張建勛 杜黨波 司小勝 胡昌華 鄭建飛

受震動(dòng)沖擊、工況切換、機(jī)械磨損、化學(xué)侵蝕、負(fù)載變化以及能量消耗等因素影響,設(shè)備的健康性能水平將不可避免地劣化,最終導(dǎo)致其失效,甚至引起系統(tǒng)故障與事故,造成人員與財(cái)產(chǎn)的損失[1?3].作為預(yù)測(cè)與健康管理的關(guān)鍵技術(shù)之一,壽命與剩余壽命(Remaining useful life,RUL)預(yù)測(cè)技術(shù)能夠?yàn)樵O(shè)備維修管理提供有效的信息支持與理論支撐[4?5].因此,準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)設(shè)備壽命及剩余壽命具有重要的理論研究和工程應(yīng)用價(jià)值.

隨著傳感技術(shù)與監(jiān)測(cè)方法的進(jìn)步,系統(tǒng)的健康水平可通過狀態(tài)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù),也就是退化數(shù)據(jù)來體現(xiàn).另外,由于運(yùn)行環(huán)境、測(cè)量誤差、樣本差異性以及固有隨機(jī)性等影響,退化過程往往具有隨機(jī)性與不確定性[6?7].因此,基于隨機(jī)退化過程建模的設(shè)備壽命與剩余壽命預(yù)測(cè)方法在近些年得到了廣泛關(guān)注,并成為國(guó)內(nèi)外研究的熱點(diǎn)問題,如Gamma 退化過程模型、Wiener 退化過程模型、逆高斯退化過程模型等[8?9].相比于Gamma 過程與逆高斯過程等單調(diào)退化過程模型,Wiener 退化過程模型不僅能夠描述非單調(diào)的退化數(shù)據(jù),還具有良好的數(shù)學(xué)計(jì)算特性[8?11].鑒于此,本文主要關(guān)注基于Wiener 過程的退化建模與壽命預(yù)測(cè)問題.

目前,對(duì)于非單調(diào)退化過程模型,其壽命及剩余壽命往往定義為隨機(jī)退化過程首次達(dá)到失效閾值的時(shí)刻,即首達(dá)時(shí)間(First passage time,FPT)[8?9,12].也就是說,退化過程一旦達(dá)到給定的失效閾值,便認(rèn)為該設(shè)備發(fā)生了失效.這種壽命定義方式雖然適用于一些安全性要求較高的關(guān)鍵設(shè)備,但是相對(duì)保守.例如,當(dāng)退化過程具有較大的隨機(jī)性與波動(dòng)性時(shí),基于首達(dá)時(shí)間的定義方式可能就會(huì)導(dǎo)致退化過程較早達(dá)到給定閾值而引起設(shè)備提前終止運(yùn)行,造成較大的浪費(fèi).迄今為止,鮮有文獻(xiàn)考慮了這一實(shí)際問題.

實(shí)際上,退化數(shù)據(jù)是設(shè)備健康狀態(tài)水平的內(nèi)在變化的外在表現(xiàn).具體來說,設(shè)備的性能水平與健康狀態(tài)會(huì)隨使用次數(shù)以及時(shí)間的累積而不可避免地發(fā)生退化,表現(xiàn)為退化數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出遞增或者遞減的變化趨勢(shì),例如電池的電容量減少[13]、陀螺儀漂移系數(shù)的增長(zhǎng)[14]、軸承振動(dòng)幅度的變大[15]等.這些退化數(shù)據(jù)會(huì)隨著時(shí)間或使用次數(shù)的累積,最終超過并遠(yuǎn)離所給定的閾值.眾所周知,首達(dá)時(shí)間表示退化過程首次達(dá)到閾值的時(shí)刻,而最后逃逸時(shí)間(Last exit time,LET)則表示退化過程最后一次離開閾值的時(shí)刻[16?17],反映了設(shè)備最后一次恢復(fù)到正常狀態(tài)的時(shí)刻,也就是說從此以后退化過程徹底遠(yuǎn)離了失效閾值.首達(dá)時(shí)間對(duì)數(shù)據(jù)的動(dòng)態(tài)隨機(jī)性十分敏感,相比之下,最后逃逸時(shí)間具有更強(qiáng)的魯棒性,能夠避免由于退化過程動(dòng)態(tài)隨機(jī)性與數(shù)據(jù)波動(dòng)性所導(dǎo)致的設(shè)備過早終止運(yùn)行.

鑒于此,本文提出一種基于最后逃逸時(shí)間的隨機(jī)退化設(shè)備壽命與剩余壽命定義方式.在新框架下,以線性Wiener 過程模型為研究對(duì)象,首先建立了首達(dá)時(shí)間與最后逃逸時(shí)間之間的關(guān)系,然后推導(dǎo)得到了最后逃逸時(shí)間下壽命與剩余壽命分布的表達(dá)形式.此外,通過數(shù)值仿真驗(yàn)證了所得結(jié)論的理論正確性,并進(jìn)一步完成了模型參數(shù)敏感度分析.最后,通過實(shí)例說明了最后逃逸時(shí)間描述隨機(jī)退化設(shè)備壽命具有一定可行性與有效性.

1 問題描述

1.1 首達(dá)時(shí)間與最后逃逸時(shí)間

首達(dá)時(shí)間與最后逃逸時(shí)間的定義均來自隨機(jī)過程理論中的概念,反映了非單調(diào)隨機(jī)過程首次通過和最后一次離開某一給定邊界的時(shí)刻[16?19].受隨機(jī)過程的不確定性與動(dòng)態(tài)隨機(jī)性影響,隨機(jī)過程的軌跡可能多次往返于某一個(gè)給定邊界,如圖1 所示.

圖1 為仿真生成的一組非單調(diào)隨機(jī)退化軌跡.從圖中可以發(fā)現(xiàn),受模型的隨機(jī)性與不確定性影響,相同數(shù)學(xué)模型下的隨機(jī)過程其退化軌跡也會(huì)存在明顯的差異,這會(huì)導(dǎo)致首達(dá)時(shí)間與最后逃逸時(shí)間存在差異.因此,以下幾點(diǎn)需要注意:

1) 對(duì)于連續(xù)時(shí)間隨機(jī)退化過程,首達(dá)時(shí)間與最后逃逸時(shí)間均是一個(gè)隨機(jī)變量,反映了其取值范圍的各種可能性;

2) 對(duì)于隨機(jī)過程產(chǎn)生的某一退化軌跡而言,如果首達(dá)時(shí)間和最后逃逸時(shí)間已出現(xiàn),那么其首達(dá)時(shí)間和最后逃逸時(shí)間則是一個(gè)具體的特定時(shí)刻;

3) 如果該隨機(jī)過程具有馬爾科夫性,那么其首達(dá)時(shí)間、最后逃逸時(shí)間與過去狀態(tài)無關(guān),僅與當(dāng)前狀態(tài)相關(guān).

1.2 問題來源

圖2 表示某一軸承振動(dòng)退化數(shù)據(jù)的均方根值(Root mean square,RMS).從圖中可以看出,受退化過程的隨機(jī)性與波動(dòng)性影響,退化過程在超過某一給定閾值后,仍可能會(huì)回到閾值之下,并經(jīng)過較長(zhǎng)時(shí)間后才會(huì)最終離開閾值.因此,若直接用首達(dá)時(shí)間來定義該軸承的壽命與剩余壽命,預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)退化過程的隨機(jī)性和波動(dòng)性十分敏感,得到的結(jié)果過于保守,將導(dǎo)致設(shè)備提前終止運(yùn)行或過早維護(hù),造成較大浪費(fèi).

以西安交通大學(xué)雷亞國(guó)教授[15, 20]課題組所完成的全壽命周期軸承退化實(shí)驗(yàn)為例,若按照文獻(xiàn)[15]中所給出的軸承壽命定義方式(即令軸承最大振動(dòng)幅值小于20 g),首達(dá)時(shí)間下得到的壽命會(huì)明顯小于實(shí)際壽命,如表1 所示.相比之下,最后逃逸時(shí)間下得到的壽命則更加接近軸承的實(shí)際壽命.

表1 軸承真實(shí)壽命對(duì)比(min)Table 1 Comparison of bearings＇ actual lifetime (min)

1.3 模型描述

本文主要研究基于最后逃逸時(shí)間的壽命與剩余壽命預(yù)測(cè)問題.假設(shè)設(shè)備的退化過程為X(t),那么首達(dá)時(shí)間下的壽命與在tk時(shí)刻處的剩余壽命表示如下

其中,ξ表示給定的閾值,x0表示退化過程的初值,lk表示剩余壽命在tk時(shí)刻處的取值,xk表示在tk時(shí)刻處的退化值,inf 表示下確界.

與式(1)、式(2)類似,基于最后逃逸時(shí)間的壽命T與在tk時(shí)刻處的剩余壽命Lk可表示為

其中,sup 表示上確界.需要注意的是,不同于首達(dá)時(shí)間,即使xk大于閾值ξ,最后逃逸時(shí)間仍可能存在.

此外,對(duì)于單調(diào)退化過程(如Gamma 過程模型、逆高斯過程模型等),X(t+?t)>X(t) 恒成立.因此,單調(diào)退化過程首達(dá)時(shí)間下壽命與剩余壽命和最后逃逸時(shí)間下一致,即有

目前,已有很多文章(如文獻(xiàn)[21?22])給出了單調(diào)退化過程的壽命與剩余壽命預(yù)測(cè)方法.因此,本文主要以Wiener 過程為例,研究最后逃逸時(shí)間下非單調(diào)退化過程的壽命與剩余壽命預(yù)測(cè)問題.

2 壽命分布與剩余壽命分布推導(dǎo)

2.1 基于最后逃逸時(shí)間的壽命分布推導(dǎo)

一般來說,傳統(tǒng)線性Wiener 過程模型可表示為

其中,表示在t時(shí)刻的退化狀態(tài),表示退化過程的初值,μ>0和σB >0分別表示漂移系數(shù)與擴(kuò)散系數(shù),B(t)ξ >表示標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng),令退化過程的閾值為 0.

不同于傳統(tǒng)基于首達(dá)時(shí)間下的壽命分布推導(dǎo)方法,最后逃逸時(shí)間下的壽命與剩余壽命分布難以通過直接求解式(3)與式(4)得到.因此,為求解式(3)與式(4),本文先給出以下定義X(t)x0

其中,T0為一個(gè)隨機(jī)變量,用于描述首達(dá)時(shí)間下壽命與最后逃逸時(shí)間下壽命之間的差異,也就是

這樣,便可通過T0建立最后逃逸時(shí)間下壽命分布與傳統(tǒng)基于首達(dá)時(shí)間下壽命分布之間的聯(lián)系,如式(9)所示.需要注意的是,T0為一個(gè)非負(fù)隨機(jī)變量.那么,根據(jù)式(9)可知,首達(dá)時(shí)間下的壽命分布期望和方差均會(huì)小于最后逃逸時(shí)間下的結(jié)果.為求解T的表達(dá)形式,首先給出T0的求解方式,如定理1 所示.

定理 1.若退化過程如式(7)所示,且退化初值等于給定閾值,即x0=ξ,那么T0的概率密度函數(shù)(Probability density function,PDF)有如下形式

其中,s表示T0的最大取值范圍,即T0≤s;Erf 表示誤差函數(shù).

證明.首先定義一個(gè)新的隨機(jī)變量如下所示

其中,B(0)=h(0)=0.那么則表示在時(shí)間s前,標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)B(t)通過一個(gè)時(shí)變邊界h(t)的逃逸時(shí)間.

那么,令h(t)=?μ/σBt,式(12)等價(jià)于式(8),即有因此,可以通過計(jì)算式(12)來求解T0.接下來,根據(jù)h(t)的函數(shù)形式和式(15),p(t;0,h(t))的表達(dá)形式很容易得到,即

進(jìn)一步,將s ? t代入式(17)可以得到式(13)中函數(shù)的具體表示形式如下

其中,

進(jìn)一步,根據(jù)定理1 的結(jié)論以及式(9),便可得到最后逃逸時(shí)間下的壽命分布PDF 表達(dá)形式如推論1 所示.

推論 1.若退化過程如式(7)所示,其閾值為ξ以及退化初值為x0=0,同時(shí)給定壽命的取值范圍為(0,Tmax),那么基于最后逃逸時(shí)間的壽命分布PDF 為

這樣,便得到了基于最后逃逸時(shí)間的壽命分布表示形式.需要注意的是,推論1 中Tmax需要事先給定,當(dāng)且僅當(dāng)Tmax趨于無窮大時(shí),式(21)完全等價(jià)于式(3).

2.2 基于最后逃逸時(shí)間的剩余壽命分布推導(dǎo)

假設(shè)退化過程如式(7)所示,且當(dāng)前退化時(shí)刻為tk,退化量為xk.不同于首達(dá)時(shí)間下剩余壽命的求解,基于最后逃逸時(shí)間的剩余壽命需要分以下三種情況進(jìn)行討論.

情況 1.當(dāng)前退化量xk小于閾值ξ,當(dāng)前時(shí)刻下剩余壽命可等價(jià)于求解初值為xk的壽命,那么可根據(jù)推論1 中壽命預(yù)測(cè)的結(jié)果直接得到,結(jié)果如下所示

其中,L表示給定Tmax條件下剩余壽命分布的PDF.

情況 2.當(dāng)前退化量xk等于閾值ξ,剩余壽命直接等于T0,其分布可由定理1 直接計(jì)算得到,結(jié)果如式(10)所示.

情況 3.當(dāng)前退化量xk大于閾值ξ,需要分別討論兩種可能性,并分別計(jì)算概率分布,具體結(jié)果如下.

1)退化過程再也不回到閾值,前一次達(dá)到閾值的時(shí)刻即是最后逃逸時(shí)間,這意味著壽命早已終止.假設(shè)最后一次達(dá)到閾值的時(shí)刻為ωk,那么有剩余壽命Lk為ωk ?tk,其概率等于退化過程回不到閾值的概率

2)退化過程會(huì)回到閾值,最后逃逸時(shí)間下的剩余壽命Lk大于0.此時(shí)可根據(jù)情況1 的方式進(jìn)行求解,結(jié)果如下

其中,

從上式中可以看出,當(dāng)退化量超過閾值后,存在兩種可能的情況,即退化過程回到閾值之下與退化過程徹底遠(yuǎn)離閾值.需要注意的是,這兩種情況均有可能發(fā)生,可通過式(25)計(jì)算得到退化過程回不到閾值的概率為 Pr{Lk=ωk ?tk},而能回到閾值的概率等于1?Pr{Lk=ωk?tk}.

綜上,基于最后逃逸時(shí)間下的剩余壽命預(yù)測(cè)結(jié)果便已經(jīng)推導(dǎo)得到.由于退化過程的隨機(jī)性,退化過程即使超過閾值后仍有可能返回閾值之下.因此,不同于首達(dá)時(shí)間下剩余壽命預(yù)測(cè)問題,最后逃逸時(shí)間下的剩余壽命預(yù)測(cè)需要考慮退化量是否大于閾值,進(jìn)而需分以上三種情況進(jìn)行討論.

2.3 考慮隨機(jī)效應(yīng)影響下的壽命分布推導(dǎo)

在實(shí)際工程中,受樣本間差異性的影響,退化過程的初值往往存在差異性,即x0取值不同.為描述樣本差異性所帶來的影響,通常在退化過程中引入隨機(jī)效應(yīng),也就是假設(shè)x0服從某種隨機(jī)分布.鑒于高斯混合模型能夠近似逼近任意分布,本文假設(shè)x0服從高斯混合模型,其中每個(gè)高斯分布間相互獨(dú)立,且第i個(gè)高斯分布期望為ui,標(biāo)準(zhǔn)差為σi,以及權(quán)重為?i.那么這種情況下的壽命分布如定理2所示.

定理 2.若退化過程如式(7)所示,其閾值為ξ,給定壽命的取值范圍為 (0,Tmax),且退化初值為x0存在隨機(jī)效應(yīng),服從期望為ui,標(biāo)準(zhǔn)差為σi,以及權(quán)重為?i的高斯混合模型(i=1,2,···,N),那么基于最后逃逸時(shí)間的壽命分布PDF 為

證明.與第2.1 節(jié)中推導(dǎo)過程類似,可以得到T0=因此首先計(jì)算T0的表達(dá)形式.根據(jù)T0的定義可知,式(8)等價(jià)于

由式(30)可以發(fā)現(xiàn),T0的取值與退化初值以及閾值無關(guān),其分布形式僅取決于退化過程的漂移系數(shù)與擴(kuò)散系數(shù).因此,T0的概率密度函數(shù)仍為式(10)所示.

另一方面,受隨機(jī)初值的影響,式(1)可以等價(jià)為初值為0 的退化過程通過一個(gè)隨機(jī)閾值的首達(dá)時(shí)間問題,即

為便于求解式(32),根據(jù)文獻(xiàn)[23]給出如下引理1.

引理1[23].若Z ～N(α,β2),且C ∈R+,ω1,ω2,A,B ∈R,則有

其中,EZ[·] 表示關(guān)于Z的期望.

根據(jù)引理1,便可得到如下結(jié)果

注 2.需要注意的是,Wiener 退化過程模型的參數(shù)估計(jì)問題在很多文獻(xiàn)中已經(jīng)得到了廣泛研究,例如文獻(xiàn)[9?11],受篇幅所限本文不再討論.

3 數(shù)值仿真

3.1 壽命分布

首先根據(jù)定理1 和定理2 中所得結(jié)論驗(yàn)證壽命分布的正確性.為驗(yàn)證定理1,假設(shè)退化過程的漂移系數(shù)μ與擴(kuò)散系數(shù)σB分別為1 和2,閾值ξ為5,退化初值x0為0,最大取值范圍Tmax=500.那么便可得到壽命分布的PDF 如圖3 所示.

圖3 壽命分布PDFFig.3 PDF of the lifetime distribution

從圖3 中可以發(fā)現(xiàn),本文所得理論結(jié)果與蒙特卡洛得到的仿真結(jié)果一致,說明了本文方法在理論上的正確性.此外,與首達(dá)時(shí)間下的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比可以發(fā)現(xiàn),最后逃逸時(shí)間下壽命期望和方差都要明顯大于首達(dá)時(shí)間下的結(jié)果,這也和第2.1 節(jié)中分析結(jié)果一致.

若分別令Tmax為20 和50,得到結(jié)果如圖4 所示.由圖4 可見,若Tmax的取值過小,得到壽命分布在接近Tmax的取值部分存在明顯的誤差.為了更好地對(duì)比Tmax的取值對(duì)壽命分布的影響,圖5 展示了4 種Tmax下壽命分布PDF.從圖5 中可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)Tmax取值較小時(shí),估計(jì)得到壽命分布與式(3)所定義壽命分布之間的誤差隨著壽命取值的增大而增大,而Tmax的取值越大越接近式(3)中所定義的壽命分布.

圖4 不同Tmax 取值下壽命分布PDFFig.4 PDF of the lifetime distribution with different Tmax

圖5 4 種Tmax 取值下壽命分布PDFFig.5 PDF of the lifetime distribution with four different Tmax

對(duì)于定理2 的驗(yàn)證,假設(shè)退化過程的漂移系數(shù)μ與擴(kuò)散系數(shù)σB分別為1 和2,閾值ξ為5,最大取值范圍Tmax=500,退化初值x0服從期望為u1=1,u2=2,u3=3,標(biāo)準(zhǔn)差為σ1=1,σ2=1/2,σ3=1/3,以及權(quán)重為?1=0.2,?2=0.6,?3=0.2 的高斯混合模型.那么便可得到壽命分布的PDF 如圖6 所示.從圖6 中可見,本文方法能夠很好地?cái)M合蒙特卡洛得到的結(jié)果,證明了本文方法理論正確性.

圖6 隨機(jī)效應(yīng)影響下壽命分布PDFFig.6 PDF of the lifetime distribution with random effects

3.2 敏感度分析

實(shí)際上,退化過程的參數(shù)不同,也會(huì)導(dǎo)致得到的壽命分布存在較大差異性.為更好地體現(xiàn)模型參數(shù)對(duì)壽命分布的影響,進(jìn)一步分析模型參數(shù)的敏感性.假設(shè)退化過程模型如式(7)所示,模型參數(shù)漂移系數(shù)μ與擴(kuò)散系數(shù)σB分別為1 和2,閾值ξ為5,退化初值x0為0,最大取值范圍Tmax=500.

首先,改變漂移系數(shù)μ的取值,并得到了不同取值下壽命分布PDF 如圖7 所示.在圖7 中,柱狀圖表示通過蒙特卡洛數(shù)值仿真得到的壽命分布,實(shí)線和虛線分別表示最后逃逸時(shí)間下和首達(dá)時(shí)間下的壽命分布PDF.從圖7 中可以發(fā)現(xiàn),μ取值越大,壽命分布的期望和方差越小,并且越接近首達(dá)時(shí)間下壽命分布.

類似地,圖8 顯示了不同擴(kuò)散系數(shù)σB取值下壽命分布的PDF.從圖8 中可以發(fā)現(xiàn),σB的取值越小,越接近首達(dá)時(shí)間下的結(jié)果.

圖8 不同 σB 取值下壽命分布PDFFig.8 PDF of the lifetime distribution with different σB

由此可見,漂移系數(shù)μ與擴(kuò)散系數(shù)σB的比值越大,最后逃逸時(shí)間下的壽命分布PDF 越接近首達(dá)時(shí)間下的結(jié)果;反之,則偏差越大.需要注意的是,漂移系數(shù)μ與擴(kuò)散系數(shù)σB的比值反映了退化過程的動(dòng)態(tài)特性與波動(dòng)性.也就是說,退化過程的動(dòng)態(tài)特征和波動(dòng)性越強(qiáng),最后逃逸時(shí)間下壽命結(jié)果與首達(dá)時(shí)間下的結(jié)果差異越大.實(shí)際上,退化過程的動(dòng)態(tài)特征和波動(dòng)性越強(qiáng),退化過程越容易在早期超過給定閾值,在這種情況下,若仍采用首達(dá)時(shí)間來定義壽命或剩余壽命,很可能導(dǎo)致預(yù)測(cè)得到的壽命遠(yuǎn)小于實(shí)際壽命.

4 實(shí)例驗(yàn)證

本節(jié)將通過滾動(dòng)軸承與激光器的兩組實(shí)際退化數(shù)據(jù),分別說明本文方法在數(shù)據(jù)波動(dòng)較大與較小兩種情況下的有效性.需要注意的是,由第2 節(jié)可知,本文僅考慮了線性Wiener 退化過程模型的壽命預(yù)測(cè)問題.因此,在本節(jié)中主要將本文所得到結(jié)果與首達(dá)時(shí)間下基于線性Wiener 過程模型的壽命預(yù)測(cè)結(jié)果(見文獻(xiàn)[9,24?25])進(jìn)行對(duì)比.

4.1 滾動(dòng)軸承實(shí)例

滾動(dòng)軸承是一種典型的退化元件,其廣泛應(yīng)用于武器裝備、航空航天、生產(chǎn)制造等關(guān)鍵系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)機(jī)械設(shè)備中.研究表明滾動(dòng)軸承的退化失效是引起旋轉(zhuǎn)機(jī)械發(fā)生故障的重要原因[26].通常采用其振動(dòng)信號(hào)的最大振幅或均方根來反映滾動(dòng)軸承的健康性能狀態(tài).因此,本文采用軸承最大振幅數(shù)據(jù)來描述其退化狀態(tài).

本文采用西安交通大學(xué)雷亞國(guó)教授[15, 20]課題組的軸承全壽命周期數(shù)據(jù)對(duì)本文方法進(jìn)行驗(yàn)證.由第2節(jié)可知,受算法復(fù)雜性和計(jì)算復(fù)雜度所限,本文僅考慮了線性退化模型的壽命與剩余壽命分布求解問題.因此,本文僅對(duì)具有線性特征的退化數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,3_5 軸承的最大振幅退化軌跡如圖9 所示.從圖9 中可以發(fā)現(xiàn),該退化過程具有較為明顯的線性趨勢(shì),且該數(shù)據(jù)具有較強(qiáng)的動(dòng)態(tài)隨機(jī)特性.為更好地進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn),本文采用經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解算法(Empirical mode decomposition,EMD)對(duì)該軸承數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波處理,圖9 中虛線即為濾波后的軸承退化數(shù)據(jù),可以發(fā)現(xiàn)濾波后的數(shù)據(jù)更加平穩(wěn),也更具有線性特征.

圖9 軸承退化軌跡Fig.9 Degradation path of a bearing

根據(jù)線性Wiener 過程模型的特性,采用極大似然估計(jì)算法即可得到退化模型的參數(shù)估計(jì)值.接下來,根據(jù)文獻(xiàn)[20]中軸承失效定義方式,給定失效閾值為ξ=20 g,采用第2.1 節(jié)中所得到的結(jié)論便可計(jì)算出首達(dá)時(shí)間和最后逃逸時(shí)間下剩余壽命分布PDF.基于原始退化數(shù)據(jù)和濾波后數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)結(jié)果分別如圖10 (a)和圖10 (b)所示.

從圖10 (a)中可以發(fā)現(xiàn),首達(dá)時(shí)間下的剩余壽命分布PDF 與最后逃逸時(shí)間下的剩余壽命分布PDF 存在明顯差異.由圖10 (a)估計(jì)當(dāng)退化時(shí)間接近35 min 時(shí),退化過程能夠達(dá)到給定閾值,說明首達(dá)時(shí)間下的剩余壽命已經(jīng)接近為0 min,這遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于真實(shí)壽命114 min.圖10 (b)則反映了濾波后的剩余壽命預(yù)測(cè)結(jié)果,可以發(fā)現(xiàn)通過濾波的方法可以降低數(shù)據(jù)的波動(dòng)性(如圖9 所示),使得計(jì)算得到的首達(dá)時(shí)間下結(jié)果與最后逃逸時(shí)間下結(jié)果幾乎一致.

圖10 不同測(cè)試時(shí)間處剩余壽命分布PDFFig.10 PDF of the RUL distribution at different testing time

為更好地對(duì)比,圖11 給出了兩種不同定義方式下剩余壽命期望的對(duì)比.在圖11 中,分別給出了實(shí)驗(yàn)室獲取的真實(shí)壽命以及基于原始數(shù)據(jù)、濾波數(shù)據(jù)下根據(jù)兩種不同壽命定義方式計(jì)算得到的剩余壽命預(yù)測(cè)值.從圖11 中可以發(fā)現(xiàn),首達(dá)時(shí)間下的壽命預(yù)測(cè)值為35 min,與真實(shí)壽命相差79 min,而基于最后逃逸時(shí)間計(jì)算得到的壽命為97 min,更加接近全壽命周期實(shí)驗(yàn)中得到的實(shí)際壽命.相比之下,通過濾波后數(shù)據(jù)得到的結(jié)果,仍然遠(yuǎn)遠(yuǎn)偏離真實(shí)剩余壽命,并不能有效改善剩余壽命預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確度.

圖11 不同測(cè)試時(shí)間處剩余壽命期望Fig.11 Means of the RUL at different testing time

通過以上對(duì)比可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)退化的隨機(jī)性和波動(dòng)性比較強(qiáng),退化過程很容易在退化的初始階段就超過閾值,若仍采用首達(dá)時(shí)間來定義壽命與剩余壽命,則可能會(huì)導(dǎo)致設(shè)備提前終止運(yùn)行或過早維護(hù),引起不必要的浪費(fèi).與之相反,基于最后逃逸時(shí)間的定義,可以克服這一局限性,具有較好的魯棒性與適應(yīng)性.另外,通過與濾波后結(jié)果對(duì)比可以發(fā)現(xiàn),雖然采用濾波、平滑等方法可以減小數(shù)據(jù)的隨機(jī)性與波動(dòng)性,但并未有效改善剩余壽命預(yù)測(cè)結(jié)果;此外,通過濾波、平滑等方法也可能會(huì)消除退化以及數(shù)據(jù)本身的隨機(jī)性與不確定性,可能會(huì)導(dǎo)致預(yù)測(cè)結(jié)果出現(xiàn)偏差.

需要注意的是,由于其他幾組軸承數(shù)據(jù)具有較強(qiáng)非線性而不適用于線性Wiener 過程模型,因此未采用第2.1 節(jié)中所提方法進(jìn)行分析.但是從表1中可以看出,其他幾組軸承數(shù)據(jù)首達(dá)時(shí)間下壽命明顯短于實(shí)際壽命,相比之下,最后逃逸時(shí)間下壽命更加接近真實(shí)值.

4.2 激光器實(shí)例

注意到,軸承退化數(shù)據(jù)的波動(dòng)性與隨機(jī)性較強(qiáng),導(dǎo)致兩種定義下剩余壽命預(yù)測(cè)結(jié)果存在較大差異.接下來,本文以激光器的公開退化數(shù)據(jù)說明當(dāng)退化過程隨機(jī)性與數(shù)據(jù)波動(dòng)性較小時(shí),兩種定義方式的剩余壽命預(yù)測(cè)情況.

圖12 描述了文獻(xiàn)[27]中15 組激光器的退化軌跡,其中虛線為給定的失效閾值.本節(jié)中采用第8 組數(shù)據(jù)予以說明,其退化軌跡如圖13 所示.類似地,根據(jù)極大似然估計(jì)得到,退化模型的參數(shù)為=0.0015 以及=0.0068.給定失效閾值ξ=6,那么可以得到剩余壽命預(yù)測(cè)結(jié)果如圖14 所示.

圖13 第8 組激光器退化軌跡Fig.13 Degradation path of the 8th laser device

從圖14 中可以發(fā)現(xiàn),兩種定義下的剩余壽命分布PDF 非常接近,這說明兩種定義下的剩余壽命預(yù)測(cè)結(jié)果幾乎沒有差別.也就是說,當(dāng)數(shù)據(jù)的波動(dòng)性較小時(shí),兩種定義下的壽命及剩余壽命沒有太大差別.如圖15 所示,T0的期望和標(biāo)準(zhǔn)差分別為20 h 和29 h.而T? 的期望和標(biāo)準(zhǔn)差分別為4 000 h和286 h,因此T0相對(duì)較小,由式(9)可知,

圖14 不同測(cè)試時(shí)間處剩余壽命分布PDF Fig.14 PDF of the RUL distribution at different testing times

圖15 T0 概率密度函數(shù)Fig.15 Probability density function of T0

綜上所述,從兩個(gè)實(shí)際案例中可以發(fā)現(xiàn),相比于首達(dá)時(shí)間下壽命及剩余壽命的定義,最后逃逸時(shí)間的定義方式具有更好的魯棒性.當(dāng)退化過程具有較強(qiáng)動(dòng)態(tài)隨機(jī)特性時(shí),能夠避免由于退化值偶然超過閾值而低估和誤算其實(shí)際壽命;當(dāng)退化過程動(dòng)態(tài)隨機(jī)性較弱時(shí),也能得到與首達(dá)時(shí)間下幾乎一樣的結(jié)果.這說明采用最后逃逸時(shí)間來描述隨機(jī)退化設(shè)備的壽命具有可行性與有效性,存在潛在的工程應(yīng)用價(jià)值.

5 結(jié)論

本文針對(duì)隨機(jī)退化設(shè)備的壽命預(yù)測(cè)問題中,傳統(tǒng)首達(dá)時(shí)間下的壽命與剩余壽命預(yù)測(cè)結(jié)果存在較為保守的缺陷,基于最后逃逸時(shí)間提出了一種新的壽命與剩余壽命定義框架.在這個(gè)新框架下,給出了基于線性Wiener 過程模型的壽命與剩余壽命分布解析表示,并進(jìn)一步擴(kuò)展至隨機(jī)效應(yīng)影響下的退化模型.最后分別通過數(shù)值仿真與工程實(shí)例證實(shí)了本文所提理論的正確性與有效性,說明了采用最后逃逸時(shí)間來定義壽命或剩余壽命具有一定的可行性.通過對(duì)比可以發(fā)現(xiàn),相比于傳統(tǒng)基于首達(dá)時(shí)間下的壽命預(yù)測(cè)方法,基于最后逃逸時(shí)間的壽命預(yù)測(cè)方法具有更好的魯棒性.但本文方法仍有一些問題值得進(jìn)一步研究.

1) 本文僅給出了線性Wiener 過程模型下的壽命與剩余壽命預(yù)測(cè)結(jié)果,但迄今為止國(guó)內(nèi)外學(xué)者已提出了很多新的退化模型,例如非線性Wiener 過程模型等.這些模型更具一般性與普適性,有待進(jìn)一步研究其最后逃逸時(shí)間下壽命分布推導(dǎo)方法.

2) 相比于首達(dá)時(shí)間定義的‘‘保守”,最后逃逸時(shí)間較為‘‘激進(jìn)”,對(duì)于一些高可靠性要求的關(guān)鍵設(shè)備,容易導(dǎo)致預(yù)測(cè)結(jié)果大于真實(shí)壽命,如何在首達(dá)時(shí)間‘‘保守”與最后逃逸時(shí)間‘‘激進(jìn)”中選取一個(gè)‘‘折中”的方案是一個(gè)值得研究的問題.

3) 迄今為止,首達(dá)時(shí)間和最后逃逸時(shí)間主要用于基于隨機(jī)退化過程建模的剩余壽命預(yù)測(cè)方法中,目前基于機(jī)器學(xué)習(xí)的壽命預(yù)測(cè)方法考慮相對(duì)較少,有待進(jìn)一步研究.

4) 由于退化隨機(jī)性的影響,當(dāng)退化過程離開閾值時(shí),無法立刻判定該退化過程之后是否能再次返回閾值之下,這會(huì)導(dǎo)致計(jì)算得到的最后逃逸時(shí)間與真實(shí)逃逸時(shí)間存在一定的滯后.

5) 由式(9)與前面分析可知,最后逃逸時(shí)間下的壽命分布方差大于傳統(tǒng)首達(dá)時(shí)間下的結(jié)果,這會(huì)給維護(hù)決策帶來一定的挑戰(zhàn),如何減小預(yù)測(cè)結(jié)果的方差也是一個(gè)值得研究的問題.