徐永會 楊德智 劉芳名

（陸軍炮兵防空兵學(xué)院 合肥 230031）

1 引言

基于傅立葉變換的相位相關(guān)算法因運(yùn)算速度快且準(zhǔn)確，廣泛應(yīng)用于圖像配準(zhǔn)。由Chen和Reddy等提出的基于Fourier-Mellin變換的算法［1］，對產(chǎn)生位移、尺度變異的圖像配準(zhǔn)效果較好，但在處理旋轉(zhuǎn)、縮放圖像時(shí)，與匹配參數(shù)對應(yīng)正確度差。后由Stone等提出“旋轉(zhuǎn)引起混疊影響對配準(zhǔn)精度”的觀點(diǎn)［2］，有效解決了360°范圍內(nèi)的旋轉(zhuǎn)參數(shù)求解問題。本文將Fourier-Mellin變換與互信息相結(jié)合，提出在對數(shù)極坐標(biāo)和頻率域中尋求最大互信息進(jìn)行圖像配準(zhǔn)。

2 傅立葉變換及相位相關(guān)法

基于傅立葉變換的相位相關(guān)法是通過傅立葉變換，實(shí)現(xiàn)圖像的空域變換到頻域，數(shù)據(jù)運(yùn)算隨之轉(zhuǎn)為頻率域乘法運(yùn)算［4］。根據(jù)在空域上圖像平移在頻率域中表現(xiàn)為相位差的特性，計(jì)算兩幅圖像的互功率譜，從而得到圖像的位移量。

假設(shè)兩幅圖像 f1(x,y)和 f2(x,y)，f2(x,y)是f1(x,y)由經(jīng)過簡單的平移(x0,y0)得到，即：

根據(jù)傅立葉變換的性質(zhì)可得：

式中 F1(μ,ν)和 F2(μ,ν)分別為 f1(x,y)和 f2(x,y)的傅立葉變換。它們的互功率譜為

通過對互能量譜進(jìn)行傅立葉反變換，得到的單位脈沖函數(shù)δ(x-x0,y-y0)，根據(jù)該函數(shù)出現(xiàn)的尖銳峰值，求得圖像的相對平移量x0和 y0。函數(shù)式經(jīng)過傅立葉反變換，生成脈沖峰值群，而最大峰值對應(yīng)的位置，就是要求得的相對平移量，這種方法稱為Fourier相位相關(guān)法［5］。

3 對數(shù)極坐標(biāo)變換

在進(jìn)行圖像配準(zhǔn)采用對數(shù)極坐標(biāo)變換時(shí)，將圖像點(diǎn)完成由直角坐標(biāo)系向?qū)?shù)極坐標(biāo)系映射后，圖像的尺度與旋轉(zhuǎn)保持不變，由此分析解決問題［5］，如圖1所示。以直角坐標(biāo)系中圖像的中心點(diǎn)為原點(diǎn)，以到中心點(diǎn)的極距ρ和極角θ為坐標(biāo)軸，對極距ρ取對數(shù)，得到圖像的對數(shù)極坐標(biāo)。從圖像的直角坐標(biāo)(x,y)映射到對數(shù)極坐標(biāo)(log(ρ),θ)。圖像的任意一點(diǎn)(x,y)都可表示為

極坐標(biāo)變換，如圖1（a）為圖像的直角坐標(biāo)表示，圖像的極坐標(biāo)表示如圖1（b）。圖1（a）中區(qū)域A、B、C表示相同的極角所對應(yīng)的圖像區(qū)域，圖1（b）對應(yīng)相同的縱坐標(biāo) θ 值；圖1（a）中區(qū)域D、E、F表示相同的極距所對應(yīng)的圖像區(qū)域，在圖1（b）對應(yīng)相同的橫坐標(biāo)ρ值。

圖1 直角坐標(biāo)到極坐標(biāo)的映射表示

將上述圖像的極坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到對數(shù)極坐標(biāo)系，縱軸極角θ不變，橫坐標(biāo)極距ρ取對數(shù)得到γ，即γ=log(ρ)。在圖1（a）中將圖像放大 λ倍，對應(yīng)的圖（b）中沿橫軸方向放大λ倍；在對數(shù)極坐標(biāo)中，由γ=log(ρ)得，有 γ=log(λρ)=log(λ)+log(ρ)，即圖像沿橫軸γ移動(dòng)了log(λ)。綜上所述，經(jīng)對數(shù)極坐標(biāo)變換后，圖像在對數(shù)極坐標(biāo)系中具有保持尺度與旋轉(zhuǎn)不變的特性。

據(jù)此總結(jié)，圖像由直角坐標(biāo)系變換為對數(shù)極坐標(biāo)系，是均勻性向非均勻的轉(zhuǎn)換，需要離散化處理距離軸，即首先將像素點(diǎn)從直角坐標(biāo)系變換到極坐標(biāo)系，再映射為橫軸γ；角度軸映射是將一組徑向直線均勻映射為 θ 軸［6］。

4 基于對數(shù)極坐標(biāo)變換的相位相關(guān)法

當(dāng)兩幅圖像只存在縮放尺度和旋轉(zhuǎn)變換時(shí)，可以將圖像對數(shù)極坐標(biāo)系下進(jìn)行傅立葉變換和相位相關(guān)計(jì)算［7］，得到圖像的縮放尺度和旋轉(zhuǎn)角度。

設(shè)兩圖 f1(x,y)和 f2(x,y)在直角坐標(biāo)系中尺度變換參數(shù)為λ、旋轉(zhuǎn)變換角度為φ：

經(jīng)對數(shù)極坐標(biāo)變換：

從上式中可以看出，經(jīng)過對數(shù)極坐標(biāo)變換后f2(logρ,θ)相對于 f1(logρ,θ)只存在平移關(guān)系，因此，可以利用相位相關(guān)法［7］獲得logλ和旋轉(zhuǎn)角度φ，進(jìn)一步獲得縮放尺度λ和旋轉(zhuǎn)角度φ。

5 基于Fourier-Mellin變換的圖像配準(zhǔn)

設(shè)兩圖 f1(x,y)和 f2(x,y)在直角坐標(biāo)系中平移變換(x0,y0)、尺度變換λ、旋轉(zhuǎn)變換角度φ：

對 f1(x,y)和 f2(x,y)進(jìn)行圖像配準(zhǔn)的步驟［8～10］如下：

1）根據(jù)傅立葉平移、旋轉(zhuǎn)和縮放定理：進(jìn)行傅立葉變換，得到 F1(μ,ν)和 F2(μ,ν)。

2）對 F1(μ,ν)和 F2(μ,ν)進(jìn)行高通濾波處理，得到F′1(μ,ν)和 F′2(μ,ν)。

3）對 F′1(μ,ν)和 F′2(μ,ν)求模計(jì)算，得到幅度譜 M1(μ,ν)和 M2(μ,ν)。

4）對幅度譜 M1(μ,ν)和 M2(μ,ν)進(jìn)行對數(shù)極坐標(biāo)變換，得到 LPM1(ξ,θ)和 LPM2(ξ,θ)。

因此采用相位相關(guān)算法［7］可求得d和φ，再通過變換即可得到尺度因子λ和旋轉(zhuǎn)角度φ。

5）計(jì)算 LPM1(ξ,θ)和 LPM2(ξ,θ)的互功率譜，得到縮放尺度λ和旋轉(zhuǎn)角度φ。

根據(jù)傅立葉變換的平移特性，計(jì)算LPM1(ξ,θ)和LPM2(ξ,θ)的互功率譜。先進(jìn)行傅立葉變換，得到 FLPM1(μ,ν)和 FLPM2(μ,ν)，再由 LPM2(ξ,θ)=LPM1(ξ-d,θ-φ)可得：

互功率譜為：

FLPM*2(μ,ν) 為 FLPM2(μ,ν) 的 復(fù) 共 軛 ；e-j(μd+ν?)的 傅 立 葉 反 變 換 為 二 維 脈 沖 函 數(shù)δ(x-d,y-?)，該函數(shù)偏移位置有明顯的尖銳峰值，據(jù)此特性相對平移量d和φ，得到縮放尺度λ=ed，旋轉(zhuǎn)角度φ。

6）根據(jù)縮放尺度 λ和旋轉(zhuǎn)角度φ，對圖像f2(x,y)進(jìn)行縮放、旋轉(zhuǎn)變換，得到 f′2(x,y)

7）計(jì)算 f1(x,y)和 f′2(x,y)的互功率譜，得到平移參數(shù)(x0,y0)。

根據(jù)傅立葉變換的性質(zhì)［5］可得：

互功率譜為

8）對 f2(x,y)以平移(x0,y0)、縮放 λ、旋轉(zhuǎn) φ進(jìn)行變換，得到配準(zhǔn)后的圖像 f″2(x,y)。

6 引入互信息Fourier-Mellin變換的圖像配準(zhǔn)

上述的Fourier-Mellin變換在圖像變換參數(shù)較小時(shí)，具有良好的配準(zhǔn)效果。當(dāng)圖像縮放尺度變大時(shí)，導(dǎo)致Fourier-Mellin系數(shù)失真。為此，對Fouri?er-Mellin變換進(jìn)行改進(jìn)，引入互信息計(jì)算［11～12］，通過尋求最大互信息，得到平移參數(shù)，繼而計(jì)算出縮放和旋轉(zhuǎn)參數(shù)，計(jì)算過程如圖2所示。

圖2 基于對數(shù)極坐標(biāo)和頻率域的互信息圖像配準(zhǔn)流程圖

1）在參考圖像 f1(x,y)中心片截取一個(gè)小的區(qū)域I1(x,y)；

2）計(jì)算 I1(x,y)的對數(shù)極坐標(biāo)變換 T1(γ,θ)及其對應(yīng)的傅立葉變換 F1(μ,υ)；

3）在待配準(zhǔn)圖像 f2(x,y)中任意位置，以(x,y)為中心截取大小相同的小區(qū)域I2(x,y)；

4）計(jì)算 I2(x,y)的對數(shù)極坐標(biāo)變換 T2(γ,θ)及其對應(yīng)的傅立葉變換 F2(μ,υ)；

5）計(jì) 算 F1(μ,υ) 和 F2(μ,υ) 的 互 功 率 譜P(μ,ν)，再對互功率譜作傅氏反變換 A(γ,θ)；

6）在 A(γ,θ)中找出數(shù)值最大的位置 (λ,φ)及其數(shù)值σ，以 A(γ,θ)為大小構(gòu)建一個(gè)脈沖位置在(λ,φ) ，大 小 為 σ 的 理 想 二 維 脈 沖 信 號B(γ-λ,θ-φ)。

7）計(jì)算 A(γ,θ)和 B(γ-λ,θ-φ)的互信息，得到互信息量H。

8）取互信息量H最大值所對應(yīng)的I2(x,y)的中心位置(x0,y0)和二維脈沖位置(λ0,φ0)，則得到待配準(zhǔn)圖像的平移參數(shù)為(x0,y0)，縮放尺度為，旋轉(zhuǎn)角度為φ0。

9）根據(jù)得到的圖像平移、縮放、旋轉(zhuǎn)參數(shù)，對圖像 f2(x,y)進(jìn)行相似變換，求得 f′2(x,y)。

7 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為檢驗(yàn)改進(jìn)后的圖像配準(zhǔn)算法的有效性，對引入互信息Fourier-Mellin變換的圖像配準(zhǔn)（簡稱改進(jìn)算法）與標(biāo)準(zhǔn)的基于Fourier-Mellin變換圖像配準(zhǔn)（簡稱標(biāo)準(zhǔn)算法）進(jìn)行比較，設(shè)計(jì)如下實(shí)驗(yàn)。在Intel? Core?2 Quad CPU Q8400@2.66GHZ、2.00GB內(nèi)存的個(gè)人計(jì)算機(jī)，操作系統(tǒng)為Windows XP，用Matlab編程語言。對同時(shí)存在旋轉(zhuǎn)、縮放和平移變換關(guān)系的Bomb圖像進(jìn)行圖像配準(zhǔn)測試。如圖3（a）為大小為 352×288Bomb的灰度圖像，圖3（b）、圖 3（c）、圖3（d）為3幅待配準(zhǔn) Bomb圖像，分別稱為Bomb1、Bomb2、Bomb3。它們均是在原 Bomb圖像基礎(chǔ)上進(jìn)行縮放、旋轉(zhuǎn)和平移變換得到的，變換參數(shù)如表1所示。分別采用上述改進(jìn)算法和標(biāo)準(zhǔn)算法，得到結(jié)果如表2所示。

圖3 用于實(shí)驗(yàn)的Bomb圖像

表1 三幅待配準(zhǔn)圖像相對原始圖像的變換參數(shù)

表2 不同變換參數(shù)下標(biāo)準(zhǔn)算法與改進(jìn)算法的圖像配準(zhǔn)結(jié)果比較

從表1和表2可得如下幾點(diǎn)：

1）兩種算法的圖像配準(zhǔn)精度都隨著圖像變換系數(shù)的變化而變化，隨著縮放比例、旋轉(zhuǎn)角度和平移量的增大，配準(zhǔn)后的誤差逐漸增加，圖像配準(zhǔn)精度逐漸減小。

2）當(dāng)圖像變換系數(shù)相同時(shí)，不論圖像縮放比例、旋轉(zhuǎn)角度和平移量是多少，引入互信息的算法都比標(biāo)準(zhǔn)Fourier-Mellin變換的圖像配準(zhǔn)算法精度高。

8 結(jié)語

圖像配準(zhǔn)是戰(zhàn)場圖像處理的基本問題，基于傅立葉變換的相位相關(guān)方法是圖像配準(zhǔn)研究的重要方法。本文主要從提高圖像配準(zhǔn)算法精度的角度，對標(biāo)準(zhǔn)Fourier-Mellin變換的圖像配準(zhǔn)進(jìn)行了分析，提出了將互信息引入其中，形成了一種新的基于對數(shù)極坐標(biāo)和頻率域的互信息圖像配準(zhǔn)算法，提高了圖像配準(zhǔn)精度。