杜宏，王東柱

（1.大慶油田有限責(zé)任公司第十采油廠，黑龍江 大慶 163000；2.中國(guó)石油大慶石化公司化工一廠輸轉(zhuǎn)聯(lián)合車(chē)間，黑龍江 大慶 163714）

0 引言

雙伺服刀架作為數(shù)控機(jī)床的關(guān)鍵功能部件，數(shù)控機(jī)床的加工精度、被加工件質(zhì)量和穩(wěn)定性很大程度取決于刀架的動(dòng)態(tài)特性[1-2]。當(dāng)?shù)都芄ぷ鲿r(shí)的激振頻率接近其固有頻率時(shí)會(huì)發(fā)生共振[3]，極大程度地影響數(shù)控機(jī)床的加工精度，嚴(yán)重時(shí)甚至?xí)?dǎo)致刀架發(fā)生破壞。

目前國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者在對(duì)可靠性設(shè)計(jì)與評(píng)估方法、頻率可靠性以及數(shù)控機(jī)床及其零部件的可靠性設(shè)計(jì)方面取得了較多成果，但是對(duì)于雙伺服刀架頻率可靠性的研究還比較少。在可靠性設(shè)計(jì)與評(píng)估方法方面，HuangXZ等[4]提出了一種用截?cái)嚯S機(jī)變量評(píng)價(jià)齒輪機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)精度可靠性的新方法，建立了齒輪機(jī)構(gòu)可靠性分析的數(shù)學(xué)模型。對(duì)實(shí)際應(yīng)用進(jìn)行了討論，并詳細(xì)分析了該方法的有效性。隨后，針對(duì)二次多項(xiàng)式曲面的失效概率無(wú)法求解的問(wèn)題，一種利用鞍點(diǎn)近似進(jìn)行可靠性分析的二階可靠性方法被提出了[5]，并通過(guò)三個(gè)數(shù)值算例，比較了所提出的二階可靠性方法與一階可靠性方法、常規(guī)二階可靠性方法和蒙特卡羅模擬方法的性能。Nguyen N等[6]提出一種既考慮間歇性影響，又考慮低慣性影響的高貫穿風(fēng)力發(fā)電系統(tǒng)可靠性評(píng)估新方法，此方法是利用離散卷積方法開(kāi)發(fā)的，在IEEE RTS-79系統(tǒng)上進(jìn)行了實(shí)現(xiàn)，并做了適當(dāng)?shù)男拚?。XuJ等[7]提出了一種新的二元降維方法(BDRM)，用于統(tǒng)計(jì)力矩評(píng)估和結(jié)構(gòu)可靠性分析，還利用已有的一些方法證明了該方法的優(yōu)越性。結(jié)果表明，所提出的方法可以保持結(jié)構(gòu)可靠性分析的精度和效率。在頻率可靠性分析方面，Zhang YM等[8]根據(jù)頻率可靠性理論，提出了一種計(jì)算機(jī)械結(jié)構(gòu)在動(dòng)態(tài)激勵(lì)下的可靠度的方法，并通過(guò)數(shù)值實(shí)例驗(yàn)證了該方法的有效性和準(zhǔn)確性。Lei M等[9]采用隨機(jī)因子法研究了材料參數(shù)不確定性對(duì)自然頻率隨機(jī)性的影響。此外，還基于頻率可靠性理論，提出了一種計(jì)算機(jī)械結(jié)構(gòu)在動(dòng)態(tài)激勵(lì)下的可靠性靈敏度的方法。Lu CM等[10]研究了實(shí)際工程隨機(jī)動(dòng)力結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中任意分布參數(shù)的頻率可靠性及其相關(guān)理論，并利用機(jī)械動(dòng)力學(xué)、隨機(jī)有限元法和可靠性理論，提出了避免共振的頻率可靠性方法。在數(shù)控機(jī)床及其零部件的可靠性設(shè)計(jì)方面，Zhang XF等[11]采用乘法降維法(M-DRM)對(duì)機(jī)床進(jìn)行了系統(tǒng)可靠性和全局靈敏度分析，并用蒙特卡羅模擬方法驗(yàn)證了計(jì)算結(jié)果。劉晨曦等[12]采用多態(tài)故障樹(shù)對(duì)伺服刀架進(jìn)行了系統(tǒng)可靠性分析，并得出電氣子系統(tǒng)和密封子系統(tǒng)為伺服刀架的薄弱環(huán)節(jié)。Li CY等[13]基于測(cè)量不確定性理論分析了動(dòng)力伺服刀架的分度精度可靠性及其靈敏度，并用試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了驗(yàn)證。隨后，針對(duì)數(shù)控機(jī)床可靠性低的問(wèn)題，Li CY等[14]提出了計(jì)算機(jī)數(shù)控車(chē)床主軸過(guò)大靜態(tài)變形失效的可靠性?xún)?yōu)化設(shè)計(jì)。王新剛等[15]建立了端齒盤(pán)的分度誤差模型，將可靠性理論與靈敏度分析方法相結(jié)合，給出了動(dòng)力伺服刀架端齒盤(pán)分度精度可靠性靈敏度設(shè)計(jì)的分析方法。楊周等[16]研究了結(jié)構(gòu)參數(shù)變化對(duì)數(shù)控機(jī)床中的電主軸抗共振性能的影響，并通過(guò)頻率可靠性及靈敏度分析給出了改善電主軸性能的方法。

本文分析了雙伺服刀架的頻率可靠性及隨機(jī)變量的靈敏度，并給出了提高刀架可靠性的建議。第1節(jié)建立了雙伺服刀架的有限元模型；第2節(jié)對(duì)雙伺服刀架進(jìn)行了模態(tài)分析；第3節(jié)對(duì)雙伺服刀架的參數(shù)進(jìn)行篩選以及采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行固有頻率的擬合；第4節(jié)分別采用隨機(jī)攝動(dòng)法與Monte-Carlo法求解雙伺服刀架整機(jī)頻率可靠度，兩種方法的計(jì)算結(jié)果相對(duì)誤差是0.16%，這證明了用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立的狀態(tài)函數(shù)的合理性和有效性。最后對(duì)各隨機(jī)變量的靈敏度進(jìn)行分析，篩選處敏感參數(shù)為進(jìn)一步的穩(wěn)健優(yōu)化提供指導(dǎo)。

采用有限元法對(duì)雙伺服刀架建立了參數(shù)化模型并進(jìn)行模態(tài)分析。利用改進(jìn)的拉丁超立方試驗(yàn)方法隨機(jī)抽取大量試驗(yàn)樣本，并采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)試驗(yàn)樣本進(jìn)行函數(shù)關(guān)系的擬合，最后分別采用隨機(jī)攝動(dòng)法與Monte-Carlo法求解雙伺服刀架整機(jī)頻率可靠度與隨機(jī)變量的靈敏度。

1 雙伺服刀架系統(tǒng)的參數(shù)化建模

雙伺服刀架系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示，包括刀盤(pán)、刀架箱體、刀盤(pán)驅(qū)動(dòng)伺服電機(jī)、動(dòng)力刀驅(qū)動(dòng)伺服電機(jī)、刀盤(pán)轉(zhuǎn)位傳動(dòng)機(jī)構(gòu)和動(dòng)力刀驅(qū)動(dòng)傳動(dòng)機(jī)構(gòu)。其中刀盤(pán)轉(zhuǎn)位傳動(dòng)機(jī)構(gòu)包括刀盤(pán)驅(qū)動(dòng)軸、齒輪、動(dòng)齒盤(pán)、定齒盤(pán)、鎖緊齒盤(pán)和刀盤(pán)；動(dòng)力刀驅(qū)動(dòng)傳動(dòng)機(jī)構(gòu)包括離合裝置、第Ⅰ傳動(dòng)軸、第Ⅱ傳動(dòng)軸、第Ⅲ傳動(dòng)軸、水平錐齒輪、豎直錐齒輪、從動(dòng)錐齒輪和主動(dòng)錐齒輪。

圖1 雙伺服刀架結(jié)構(gòu)

1.1 雙伺服刀架參數(shù)的選擇

為了便于建立雙伺服刀架的參數(shù)化模型，提高有限元分析的效率，在不影響分析結(jié)果的情況下對(duì)模型做以下簡(jiǎn)化：

(1)簡(jiǎn)化截面形狀，去掉較小的倒角和圓角，用直角過(guò)渡。(2)在保證孔徑準(zhǔn)確的前提下，將螺紋孔簡(jiǎn)化為光孔。(3)軸、鍵與聯(lián)軸器為過(guò)盈配合，所以將三者進(jìn)行一體化處理；同時(shí)將錐齒輪簡(jiǎn)化為等體積等直徑的圓柱體。

在雙伺服刀架系統(tǒng)中，各零件結(jié)構(gòu)參數(shù)和材料參數(shù)的變化會(huì)影響伺服刀架整機(jī)的固有頻率，進(jìn)而影響其可靠度，故將重要零件的結(jié)構(gòu)特征與材料特性作為隨機(jī)參數(shù)。

1.2 雙伺服刀架有限元模型

使用實(shí)體單元對(duì)刀架整機(jī)模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分，由于雙伺服刀架內(nèi)部零件較多而且結(jié)構(gòu)復(fù)雜，所以采用四面體網(wǎng)格，并做合理簡(jiǎn)化。網(wǎng)格劃分結(jié)果為13 621個(gè)單元，343 910個(gè)節(jié)點(diǎn)，有限元模型如圖2所示。

圖2 雙伺服刀架有限元模型

2 雙伺服刀架模態(tài)分析

n自由度的線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為：

式中：[M]為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣；[C]為阻尼矩陣；[K]為剛度矩陣；為加速度響應(yīng)矩陣；為 速度響應(yīng)矩陣；{u}為位移響應(yīng)矩陣；{f(t)}為激勵(lì)力矩陣。

由于雙伺服刀架結(jié)構(gòu)的阻尼較小，可將其阻尼忽略不計(jì)，進(jìn)而得到雙伺服刀架系統(tǒng)的無(wú)阻尼自由運(yùn)動(dòng)微分方程：

設(shè)解為：

式中：{A}i為振幅列矩陣；ωi為系統(tǒng)的固有頻率；θ為初相位。

式 (3)帶入式 (2)，有

雙伺服刀架系統(tǒng)的固有頻率和振型即為式(4)的特征值和特征向量。

采用Workbench求解出刀架整機(jī)前六階固有頻率與固有振型，各階固有頻率數(shù)值如表1所示，對(duì)應(yīng)固有振型如圖3所示，其中最低階固有頻率為456.35 Hz，遠(yuǎn)大于雙伺服刀架最高轉(zhuǎn)速12 000 r/min所對(duì)應(yīng)的頻率200 Hz，表明刀架安全性較高。

表1 雙伺服刀架前6階固有頻率

圖3 雙伺服刀架前6階振型圖

如圖3所示，雙伺服刀架的第一階振型為動(dòng)力刀座的X方向擺動(dòng)；第二階振型為動(dòng)力刀座的Z方向擺動(dòng)；第三階振型為箱體尾部Z方向擺動(dòng)；第四階振型為從動(dòng)錐齒輪的Y方向擺動(dòng)；第五階振型為轉(zhuǎn)位電機(jī)的Z方向擺動(dòng)；第六階振型為從動(dòng)錐齒輪的Z方向擺動(dòng)。

3 雙伺服刀架參數(shù)的篩選及固有頻率擬合

利用isight集成Workbench進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)，通過(guò)改變輸入?yún)?shù)的取值來(lái)獲得對(duì)應(yīng)的輸出參數(shù)，極為高效地得到所需樣本數(shù)據(jù)。為了保證雙伺服刀架的安全性，刀架工作時(shí)的最高轉(zhuǎn)速應(yīng)小于其最低臨界轉(zhuǎn)速，因此本文在進(jìn)行可靠性分析時(shí)只考慮雙伺服刀架的第一階固有頻率。

將23個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)和21個(gè)材料參數(shù)作為輸入?yún)?shù)，每一次輸入?yún)?shù)的變化都會(huì)獲得對(duì)應(yīng)的第一階固有頻率數(shù)值。由于雙伺服刀架系統(tǒng)的參數(shù)數(shù)目較多，而部分參數(shù)的變化對(duì)刀架的固有頻率影響并不明顯，所以在進(jìn)行可靠性分析時(shí)可以忽略這些參數(shù)。

首先對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)和材料參數(shù)進(jìn)行正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)，得到Pareto貢獻(xiàn)圖，由于貢獻(xiàn)度排序中從第10個(gè)及之后參數(shù)貢獻(xiàn)度較小，所以取前10個(gè)參數(shù)作為隨機(jī)變量。本文中所有隨機(jī)變量參數(shù)均服從正態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)差取均值的0.05倍。各隨機(jī)變量的均值和標(biāo)準(zhǔn)差如表2所示。

表2 各隨機(jī)變量的均值和標(biāo)準(zhǔn)差

對(duì)篩選后的10個(gè)隨機(jī)變量進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)，采用最優(yōu)的拉丁超立方試驗(yàn)方法生成1 000組試驗(yàn)樣本，10個(gè)隨機(jī)變量對(duì)第一階固有頻率的Pareto貢獻(xiàn)圖如圖4所示。其中，dn、Edp、Ecp、dz2、d41和d43對(duì)第一階固有頻率是正影響，ρdp、ρcp、ρz和d22對(duì)第一階固有頻率是負(fù)影響。

圖4 隨機(jī)變量對(duì)第一階固有頻率的影響

利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合雙伺服刀架系統(tǒng)第一階固有頻率與隨機(jī)變量之間的函數(shù)關(guān)系。其中，輸入層參數(shù)為上述10個(gè)隨機(jī)變量，輸出層參數(shù)為雙伺服刀架第一階固有頻率，即輸入層節(jié)點(diǎn)數(shù)為10，輸出層節(jié)點(diǎn)數(shù)為1。本文采用一個(gè)隱含層，隱含層傳遞函數(shù)為L(zhǎng)og-Sigmoid，輸出層傳遞函數(shù)為Purelin。確定隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)的經(jīng)驗(yàn)公式為：

式中：M為隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)；m和n分別為輸入層和輸出層節(jié)點(diǎn)數(shù)；a為[0，10]之間的常數(shù)。

選取M=30。雙伺服刀架系統(tǒng)第一階固有頻率Y和隨機(jī)變量X之間的函數(shù)關(guān)系可以表示為：

式中：wij、wjk分別為輸入層-隱含層和隱含-輸出層的連接權(quán)值；bj、bk分別為隱含層和輸出層的閾值；φ(·)為隱含層的傳遞函數(shù)；ψ(·)為輸出層的傳遞函數(shù)。

由于輸入的數(shù)據(jù)波動(dòng)性較大，為了提高訓(xùn)練速度與精度，在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練之前要對(duì)輸入和輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理：

式中：x為樣本數(shù)據(jù)中參數(shù)的初始值；x*為對(duì)樣本數(shù)據(jù)歸一化后的值；xmax為數(shù)據(jù)中參數(shù)最大值；xmin為數(shù)據(jù)中參數(shù)最小值。

網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練誤差的目標(biāo)設(shè)定為10-6，將1000組數(shù)據(jù)隨機(jī)劃分成800組訓(xùn)練樣本和200組測(cè)試樣本，先對(duì)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練，完成函數(shù)的擬合，再進(jìn)行測(cè)試。訓(xùn)練過(guò)程中均方誤差的變化曲線如圖5所示，經(jīng)過(guò)4 067次訓(xùn)練，樣本的均方誤差達(dá)到了9.999 7×10-7；從圖6可以看出，訓(xùn)練后網(wǎng)絡(luò)實(shí)際輸出接近期望輸出，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合效果比較理想；由圖7可知，測(cè)試階段數(shù)據(jù)擬合較準(zhǔn)確，因此神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合出的函數(shù)可以用于構(gòu)建功能函數(shù)。

圖5 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練過(guò)程誤差變化

圖6 訓(xùn)練階段期望值與實(shí)際值對(duì)比

圖7 測(cè)試階段期望值與實(shí)際值對(duì)比

4 頻率可靠性及靈敏度分析

本文研究的雙伺服刀架系統(tǒng)的最高轉(zhuǎn)速為12 000 r/min，對(duì)應(yīng)頻率為200 Hz，根據(jù)可靠性干涉理論，功能函數(shù)可以表示為

式中：F(X)為通過(guò)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合得到的網(wǎng)絡(luò)輸出值；X=(Edp，ρdp，Ecp，ρcp，ρz，dn，dz2，d22，d41，d43)T為基本隨機(jī)變量向量；γ為一特定區(qū)間，通常為基頻的15%倍，即0.15F(X)。

本文分別采用隨機(jī)攝動(dòng)法[17]與Monte-Carlo法計(jì)算雙伺服刀架的頻率可靠度，其中Monte-Carlo法抽樣105次。攝動(dòng)法的可靠度計(jì)算公式為

式中：fX(X)為基本隨機(jī)變量向量的聯(lián)合概率密度函數(shù)；g(X)為功能函數(shù)。

隨機(jī)變量X和狀態(tài)函數(shù)g(X)與其對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)期望、方差為

式 中：[X-E(X)][2]=[X-E(X)]?[X-E(X)]為[X-E(X)]的Kronecker冪，符號(hào)?為Kronecker積。

把gp(X)在E(X)=Xd附近Taylor展開(kāi)到一階為止，有：

把式(17)代入式(16)中可得：

式中：Var(X)為隨機(jī)變量的方差；σg(X)2為狀態(tài)函數(shù)的方差。

可靠性指標(biāo)β定義為：

可靠度為：

式中：Φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。

可靠度計(jì)算結(jié)果如表3所示。

表3 雙伺服刀架頻率可靠度計(jì)算結(jié)果

進(jìn)一步求解可靠度關(guān)于基本隨機(jī)變量均值和方差的靈敏度[18]，其表達(dá)式分別為

式中：

式 (28)中：In為n×n單位矩陣；Un×n為n2×n2矩陣。

由于雙伺服刀架模型中的各個(gè)隨機(jī)變量單位不統(tǒng)一，無(wú)法直接進(jìn)行比較，需要對(duì)其進(jìn)行無(wú)量綱化。轉(zhuǎn)化矩陣分別為T(mén)1和T2，且為對(duì)角矩陣。

式中：σi為隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差；R2為刀架整機(jī)頻率可靠度。無(wú)量綱化后的均值和方差的靈敏度矩陣為：

無(wú)量綱化后的靈敏度計(jì)算結(jié)果為

由表3中的可靠度計(jì)算結(jié)果可知，隨機(jī)攝動(dòng)法與Monte-Carlo法計(jì)算出的可靠度數(shù)值比較接近，可以驗(yàn)證隨機(jī)攝動(dòng)法的準(zhǔn)確性，而且隨機(jī)攝動(dòng)法節(jié)省時(shí)間，提高了可靠性分析效率。

從無(wú)量綱化后的隨機(jī)變量均值的靈敏度計(jì)算結(jié)果可以看出，隨著Edp、Ecp、dn、dz2、d41、d43參數(shù)均值數(shù)值的增加，雙伺服刀架系統(tǒng)頻率的可靠性更高，結(jié)構(gòu)更趨于穩(wěn)定。參數(shù)ρdp、ρcp、ρz、d22均值的增加會(huì)導(dǎo)致雙伺服刀架系統(tǒng)頻率可靠度變低。其中ρdp對(duì)刀架整機(jī)的頻率可靠性最為敏感，優(yōu)化此參數(shù)對(duì)刀架整機(jī)穩(wěn)定性的提高起重要作用。

從無(wú)量綱化后的隨機(jī)變量方差的靈敏度計(jì)算結(jié)果可以看出，所有隨機(jī)變量方差降低可以導(dǎo)致雙伺服刀架系統(tǒng)頻率可靠性變高，抵抗共振的能力更強(qiáng)。

5 結(jié)語(yǔ)

(1)本文分別采用隨機(jī)攝動(dòng)法與Monte-Carlo法計(jì)算了雙伺服刀架的頻率可靠度，并且計(jì)算出的可靠度數(shù)值接近，驗(yàn)證了雙伺服刀架可靠性分析的正確性；且可靠度較高，表明雙伺服刀架系統(tǒng)比較穩(wěn)定。

(2)通過(guò)對(duì)雙伺服刀架中各個(gè)隨機(jī)變量的可靠性靈敏度分析可得：ρdp對(duì)雙伺服刀架頻率可靠度影響最大，適當(dāng)?shù)脑黾觗n、dz2、d41和d43的尺寸會(huì)提高刀架的頻率可靠度，而且提高雙伺服刀架中零部件的加工質(zhì)量與加工精度也會(huì)使雙伺服刀架系統(tǒng)趨于可靠。

(3)本文通過(guò)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立了雙伺服刀架可靠性數(shù)學(xué)模型，這種方法可以應(yīng)用于其他類(lèi)型的伺服刀架中。而且通過(guò)試驗(yàn)設(shè)計(jì)得出的Pareto貢獻(xiàn)圖與通過(guò)可靠性與靈敏度理論計(jì)算得到的隨機(jī)變量影響程度與影響性質(zhì)一致，驗(yàn)證了通過(guò)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立的功能函數(shù)的準(zhǔn)確性，同時(shí)也驗(yàn)證了可靠性靈敏度分析的準(zhǔn)確性。