徐傳芳

(大連交通大學(xué) 自動化與電氣工程學(xué)院，遼寧 大連 116028)①

高速列車牽引力/制動力的形成依賴于輪軌間的黏著[1].在列車車輪不發(fā)生滑動的條件下，傳遞到輪對的驅(qū)動力矩/制動力矩通過輪軌間的黏著產(chǎn)生黏著力，并進(jìn)而轉(zhuǎn)化為列車運行所需要的牽引力/制動力[2].輪軌間通過相互作用產(chǎn)生并傳遞黏著力的大小與輪軌間微量滑動的程度存在著密切關(guān)系.為了實現(xiàn)復(fù)雜運行環(huán)境下列車的可靠運行，需要對列車進(jìn)行黏著控制.由于蠕滑率體現(xiàn)了輪軌間微量滑動的程度,很多文獻(xiàn)通過確定期望蠕滑率，并設(shè)計控制算法實現(xiàn)列車車輪對期望蠕滑率的跟蹤，來實現(xiàn)對列車的黏著控制[3-4].然而，在列車從零速開始加速以及降速到車輪角速度為零時，蠕滑率可能出現(xiàn)不連續(xù)點；而且在列車車體速度和車輪角速度接近零時，基于蠕滑率設(shè)計的控制器可能會出現(xiàn)抖振問題[5]，因此，基于蠕滑率跟蹤設(shè)計黏著控制器并不是一個很好的選擇.另外，由于期望跟蹤目標(biāo)的好壞直接決定了黏著控制的效果，文獻(xiàn)[3-4]研究的重點均為期望蠕滑率的獲取.實際上，對期望目標(biāo)的精確跟蹤控制同樣重要，否則期望目標(biāo)的獲取也就失去了意義.針對上述問題，文獻(xiàn)[5-7]基于蠕滑速度跟蹤研究了列車的黏著控制方法，解決了基于蠕滑率跟蹤控制算法存在的問題，并重點探討了對高速列車期望蠕滑速度的精確跟蹤控制問題.

另一方面，上述文獻(xiàn)中提出的黏著控制算法存在過度依賴列車模型精確信息問題.實際上，由于乘客及所攜帶行李的不確定性、線路條件、天氣、列車速度等諸多因素的影響，列車質(zhì)量和運行基本阻力，車輪的黏滯摩擦系數(shù)以及輪軌間的黏著力難以精確測定.過度依賴列車模型信息的控制算法，在列車實際運行過程將很難保持良好的控制效果.因此，迫切需要設(shè)計不依賴于列車質(zhì)量、基本阻力、黏著力以及車輪黏滯摩擦系數(shù)等不易測量列車模型信息的蠕滑速度跟蹤控制策略.

基于以上考慮，本文針對高速列車黏著控制中對期望目標(biāo)的跟蹤控制問題，提出了一種新的控制方法.基于考慮牽引/制動動態(tài)的列車黏著控制系統(tǒng)動力學(xué)模型[6]，采用自適應(yīng)技術(shù)手段估計列車模型參數(shù)以及系統(tǒng)集總不確定性的上界，避免了控制策略對列車模型信息的過度依賴；在此基礎(chǔ)上引入動態(tài)面控制方法，設(shè)計了高速列車的蠕滑速度跟蹤控制策略，避免了基于蠕滑率跟蹤控制策略存在的盲點問題以及傳統(tǒng)反步法存在的計算量大的問題.通過嚴(yán)格的算法穩(wěn)定性理論證明和數(shù)值仿真結(jié)果，說明了文中所提出控制算法的可行性和有效性.

1 高速列車黏著控制系統(tǒng)動力學(xué)模型

單輪對的動力學(xué)模型，是研究整體機(jī)車黏著控制問題的基礎(chǔ).很多文獻(xiàn)在研究黏著控制問題時，常采用圖1所示的簡化輪軌單軸模型[5-6,8].

圖1 列車簡化輪軌單軸模型

列車黏著控制系統(tǒng)動力學(xué)模型主要由列車車體和車輪動態(tài)方程組成.其中，列車車體動態(tài)方程可以表示為[6-7]

(1)

式中，M為列車模型質(zhì)量,v為列車車體速度,Fr為列車基本阻力，其表達(dá)式為：

Fr=a0+a1v+a2v2

(2)

其中，a0、a1、a2為正實數(shù)，一般可以通過風(fēng)洞試驗和實際運營所積累的數(shù)據(jù)中獲知，但在列車實際運行中，其準(zhǔn)確值難以確定.

Fa為輪軌黏著力，在列車車輪未發(fā)生滑動時，其實際為列車的牽引力/制動力，其表達(dá)式一般為[9]

Fa=μ(λ)Mg

(3)

其中，μ(λ)為黏著系數(shù)，是蠕滑率λ的非線性函數(shù).黏著系數(shù)與輪軌間的蠕滑以及輪軌狀況之間存在復(fù)雜的關(guān)系，其具有高度非線性、不確定性和隨機(jī)性等特點[10].目前國內(nèi)外常采用Burckhardt模型來描述，其表達(dá)式為[11]

(4)

其中，ci(i=1,2,3)>0，不同的ci代表不同的軌面狀態(tài)；sign為符號函數(shù)；λ為蠕滑率，其表達(dá)式為

(5)

式中，vs為蠕滑速度，其值為動輪滾動圓周速度與列車前進(jìn)速度的差值，表達(dá)式為

vs=ωr-v

(6)

為了分析方便，忽略傳遞過程中的轉(zhuǎn)矩?fù)p耗，則列車車輪的動態(tài)方程可表示為[12]

(7)

輪軌間黏著力的產(chǎn)生過程為：列車自動駕駛控制器根據(jù)列車運行情況，或者駕駛員手動調(diào)整牽引/制動手柄級位，發(fā)出控制指令，列車牽引/制動系統(tǒng)接收到指令后，由牽引電機(jī)產(chǎn)生相應(yīng)的驅(qū)動/制動力矩并通過齒輪箱傳遞給輪對，最后通過輪軌間的相互作用產(chǎn)生黏著力.所以，對于黏著控制器來說，其被控對象應(yīng)該是包含牽引/制動系統(tǒng)在內(nèi)的列車黏著動力學(xué)系統(tǒng).考慮到列車牽引電機(jī)的電磁慣性比列車的機(jī)械慣性要小得多，因此，當(dāng)考慮牽引/制動動態(tài)響應(yīng)來研究列車的黏著控制問題時，可以忽略牽引電機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩產(chǎn)生的詳細(xì)過程，用一個一階慣性環(huán)節(jié)來近似代替[7]，即

(8)

式中，Tz表示期望的牽引電機(jī)驅(qū)動/制動轉(zhuǎn)矩，為系統(tǒng)的控制變量,α和β均大于零.

根據(jù)式(1)及式(6)～(8)，可得到以蠕滑速度和牽引電機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩(即作用到車輪上的驅(qū)動/制動力矩)為系統(tǒng)狀態(tài)變量的列車黏著控制系統(tǒng)模型:

(9)

(10)

其中，F(xiàn)td為系統(tǒng)的集總不確定性，其由未知參數(shù)和難以精確獲知的未知函數(shù)等構(gòu)成，表達(dá)式為

(11)

2 控制器設(shè)計及穩(wěn)定性分析

控制器的控制目標(biāo)為：針對式(9)和式(10)構(gòu)成的系統(tǒng)，在部分模型參數(shù)和系統(tǒng)集總不確定性Ftd未知的條件下，設(shè)計合適的控制算法，實現(xiàn)高速列車對期望蠕滑速度的精確跟蹤.由于本文重點是對目標(biāo)蠕滑速度的跟蹤，其如何獲取問題不作討論.

2.1 控制器設(shè)計

Ftd包含復(fù)雜的未知非線性項，且部分參數(shù)難以獲取.為實現(xiàn)控制目標(biāo)，需要處理Ftd對系統(tǒng)的影響，本文采用基于自適應(yīng)技術(shù)估計其上界的方法.

易知Fa、Fr和B有界，因此如下不等式成立

(12)

其中，μmax為最大黏著系數(shù)，a0max、a1max、a2max和ζb分別為a0、a1、a2和B的最大值，μmax、a0max、a1max、a2max和ζb均為未知正數(shù).

由不等式(12)可知，F(xiàn)td滿足如下不等式：

|Ftd|≤T0+T1|v|+T2|v|2+T3|ω|

(13)

觀察式(9)和(10)可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)考慮牽引/制動動態(tài)時，列車黏著控制系統(tǒng)模型為一串級非線性系統(tǒng)，可以考慮應(yīng)用反步法來解決其跟蹤控制問題.但是，反步法需要對虛擬控制量進(jìn)行微分計算，控制算法復(fù)雜.因此，本文采用在反步法基礎(chǔ)上進(jìn)一步發(fā)展和延伸出來的動態(tài)面控制方法，來設(shè)計高速列車的蠕滑速度跟蹤控制策略，在降低計算量的同時，實現(xiàn)高速列車黏著控制中列車車輪對期望蠕滑速度的精確跟蹤.設(shè)計步驟如下：

步驟1：定義列車蠕滑速度跟蹤誤差為evs，即

(14)

求evs對時間的導(dǎo)數(shù)

(15)

(16)

(17)

(18)

式中，τ>0，為濾波器的濾波時間常數(shù).

定義濾波估計誤差為

(19)

為第一個子系統(tǒng)選取Lyapunov函數(shù)

(20)

求V1對時間的導(dǎo)數(shù)，并結(jié)合式(9)、(13)、(15)～ (17)，以及式(19)可得

(21)

由Young不等式[13]，如下不等式成立

(22)

將式(22)代入式(21)，有

(23)

步驟2：定義牽引電機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩跟蹤誤差為

eT=Tn-Tnd

(24)

eT對時間的導(dǎo)數(shù)為

(25)

定義ea=[ea1,ea2]T=[1/β,α/β]T，將式(10)代入式(25)，并在其兩邊均乘以α/β，可得到

(26)

設(shè)計系統(tǒng)的實際控制輸入量Tz為

(27)

(28)

式中:θ為正實數(shù)；Γ為正定對陣矩陣，是一個與算法相關(guān)的常數(shù)矩陣.

為第二個子系統(tǒng)選擇Lyapunov函數(shù)

(29)

求V2對時間的導(dǎo)數(shù)，并結(jié)合式(26)可得到

(30)

將式(27)和式(28)代入式(30)，可得

(31)

根據(jù)Young不等式，如下關(guān)系成立

(32)

將式(32)代入式(31)，得

(33)

2.2 穩(wěn)定性分析

定理：對于式(9)和式(10)所示的系統(tǒng)，設(shè)計控制器的控制輸入信號和虛擬控制量分別為式(27)和(16)，采用式(17)和(28)所示的未知參數(shù)自適應(yīng)更新律，則以下結(jié)論成立：①閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號均半全局一致最終有界；②蠕滑速度跟蹤誤差可以收斂到式(44)所示原點附近的緊集，且當(dāng)設(shè)計參數(shù)k1、k2、σi、bi、θ和τ選擇恰當(dāng)時，穩(wěn)定狀態(tài)下系統(tǒng)的蠕滑速度跟蹤誤差可以盡可能的小.

證明：選擇整個系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)為

(34)

求V對時間的導(dǎo)數(shù)有

(35)

由式(18)和式(19)，一階濾波器濾波估計誤差的動態(tài)方程可以表示為

(36)

參閱文獻(xiàn)[14-15]可知，H(·)是連續(xù)函數(shù)，且存在η>0，使得H(·)滿足|H(·)|≤η.因此，結(jié)合式(36)，可得到

(37)

結(jié)合式(24)，并將式(23)、(33)和(37)代入式(35)，可得到

(38)

由Yong不等式，可知

(39)

根據(jù)不等式(39)，式(38)滿足如下關(guān)系

(40)

則由式(40)可進(jìn)一步得到

(41)

(42)

從而有

(43)

由式(34)和式(43)易知，列車車輪蠕滑速度跟蹤誤差evs的收斂域滿足如下緊集

(44)

由式(43)和式(44)可以看出，通過設(shè)計并選取恰當(dāng)?shù)目刂破鲄?shù)，比如固定σi和θ，增大bi，減小λmax(Γ-1)，使α0盡可能的大，則V∞會盡可能的小，從而可使得穩(wěn)定狀態(tài)時的evs盡可能的小，即列車的蠕滑速度跟蹤誤差可以盡可能的小.證畢.

3 仿真驗證與分析

為了驗證本文基于自適應(yīng)動態(tài)面方法所設(shè)計高速列車蠕滑速度跟蹤控制策略的有效性，基于MATLAB/Simulink軟件進(jìn)行了仿真驗證.仿真基于列車車輛簡化單軸輪軌模型，其具體參數(shù)為[6]：列車質(zhì)量M=12 000 kg，車輪轉(zhuǎn)動慣量J=80 kg·m2，車輪半徑r=0.445 m，黏滯摩擦系數(shù)B=0.01，列車基本阻力Fr=180.9+112.2v+2.6v2(單位：N).

圖2 列車黏著特性曲線

仿真結(jié)果如圖3～7所示.其中，圖3為列車車體和車輪的速度曲線，圖4為列車車輪的期望蠕滑速度和實際蠕滑速度曲線，圖5為蠕滑速度跟蹤誤差曲線，可以看出，在高速列車的整個控制過程中，無論是穩(wěn)態(tài)時，還是運行狀態(tài)以及軌面狀態(tài)發(fā)生突變時，高速列車蠕滑速度的波動以及跟蹤誤差都很小，實現(xiàn)了高速列車車輪實際蠕滑速度對期望蠕滑速度的良好跟蹤；圖6和圖7分別為期望施加到列車車輪的驅(qū)動/制動力矩和實際施加到列車車輪的驅(qū)動/制動力矩，可以看出，在整個控制過程中，列車都能夠及時適當(dāng)?shù)刈詣诱{(diào)整施加到列車車輪的驅(qū)動/制動力矩，使其很好地跟蹤期望驅(qū)動/制動力矩，保證了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)和動態(tài)跟蹤性能.

圖3 列車車體和車輪速度曲線

圖4 列車的期望蠕滑速度和實際蠕滑速度曲線

圖5 列車的蠕滑速度跟蹤誤差曲線

圖6 期望施加到列車車輪的驅(qū)動/制動力矩

圖7 實際施加到列車車輪的驅(qū)動/制動力矩

4 結(jié)論

本文基于考慮牽引/制動動態(tài)響應(yīng)的列車黏著控制系統(tǒng)動力學(xué)模型，研究了黏著控制中對期望蠕滑速度的精確跟蹤控制問題.引入基于自適應(yīng)更新律的模型參數(shù)和集總不確定性上界參數(shù)估計方法，進(jìn)而結(jié)合自適應(yīng)技術(shù)和動態(tài)面方法提出了高速列車的蠕滑速度跟蹤控制策略，避免了基于蠕滑率跟蹤控制策略存在的不連續(xù)點和抖振等問題，并大大降低了控制算法對列車模型參數(shù)等信息的過度依賴.理論分析表明，只要控制參數(shù)選擇恰當(dāng)，高速列車的蠕滑速度跟蹤誤差可以盡可能的小.仿真結(jié)果表明，文中所提出的算法實現(xiàn)了高速列車車輪實際蠕滑速度對期望蠕滑速度的精確跟蹤.