昆明市滇池度假區(qū)實驗學校 倪方友

2022年云南省初中學業(yè)水平考試數(shù)學試題體現(xiàn)了《義務教育數(shù)學課程標準》（2022年版）的要求，緊扣教材，注重基礎，回歸數(shù)學本質，堅持以學定考，面向全體學生，全面落實“雙減”政策要求，切實減輕學生過重負擔．分析和研究試題有助于我們領悟教學的著力點，為新一年初中數(shù)學教學和學業(yè)水平考試備考指明方向.

一、試題評析

（一）遵循原則，強化基礎考查

命題方向重在落實課程標準的目標要求，回歸教材，體現(xiàn)了“雙減”政策導向的原則.試題對初中數(shù)學必備的基礎知識的考查占了90%以上，對必要的運算技能、數(shù)量的變化規(guī)律、方程函數(shù)的應用、基本的證明方法和幾何直觀能力、數(shù)據(jù)觀念和隨機意識、合情推理和演繹推理等能力進行考查．其中，容易題分值達85分以上，中檔題約24分，較難題約11分，難度設計符合7∶2∶1的要求，充分體現(xiàn)了初中學業(yè)水平考試要求，讓每一位學生在考試中均有獲得感和成功的體驗，讓絕大多數(shù)的學生達到合格水平，凸顯義務教育階段的特點．

A.第一、第三象限 B.第一、第四象限

C.第二、第三象限 D.第二、第四象限

評析：本題是一道基礎題，來源于人教版數(shù)學教材九年級下冊第6頁練習第2題．課標對應的目標要求：能畫出反比例函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象和表達式探索并理解k＞0和k＜0時，圖象的變化．試題主要考查數(shù)形結合思想及其合理判斷，學生只要掌握了反比例函數(shù)圖象的性質，直接由k值的正負即可得到正確答案．

例2 （第9題）如圖1，已知AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為E，若AB =26，CD =24，則∠OCE余弦值為（ ）

圖1

評析：本題是一道有一定綜合性的基礎題，來源于人教版數(shù)學教材八年級下冊第28頁習題17.1第1題和九年級下冊第65頁練習第1題的整合．課標對應的目標要求：探索勾股定理及其逆定理，并能運用它們解決一些簡單的實際問題；能用銳角三角函數(shù)解直角三角形．本題涉及的知識點有垂徑定理、勾股定理和銳角三角函數(shù)中余弦的定義等相關知識，主要考查學生對概念的理解力，推理能力和運算能力．

（二）注重通法，回歸數(shù)學本質

全卷試題的設計，回歸數(shù)學本質，注重對基本原理、解題的通法和基本的數(shù)學思想的考查，回避了偏、難、怪且需要特殊技巧的題目，有利于引導教育教學，切實減輕學生的學習負擔．

例3 （第18題）已知△ABC是等腰三角形，若∠A=40°，則△ABC的頂角度數(shù)是___________．

評析：本題屬于一道中檔題，來源于人教版數(shù)學教材八年級上冊第81頁習題13.3第1題．課標對應的目標要求：探索并證明三角形的內角和定理；探索并證明等腰三角形的性質定理：等腰三角形的兩底角相等．試題回歸數(shù)學本質，考查了三角形的內角和、等腰三角形的角的性質、等腰三角形的角的兩種分類等相關知識．試題主要考查了學生的幾何直觀和分類思想，讓學生感悟分類是一種重要的數(shù)學思想．

例4 （第21題）如圖2，在平行四邊形ABCD中，連接BD，E為線段AD的中點，延長BE與CD的延長線交于點F，連接AF，∠BDF=90°．

圖2

（1）求證：四邊形ABDF是矩形；

（2）若AD=5，DF=3，求四邊形ABCF的面積S．

評析：本題是基于教材背景原創(chuàng)的一道基礎題，課標對應的目標要求：探索并證明平行四邊形、矩形的性質定理和判定定理．該題直擊平行四邊形、矩形的定義和判定的基本定理，回歸數(shù)學知識的本身，考查了全等三角形的判定、勾股定理、平行四邊形的判定、矩形的判定和圖形的面積計算等知識和方法，讓學生容易入手．試題主要考查了學生的邏輯推理能力、運算能力和轉化思想．

（三）強調應用，體現(xiàn)育人價值

試題的情境設置貼近學生生活實際，讓學生有熟悉感，讓學生在真實情景中解決數(shù)學問題，注重應用意識和創(chuàng)新意識的考查．試題背景還滲透了中國傳統(tǒng)文化、民族文化，根植學生的家國情懷，增強民族自豪感，真正體現(xiàn)數(shù)學的育人價值．

例5 （第20題）某班甲、乙兩名同學被推薦到學校藝術節(jié)上表演節(jié)目，計劃用葫蘆絲合奏一首樂曲.要合奏的樂曲是用游戲的方式在《月光下的鳳尾竹》與《彩云之南》中確定一首．

游戲規(guī)則如下：在一個不透明的口袋中裝有分別標有數(shù)字1，2，3，4的四個小球（除標號外，其余都相同），甲從口袋中任意摸出1個小球，小球上的數(shù)字記為a.在另一個不透明的口袋中裝有分別標有數(shù)字1，2的兩張卡片（除標號外，其余都相同），乙從口袋里任意摸出1張卡片，卡片上的數(shù)字記為b.然后計算這兩個數(shù)的和，即a+b，若a+b為奇數(shù)，則演奏《月光下的鳳尾竹》；否則，演奏《彩云之南》．

（1）用列表法或畫樹狀圖法中的一種方法，求（a，b）所有可能出現(xiàn)的結果總數(shù)．

（2）你認為這個游戲公平嗎？如果公平，請說明理由；如果不公平，哪一首樂曲更可能被選中？

評析：本題是一道關于概率簡單應用的基礎題，來源于人教版數(shù)學教材九年級上冊第138頁例3．課標對應的目標要求：能通過列表、畫樹狀圖等方法列出簡單隨機事件所有可能的結果，以及指定事件發(fā)生的所有可能結果，了解事件的概率．該題是運用所學概率知識解決現(xiàn)實生活中某事件是否公平的問題，以學生都可能參加的學校藝術節(jié)及云南的民族樂器、民族歌曲為背景設置，在考查學生隨機意識的同時，更顯現(xiàn)學生對民族文化的了解，增強文化自信和民族自豪感，注重情境創(chuàng)設的育人功能．

例6 （第22題）某學校要購買甲、乙兩種消毒液，用于預防新型冠狀病毒.若購買9桶甲消毒液和6桶乙消毒液，則一共需要615元；若購買8桶甲消毒液和12桶乙消毒液，則一共需要780元．

（1）每桶甲消毒液、每桶乙消毒液的價格分別是多少元？

（2）若該校計劃購買甲、乙兩種消毒液共30桶，其中購買甲消毒液a桶，且甲消毒液的數(shù)量至少比乙消毒液的數(shù)量多5桶，又不超過乙消毒液的數(shù)量的2倍.怎樣購買，才能使總費用W最少？并求出最少費用．

評析：本題是一道學生常見的二元一次方程組、不等式組及一次函數(shù)的實際應用的典型試題，來源于人教版數(shù)學教材七年級下冊102頁習題8.3第8題和八年級下冊103頁問題2的整合．課標對應的目標要求：能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關系列出方程；能解二元一次方程組；能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關系，列出一元一次不等式，解決簡單問題；能用一次函數(shù)解決簡單實際問題．試題是以疫情防控為背景進行命題，是對“綜合與實踐”的微觀呈現(xiàn)，重點考查學生的數(shù)學建模能力（如圖3）．

圖3

（四）穩(wěn)中創(chuàng)新，直擊核心素養(yǎng)

初中學業(yè)水平考試不僅是對學生學完課程后目標達成度進行終結性評價，還是上一級學校招生錄取的重要依據(jù)．初中學業(yè)水平考試數(shù)學試題承擔了區(qū)分功能和選拔功能，重點對學生的抽象能力、幾何直觀、運算能力、推理能力、模型觀念等核心素養(yǎng)進行考查.學生需要對知識有較深層次的理解、熟練的解題方法、準確的運算能力，以及綜合運用知識解決問題的能力，才能解答．2022年試題在延續(xù)往年試題特點的基礎上有一定的創(chuàng)新，第23題和第24題是典型的創(chuàng)新題型，力圖考查學生的學習理解力、知識遷移運用能力和創(chuàng)新意識，有一定的難度，實現(xiàn)了試題的選拔和甄別功能，下面以第23題為例進行說明.

例7 （第23題）如圖4，四邊形ABCD的外接圓是以BD為直徑的⊙O，P是⊙O劣弧BC上的任意一點．連接PA，PC，PD，延長BC至E，使BD2=BC·BE．

圖4

（1）判斷直線DE與⊙O的位置關系，并證明你的結論；

（2）若四邊形ABCD是正方形，連接AC．當P與C重合時，或當P與B重合時，把轉化為正方形ABCD的有關線段長的比，可得．當P既不與C重合也不與B重合時，是否成立？請證明你的結論．

評析：本題是一道關于正方形的性質、圓的切線的判定、等腰直角三角形、相似三角形的判定和性質、線段的和與比等知識的開放性、綜合類試題，來源于人教版數(shù)學教材九年級上冊第87頁例4、第98頁練習第1題及第107頁正文圖24.3-7的整合.本題為全卷倒數(shù)第2題，覆蓋的知識點較多，方法靈活多樣，入口較難，具有一定的挑戰(zhàn)性，明顯承載著選拔和區(qū)分的功能.試題是學生平時不常見的類型，但注重通性通法，對學生的邏輯思維和綜合運用能力要求較高，需要通過觀察、實驗、猜想、驗證等完整思維過程，重點考查學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，區(qū)分度較明顯，直接把中等學生和基礎較弱的學生排除在外了，給優(yōu)秀學生充分的施展空間和探究舞臺.

二、教學啟示

2022年云南省初中學業(yè)水平考試數(shù)學試題的命題立意，除了達到考試的功能外，還試圖通過試題背后的設計去撬動初中數(shù)學教學的變革，指向“以學定考”“雙減雙升”，全面落實數(shù)學的知識內容、目標要求、質量標準，促進學生全面而有個性地發(fā)展，對今后的初中數(shù)學教育教學有很好的指導作用.

（一）扎實抓好基礎知識和基本技能的教學，回歸教材，充分利用教材

初中數(shù)學學業(yè)水平考試的方向是注重對數(shù)學基礎知識的考查，試題立意是回歸教材，抑制機械刷題.教材上例、習題改編的試題有19道，分值為87分，占比約72.5%（按題目數(shù)量約占80%），其中第16題是教材例題的原題.在平時教學中，教師必須夯實基礎，把所有的基礎知識和基本技能都要講清講透，做到基礎知識必過關，必備知識不漏項，扎扎實實落實好教材上的每一個概念、公式、法則、性質、公理、定理；深挖課本中的例、習題的價值，從解題方法和變式設計進行深入探究，弄清知識的來龍去脈和前后聯(lián)系，做到一題多解、多題一解、一題多得，達到舉一反三，觸類旁通的效果，避免大量重復練習，真正做到減負提質.

（二）注重知識的結果，更要重視知識的發(fā)生過程，積累數(shù)學活動經(jīng)驗

數(shù)學活動經(jīng)驗的積累是提高學生數(shù)學素養(yǎng)的重要標志，幫助學生積累數(shù)學活動經(jīng)驗是數(shù)學課堂教學的重要目標.教師在課堂教學中要設計有效的數(shù)學探究活動，組織學生操作實驗、觀察現(xiàn)象、提出猜想、推理論證，有效啟發(fā)學生思考，使學生經(jīng)歷數(shù)學的發(fā)生發(fā)展過程.2022年云南省初中學業(yè)水平考試數(shù)學試題第23、24題屬于較難的題目，解題方法多樣，重點考查學生的數(shù)學活動經(jīng)驗和分析問題、綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力.學生只有平時積累和經(jīng)歷體驗，才能快速準確作答.

（三）落實“四基”“四能”，強化關鍵能力和核心素養(yǎng)的培養(yǎng)

《義務教育數(shù)學課程標準》（2022年版）明確提出“三會”核心素養(yǎng)：會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界.具體體現(xiàn)：抽象能力、幾何直觀、空間觀念、運算能力、推理能力、數(shù)據(jù)觀念、模型觀念、應用意識和創(chuàng)新意識.教師要把核心素養(yǎng)導向的教學目標落實到平時的每一節(jié)課堂中，要整合教學內容，引導學生積極參與數(shù)學活動，培養(yǎng)學生從數(shù)學的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，綜合運用數(shù)學知識解決簡單的實際問題的能力，增強應用意識，提高實踐能力，同時獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，發(fā)展創(chuàng)新意識，培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)，真正體現(xiàn)數(shù)學的育人價值.