馬學三

一、 前言

統(tǒng)計與概率是初中數(shù)學教學的核心內(nèi)容，也是今后培養(yǎng)學生數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的基石，更是中考命題的重要載體。綜觀2020年浙江省各地區(qū)的中考數(shù)學試卷，統(tǒng)計與概率繼續(xù)以較高的比重存在，分析發(fā)現(xiàn)著重考查了隨機事件及發(fā)生的概率，題型涉及選擇題、填空題和解答題，且大部分為中、低檔難度的題，全面覆蓋統(tǒng)計與概率的基礎(chǔ)知識、基本技能和基本方法。在解答題部分，更注重考查學生的數(shù)據(jù)分析觀念與數(shù)據(jù)處理的意識，考查的知識點也更為全面和綜合?？傮w上看，2020年浙江省各地區(qū)中考統(tǒng)計與概率試題在命制之初已考慮到分層、分梯度設置，給不同層次的學生都提供了展示的機會。

在數(shù)學教育向培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的趨勢下，歷年中考數(shù)學中統(tǒng)計與概率部分的命題趨勢也有所變化，題目的設計更加貼近數(shù)學素養(yǎng)的內(nèi)涵。2020年中考數(shù)學統(tǒng)計與概率繼續(xù)關(guān)注對數(shù)學分析素養(yǎng)本質(zhì)和內(nèi)涵的考查，適度增加學生熟悉的情境，抽象出數(shù)據(jù)分析背后的內(nèi)容，注重考查學生的理性思維和邏輯推理能力、數(shù)據(jù)分析能力，增強了實用性和創(chuàng)新型，通過設計情境滲透人文思想，彰顯出數(shù)學中蘊含的素養(yǎng)內(nèi)涵。

二、 命題形式與考查核心素養(yǎng)分析

(一)基于統(tǒng)計思想和抽樣本質(zhì)的考查，鞏固“雙基”，遷移應用

抽樣是初中數(shù)學統(tǒng)計課程的一個主要內(nèi)容，簡單隨機抽樣在實際生活中應用較多，數(shù)據(jù)分析能力是學生需具備的數(shù)學核心素養(yǎng)之一。近幾年來，中考試題中關(guān)于簡單隨機抽樣的考查范圍較為明確，考查形式越來越注重在實際生活中的應用意識。

【例1】(杭州卷)某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，3月份的產(chǎn)量為5000件，4月份的產(chǎn)量為10000件。用簡單隨機抽樣的方法分別抽取這兩個月生產(chǎn)的該產(chǎn)品若干件進行檢測，并將檢測結(jié)果分別繪制成如圖1所示的扇形統(tǒng)計圖和頻數(shù)直方圖(每組不含前一個邊界值，含后一個邊界值)。已知檢測綜合得分大于70分的產(chǎn)品為合格產(chǎn)品。

(1)求4月份生產(chǎn)的該產(chǎn)品抽樣檢測的合格率。

(2)在3月份和4月份生產(chǎn)的產(chǎn)品中，估計哪個月的不合格件數(shù)多？為什么？

圖1

【例2】(臺州卷)新冠疫情期間，某校開展線上教學，有“錄播”和“直播”兩種教學方式供學生選擇其中一種，為分析該校學生線上學習情況，在接受這兩種教學方式的學生中各隨機抽取40人調(diào)查學習參與度，數(shù)據(jù)整理結(jié)果如表1(數(shù)據(jù)分組包含左端值不包含右端值)：

表1

(1)你認為哪種教學方式學生的參與度更高？簡要說明理由。

(2)從教學方式為“直播”的學生中任意抽取一位學生，估計該學生的參與度在0.8及以上的概率是多少？

(3)該校共有800名學生，選擇“錄播”和“直播”的人數(shù)之比為1∶3，估計參與度在0.4以下的共有多少人？

【評析】以上兩道題以實際問題為載體，考查了學生解決實際問題的能力，以及對數(shù)據(jù)的理解與分析的能力，很好地滲透了對抽樣知識遷移能力的考查。例1注重檢測學生收集與整理簡單抽樣數(shù)據(jù)的能力，考查了統(tǒng)計圖表的轉(zhuǎn)換，以及學生的推理能力。例2從客觀實際背景出發(fā)，主要考查學生利用樣本數(shù)據(jù)去估計總體情況的能力。數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)明確提出注重對學生收集和整理數(shù)據(jù)能力的培養(yǎng)，以上題目的設計對學生數(shù)學核心素養(yǎng)的提高具有積極作用。

(二)統(tǒng)計圖表的繪制與數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化的綜合考查，峰轉(zhuǎn)“四基”，暗戳素養(yǎng)

描述數(shù)據(jù)的重要手段之一就是統(tǒng)計圖表的表示，能夠更直觀地表示數(shù)據(jù)。從初中生數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)發(fā)展水平情況來看，在讀懂條形統(tǒng)計圖、折線統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖以及頻數(shù)直方圖的基礎(chǔ)上，能夠繪制簡單的統(tǒng)計圖表。2020年中考統(tǒng)計與概率試題繼續(xù)考查統(tǒng)計圖表的分析與繪制，通過考查統(tǒng)計圖表的基本概念、本質(zhì)意義，以及數(shù)據(jù)的計算，增強統(tǒng)計與概率知識考查的基礎(chǔ)性，使學生透徹掌握統(tǒng)計的基礎(chǔ)知識，有利于學生數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)的達成。

【例3】(寧波卷)某學校開展了防疫知識的宣傳教育活動。為了解這次活動的效果，學校從全校1500名學生中隨機抽取部分學生進行知識測試(測試滿分100分，得分x均為不小于60的整數(shù))，并將測試成績分為四個等級：基本合格(60≤x<70)，合格(70≤x<80)，良好(80≤x<90)，優(yōu)秀(90≤x≤100)，制作了如下統(tǒng)計圖(部分信息未給出)。

圖2

由圖中給出的信息解答下列問題：

(1)求測試成績?yōu)椤昂细瘛钡膶W生人數(shù)，并補全頻數(shù)直方圖。

(2)求扇形統(tǒng)計圖中“良好”所對應的扇形圓心角的度數(shù)。

【例4】(衡州卷)某市在九年級“線上教學”結(jié)束后，為了解學生的視力情況，抽查了部分學生進行視力檢測。根據(jù)檢測結(jié)果，制成下面不完整的統(tǒng)計圖表。

表2 被抽樣的學生視力情況頻數(shù)表

圖3

(1)求組別C的頻數(shù)m的值。

(2)求組別A的圓心角度數(shù)。

(3)如果視力值4.8及以上屬于“視力良好”，請估計該市25000名九年級學生達到“視力良好”的人數(shù)。根據(jù)上述圖表信息，你對視力保護有什么建議？

【評析】例3以學生熟悉的生活情境作為背景，令學生根據(jù)題目中的信息，進行統(tǒng)計圖表的分析與完善，潛移默化中考查了學生對統(tǒng)計概率圖表表示方法的理解與運用，著重考查了學生的作圖能力與數(shù)據(jù)分析意識。尤其考查了學生對頻數(shù)直方圖與扇形統(tǒng)計圖數(shù)據(jù)的轉(zhuǎn)變，使統(tǒng)計概念的考查水到渠成。圖表本身作為數(shù)據(jù)關(guān)系的一種表露形式，圖表的繪制可以從數(shù)量和圖形雙方面考查學生的綜合計算能力，表露出統(tǒng)計本質(zhì)的考查。例4對頻數(shù)分布表與扇形統(tǒng)計圖之間數(shù)據(jù)的關(guān)系進行全面考查，突出了基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想方法以及基本活動經(jīng)驗即“四基”的重要性。通過給出的頻數(shù)與占比進行分析能夠快速對總?cè)藬?shù)進行求解，能夠彰顯統(tǒng)計思維的縝密性和靈動性。另外，本題的最后一問涉及基于數(shù)據(jù)的預測和結(jié)論，學生可以根據(jù)各個視力段人數(shù)分布占比獲得有效信息。讓學生根據(jù)數(shù)據(jù)分析的結(jié)果提出相關(guān)建議，此題較明確地考查了學生數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)能力，這表明我國中考試題已經(jīng)開始嘗試對學生數(shù)學核心素養(yǎng)的測試。

(三)集中趨勢和離散程度的分析考查，引導推理與探究，維度多元

《義務教育課程標準(2011年版)》中明確指出刻畫一組數(shù)據(jù)集中趨勢的統(tǒng)計量一般用平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)來表示。通過以上數(shù)據(jù)的計算結(jié)果能夠?qū)φ{(diào)查對象發(fā)展的趨勢進行判斷，以便于做出應對的決策。而平均數(shù)、中位數(shù)以及眾數(shù)由于定義的不同，進而數(shù)據(jù)表示的意義也存在較大的區(qū)別。

【例5】(杭州卷)在某次演講比賽中，五位評委給選手圓圓打分，得到互不相等的五個分數(shù)，若去掉一個最高分，平均分為x；去掉一個最低分，平均分為y；同時去掉一個最高分和一個最低分，平均分為z，則

( )

A.y>z>xB.x>z>y

C.y>x>zD.z>y>x

表3

明年準備從這三個品種中選出一種產(chǎn)量既高又穩(wěn)定的枇杷樹進行種植，則應選的品種是。

【例7】(溫州卷)山茶花是溫州市的市花，品種多樣，“金心大紅”是其中的一種。某興趣小組對30株“金心大紅”的花徑進行測量、記錄，統(tǒng)計如表4。

表4

這批“金心大紅”花徑的眾數(shù)為

( )

A. 6.5cm B. 6.6cm C. 6.7cm D. 6.8cm

【評析】例5考查學生對平均分、最高分和最低分的區(qū)別與聯(lián)系以及數(shù)據(jù)的計算能力，并對學生分析判斷數(shù)據(jù)的能力進行了要求和考查。例6考查學生對平均數(shù)、方差概念的理解與運用，清楚兩者的本質(zhì)含義。本題需要學生從概念的角度辨別平均數(shù)和方差的內(nèi)在區(qū)別，然后通過對數(shù)據(jù)的分析得出結(jié)果，凸顯了數(shù)據(jù)對客觀背景的真實反映，實際問題的解決更突出考驗學生的數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)。例7通過以本土文化作為數(shù)據(jù)產(chǎn)生的背景，描述出收集數(shù)據(jù)的細節(jié)，在一定程度上能夠讓學生在審題過程中感受到數(shù)據(jù)收集的過程與方法，以及主要考查了學生對眾數(shù)概念的理解。

(四)隨機事件及其發(fā)生概率的運算檢測，貼近生活，夯實基礎(chǔ)

2020年浙江省關(guān)于統(tǒng)計與概率試題，通過創(chuàng)設情境，立足于學生對實際問題的思考，考查學生數(shù)學邏輯推理能力，考查學生對數(shù)學題目的閱讀理解能力，以此引發(fā)學生深入思考，讓學生經(jīng)歷“抽象—分析—歸一”的過程，考查學生對隨機事件的理解和解決問題的能力。

【例8】(嘉興卷)一只螞蟻在如圖4所示的樹枝上尋覓食物，假定螞蟻在岔路口隨機選擇一條路徑，它獲得食物的概率是。

圖4

【例9】(寧波卷)一個不透明的袋子里裝有4個紅球和2個黃球，它們除顏色外其余都相同，從袋中任意摸出一個球是紅球的概率為

( )

A. 1/4 B. 1/3 C. 1/2 D. 2/3

【例10】(杭州卷)一個僅裝有球的不透明布袋里共有4個球(只有編號不同)，編號分別為1，2，3，5，從中任意摸出一個球，記下編號后放回，攪勻，再任意摸出一個球，則兩次摸出的球的編號之和為偶數(shù)的概率是。

【評析】例8引導學生經(jīng)歷從設計的情境中抽象出數(shù)學問題的過程，類似的試題在2020年全國各地區(qū)的中考試卷中都較為常見，與學生的生活實際息息相關(guān)。例9則引導學生體會隨機事件發(fā)生的概率問題，注重考查學生的基本知識和基本能力，突出考查學生對隨機事件發(fā)生概率的理解運用能力。例10則考查學生對放回再摸取事件的理解能力，使學生運用所學知識與方法解決此類概率問題，注重對概率本質(zhì)特征的探究與理解，學生需要借助樹狀圖或者列表表述簡單隨機事件所有可能的結(jié)果，更關(guān)注實際問題中學生對概率意義的理解。

(五)數(shù)學核心素養(yǎng)能力的考查，挖掘數(shù)據(jù)，表述結(jié)論

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》中關(guān)于數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的介紹中指出數(shù)據(jù)分析是指針對研究對象獲取數(shù)據(jù)，運用數(shù)學方法對數(shù)據(jù)進行整理、分析和推斷，形成關(guān)于研究對象知識的素養(yǎng)。數(shù)據(jù)分析過程主要包括收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、提取信息、構(gòu)建模型、進行推斷、獲得結(jié)論。這表明，中考中對數(shù)學統(tǒng)計與概率的考查應該包括對題目中數(shù)據(jù)的簡單整理與信息的推斷與提取。

【例11】(溫州卷)A，B兩家酒店規(guī)模相當，去年下半年的月盈利折線統(tǒng)計圖如圖5所示。

圖5

(1)要評價這兩家酒店7—12月的月盈利的平均水平，你選擇什么統(tǒng)計量？求出這個統(tǒng)計量。

(2)已知A，B兩家酒店7—12月的月盈利的方差分別為1.073(平方萬元)、0.54(平方萬元)，根據(jù)所給的方差和你在(1)中所求的統(tǒng)計量，結(jié)合折線統(tǒng)計圖，你認為去年下半年哪家酒店經(jīng)營狀況較好？請簡述理由。

【評析】隨著對學生數(shù)學核心素養(yǎng)要求的提高，中考試題考查的內(nèi)容越來越新穎，題目作答的類型也較為開放，例11主要考查學生解決實際問題的能力，問題(1)較為簡單地考查了平均數(shù)的計算方法，問題(2)則更注重對學生數(shù)據(jù)分析思維的考查，讓學生通過對方差以及折線統(tǒng)計圖的分析，提取圖中信息并分析作答。此題沒有準確答案，只要闡述原因合理即可。此類題目是考查學生統(tǒng)計思維意識的重要載體，對改進并提高中考數(shù)學核心素養(yǎng)檢測的有效性，提高學生數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)能力具有積極作用。

三、 基本結(jié)論和命題趨勢展望

通過以上對中考題型的分析可以看出，以數(shù)據(jù)分析為載體，對數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)進行了多角度、多方面的考查。這樣的試題設計不僅考慮到學生的分層發(fā)展，也透露出中考試題在逐步向核心素養(yǎng)檢測方面靠攏。關(guān)注數(shù)學核心素養(yǎng)的落實，不僅考查對數(shù)學基本概念、定理、方法及數(shù)學思想的理解和運用，而且還關(guān)注數(shù)學文化及科學精神，強化學科育人，使考試成為落實“立德樹人”的重要途徑。因此，未來中考數(shù)學的命題趨勢應是更加注重對學生數(shù)學思維能力以及生活情境的考查，對概率與統(tǒng)計知識模塊，將會在接下來的中考中更注重學生對數(shù)據(jù)的感知意識與分析能力，開放性題目也會逐漸增多，即更注重對學生數(shù)據(jù)思維、數(shù)學素養(yǎng)的考查，具體體現(xiàn)在以下方面：

(一)從情境維度考查學生的數(shù)學核心素養(yǎng)

數(shù)學核心素養(yǎng)培養(yǎng)是當下基礎(chǔ)教育數(shù)學課程與教學改革的熱點，培養(yǎng)學生的質(zhì)疑能力和創(chuàng)新精神建立科學合理的核心素養(yǎng)評價指標體系是當下迫切需要解決的問題。中考試題更注重從現(xiàn)實問題入手，設置學生熟悉的情境，主要考查學生對情境的理解與轉(zhuǎn)化能力，有利于學生將所學知識遷移至實際問題中，增強學生的應用能力與應用意識，促使學生全面地認識數(shù)學與社會生活之間的關(guān)系，以此提高學生的創(chuàng)新能力與應用能力，進而達到提升學生數(shù)學核心素養(yǎng)的目的。

(二)從開放性結(jié)論維度考查學生的數(shù)學核心素養(yǎng)

中考正以開放性的問題設置考查學生對數(shù)據(jù)的感觀意識，從實際生活中收集到的數(shù)據(jù)往往具有多重含義，讓學生挖掘數(shù)據(jù)背后的意義有利于學生數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)的達成，另外，從國際數(shù)學核心素養(yǎng)PISA測試的題目來看，題目的設計也較為寬泛，更多地與實際生活息息相關(guān)，為此，我國中考試題的設計可以參考國際測評標準，以達到更好地檢測學生數(shù)學核心素養(yǎng)的效果。

(三)從知識遷移維度考查學生的數(shù)學核心素養(yǎng)

數(shù)學教學的目的是學生數(shù)學思維能力的達成，學生能夠?qū)⑺鶎W知識遷移至其他問題的解決中，通過數(shù)學方法解決未知題目，更注重學生數(shù)學學習方法的應用、理解與創(chuàng)新，中考試題傾向考查學生對數(shù)學方法的掌握，數(shù)學思維的轉(zhuǎn)化，數(shù)學知識的應用，解決問題的能力是考查學生數(shù)學核心素養(yǎng)的有效手段。