李婭娜，孟迪

(大連交通大學(xué) 機車車輛工程學(xué)院，遼寧 大連 116028)①

近幾十年，拓撲優(yōu)化方法被廣泛應(yīng)用到航空航天、材料、車輛、機械等諸多領(lǐng)域.單目標的拓撲優(yōu)化很難解決實際結(jié)構(gòu)中大量存在著的多目標優(yōu)化問題，并且結(jié)構(gòu)的受力過程往往比較復(fù)雜，一般是在多種工況下進行工作，在定義目標函數(shù)時，權(quán)重系數(shù)的分配在優(yōu)化設(shè)計中占據(jù)比較重要的地位，它反映目標的相對重要性涉及優(yōu)化目標的分配和目標函數(shù)的評價方向，如果設(shè)置合理，則可以達到理想的優(yōu)化效果，反之可能達不到預(yù)期的效果甚至出現(xiàn)失誤.從目前國內(nèi)外學(xué)者的研究狀況來看，大多數(shù)結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化正在從單目標、單工況拓撲優(yōu)化的問題向多目標、多工況優(yōu)化問題轉(zhuǎn)變，并且確定多工況權(quán)重系數(shù)的方法不再單一.目前，在眾多領(lǐng)域許多學(xué)者提出了不同的拓撲優(yōu)化方案，周智等[1]提出了一種以最小化柔度為單一的目標，多工況折衷規(guī)劃法對汽車前軸進行結(jié)構(gòu)輕量化設(shè)計；楊森等[2]以加權(quán)應(yīng)變能最小為目標，根據(jù)經(jīng)驗對典型工況設(shè)置權(quán)重，對商用車變速器殼體進行了拓撲優(yōu)化設(shè)計研究；高云凱等[3]通過正交試驗得到各子工況最優(yōu)權(quán)重系數(shù)組合，以加權(quán)柔度為目標函數(shù)，約束拓撲空間的質(zhì)量分數(shù)，進行多工況拓撲結(jié)構(gòu)優(yōu)化；羅震等[4]根據(jù)灰色理論建立了解決多工況問題的灰色-折衷規(guī)劃模型，減少了主觀因素對確定各工況權(quán)系數(shù)的干擾；秦欣等[5]基于熵權(quán)法確定各個評價指標所占權(quán)重，對汽車進氣歧管進行了多目標優(yōu)化；扶原放等[6]基于層次分析法以車身多工況權(quán)重剛度最大化為優(yōu)化目標，建立了微型電動車車身結(jié)構(gòu)多剛度拓撲優(yōu)化模型；袁林等[7]考慮碰撞工況，采用層次分析法確定靜態(tài)多工況下的最優(yōu)權(quán)重系數(shù)，對電動汽車電池箱進行了多目標拓撲優(yōu)化設(shè)計；康元春[8]同時考慮貨車車架靜態(tài)動態(tài)性能構(gòu)建了多目標優(yōu)化函數(shù)，并利用層次分析法確定目標函數(shù)中各工況的權(quán)重系數(shù)；蘭鳳崇等[9]定義了在實際行駛工況下綜合考慮車身結(jié)構(gòu)靜態(tài)剛度和動態(tài)振動頻率的目標函數(shù)，通過對比3種優(yōu)化方法，獲得了每種工況的最佳權(quán)重系數(shù)，完成了綜合目標優(yōu)化設(shè)計.但這些研究都很少同時考慮多目標、多工況以及使用多種方法確定權(quán)重系數(shù)的拓撲結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型，尤其在鐵路車輛結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用就更少了.

本文基于SIMP密度函數(shù)插值模型，使用正交試驗設(shè)計法、灰色關(guān)聯(lián)度法、熵權(quán)法和層次分析法4種不同方法確定目標函數(shù)中的權(quán)重系數(shù)，實現(xiàn)不同優(yōu)化方法在地鐵車座椅模型多工況剛度和動態(tài)固有頻率的多目標拓撲優(yōu)化研究中的應(yīng)用.

1 綜合目標拓撲優(yōu)化

1.1 多目標拓撲優(yōu)化方法的概述

對于非凸優(yōu)化問題來說，線性加權(quán)法和把多目標轉(zhuǎn)化為單目標優(yōu)化問題來求解的方法不能確保得到全部的帕雷托最優(yōu)解[10]，而折衷規(guī)劃法可以很好地解決該問題.確定多工況下目標函數(shù)的過程中，通常不同工況權(quán)重系數(shù)是設(shè)計者通過工況重要程度給出一個經(jīng)驗值，但是通過經(jīng)驗給出的權(quán)重系數(shù)往往受主觀因素的干擾，無法保證精確程度；當工況數(shù)量較多時，無法合理地對眾多工況做出判斷給出各工況的權(quán)重系數(shù)[9]，為了解決該問題本文采用正交試驗設(shè)計法，灰色關(guān)聯(lián)度法，熵權(quán)法和層次分析法4種方法確定目標函數(shù)中的權(quán)重系數(shù).建立帶有權(quán)重系數(shù)并綜合考慮靜態(tài)多工況剛度和動態(tài)固有頻率的多工況拓撲優(yōu)化模型，優(yōu)化設(shè)計分析流程如圖1所示.

圖1 基于不同方法確定權(quán)重系數(shù)的結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化流程

1.2 多目標拓撲優(yōu)化目標函數(shù)的確定

多剛度拓撲優(yōu)化問題通常是將剛度最大問題轉(zhuǎn)化為柔度最小問題，即單元應(yīng)變能最小，本文運用折衷規(guī)劃法以座椅結(jié)構(gòu)柔度的最小化作為目標優(yōu)化靜態(tài)剛度.動態(tài)固有頻率拓撲優(yōu)化是最大化低階的前幾階重要頻率，本文采用平均頻率公式來建立固有頻率拓撲優(yōu)化的目標函數(shù)：

(1)

1.3 拓撲優(yōu)化目標權(quán)重系數(shù)方法的確定

(1)正交試驗設(shè)計法

正交試驗設(shè)計分為試驗設(shè)計與數(shù)據(jù)處理兩部分[11].由正交設(shè)計表可獲得用于試驗的方案，對試驗結(jié)果進行計算分析，根據(jù)極差值由小到大選擇出最優(yōu)組合，經(jīng)過歸一化處理得到最終權(quán)重系數(shù).

(2)灰色關(guān)聯(lián)分析法

最優(yōu)解參考序列是通過數(shù)據(jù)整理得到，關(guān)聯(lián)分析各因素的比較序列與參考序列，利用灰色關(guān)聯(lián)度，判斷各因素與最優(yōu)解之間的關(guān)聯(lián)程度，從而給出該因素的權(quán)重系數(shù)[12].

(3)熵權(quán)法

熵權(quán)法的構(gòu)建過程包括樣本選擇、目標選擇、計算權(quán)重三個部分.首先采用歸一化方法將原始指標矩陣標準化得到標準化矩陣，定義第i個指標的熵之后，可以得到第i個指標的熵權(quán).

(4)層次分析法

根據(jù)各個工況的相對重要程度，建立權(quán)重比較矩陣，求解矩陣的最大特征值并計算矩陣的一致性判斷值[13].若符合一致性指標，則最大特征值對應(yīng)的特征向量即為所求的系數(shù)矩陣，歸一化處理后得到對應(yīng)的權(quán)重系數(shù).

2 地鐵車座椅模型的建立

2.1 有限元模型的建立

某地鐵車二人座椅主要由座椅支架、背部骨架及座椅椅面組成，材料有鋁板5083-H112和不銹鋼06Cr19Ni10兩種，二人座椅結(jié)構(gòu)有限元模型采用任意四節(jié)點薄殼單元，單元總數(shù)32 469，節(jié)點總數(shù)31 205，模型重量43.73 kg.位移約束二個支架及端部支架的螺栓孔位置區(qū)域，位移約束：x=0，y=0，z=0,三維有限元模型如圖2所示.二人座椅每個座椅承受100 kg的載荷，二人座椅共承受200 kg的載荷，均布在椅面上，加載面積為300×1 173 mm2，并考慮三個方向的加速度，工況如表1所示.

圖2 二人座椅有限元模型及位移約束示意圖

表1 二人座椅強度分析工況匯總

2.2 拓撲優(yōu)化模型的建立

本文對地鐵座椅進行拓撲優(yōu)化設(shè)計，以原座椅模型結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，綜合考慮本次優(yōu)化設(shè)計需求，優(yōu)化模型描述如下：

(1)優(yōu)化目標：各工況靜態(tài)柔度值最小及動態(tài)低階頻率最大；

(2)約束條件：以體積分數(shù)30%作為約束條件；

(3)設(shè)計變量：座椅支架，座椅椅面，座椅背部骨架單元相對密度.

2.3 權(quán)重系數(shù)的計算

一般來說，靜態(tài)剛度和動態(tài)頻率目標是一組相互矛盾的目標函數(shù)，當權(quán)重分配相差較大，剛度函數(shù)和頻率函數(shù)不一定能夠同時得到最優(yōu)解.出于這種考慮，在多目標拓撲優(yōu)化綜合目標函數(shù)中，取剛度目標函數(shù)的權(quán)重系數(shù)0.6，頻率目標函數(shù)的權(quán)重系數(shù)為0.4.

本文對工況選用的是三因素三水平的正交試驗，每一個工況即每種因素定為3個水平值，所取的水平見表2所示，所取的正交表應(yīng)為 L9(33)，通過賦值與歸一化處理得到最終實驗的9組方案，依次進行拓撲優(yōu)化.

表2 各因素水平表

分別將各工況的柔度作為灰色關(guān)聯(lián)度法中的比較序列，以及構(gòu)成熵權(quán)法中的原始指標矩陣.依照比較矩陣重要性參數(shù)定義水平表把所有工況進行兩兩對比，確定其相對重要程度[14]，得到層次分析法中的權(quán)重比較矩陣：

(2)

利用正交試驗設(shè)計法，灰色關(guān)聯(lián)度法，熵權(quán)法和層次分析法計算得到不同方法對應(yīng)的地鐵車二人座椅三個工況的權(quán)重系數(shù)如表3所示.

表3 不同方法對應(yīng)的權(quán)重系數(shù)

3 優(yōu)化結(jié)果計算與分析

由于權(quán)重系數(shù)的不同，綜合目標函數(shù)存在較大的差異，本文提出使用四種方法確定各個工況的權(quán)重系數(shù)，為了比較四種方法的優(yōu)劣，將四種方法得到的權(quán)重系數(shù)分別進行拓撲優(yōu)化，各目標函數(shù)的最終優(yōu)化結(jié)果如表4所示.

表4 不同方法對應(yīng)目標函數(shù)的優(yōu)化結(jié)果

四種方法建立的目標函數(shù)經(jīng)過迭代后收斂，實現(xiàn)了多工況柔度最小化和低階頻率最大化的目標.優(yōu)化后的各工況柔度達到最小值，在各工況柔度優(yōu)化值對比中，方法4的柔度優(yōu)化值比其他方法低，這表明每個工況剛度得到很大的提高，剛度特性變得更好；優(yōu)化后結(jié)構(gòu)低階頻率也都得到了提高，方法4的低階頻率值最高，具有更好的振動特性.

采用層次分析法建立的拓撲優(yōu)化模型，對地鐵車座椅進行多目標拓撲優(yōu)化計算.圖3給出優(yōu)化后的密度分布情況.

圖3 層次分析法優(yōu)化后的密度云圖

從密度云圖可以看出，座椅靠背部分密度值較小，可以在該處適當減少材料的分布，將座椅靠背處較少承受載荷的部分刪除,留橢圓形鏤空，進行二次設(shè)計后座椅柔度和頻率值與原模型對比結(jié)果如表5所示，由表5可知，優(yōu)化后地鐵座椅各工況柔度值均有所降低，頻率值有所增大，有較明顯的優(yōu)化效果.

表5 優(yōu)化前后地鐵車座椅柔度和頻率值對比

4 結(jié)論

(1)基于變密度法，考慮靜態(tài)剛度和動態(tài)頻率多目標及不同權(quán)重系數(shù)對不同工況的重要程度的影響建立了綜合目標函數(shù)拓撲優(yōu)化方法;

(2)通過正交試驗設(shè)計法，灰色關(guān)聯(lián)度法，熵權(quán)法和層次分析法，給出了地鐵座椅目標函數(shù)中不同的權(quán)重系數(shù)，減少了人為主觀因素造成的權(quán)重系數(shù)偏差，獲得了更加合理的拓撲優(yōu)化模型;

(3)采用層次分析法建立的拓撲優(yōu)化模型，根據(jù)密度云圖進行優(yōu)化設(shè)計后座椅工況1柔度降低13.42%，工況2柔度降低14.4%，工況3柔度降低8.95%，頻率值提高10%，優(yōu)化后地鐵座椅各工況柔度值均有所降低，頻率值有所增大，優(yōu)化效果較明顯;

(4)通過分析優(yōu)化結(jié)果可以看出四種模型均可以實現(xiàn)多工況多目標的拓撲優(yōu)化，綜合對比各工況柔度值和頻率值變化，由層次分析法確定的目標函數(shù)方法拓撲優(yōu)化結(jié)果優(yōu)于其他三種方法.因此，在結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設(shè)計中，在剛度特性不減弱的情況下，所設(shè)計的結(jié)構(gòu)有更好的動態(tài)頻率特性，從而為今后優(yōu)化鐵路車輛結(jié)構(gòu)提供了有益參考.