李堃, 由玥, 劉曉昂, 李欣業(yè)， 陳勇,3， 甄冬,3

(1.河北工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院， 天津 300130； 2.濰柴動(dòng)力股份有限公司， 濰坊 261069； 3.天津市新能源汽車(chē)動(dòng)力傳動(dòng)及安全技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 天津 300130； 4.中國(guó)機(jī)械設(shè)備工程股份有限公司， 北京 100073)

動(dòng)力總成激勵(lì)是引起整車(chē)振動(dòng)的主要激勵(lì)源，動(dòng)力總成的振動(dòng)主要表現(xiàn)為垂向振動(dòng)和繞曲軸方向的振動(dòng)。其中，繞曲軸方向?yàn)閯?dòng)力的輸出方向，該方向的振動(dòng)不可避免。為實(shí)現(xiàn)較好的減振效果，Vakakis[1]提出了非線性能量阱(nonlinear energy sink, NES)的概念，它包含立方剛度元件，利用靶能量傳遞來(lái)實(shí)現(xiàn)振動(dòng)抑制，克服了線性動(dòng)力吸振器減振頻帶窄、魯棒性差等缺點(diǎn)。

非線性能量阱被廣泛應(yīng)用在航空航天和土木工程等領(lǐng)域的減振抑振方面。Georgiades等[2]用NES可以吸收和耗散梁的大部分沖擊能量，并對(duì)NES在梁上的安裝位置進(jìn)行優(yōu)化。Nucera等[3]將NES安裝在三層框架結(jié)構(gòu)上，試驗(yàn)表明NES能顯著減弱地面運(yùn)動(dòng)的影響。陳勇等[4]將NES應(yīng)用在高聳結(jié)構(gòu)上進(jìn)行了減振分析，將系統(tǒng)簡(jiǎn)化為懸臂梁模型，得到一個(gè)NES參數(shù)優(yōu)化的經(jīng)驗(yàn)公式，NES能很好地抑制梁的振動(dòng)。劉海平等[5]研究表明NES可以有效抑制星載飛輪的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)輸出擾振。Zhang等[6]在飛機(jī)機(jī)翼上安裝兩個(gè)NES以控制自由流引起的振動(dòng)，研究發(fā)現(xiàn)升沉模式和俯仰模式的能量可以傳遞到不同的NES上，大大提高了能量的轉(zhuǎn)移效率。Yang等[7]采用縮放的航天器模型，利用NES使其振動(dòng)大大降低。孫斌等[8]在民用航空發(fā)動(dòng)機(jī)上安裝NES，將雙轉(zhuǎn)子發(fā)動(dòng)機(jī)兩激勵(lì)頻率比設(shè)為1∶4.75，NES對(duì)這種雙頻帶激勵(lì)取得了明顯的振動(dòng)抑制效果。李爽等[9]研究表明NES能使得受外部沖擊激勵(lì)的船艦快速趨于穩(wěn)定，但沖擊能量需超過(guò)臨界閾值才能實(shí)現(xiàn)靶能量傳遞。賈富淳等[10]采用二自由度線性動(dòng)力吸振器控制汽車(chē)發(fā)動(dòng)機(jī)整機(jī)振動(dòng)以減少其傳遞到車(chē)身的能量。

但當(dāng)減振結(jié)構(gòu)附加上NES后，系統(tǒng)會(huì)表現(xiàn)出復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性，并影響結(jié)構(gòu)的減振性能。Malatkar等[11]在耦合了非線性能量阱的諧波激勵(lì)下的線性子系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)了倍周期分岔、霍普夫分岔、混沌等現(xiàn)象。Starosvetsky等[12]通過(guò)改變初始值使得系統(tǒng)在同一激勵(lì)頻率下可同時(shí)出現(xiàn)三種響應(yīng)類(lèi)型，分別是周期響應(yīng)、準(zhǔn)周期響應(yīng)和混沌響應(yīng)。Starosvetsky等[13]進(jìn)一步研究了在簡(jiǎn)諧激勵(lì)和隨機(jī)激勵(lì)共同作用下非線性能量阱發(fā)生強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)的激勵(lì)幅度閾值。Zang等[14]研究了與非線性能量阱耦合線性結(jié)構(gòu)的復(fù)雜非線性行為，分析剛度和阻尼對(duì)混沌運(yùn)動(dòng)的影響。陳建恩等[15]發(fā)現(xiàn)隨著激勵(lì)幅值的增加，高低兩個(gè)穩(wěn)定分支的出現(xiàn)與合并。鐘銳等[16]使用串聯(lián)NES消除高分支響應(yīng)，并對(duì)NES參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。

基于此，現(xiàn)建立四分之一汽車(chē)動(dòng)力總成-NES二自由度系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，考慮動(dòng)力總成激勵(lì)力為簡(jiǎn)諧激勵(lì)和沖擊激勵(lì)兩種情況。簡(jiǎn)諧激勵(lì)下，運(yùn)用復(fù)變量-平均法得到系統(tǒng)的慢變方程，推導(dǎo)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)方程，并判斷解的穩(wěn)定性。通過(guò)動(dòng)力總成垂向振動(dòng)幅頻響應(yīng)分析NES對(duì)動(dòng)力總成垂向振動(dòng)的抑制效果；以平均能量耗散率最大為優(yōu)化目標(biāo)對(duì)NES的剛度進(jìn)行優(yōu)化；進(jìn)一步分析周期解的穩(wěn)定和不穩(wěn)定區(qū)域，利用時(shí)域響應(yīng)、相軌跡和Poincaré映射分析討論系統(tǒng)響應(yīng)機(jī)制，總結(jié)解的穩(wěn)定性和NES阻尼對(duì)減振效果的影響規(guī)律，提出NES阻尼的優(yōu)化原則。最后，在動(dòng)力總成沖擊激勵(lì)下，分析系統(tǒng)參數(shù)對(duì)NES能量耗散率的影響規(guī)律。以期為動(dòng)力總成-NES系統(tǒng)中NES參數(shù)的設(shè)計(jì)提供理論基礎(chǔ)。

1 動(dòng)力總成-NES模型

將非線性能量阱安裝在動(dòng)力總成上，建立動(dòng)力總成附加NES的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型如圖1所示。

Mp、Kp和Cp分別為動(dòng)力總成質(zhì)量、懸置剛度和懸置阻尼；Mn、Kn和Cn分別為非線性能量阱的質(zhì)量、剛度和阻尼；Fcosωt為動(dòng)力總成的簡(jiǎn)諧激振力；F為簡(jiǎn)諧激振力的幅值；ω為簡(jiǎn)諧激振力的頻率； t為時(shí)間圖1 四分之一動(dòng)力總成-NES振動(dòng)模型Fig.1 Quarter powertrain-NES vibration model

在動(dòng)力總成簡(jiǎn)諧激勵(lì)下，建立附加NES的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程:

(1)

(2)

(3)

式(3)中：0<ε<<1。

(4)

引入變量代換，令φ1=p1+iq1，φ2=p2+iq2。其中，p1、q1、p2和q2為關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)。將式(4)中的實(shí)部和虛部分離，可得

(5)

(6)

通過(guò)式(6)解得p1、q1，則動(dòng)力總成振幅為

(7)

為判斷系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的穩(wěn)定性，將式(6)在穩(wěn)態(tài)解附近展開(kāi)，取p1=p10+Δ1，q1=q10+Δ2，p2=p20+Δ3，q2=q20+Δ4。其中，p10、q10、p20、q20為方程的穩(wěn)態(tài)解，Δn(n=1,2,3,4)為對(duì)應(yīng)穩(wěn)態(tài)解附近的微小增量，代入式(5)得到有關(guān)增量的方程為

(8)

求系數(shù)矩陣的特征值以判斷穩(wěn)態(tài)解的穩(wěn)定性，特征因子為

Λ=max[Re(λ1,λ2,…,λn)]

(9)

式(9)中：λi(i=1,2,…,n)為式(8)右側(cè)的系數(shù)矩陣的特征值。若Λ<0，則該穩(wěn)態(tài)解逐漸穩(wěn)定。若Λ=0，則該穩(wěn)態(tài)解臨界穩(wěn)定。若Λ>0，則該穩(wěn)態(tài)解不穩(wěn)定。只有當(dāng)所有特征值的實(shí)部均為負(fù)數(shù)時(shí)，該解才是穩(wěn)定的。

2 簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的NES參數(shù)優(yōu)化及減振效果分析

2.1 動(dòng)力總成幅頻特性分析

四分之一動(dòng)力總成懸置系統(tǒng)的模型參數(shù)如表1所示。

令系統(tǒng)參數(shù)為激勵(lì)力幅值系數(shù)A=5，NES的質(zhì)量比一般取ε=0.1，剛度系數(shù)kn=8×106，阻尼系數(shù)λn=5。采用復(fù)變量-平均法和龍格庫(kù)塔法分別計(jì)算動(dòng)力總成垂向振動(dòng)響應(yīng)，結(jié)果如圖2所示。從圖2中可以看出，這兩種方法求得的數(shù)值解基本一致，且附加NES對(duì)抑制動(dòng)力總成垂向振動(dòng)有明顯效果。

表1 系統(tǒng)參數(shù)Table 1 System parameters

圖3為激勵(lì)力幅值系數(shù)A=20，不同NES剛度和阻尼下的動(dòng)力總成幅頻特性曲線。當(dāng)激勵(lì)力幅值系數(shù)A=20時(shí)，從圖3(a)和圖3(b)可以看出，動(dòng)力總成幅頻曲線出現(xiàn)兩個(gè)三解區(qū)。對(duì)比圖3(a)和圖3(b)，阻尼不變減小剛度，第一個(gè)三解區(qū)的高振幅分支逐漸降低；低振幅分支升高；動(dòng)力總成固有頻率處的振幅升高；三解區(qū)所在頻率范圍縮小。對(duì)比圖3(a)和圖3(c)，當(dāng)阻尼不變，剛度減小到一定值，如圖3(c)所示，三解區(qū)消失，但固有頻率處峰值升高。對(duì)比圖3(b)和圖3(d)，剛度不變?cè)龃笞枘釙r(shí)，三解區(qū)也會(huì)消失。對(duì)比圖3(d)和圖3(e)，阻尼不變?cè)龃髣偠?，能更大的降低峰值。如圖3(f)所示，雖然剛度進(jìn)一步增加使得固有頻率處的振幅持續(xù)降低，但峰值的出現(xiàn)降低了NES的減振效果，所以剛度不能無(wú)限的增大。選擇較大阻尼、合適的剛度，才能使NES實(shí)現(xiàn)良好的減振效果。若剛度阻尼選擇不當(dāng)，會(huì)出現(xiàn)分支或峰值。

圖2 A=5時(shí)的幅頻特性曲線(kn=8×106,λn=5)Fig.2 The amplitude-frequency characteristic curve when A=5 (kn=8×106,λn=5)

圖3 A=20時(shí)的動(dòng)力總成幅頻特性曲線Fig.3 Powertrain amplitude-frequency characteristic curve when A=20

2.2 NES剛度優(yōu)化

由2.1節(jié)分析可知，NES剛度影響著NES的減振效能，本節(jié)對(duì)NES的剛度進(jìn)行優(yōu)化，系統(tǒng)參數(shù)為激勵(lì)力幅值系數(shù)A=20，NES的質(zhì)量比ε=0.1，阻尼系數(shù)λn=5。

動(dòng)力總成和NES在時(shí)間(t0,t)中耗散的能量分別為E1和E2，即

(10)

設(shè)某激勵(lì)力頻率下的NES能量耗散率為

(11)

從圖3(f)可知，雖然在某些剛度下，固有頻率處的峰值會(huì)降得很低，但為避免新峰值的影響，所以?xún)?yōu)化目標(biāo)不是單個(gè)頻率下的能量耗散率，而是一段連續(xù)頻率范圍內(nèi)的平均能量耗散率，選取頻率范圍為[14，18] Hz，頻率間隔為0.1 Hz，總點(diǎn)數(shù)為40，則能量耗散率的平均值表示為

(12)

式(12)中：η2j為單個(gè)頻率點(diǎn)處的NES能量耗散率；j=1，2，…，40；N=40。

表2為不同激勵(lì)力幅值下最高平均能量耗散率對(duì)應(yīng)的NES最優(yōu)剛度系數(shù)。激勵(lì)力幅值越大，最優(yōu)NES剛度越小，平均能量耗散率略有降低。

2.3 系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)響應(yīng)對(duì)NES減振效果的影響規(guī)律

對(duì)于圖3(a)的幅頻響應(yīng)，動(dòng)力總成振幅A1在激勵(lì)力頻率f=14.5 Hz存在三解a1、a2和a3，在f=16.6 Hz存在一解b，在f=18.3 Hz存在三解c1、c2和c3。對(duì)于圖4(b)NES剛度優(yōu)化后的幅頻響應(yīng)，動(dòng)力總成振幅A1在f=16.6 Hz存在一解d。對(duì)比4點(diǎn)有無(wú)NES時(shí)的振幅，如圖5所示。衰減效果從高到低為d>b>a3，而a1、a2、c1、c2、c3對(duì)振動(dòng)沒(méi)有抑制效果。為深入分析各點(diǎn)減振機(jī)理，下文利用時(shí)程曲線、相軌跡和Poincaré映射圖研究各點(diǎn)的響應(yīng)機(jī)制，以建立響應(yīng)機(jī)制與振動(dòng)效果抑制的關(guān)系。

表2 不同激勵(lì)力幅值下最優(yōu)剛度Table 2 Optimal stiffness under different excitation force amplitudes

圖5 選取驗(yàn)證點(diǎn)Fig.5 Select verification point

激勵(lì)力頻率f=14.5 Hz時(shí)的系統(tǒng)響應(yīng)如圖6和圖7所示。圖6(a)為動(dòng)力總成和NES的時(shí)程曲線，圖6(b)為動(dòng)力總成的相軌跡及Poincaré映射。圖6中動(dòng)力總成經(jīng)短暫的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)后變?yōu)榉€(wěn)態(tài)周期運(yùn)動(dòng)，振幅A1穩(wěn)定在0.01 m，即a3點(diǎn)的幅值，其中準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)受不穩(wěn)定解a2的影響。圖7中給定初始值，動(dòng)力總成表現(xiàn)為周期運(yùn)動(dòng)，振幅A1穩(wěn)定在0.04 m，即a1點(diǎn)的幅值。所以當(dāng)初始值較大時(shí)，動(dòng)力總成振幅就會(huì)落在高振幅分支上。

激勵(lì)力頻率f=16.6 Hz時(shí)，b點(diǎn)系統(tǒng)響應(yīng)如圖8所示。由圖8可見(jiàn)單個(gè)不穩(wěn)定解時(shí)，動(dòng)力總成表現(xiàn)為混沌運(yùn)動(dòng)。

激勵(lì)力頻率f=18.3 Hz時(shí)的系統(tǒng)響應(yīng)如圖9所示。因兩不穩(wěn)定解c1和c2的幅值較小，且距離穩(wěn)定解c3較近，動(dòng)力總成響應(yīng)經(jīng)一段準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)后變?yōu)榉€(wěn)態(tài)周期運(yùn)動(dòng)，動(dòng)力總成振幅A1穩(wěn)定在0.007 m，即c3點(diǎn)。

激勵(lì)力頻率f=16.6 Hz時(shí)，d點(diǎn)系統(tǒng)響應(yīng)如圖10所示，動(dòng)力總成表現(xiàn)為準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)。

圖6 對(duì)應(yīng)于a3點(diǎn)的動(dòng)力總成的周期運(yùn)動(dòng)Fig.6 The periodic motion of the powertrain corresponding to point a3

圖7 對(duì)應(yīng)于a1點(diǎn)的動(dòng)力總成的周期運(yùn)動(dòng)Fig.7 The periodic motion of the powertrain corresponding to point a1

圖8 對(duì)應(yīng)于b點(diǎn)的動(dòng)力總成的混沌運(yùn)動(dòng)Fig.8 The chaotic motion of the powertrain corresponding to point b

圖9 對(duì)應(yīng)于c3點(diǎn)的動(dòng)力總成的周期運(yùn)動(dòng)Fig.9 The periodic motion of the powertrain corresponding to point c3

圖10 對(duì)應(yīng)于d點(diǎn)的動(dòng)力總成的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)Fig.10 The quasi-periodic motion of the powertrain corresponding to point d

從圖6～圖10可以看出，圖5(a)的單不穩(wěn)定解區(qū)域的系統(tǒng)響應(yīng)為混沌運(yùn)動(dòng)，三解區(qū)的高穩(wěn)定分支在較大初始條件下可能出現(xiàn)，應(yīng)注意避免；三解區(qū)的不穩(wěn)定解會(huì)使得動(dòng)力總成產(chǎn)生短暫的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)，但很快變成穩(wěn)態(tài)周期運(yùn)動(dòng)，不穩(wěn)定解影響不大。圖5(b)的不穩(wěn)定解區(qū)域的系統(tǒng)響應(yīng)為準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)。

結(jié)合圖5(a)和圖5(b)中各點(diǎn)的衰減效果，可見(jiàn)減振效果從高到低依次為準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)、混沌運(yùn)動(dòng)和穩(wěn)態(tài)周期運(yùn)動(dòng)。

2.4 NES阻尼優(yōu)化

選取系統(tǒng)參數(shù)為激勵(lì)力頻率f=16.6 Hz，NES質(zhì)量比ε=0.1，剛度系數(shù)kn=3.73×106。以NES的阻尼為分岔參數(shù)，分析其對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響。動(dòng)力總成和NES位移隨NES阻尼系數(shù)λn變化的分岔情況如圖11所示。

從圖11可以看出，隨著阻尼的增加，系統(tǒng)存在十分復(fù)雜的響應(yīng)，如混沌運(yùn)動(dòng)、倍周期運(yùn)動(dòng)、準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)和單周期運(yùn)動(dòng)。根據(jù)2.2節(jié)的結(jié)論，在準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)的范圍內(nèi)動(dòng)力總成振動(dòng)衰減效果明顯，因此，NES阻尼取值的最優(yōu)范圍應(yīng)為[2.7，5.6]。

圖11 位移隨NES阻尼變化的分岔圖Fig.11 Bifurcation diagram of displacement with NES damping

3 沖擊激勵(lì)下的NES參數(shù)優(yōu)化和減振效果分析

系統(tǒng)初始能量和NES在時(shí)間(t0,t)中的耗散能量可以表示為

(13)

設(shè)NES的能量耗散率為

(14)

圖12為NES剛度和阻尼對(duì)能量耗散率的影響。由圖12可知，剛度系數(shù)kn=[5 500,0.51×106]，阻尼系數(shù)λn=[0.9,9.6]范圍內(nèi)的紅色區(qū)域均能取得65.85%以上的能量耗散率，其中最高能量耗散率為74.71%，此時(shí)剛度和阻尼為kn=1×105，λn=3.3。

圖15為有無(wú)NES時(shí)的動(dòng)力總成時(shí)程曲線對(duì)比。由圖15(a)可見(jiàn)無(wú)NES時(shí)的動(dòng)力總成振幅經(jīng)過(guò)2 s減到0，NES采用圖13中最優(yōu)剛度和阻尼時(shí)的動(dòng)力總成振幅經(jīng)過(guò)0.5 s減到0，大大縮短了沖擊激勵(lì)的振動(dòng)衰減時(shí)間。圖15(b)有NES時(shí)的振動(dòng)衰減速度和圖15(a)相比變慢。

圖12 NES剛度和阻尼對(duì)能量耗散率的影響 Fig.12 Influence of NES stiffness and damping on energy

圖13 初始速度和NES剛度對(duì)能量耗散率的影響 (ε=0.1,λn=3.3)Fig.13 The influence of initial velocity and NES stiffness on energy dissipation rate (ε=0.1,λn=3.3)

圖14 初始速度和NES質(zhì)量對(duì)能量耗散率的影響 (kn=1×105,λn=3.3)Fig.14 The influence of initial speed and NES quality on energy dissipation rate (kn=1×105,λn=3.3)

圖15 有無(wú)NES時(shí)的時(shí)程曲線對(duì)比 (ε=0.1,λn=3.3)Fig.15 Comparison of time history curves with and without NES(ε=0.1,λn=3.3)

4 結(jié)論

以四分之一動(dòng)力總成垂向振動(dòng)模型為研究對(duì)象，研究了非線性能量阱耦合對(duì)動(dòng)力總成模型垂向振動(dòng)的抑制性能和NES參數(shù)優(yōu)化方法。通過(guò)理論與仿真分析得到以下結(jié)論。

(1)NES選取合適的剛度和阻尼時(shí)，可消除動(dòng)力總成垂向振動(dòng)幅頻響應(yīng)的高振幅分支和新共振峰。

(2)以NES平均能量耗散率最大為目標(biāo)得到的最優(yōu)NES剛度，在動(dòng)力總成固有頻率附近取得了更為明顯的減振效果。簡(jiǎn)諧激勵(lì)幅值越大，最優(yōu)NES剛度越小，平均能量耗散率略有降低。

(3)結(jié)合動(dòng)力總成垂向振動(dòng)幅頻響應(yīng)進(jìn)行系統(tǒng)響應(yīng)機(jī)制分析得到減振效果從高到低依次為準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)、混沌運(yùn)動(dòng)和穩(wěn)態(tài)周期運(yùn)動(dòng)。NES阻尼選擇位移分岔圖中準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的區(qū)間。

(4)在動(dòng)力總成沖擊激勵(lì)下，為取得較高的能量耗散率，NES阻尼可選范圍較大，NES剛度應(yīng)小一些；初始速度越大，NES剛度應(yīng)越?。籒ES質(zhì)量不應(yīng)過(guò)小。以能量耗散率最大為優(yōu)化目標(biāo)得到的最優(yōu)NES剛度和阻尼，能有效地抑制動(dòng)力總成在沖擊激勵(lì)下的振動(dòng)。