層的力學性質(zhì)參數(shù)，即取第6 層粉質(zhì)黏土夾粉土的物理力學參數(shù)。將其代入至上述計算方法之中，土的剪脹角假設(shè)為摩擦角的一半，其他土體參數(shù)同3.2 節(jié)。樁基靜荷載試驗得到的Q-s曲線與本文預(yù)測的Q-s曲線如圖8所示。靜載荷試驗的Q-s曲線在沉降量為14.4 mm 時出現(xiàn)拐點，由此可知，樁基的承載力極限值為2420 kN。對于本文方法的預(yù)測值，隨著外荷載不斷增大，樁基沉降量先緩慢增長，后急劇下滑。說明在土體未進入破壞階段，土體具有一定的承載能力，隨著外荷載持續(xù)增強，土體進入塑性狀態(tài)，土體發(fā)生破壞，樁基沉降位移不斷加大，樁基達到極限承載力。Q-s曲線的預(yù)測拐點和實測曲線的拐點位置相近，樁端承載力的計算值為2638 kN，與現(xiàn)場工程實測值相差8.99%。主要原因：基于小孔擴張理論所需的土體的物理力學參數(shù)和土體的重度為樁端土體參數(shù)，而實際現(xiàn)場的土體含有耕植土、淤泥質(zhì)粉質(zhì)黏土等其他類型土體，土體的物理力學性質(zhì)有所偏差，導致計算的結(jié)果值偏大。結(jié)果表明，該計算方法與現(xiàn)場單樁靜荷載實驗值相差較小，能夠較好地預(yù)測單樁承載力，具有一定的工程應(yīng)用價值。

圖8 試驗樁靜荷載試驗Q -s 曲線

5 結(jié)論

本文根據(jù)有限介質(zhì)彈塑性小孔擴張理論提出擠土樁的樁基承載力計算方法，主要結(jié)論如下：

（1）基于Mohr-Coulomb 屈服準則和大應(yīng)變假設(shè)推導的有限介質(zhì)球柱形小孔擴張統(tǒng)一解析解，依據(jù)算例與既有解進行對比，證明了理論解的正確性。

（2）分析了小孔擴張邊界對擴張過程內(nèi)壁孔壓的影響。當柱形孔b0/a＞110時，小孔擴張的內(nèi)壁孔壓與既有解結(jié)果相近，球形孔b0/a＞25時土體擴張與既有解結(jié)果相同。

（3）分別采用球形孔擴張模型和柱形孔擴張模型對樁端阻力和樁側(cè)阻力進行計算，得到了擠土樁貫入過程對樁周土的擠密效應(yīng)，預(yù)測的樁基承載力與既有理論解和原位靜荷載實測值結(jié)果相近，驗證了本文計算方法的可靠性，具有一定的工程實踐意義。