張舒蕾，李冰杰，蔣健，董新宇，2，劉璐，2

（1 華北電力大學動力工程系，河北 保定 071003； 2華北電力大學，河北省低碳高效發(fā)電技術(shù)重點實驗室，河北 保定 071003）

引 言

固體基底上固著液滴的蒸發(fā)廣泛應用于化工[1-2]、噴淋冷卻[3-4]、電子器件散熱[5-6]等領(lǐng)域。液滴蒸發(fā)過程包含的傳熱傳質(zhì)機制有：基底內(nèi)部導熱、液滴內(nèi)部由于溫度梯度和表面張力梯度而產(chǎn)生的對流、液滴與基底間界面換熱、液滴周圍蒸氣的傳質(zhì)擴散，以及蒸發(fā)引起的氣液界面演化[7]。其中，需要考慮的問題涉及三相接觸線動力學、界面演化、液滴內(nèi)部Marangoni流動等。

近年來，對固著液滴蒸發(fā)過程的研究多集中于工質(zhì)種類[8-9]、基底性質(zhì)[10-11]及外界環(huán)境[12-15]等因素對液滴蒸發(fā)特性的影響，主要分為實驗研究和理論研究兩個方面。實驗研究方面，Rowan等[8]實驗研究發(fā)現(xiàn)，聚甲基丙烯酸甲酯表面上水滴和特氟龍表面上的醇類液滴蒸發(fā)過程的高度和接觸角均隨時間線性變化，當初始接觸角小于90°時，蒸發(fā)初始階段為恒定接觸半徑蒸發(fā)模式。閆鑫等[9]研究了金納米流體液滴的蒸發(fā)模式，發(fā)現(xiàn)納米粒子在接觸線上的沉淀導致接觸線釘扎，蒸發(fā)過程中接觸角不斷減小。金艷艷等[10]選用單晶硅片和聚四氟乙烯膜作為基底，采用四種濃度的乙醇水溶液，研究了水-乙醇二元混合液滴在固體表面上的蒸發(fā)規(guī)律。實驗結(jié)果表明，添加乙醇縮短了液滴的蒸發(fā)時間，減弱了液滴的釘扎效應，使得液滴更容易發(fā)生滑移。Gurrala等[11]實驗研究了不同基底溫度下乙醇-水二元混合物固著液滴的蒸發(fā)特性，發(fā)現(xiàn)提高基底溫度會迅速降低液滴壽命。Liu 等[15]進行了降壓過程中固著水滴蒸發(fā)的實驗和理論研究，結(jié)果表明，由于基底的潤濕性不同，水滴在載玻片表面蒸發(fā)最快，在特氟龍表面蒸發(fā)最慢。理論研究方面，董佰揚等[16]通過引入動態(tài)接觸角模型模擬液滴蒸發(fā)過程，分析了液滴體積和接觸角隨時間的變化。Nguyen等[17]采用分離變量法求解了液滴蒸發(fā)準穩(wěn)態(tài)傳熱擴散與傳質(zhì)擴散的雙向耦合模型，提出了固著液滴蒸發(fā)與界面蒸發(fā)冷卻效應耦合的解析解。Zhu 等[18]建立了恒定接觸角蒸發(fā)模式下固著液滴的三維蒸發(fā)模型，該模型可直接通過局部蒸發(fā)通量計算液滴界面演化。Shen等[19]對固著液滴蒸發(fā)過程進行了理論分析和數(shù)值模擬，研究了接觸角、蒸發(fā)冷卻效應和基底過熱對液滴蒸發(fā)的影響。

盡管學者們對固著液滴蒸發(fā)過程開展了大量研究，但大多集中于水平剛性基底上的液滴蒸發(fā)現(xiàn)象，而對于固著液滴在曲面基底上的研究則較少涉及。液滴在曲面基底上的蒸發(fā)現(xiàn)象在工業(yè)生產(chǎn)中非常常見，例如：液滴撞擊加熱管壁的汽化過程、內(nèi)燃機燃料液滴撞擊彎曲壁面的汽化過程等[20]。對于曲面基底，基底導熱[21]、液滴周圍蒸氣擴散[22-24]和界面演化[25-28]對液滴蒸發(fā)的影響與平面基底存在差異。Dhar等[21]研究了超疏水表面上的固著液滴蒸發(fā)過程中其內(nèi)部流動速度與基底表面曲率的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)增加基底曲率可以提高液滴內(nèi)部流速。Paul 等[24]研究了固著液滴在親水和超疏水彎曲表面上的蒸發(fā)過程，利用粒子圖像測速技術(shù)獲得了蒸發(fā)液滴內(nèi)部的流場，并分析了彎曲基底上液滴蒸發(fā)的形態(tài)變化。Petsi等[26]研究了在彎曲和水平恒溫基底上的二維固著液滴蒸發(fā)過程其內(nèi)部溫度分布，發(fā)現(xiàn)液滴在凸面基底上的溫度變化大于在水平和凹面基底上的溫度變化。Shen等[27]建立了固著液滴在彎曲基底上蒸發(fā)的傳熱傳質(zhì)理論模型，采用環(huán)形坐標系將蒸發(fā)傳質(zhì)與氣/液界面?zhèn)鳠岷凸?液界面?zhèn)鳠崛唏詈希治隽苏舭l(fā)冷卻效應、基底熱導率和液滴初始形狀對蒸發(fā)過程的影響。

針對曲面基底上液滴蒸發(fā)特性的研究還較少，且對于凸面恒溫基底上液滴蒸發(fā)傳熱傳質(zhì)理論模型缺乏實驗驗證。本文搭建凸面恒溫基底上蒸餾水液滴蒸發(fā)的可視化實驗系統(tǒng)，研究液滴蒸發(fā)模式，采用紅外熱像儀捕獲液滴表面溫度分布。采用環(huán)形坐標系建立凸面恒溫基底上固著液滴蒸發(fā)的傳熱傳質(zhì)模型，在Shen 等[27]研究的基礎(chǔ)上，理論推導液滴內(nèi)部溫度分布以及周圍蒸氣濃度分布的解析解。將模型計算結(jié)果與實驗結(jié)果對比，驗證模型的可靠性。

1 實驗系統(tǒng)

本文搭建了凸面恒溫基底上固著液滴蒸發(fā)的可視化實驗系統(tǒng)，如圖1所示。該系統(tǒng)由加熱模塊、溫度控制模塊以及圖像采集模塊組成。加熱模塊包括不同曲率直徑的銅圓柱（D0=20、30、40 mm）和加熱棒（額定功率80 W）；溫度控制模塊包括PID 溫度控制器和熱電偶，用于控制基底表面溫度，其中PID 溫度控制器精度為0.1℃，熱電偶的絕對測量誤差為±0.2℃；圖像采集模塊包括CMOS 相機、紅外熱成像儀和冷光源。

其中，CMOS 相機（Point Grey，分辨率1280×960，幀率90 幀/秒）記錄液滴蒸發(fā)過程中的形態(tài)演變，紅外熱成像儀（FLIR T620，絕對測量誤差±2℃，幀率60 幀/秒）記錄液滴表面溫度分布。為確保紅外熱像儀捕獲溫度的準確性，在加熱銅柱表面貼一層厚度為10 μm 的親水性黑膜（Nitto UTD-10B），黑膜表面粗糙度Ra= 0.023 μm。實驗中，在銅柱側(cè)面做好中心位置標定，使用ImageJ 軟件對圖像進行分析處理，測量誤差為0.026 mm。實驗采用蒸餾水作為液滴工質(zhì)，初始體積為1、3 和5 μl，基底溫度分別為62.6、72.6、82.6℃，環(huán)境溫度為（26.3±0.2）℃，相對濕度為52%±3%。實驗過程中，通過恒溫恒濕空調(diào)調(diào)節(jié)實驗室內(nèi)溫濕度恒定，盡可能減小環(huán)境因素變化對實驗過程的影響。每組工況實驗重復3 次，保證實驗的可重復性。

2 理論模型

對于曲面基底，引入圓環(huán)坐標系(α,β)以描述液滴蒸發(fā)過程的界面演化，如圖2 所示。液滴/基底界面和液滴/空氣界面分別由（0 ≤α＜∞,π -θsub）和（0 ≤α＜∞,π -θ）進行描述。其中，θ和θsub分別為液滴球冠、基底球冠與水平面在接觸線上的夾角；R為液滴接觸半徑；T∞和C∞分別為無窮遠處環(huán)境溫度和蒸氣濃度；Tw為基底表面溫度；iα和iβ分別為沿α軸和β軸方向的單位向量。

圖2 物理模型示意圖[27]Fig.2 Schematic diagram of physical model[27]

邊界條件為：

傳熱與傳質(zhì)耦合的邊界條件為：

式中，q為熱通量；L為液滴的汽化潛熱；J為液滴/空氣界面處的蒸發(fā)通量。

對上述方程進行求解可得[27]：

式中，E0為蒸發(fā)冷卻數(shù)（E0=bLD/k），b= dCsat/dT，k為液滴熱導率，D為蒸氣在空氣中的擴散系數(shù)[29]。當E0= 0時，不考慮蒸發(fā)冷卻效應。

液滴的質(zhì)量蒸發(fā)率為：

其中

3 結(jié)果與分析

3.1 實驗結(jié)果

3.1.1 液滴形態(tài)變化 圖3 所示為基底溫度為72.6℃時5 μl 固著水滴在凸面基底上蒸發(fā)過程的形態(tài)變化，圖4 為凸面基底上不同初始體積的液滴接觸半徑隨蒸發(fā)時間的變化。

圖3 凸面基底上固著水滴蒸發(fā)過程的形態(tài)演化（V0 = 5 μl，Tw = 72.6℃，D0 = 40 mm）Fig.3 Morphological evolution of sessile water droplet evaporation on convex substrate(V0 = 5 μl，Tw = 72.6℃，D0 = 40 mm)

圖4 凸面基底上不同初始體積固著水滴蒸發(fā)過程接觸半徑隨時間的變化（Tw = 72.6℃，D0 = 40 mm）Fig.4 Variation of contact radius with time during sessile water droplet evaporation with different initial volumes on convex substrate(Tw = 72.6℃，D0 = 40 mm)

分析圖3、圖4 可得：水滴在凸面基底上蒸發(fā)分為三個階段，即鋪展階段、恒定接觸半徑蒸發(fā)階段和混合蒸發(fā)階段。鋪展階段指液滴在基底上鋪展直至最大接觸半徑，當液滴體積分別為1、3、5 μl時，其最大鋪展半徑分別為0.71、1.46、2.05 mm，鋪展階段占總蒸發(fā)時間的比例為4.3%、3.2%、2.8%。恒定接觸半徑蒸發(fā)階段指液滴在蒸發(fā)過程中接觸半徑保持不變而接觸角不斷減小，當液滴體積分別為1、3、5 μl 時，該階段占液滴總蒸發(fā)時間比例分別為89.3%、92.5%、93.7%?；旌险舭l(fā)階段指液滴接觸半徑和接觸角均隨時間不斷減小，液滴接觸線開始“去釘扎”，當液滴體積分別為1、3、5 μl時，混合蒸發(fā)階段占總蒸發(fā)時間的比例為6.4%、4.3%、3.5%。綜合來看，凸面恒溫基底上蒸餾水液滴的蒸發(fā)主要遵循恒定接觸半徑蒸發(fā)模式。

為對比凸面與平面基底上液滴蒸發(fā)的區(qū)別，進行基底溫度為72.6℃時5 μl固著水滴在平面基底上的蒸發(fā)實驗。圖5所示為液滴蒸發(fā)過程中的形態(tài)變化，圖6 為兩種不同基底表面上液滴蒸發(fā)過程的接觸半徑隨時間的變化。可以看出，平面基底上的水滴鋪展后，進入恒定接觸半徑蒸發(fā)階段，其后接觸線緩慢收縮，蒸發(fā)后期接觸線快速收縮直至液滴完全蒸發(fā)。相較于凸面基底，平面基底上的液滴最大鋪展半徑較小，釘扎時間縮短，總蒸發(fā)時間較長。這是由于基底表面曲率的存在促進了液滴的鋪展，同時延緩了接觸線收縮行為的發(fā)生。凸面基底上液滴的鋪展面積較大，增強了基底向氣液界面的傳熱，提高了液滴的蒸發(fā)速率。

圖5 平面基底上固著水滴蒸發(fā)過程的形態(tài)演化（V0 = 5 μl，Tw = 72.6℃）Fig.5 Morphological evolution of evaporation process of sessile water droplet on flat substrate(V0 = 5 μl，Tw = 72.6℃)

圖6 不同基底表面上固著水滴蒸發(fā)過程接觸半徑隨時間的變化（V0 = 5 μl，Tw = 72.6℃）Fig.6 Variation of contact radius with time during water droplet evaporation on different substrate surfaces(V0 = 5 μl，Tw = 72.6℃)

3.1.2 液滴表面溫度分布 圖7所示為凸面基底溫度72.6℃時，5 μl 蒸餾水液滴蒸發(fā)過程的紅外熱成像圖。蒸餾水在紅外熱像儀的工作波段下發(fā)射率為0.96，接近1[30]，故可認為紅外熱像儀所測溫度為液滴表面溫度。從圖中可以看出，當液滴鋪展到最大半徑后，液滴表面沿徑向有較大溫度梯度，沿液滴表面從中心到接觸線方向溫度單調(diào)遞增，液滴表面中心溫度最低。由于液滴蒸發(fā)冷卻作用，接觸線附近基底溫度明顯低于周圍基底溫度。隨后，液滴內(nèi)部整體溫度升高，徑向溫度梯度減小，接觸線附近基底溫度與周圍基底溫度差值減小。這是由于液滴接觸角減小，液滴氣液界面與基底表面之間的距離減小，從而促進了從基底到氣液界面的傳熱，造成液滴溫度升高，表面整體溫度趨于均勻。當進行到蒸發(fā)后期，液滴整體表面溫度分布均勻，接觸線附近基底溫度接近周圍基底溫度。

圖7 凸面基底上固著水滴蒸發(fā)過程的紅外熱成像圖（V0 = 5 μl，Tw = 72.6℃，D0 = 40 mm）Fig.7 Infrared thermography of evaporation process of water droplets on convex substrate(V0 = 5 μl，Tw = 72.6℃，D0 = 40 mm)

3.2 模型計算結(jié)果

3.2.1 影響液滴蒸發(fā)速率的因素 使用Matlab 軟件對理論模型進行計算，圖8對不同液滴初始體積、凸面基底溫度及凸面基底曲率下液滴蒸發(fā)體積變化的模型計算值與實驗結(jié)果進行了比較。圖中，將液滴體積無量綱化處理，V為液滴剩余體積，V0為液滴初始體積。

圖8（a）比較了液滴初始體積對液滴蒸發(fā)過程的影響。可以看出，當不考慮蒸發(fā)冷卻效應即E0= 0時，液滴體積變化速率較實驗結(jié)果更快，液滴蒸發(fā)時間更短，這與Xu 等[31]的理論分析結(jié)果相一致，表明模型考慮蒸發(fā)冷卻效應可使計算結(jié)果更加準確。

圖8（b）比較了凸面基底溫度對液滴蒸發(fā)過程的影響。根據(jù)計算，當基底溫度為62.6、72.6、82.6℃時，蒸發(fā)冷卻數(shù)E0的取值分別為0.52、0.72、0.95。如圖所示，隨著基底溫度的升高，液滴的蒸發(fā)速率加快。這是由于基底溫度越高，氣液界面溫度也越高，液滴蒸氣濃度越大，蒸發(fā)速率越快。

圖8 模型計算值與實驗值的比較Fig.8 Comparison between calculated results and experimental data

圖8（c）比較了凸面基底曲率對液滴蒸發(fā)過程的影響?？梢钥闯觯敾浊手睆紻0= 20 mm時，液滴蒸發(fā)速率最快。這是由于基底曲率直徑越小，液滴重力沿基底切向的分力越大，使得液滴在凸面上的鋪展半徑更大，基底向氣液界面的傳熱增強，加快了液滴的蒸發(fā)。

由圖8 可以看出，模型計算值與實驗結(jié)果吻合較好，驗證了本文模型的可靠性。

3.2.2 液滴內(nèi)部溫度分布 圖9所示為凸面基底上液滴蒸發(fā)過程的內(nèi)部溫度分布。由于本文模型不考慮液滴鋪展過程，故模型計算的初始時刻為液滴鋪展到最大接觸半徑的時刻。圖中t?為無量綱蒸發(fā)時間。可以看出，由于液滴/基底界面與液滴/空氣界面之間的距離沿徑向遞減，導致液滴徑向產(chǎn)生較大溫度梯度，且溫度從液滴中心向接觸線方向遞增。此外，由于液滴沿高度方向距離越大，氣液界面與基底間的熱阻就越大，基底熱量無法迅速傳遞至液滴頂部[27]，液滴內(nèi)部沿高度方向產(chǎn)生較大溫度梯度，從接觸線到液滴頂部溫度逐漸減小，最低溫度位于液滴頂部中心位置。隨著蒸發(fā)不斷進行，液滴厚度減小，固液接觸角逐漸減小，加快了基底與液滴間的傳熱，使得液滴內(nèi)部溫度梯度減小，整體溫度分布趨于均勻，最終接近基底表面溫度。

圖9 模型計算液滴內(nèi)部溫度分布（V0 = 5 μl，Tw = 72.6℃，D0 = 40 mm）Fig.9 Temperature distribution of droplet evaporation calculated by the model(V0 = 5 μl，Tw = 72.6℃，D0 = 40 mm)

圖10 對比了不同曲率直徑基底表面上液滴氣液界面過余溫度的模型計算值與實驗結(jié)果。可以看出，當凸面曲率直徑D0= 20 mm 時，液滴頂部中心溫度更高，且液滴的徑向溫度梯度更小。這是由于液滴鋪展半徑的增大縮短了液滴氣液界面到基底的距離，增強了基底向氣液界面的傳熱，使得氣液界面溫度分布更為均勻。此外，液滴氣液界面處的過余溫度沿液滴表面從中心到接觸線方向單調(diào)遞增。隨著蒸發(fā)過程的進行，液滴體積逐漸減小，液滴內(nèi)部整體溫度趨于均勻。

圖10 不同曲率直徑基底上液滴氣液界面過余溫度計算值與實驗值的對比（V0 = 5 μl，Tw = 72.6℃）Fig.10 Comparison between calculated and experimental values of excess temperature of liquid droplet gas-liquid interface on substrates with different curvature diameters(V0 = 5 μl，Tw = 72.6℃)

4 結(jié) 論

本文搭建了凸面恒溫基底上的蒸餾水液滴蒸發(fā)可視化實驗系統(tǒng)，捕獲了液滴蒸發(fā)過程形態(tài)變化和液滴表面溫度分布?；诃h(huán)形坐標系建立了凸面恒溫基底上固著液滴蒸發(fā)的傳熱傳質(zhì)模型，推導出液滴內(nèi)部溫度分布及其周圍蒸氣濃度分布的解析解。將實驗數(shù)據(jù)與模型結(jié)果進行對比，驗證了模型計算的可靠性。分析了凸面恒溫基底上蒸餾水液滴的蒸發(fā)特性，得到如下結(jié)論。

（1）模型計算中，需考慮蒸發(fā)冷卻，使模型計算結(jié)果與實驗值吻合較好。同時，提高基底溫度和減小基底曲率直徑均可加快液滴蒸發(fā)速率。

（2）相較于平面基底，凸面基底上液滴的鋪展半徑更大，釘扎時間延長，總蒸發(fā)時間減小，液滴蒸發(fā)主要遵循恒定接觸半徑蒸發(fā)模式。

（3）凸面基底曲率直徑越小，液滴蒸發(fā)過程內(nèi)部徑向溫度梯度越小。這是由于液滴鋪展半徑的增大縮短了液滴氣液界面到基底的距離，增強了基底向氣液界面的傳熱，使得氣液界面溫度分布更為均勻。液滴氣液界面過余溫度從中心到接觸線方向單調(diào)遞增。隨著蒸發(fā)過程的進行，液滴整體溫度分布趨于均勻。

符 號 說 明

Ce——接觸線處液滴的飽和蒸氣濃度，mol/L

C∞——無窮遠處環(huán)境中的蒸氣濃度，mol/L

D——蒸氣在空氣中的擴散系數(shù)，m2/s

D0——凸面基底曲率直徑，mm

E0——蒸發(fā)冷卻數(shù)

iα(iβ)——沿α(β)軸方向的單位向量

J——液滴/空氣界面處的蒸發(fā)通量，kg/(m2·s)

k——液滴熱導率，W/(m·K)

L——液滴汽化潛熱，kJ/kg

dm/dt——質(zhì)量蒸發(fā)率，kg/s

q——熱通量，W/m2

R——三相接觸線接觸半徑，mm

Tw——基底上表面溫度，K

T∞——無窮遠處環(huán)境中的溫度，K

T(α,β)——液滴內(nèi)部溫度值，K

V——液滴體積，mm3

θ——液滴球冠與水平面在接觸線上的夾角，rad

θsub——基底球冠與水平面在接觸線上的夾角，rad

下角標

sub——基底

w——壁面