楊艷平，陳展衡，2*

（1.伊犁師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，新疆伊寧 835000；2.伊犁師范大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所，新疆伊寧 835000）

0 引言

Cohen-Grossberg（C-G）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型由Cohen和Grossberg首次提出和研究［1］，被廣泛應(yīng)用于神經(jīng)生物學(xué)、人口生物學(xué)和計(jì)算技術(shù)等各種工程和科學(xué)領(lǐng)域.C-G神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)一直是廣受關(guān)注的研究熱點(diǎn)，并取得了許多研究進(jìn)展.文獻(xiàn)［2］中Dong利用M矩陣?yán)碚搶σ活惛唠AC-G神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性進(jìn)行研究.Zhao和Song在文獻(xiàn)［3］中利用M矩陣?yán)碚搶?fù)值C-G神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析，并給出了一些充分條件.徐在文獻(xiàn)［4］中利用M矩陣?yán)碚撗芯苛艘活惥哂忻}沖干擾的變時(shí)滯復(fù)數(shù)域C-G神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的平衡點(diǎn)的動態(tài)行為.復(fù)值系統(tǒng)能處理二維數(shù)據(jù)問題，但對于三維數(shù)據(jù)問題處理較為困難，而且很多問題都是三維數(shù)據(jù)問題，所以需要一種新的方法對三維空間進(jìn)行研究.

四元數(shù)由Hamilton首次提出［5］.由于四元數(shù)的性質(zhì)，四元數(shù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在工程控制和科學(xué)應(yīng)用中得到廣泛應(yīng)用，其中圖像處理、顏色識別、三維空間建模、優(yōu)化、控制等領(lǐng)域，均吸引了一大批學(xué)者的研究熱情.文獻(xiàn)［6］揭示了四元數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)比復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)更有優(yōu)越性.文獻(xiàn)［7］中Li研究四元數(shù)值C-G神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)時(shí)，通過分解法探究了系統(tǒng)平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性、全局指數(shù)穩(wěn)定性.然而，到目前為止，關(guān)于四元數(shù)域內(nèi)C-G神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的研究成果仍然較少，這也是本文的研究動機(jī)之一.

基于以上研究，本文主要研究了四元數(shù)值C-G神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的平衡點(diǎn)存在唯一性和指數(shù)穩(wěn)定性.

1 預(yù)備知識

首先給出一些符號定義，R,C,Q分別代表實(shí)數(shù)域、復(fù)數(shù)域、四元數(shù)域.

1.1 四元數(shù)代數(shù)

四元數(shù)的定義是跟實(shí)數(shù)域相

結(jié)合的，一個四元數(shù)可以寫成下面的形式：h=hR+hIi+hJ j+hKk,h∈Q.其中系數(shù)hR,hI,hJ,hK∈R.并且虛數(shù)單位i,j,k滿足條件：i2=j2=k2=ijk=-1,ij=-ji=k,jk=-kj=i,ki=-ik=j.顯然四元數(shù)不滿足乘法交換律.四元數(shù)h=h0+h1i+h2j+h3k的共軛用h*表示，定義如下：h*=h0-h1i-h2j-h3k.h的模用|h|表示，|h|2=hh*=h02+h12+h22+h32.

1.2 模型描述

2 主要結(jié)論

定理1在假設(shè)1～3成立的情況下，如果Ω=W-(|A|+|B|)L是M矩陣,則系統(tǒng)（2）存在唯一的平衡點(diǎn).

證明：設(shè)

3 數(shù)值仿真

b21=-0.7-0.2i-0.2j+0.2k,b22=0.2+0.3i+0.2j+0.7k.

由定理1和定理2可知，上述系統(tǒng)存在唯一平衡點(diǎn)，且平衡點(diǎn)滿足指數(shù)穩(wěn)定.定理中Ω=W-(|A|+|B|)L，經(jīng)Matlab計(jì)算所得結(jié)果如下：

數(shù)值仿真圖像如圖1.

圖1 狀態(tài)變量

4 結(jié)論

本文研究主要創(chuàng)新點(diǎn)首先是將四元數(shù)系統(tǒng)作為一個整體來考慮，而不是將其分解成4個部分來研究；其次是通過采取同胚映射和M矩陣相關(guān)原理，對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的平衡點(diǎn)存在性、唯一性進(jìn)行研究，所得到的M矩陣不僅可以通過MATLAB進(jìn)行驗(yàn)證，也能通過數(shù)值計(jì)算來驗(yàn)證；最后是利用矢量Lyapunov函數(shù)法對平衡點(diǎn)的指數(shù)穩(wěn)定進(jìn)行研究.本文不足之處在于僅討論了四元數(shù)值Cohen-Grossberg型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有不可微分時(shí)滯情形的充分條件，還沒能得到充要條件.在研究四元數(shù)值Cohen-Grossberg型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的領(lǐng)域中還存在許多空白，例如研究網(wǎng)絡(luò)的異時(shí)滯的穩(wěn)定、分布時(shí)滯的穩(wěn)定.在未來，還需要對四元數(shù)值Cohen-Grossberg型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)展開進(jìn)一步的研究.