雷 力

（重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，重慶 401331）

三角函數(shù)是數(shù)學(xué)分析課程中重要的基本初等函數(shù)之一。在很多數(shù)學(xué)分析、高等數(shù)學(xué)教材中，三角函數(shù)的定義都是沿用中學(xué)數(shù)學(xué)的定義[1-2]。

在初中數(shù)學(xué)課程中，我們是用直角三角形的各邊長(zhǎng)之比來(lái)定義三角函數(shù)的，直角三角形的一個(gè)銳角的對(duì)邊與斜邊之比稱為這個(gè)角的正弦，它的鄰邊與斜邊之比稱為這個(gè)角的余弦。在高中數(shù)學(xué)課程中，我們又將三角函數(shù)的定義域從銳角推廣到了任意角。建立平面直角坐標(biāo)系xOy，將射線Ox繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn) 角，角的正負(fù)由旋轉(zhuǎn)方向所決定，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)為負(fù)，設(shè)所得射線與圓心在O點(diǎn)的單位圓相交于點(diǎn)A。我們定義角 的正弦為點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，角 的余弦為點(diǎn)A的橫坐標(biāo)。我們知道，平面上任意一點(diǎn)繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°所到的位置與原來(lái)的位置關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱，任意一點(diǎn)繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)360°就回到原來(lái)的位置。所以正弦函數(shù)與余弦函數(shù)都是周期函數(shù)，并且自變量每增加半個(gè)周期函數(shù)值就改變一次符號(hào)。

在數(shù)學(xué)研究中，我們通常使用弧度制來(lái)衡量角的大小，所謂弧度制是用弧長(zhǎng)與半徑之比作為對(duì)應(yīng)圓心角的角度。這樣，任意一個(gè)角就可以用一個(gè)實(shí)數(shù)來(lái)表示它的大小，而正弦函數(shù)與余弦函數(shù)則是定義在整個(gè)實(shí)數(shù)集上的實(shí)值周期函數(shù)。

然而前面所述的三角函數(shù)定義是高度依賴幾何直觀的，其中角的構(gòu)成我們用到了“旋轉(zhuǎn)”這樣的平面變換，角的大小我們用了圓弧的長(zhǎng)度來(lái)度量。這些是我們還未曾定義的概念。數(shù)學(xué)分析這門課程，是以實(shí)數(shù)理論為基礎(chǔ)的對(duì)古典微積分的嚴(yán)格化。因此，在數(shù)學(xué)分析課程中采用中學(xué)數(shù)學(xué)的三角函數(shù)定義是不嚴(yán)密的.本文將通過定積分給出三角函數(shù)一個(gè)分析上嚴(yán)格的定義。

接下來(lái)我們考慮如何嚴(yán)格定義余弦函數(shù)與反余弦函數(shù).如圖1所示，設(shè)上半平面，坐標(biāo)為。則弧的方程為

圖1

這是一個(gè)無(wú)界函數(shù)的反常積分，由比較判別法可知它是收斂的。

一些數(shù)學(xué)分析教材采用冪級(jí)數(shù)展開式(11)與(12)作為正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的定義[3][4]。前面的推導(dǎo)過程表明這種使用冪級(jí)數(shù)展開式給出的定義與我們通過定積分給出的定義是一致的。但正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的冪級(jí)數(shù)定義體現(xiàn)不出它們的幾何意義，本文所采用的定義不僅具備嚴(yán)格性，也保留了三角函數(shù)的幾何直觀。