谷文山

一、 數(shù)學(xué)建模思想概述

數(shù)學(xué)建模思想是一種實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問題簡單化的重要思想，是一種解決實(shí)際問題的重要能力。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)建模思想可簡述為：為同一類型題目尋找具有普遍性的解題方式，從而減少思考時(shí)間，快速解題。以一元一次方程的求解步驟為例，通過分析不同一元一次方程的求解步驟，分析不同一元一次方程求解步驟中的相同點(diǎn)和重點(diǎn)，從而總結(jié)出可以指導(dǎo)所有一元一次方程求解過程的步驟模型，即“去分母—去括號(hào)—移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)—系數(shù)化為1”。數(shù)學(xué)建模思想不是一種特定的能力，而是多種能力的交織，例如類比分析能力、歸納總結(jié)能力、透過表面看本質(zhì)的能力等。

關(guān)于數(shù)學(xué)建模過程，目前已經(jīng)有多位研究者從不同的視角給出了不同的答案，其中比較有代表性的是布魯姆的七階段說。布魯姆將數(shù)學(xué)建模過程看作現(xiàn)實(shí)與數(shù)學(xué)的循環(huán)，建模過程分為七個(gè)階段，即“現(xiàn)實(shí)情境—情境模型—現(xiàn)實(shí)模型—數(shù)學(xué)模型—數(shù)學(xué)結(jié)果—真實(shí)結(jié)果—情境模型—現(xiàn)實(shí)情境”。筆者根據(jù)自身教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合初中數(shù)學(xué)教學(xué)特點(diǎn)，將布魯姆的七階段簡化為“識(shí)別主要對象—總結(jié)模型—運(yùn)算求解—模型驗(yàn)證”四階段。

二、 數(shù)學(xué)建模教學(xué)對初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義

初中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過程中開展建模教學(xué)，能夠有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)成績和數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。一方面，教師指導(dǎo)學(xué)生掌握建模方式和應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解答題目，可以提升學(xué)生的解題速度和幫助學(xué)生將復(fù)雜題目簡單化，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)成績。另一方面，教師在指導(dǎo)學(xué)生掌握建模方法的過程中，還培養(yǎng)了學(xué)生的類比分析、歸納總結(jié)、邏輯推理等能力和抽象思維、簡化思維、批判思維等，這類核心素養(yǎng)不僅有利于提升學(xué)生當(dāng)下的學(xué)習(xí)效率，還能促進(jìn)學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)。另外，建模思想實(shí)質(zhì)上是一種利用過往經(jīng)驗(yàn)解決相似問題的思想，人類社會(huì)的發(fā)展離不開經(jīng)驗(yàn)的積累，學(xué)生學(xué)會(huì)利用生活經(jīng)驗(yàn)解決實(shí)際問題，不僅對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有重要幫助，對學(xué)生未來的生活、工作也有顯著的積極影響。

三、 初中數(shù)學(xué)建模的幾個(gè)典型實(shí)例

(一)方程、不等式模型

初中數(shù)學(xué)需要學(xué)習(xí)的方程有一元一次方程、二元一次方程組、分式方程和一元二次方程，需要學(xué)習(xí)的不等式有一元一次不等式、一元一次不等式組，借助于反比例函數(shù)和二次函數(shù)，教師還應(yīng)為學(xué)生額外補(bǔ)充分式不等式和一元二次不等式的解法。方程和不等式是用來詮釋現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)模型，其中方程和方程組用來詮釋等量關(guān)系，不等式和不等式組用來詮釋大于、大于等于、小于、小于等于的非等量關(guān)系?，F(xiàn)實(shí)生活中的分期付款問題、打折銷售問題、利息計(jì)算問題、工程行程問題等多被抽象為方程或方程組模型，從而通過列方程(組)、解方程(組)的方式解決；現(xiàn)實(shí)生活中的核定價(jià)格范圍問題、統(tǒng)籌安排問題等多被抽象為不等式或不等式組模型，通過列不等式(組)、解不等式(組)的方式解決。

(二)函數(shù)模型

初中數(shù)學(xué)需要學(xué)習(xí)的函數(shù)有三種，分別是一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)。函數(shù)是用來詮釋現(xiàn)實(shí)生活中事物之間聯(lián)系的數(shù)學(xué)模型，通過觀察函數(shù)圖形，不僅能直觀獲得兩個(gè)量之間的關(guān)系，還能預(yù)測發(fā)展趨勢?，F(xiàn)實(shí)生活中的最佳決策問題、最小成本問題、最大利潤問題等都可被抽象為函數(shù)模型，從而通過設(shè)未知數(shù)、求函數(shù)解析式、觀察函數(shù)圖像、得到最值結(jié)果的方式解決。

(三)幾何模型

初中數(shù)學(xué)需要學(xué)習(xí)三角形、平行四邊形和圓三種圖形，學(xué)習(xí)平面圖形平移、對稱和旋轉(zhuǎn)三種運(yùn)動(dòng)，學(xué)習(xí)全等和相似兩種重要的圖形關(guān)系。幾何是用來描述現(xiàn)實(shí)生活中的空間形式的數(shù)學(xué)模型。現(xiàn)實(shí)生活中的航海問題、測量問題、城市規(guī)劃問題等多被抽象為平面圖形或復(fù)雜的圖形，從而利用幾何定理、幾何證明等知識(shí)解決問題。在初中幾何學(xué)習(xí)中，有些模型是用于解決實(shí)際生活中的具體問題的，例如將軍飲馬模型、兩點(diǎn)之間最短距離模型等，有些模型更多用于解答復(fù)雜的幾何題目，起培養(yǎng)學(xué)生觀察力、啟發(fā)學(xué)生思維、提升解題效率等作用。

(四)統(tǒng)計(jì)、概率模型

初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)的數(shù)據(jù)收集、數(shù)據(jù)描述和數(shù)據(jù)分析等統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)，能夠采取正確的方式獲得數(shù)據(jù)，能夠利用相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)圖描述數(shù)據(jù)，能夠利用對應(yīng)的統(tǒng)計(jì)工具分析數(shù)據(jù)。初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)簡單事件的發(fā)生概率，能用樹狀圖或表格計(jì)算發(fā)生概率。統(tǒng)計(jì)、概率模型能提升決策科學(xué)性，在人文、管理、經(jīng)濟(jì)、自然科學(xué)中都有很普遍的應(yīng)用，通過將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為統(tǒng)計(jì)模型，利用統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)獲得實(shí)際問題的最優(yōu)解。

四、 數(shù)學(xué)建模思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的設(shè)計(jì)原則

(一)學(xué)生主體性原則

建模思想教學(xué)的最大難點(diǎn)是如何令學(xué)生自覺應(yīng)用建模思想解決問題，在實(shí)際教學(xué)中，利用數(shù)學(xué)模型解題固然可以提升解題效率和降低解題難度，但并不意味著學(xué)生只能利用數(shù)學(xué)模型解題，這就為學(xué)生留下了一絲“僥幸心理”，即有些學(xué)生認(rèn)為建模思想沒有學(xué)習(xí)的必要。所以教師在開展建模教學(xué)時(shí)，必須秉承學(xué)生主體性的原則，關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，讓學(xué)生真正體會(huì)數(shù)學(xué)建模的意義，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與數(shù)學(xué)建模過程，幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)建模能力。

(二)循序漸進(jìn)原則

教師在開展建模教學(xué)時(shí)，必須秉承循序漸進(jìn)的原則，即教師應(yīng)該首先為學(xué)生展示建模思想的應(yīng)用效果和幫助學(xué)生形成對建模思想的正確認(rèn)識(shí)，從而令學(xué)生愿意為了提升學(xué)習(xí)效率而學(xué)習(xí)建模思想；當(dāng)學(xué)生初步具備建模意識(shí)后，教師在教學(xué)中滲透建模思想，幫助學(xué)生在潛移默化中形成對建模步驟的初始印象，然后教師利用啟發(fā)式教學(xué)或組織數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的方式，指導(dǎo)學(xué)生自主歸納建模步驟，從而掌握建模能力。最后教師為學(xué)生提供足夠的建模能力訓(xùn)練，幫助學(xué)生鞏固建模能力。若教師在開展建模教學(xué)時(shí)沒有遵循循序漸進(jìn)的原則，在學(xué)生還未形成對建模思想的正確認(rèn)識(shí)時(shí)便開展建模方法教學(xué)，則一方面學(xué)生對教學(xué)內(nèi)容不重視，導(dǎo)致教學(xué)效率不高；另一方面學(xué)生缺乏感性知識(shí)儲(chǔ)備，很難實(shí)現(xiàn)認(rèn)識(shí)的飛躍。

(三)應(yīng)用性評價(jià)原則

建模思想教學(xué)的終極目標(biāo)是令學(xué)生掌握建模方法并能夠獨(dú)立自主地完成建模任務(wù)，所以教師在對建模教學(xué)效果開展評價(jià)與反思時(shí)，應(yīng)該側(cè)重于考查學(xué)生的能力而非智力，即考查學(xué)生面對問題時(shí)是否主動(dòng)嘗試?yán)媒Ｋ枷虢鉀Q問題并最終通過建模解決同類問題。在建模教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)調(diào)用建模思想解決問題的意義比要求學(xué)生掌握建模思想的應(yīng)用意義和建模步驟更重要。

五、 數(shù)學(xué)建模思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用策略

(一)強(qiáng)調(diào)建模思想的重要性

教師在教學(xué)過程中強(qiáng)調(diào)建模思想的重要性有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力，形成“學(xué)生主動(dòng)學(xué)”的氛圍，從而提升教學(xué)效率。首先，教師可以利用榜樣示范法強(qiáng)調(diào)建模思想的重要性，一方面，教師可以選取數(shù)學(xué)史上與建模思想有關(guān)的小故事，例如教師在講解《勾股定理》的時(shí)候，為學(xué)生講述畢達(dá)哥拉斯參加餐會(huì)，從大理石地磚圖案中發(fā)現(xiàn)勾股定理的故事，畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)并證明勾股定理的過程便是數(shù)學(xué)建模的過程；另一方面，教師觀察班上學(xué)生是否有人已經(jīng)具備模型意識(shí)，教師對有意識(shí)利用數(shù)學(xué)模型解題的學(xué)生展開表揚(yáng)鼓勵(lì)，要求班級其他學(xué)生向他學(xué)習(xí)。其次，教師可以通過對比的方式強(qiáng)調(diào)建模思想的重要性，即教師在講解題目時(shí)，先利用一般的解題方法講解例題，然后為學(xué)生講解該題目所涉及的數(shù)學(xué)模型，指導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)模型快速解題，讓學(xué)生感受到利用數(shù)學(xué)模型解題能有效提升解題效率這一事實(shí)，從而激發(fā)學(xué)生的建模意識(shí)。最后，教師可以利用說服教育法強(qiáng)調(diào)建模思想的重要性，即教師為學(xué)生闡述建模思想對他們當(dāng)下和未來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要推動(dòng)作用，提升學(xué)生對建模思想的重視。

(二)在教學(xué)中滲透建模思想

在教學(xué)中滲透建模思想，要求教師以知識(shí)講解或例題講解的方式描述建模過程，幫助學(xué)生形成對數(shù)學(xué)建模的初始印象，在這一階段，教師可以根據(jù)班級學(xué)生的狀態(tài)選擇是否開展教學(xué)延伸。下面以教學(xué)案例的形式闡述在教學(xué)中滲透建模思想的具體方法。

其次展示教師在例題講解過程中滲透建模思想的教學(xué)案例，當(dāng)開展《軸對稱圖形》的教學(xué)時(shí)，學(xué)生會(huì)遇到如圖1所示的題目，該題目非常典型，屬于“將軍飲馬”模型應(yīng)用題。教師在講解完該題的解題方法時(shí)，可以向?qū)W生提出以下要求，將題干文字轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，提煉題干涉及的重要條件并分析，總結(jié)解題方法。在學(xué)生思考過程中，教師通過提問、暗示等方式幫助學(xué)生完成學(xué)習(xí)任務(wù)。例如將題干文字轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，該題干內(nèi)容便變?yōu)椋狐c(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A、B是直線l同側(cè)的點(diǎn)，求PA+PB的最小值。分析題干，提煉出的重要條件為直線l和點(diǎn)P、A、B，進(jìn)一步分析則可為重要條件加上定語，定直線l、定直線l上的動(dòng)點(diǎn)P，定點(diǎn)A和定點(diǎn)B，該題目的解題方法可概括為任選定點(diǎn)A和定點(diǎn)B中的一個(gè)作關(guān)于定直線l的對稱點(diǎn)，連接另外一個(gè)點(diǎn)和對稱點(diǎn)，另外一個(gè)點(diǎn)和對稱點(diǎn)所連線段和定直線l的交點(diǎn)即為P的位置，另外一個(gè)點(diǎn)和對稱點(diǎn)所連線段的距離就是PA+PB的最小值。在此過程中，學(xué)生已經(jīng)完成了建立數(shù)學(xué)模型的全過程，腦海中儲(chǔ)備了建立數(shù)學(xué)模型的基本方法和具體步驟。

圖1 “將軍飲馬”模型例題

(三)指導(dǎo)學(xué)生掌握建模能力

在學(xué)生已經(jīng)初步了解建模思想的應(yīng)用意義并在頭腦中儲(chǔ)備了足夠的建模經(jīng)驗(yàn)時(shí)，教師應(yīng)該指導(dǎo)學(xué)生自主完成建模，即利用教師提供的建模經(jīng)驗(yàn)，自主建立數(shù)學(xué)模型并檢驗(yàn)。為了活躍課堂氣氛，激發(fā)學(xué)生的建模積極性，教師可以組織學(xué)生小組合作，以合作探究的方式完成數(shù)學(xué)建模任務(wù)。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中，很多知識(shí)點(diǎn)都涉及建模思想，例如方程(組)模型、不等式(組)模型、函數(shù)模型和幾何模型，教師根據(jù)本班級的教學(xué)進(jìn)度合理安排數(shù)學(xué)建模任務(wù)。例如教師在完成《勾股定理》的教學(xué)后，可以為學(xué)生提供如圖2所示的題目，該題目是“手拉手”模型的典型例題，教師要求學(xué)生以小組合作的形式分析該題干已知條件的特點(diǎn)和各小題的證明方式，研究當(dāng)?shù)妊苯侨切蔚臈l件變?yōu)槠胀ǖ妊切魏偷冗吶切危餍☆}結(jié)論是否仍然成立。教師要求學(xué)生總結(jié)探究結(jié)果，得出“手拉手”模型的圖形特征為：兩個(gè)頂角相同的等腰三角形頂角的頂點(diǎn)重合；“手拉手”模型可得出的結(jié)論為：(1)拉手后得到一組全等三角形，拉手線相等；(2)拉手線的夾角=等腰三角形頂角；(3)拉手線交點(diǎn)與公共頂點(diǎn)的連線平分拉手線夾角。當(dāng)普通等腰三角形變?yōu)榈妊苯侨切魏偷冗吶切?，則特殊“手拉手”模型可以得到更多的結(jié)論，以等腰直角三角形“手拉手”模型為例，由于拉手線夾角等于等腰直角三角形的頂角，所以出現(xiàn)90°夾角，得到線段間的垂直位置關(guān)系和線段間的數(shù)量關(guān)系。

圖2 “手拉手”模型例題

(四)給予學(xué)生數(shù)學(xué)模型應(yīng)用訓(xùn)練

能否通過讀題識(shí)別出數(shù)學(xué)模型并利用模型思想解決問題是檢驗(yàn)學(xué)生是否真正具備模型意識(shí)和掌握模型應(yīng)用能力的最佳手段，所以教師要給予學(xué)生模型應(yīng)用訓(xùn)練，一方面幫助學(xué)生查缺補(bǔ)漏，另一方面令學(xué)生真切感受模型思想對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的幫助。首先，教師在完成數(shù)學(xué)模型教學(xué)后應(yīng)該及時(shí)為學(xué)生提供配套的模型應(yīng)用訓(xùn)練，加深教育影響，鞏固學(xué)習(xí)成果。例如，教師在完成《一元二次方程解決實(shí)際問題》的教學(xué)后，引導(dǎo)學(xué)生掌握“閱讀題干，提煉數(shù)量關(guān)系—設(shè)未知數(shù)并代入數(shù)量關(guān)系—解方程—檢驗(yàn)”這一解題模型，然后為學(xué)生布置一元二次方程應(yīng)用題的作業(yè)，要求學(xué)生利用模型解題。需要注意，教師要平衡好模型應(yīng)用訓(xùn)練中模型應(yīng)用和思維拓展的關(guān)系，避免令學(xué)生形成固定思維，從而遏制學(xué)生發(fā)散思維、收斂思維和聯(lián)想思維等高品質(zhì)思維的發(fā)展，如教師在檢查《一元二次方程解決實(shí)際問題》的應(yīng)用題解題模型應(yīng)用訓(xùn)練效果時(shí)，教師應(yīng)該首先判斷學(xué)生的求解過程是否正確，若學(xué)生的求解過程無邏輯硬傷且答案正確，則教師不應(yīng)該強(qiáng)行要求學(xué)生嚴(yán)格按照模型步驟開展解題，若學(xué)生的求解過程邏輯不清且沒有完整解答問題，則教師應(yīng)該要求學(xué)生記憶模型步驟和了解模型原理，首先嚴(yán)格按照模型步驟完成解題，然后再探索屬于自己的個(gè)性化解題方式。其次，為了拓展學(xué)生思維，加深學(xué)生對模型的理解，教師可以為學(xué)生提供模型變形應(yīng)用練習(xí)，但要注意遵循循序漸進(jìn)的原則，為學(xué)生提供由易到難、由淺入深的解題體驗(yàn)。例如教師在完成《一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系》的教學(xué)后，應(yīng)該首先為學(xué)生提供利用一元二次方程系數(shù)判斷根的情況的題目訓(xùn)練，然后提供利用已知一元二次方程根的情況求系數(shù)取值范圍的題目訓(xùn)練，最后提供已知一元二次方程兩根之間的關(guān)系求系數(shù)取值范圍的題目訓(xùn)練，例如已知一元二次方程的兩個(gè)根互為相反數(shù)，則應(yīng)該令Δ≥0且x1+x2=0。已知一元二次方程的兩個(gè)根互為倒數(shù)，則應(yīng)該令Δ≥0且x1·x2=0。最后，有些數(shù)學(xué)題有多種解題方法，教師利用最基礎(chǔ)的解題方法引導(dǎo)學(xué)生建立解題模型，但在模型應(yīng)用訓(xùn)練過程中，有學(xué)生使用了不同的解題方法，教師應(yīng)該針對學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和探究精神給予表揚(yáng)鼓勵(lì)，但是教師不可貿(mào)然推廣新穎便捷的解題方法，因?yàn)殡m然有些解題方法能夠快速解題，但解題原理卻不是班級絕大多數(shù)學(xué)生能理解的。

(五)引導(dǎo)學(xué)生利用建模思想解決實(shí)際問題

六、 結(jié)語

新課改要求學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中形成核心素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)能力的提升。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用建模思想就是符合新課改理念，契合現(xiàn)代教育發(fā)展方向的重要策略。初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該積極主動(dòng)設(shè)計(jì)滲透建模思想的教學(xué)過程，幫助學(xué)生形成對建模思想的正確認(rèn)識(shí)，指導(dǎo)學(xué)生掌握建模能力，從而提升學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。