振動(dòng)陀螺橢圓參數(shù)的離散滑?？刂?/h1>
2022-02-16 06:51:26郜中星陳小煒張勇剛
系統(tǒng)工程與電子技術(shù) 2022年1期
郜中星, 彭 斌, 陳小煒, 張勇剛,*
(1. 哈爾濱工程大學(xué)物理與光電工程學(xué)院, 黑龍江 哈爾濱 150001;2. 哈爾濱工程大學(xué)智能科學(xué)與工程學(xué)院,黑龍江 哈爾濱 150001; 3. 陸軍步兵學(xué)院石家莊校區(qū)軍政訓(xùn)練系, 河北 石家莊 050083)
0 引 言
滑模變結(jié)構(gòu)控制(簡(jiǎn)稱為滑?？刂?由蘇聯(lián)學(xué)者Utkin于1950年提出。作為一種非常受歡迎的非線性控制方法,滑模變結(jié)構(gòu)控制在學(xué)術(shù)界得到了廣泛的研究,并且由于微處理器技術(shù)的巨大進(jìn)步,使得快速切換成為可能,從而使得滑模變結(jié)構(gòu)控制成功地應(yīng)用到了工業(yè)生產(chǎn)中[1]。滑模變結(jié)構(gòu)控制獲得巨大成功的關(guān)鍵還在于其自身?yè)碛泻芏嗟膬?yōu)點(diǎn),例如設(shè)計(jì)思路簡(jiǎn)單、速度快、魯棒性強(qiáng)等[2-4]。因?yàn)樵絹?lái)越多的先進(jìn)控制系統(tǒng)是由計(jì)算機(jī)控制實(shí)施的,離散滑模變結(jié)構(gòu)控制逐漸成為滑?？刂莆墨I(xiàn)研究的熱門話題[5-7]。
振動(dòng)陀螺作為新一代陀螺儀,具有易于小型化、高精度、低成本、高可靠性、超高穩(wěn)定性等優(yōu)點(diǎn)[8-10],在遠(yuǎn)洋航海、深空探測(cè)、地質(zhì)鉆探等領(lǐng)域有著廣闊的應(yīng)用前景[11]。振動(dòng)陀螺的控制策略關(guān)乎振動(dòng)陀螺儀能否保持在諧振頻率處以穩(wěn)定的幅度振蕩工作,這是振動(dòng)陀螺儀正常工作的前提,其控制效果決定了陀螺儀精度的上限。
在振動(dòng)陀螺的滑?？刂蒲芯糠矫?文獻(xiàn)[12]討論了將滑模控制運(yùn)用于微機(jī)械(micro-electro-mechanical system, MEMS)陀螺儀過(guò)程中關(guān)于降低抖振、抑制不匹配干擾、扇區(qū)輸入非線性的自適應(yīng)補(bǔ)償?shù)确椒?并通過(guò)仿真驗(yàn)證了所提策略的有效性和優(yōu)越性。文獻(xiàn)[13]將滑?？刂茟?yīng)用在工作于力平衡模式的MEMS陀螺儀上,通過(guò)數(shù)值仿真結(jié)果驗(yàn)證了該控制器對(duì)于參數(shù)變動(dòng)具有很好的魯棒性,并且在阻尼和剛度不對(duì)稱以及噪聲存在條件下,該控制器仍能保證系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)跟蹤理想運(yùn)動(dòng)軌跡。文獻(xiàn)[14]提出一種新型自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階滑模控制器,通過(guò)新的自適應(yīng)律更新分?jǐn)?shù)階滑?？刂破鞯脑鲆?使得MEMS陀螺運(yùn)動(dòng)具有更高的追蹤精度和更強(qiáng)的抗干擾性。文獻(xiàn)[15]將徑向基函數(shù)(radial basis function, RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與滑模控制結(jié)合,解決了MEMS陀螺系統(tǒng)不確定部分的自適應(yīng)逼近,并且使用快速終端滑?？刂?實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)狀態(tài)有限時(shí)間收斂。文獻(xiàn)[16]針對(duì)MEMS陀螺提出了一種快速自適應(yīng)比例-積分(proportional-integral, PI)滑?？刂撇呗?實(shí)現(xiàn)了快速穩(wěn)定地跟隨輸入信號(hào)的目的。文獻(xiàn)[17]提出了一種基于雙環(huán)遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近器的MEMS陀螺分?jǐn)?shù)階非奇異終端滑?？刂破?采用內(nèi)循環(huán)和外循環(huán)提供反饋信號(hào),以獲得滿意的逼近精度。值得注意的是,雖然目前國(guó)內(nèi)外學(xué)者運(yùn)用滑模控制結(jié)合自適應(yīng)、分?jǐn)?shù)階微分、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等方法對(duì)振動(dòng)陀螺進(jìn)行了研究[18],但主要集中在用連續(xù)滑?？刂品椒ㄖ苯涌刂普駝?dòng)陀螺的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),使之跟蹤上一個(gè)假設(shè)的、幅值和頻率恒定的理想運(yùn)動(dòng)軌跡,然后通過(guò)跟蹤的快速性、準(zhǔn)確性和魯棒性等各方面指標(biāo)評(píng)價(jià)滑模控制的效果[19-21],而這與實(shí)際中需要運(yùn)用離散滑?？刂?并且陀螺的諧振頻率會(huì)受到干擾因素影響而產(chǎn)生變化有較大出入。
基于滑?？刂片F(xiàn)有的研究成果和存在的實(shí)際問(wèn)題,本文提出從表征振動(dòng)陀螺工作狀態(tài)的橢圓參數(shù)出發(fā),將離散滑?？刂剖状螒?yīng)用于振動(dòng)陀螺的控制系統(tǒng)中,從而減小振動(dòng)陀螺在全角模式下駐波進(jìn)動(dòng)角的漂移誤差和標(biāo)度因數(shù)誤差。本文的結(jié)構(gòu)安排如下:第1節(jié)介紹離散滑?？刂频牡竭_(dá)性條件,并選取恰當(dāng)?shù)碾x散滑?？刂期吔?第2節(jié)首先分析橢圓參數(shù)并選取主波振幅和正交波振幅作為控制對(duì)象,然后對(duì)控制對(duì)象進(jìn)行了數(shù)學(xué)建模,最后結(jié)合趨近律和滑模面函數(shù)(切換函數(shù))求取離散滑?？刂坡?第3節(jié)給出了比例-積分-微分(proportional-integral-derivative, PID)控制和離散滑模控制的仿真對(duì)比,仿真結(jié)果驗(yàn)證了離散滑?？刂频膬?yōu)良特性。
1 離散滑?？刂圃?/h2>1.1 離散滑?；靖拍?/h3>
當(dāng)離散滑模控制施加于系統(tǒng)時(shí),系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)一般包括3種模態(tài):趨近模態(tài)(reaching mode, RM)、滑動(dòng)模態(tài)(sliding mode, SM)和穩(wěn)定模態(tài)(steady-state mode, SS),如圖1所示。
圖1中有兩種類型的離散系統(tǒng)狀態(tài)運(yùn)動(dòng)軌跡,分別記為I和II。I型軌跡代表理想狀態(tài)軌跡,II型軌跡代表了實(shí)際滑?？刂葡到y(tǒng)的狀態(tài)軌跡[22]。
需要注意地是,II型軌跡下系統(tǒng)狀態(tài)為準(zhǔn)滑動(dòng)模態(tài)運(yùn)動(dòng),在切換平面附近形成鋸齒型的軌跡。通過(guò)觀察該軌跡可知實(shí)際情況下的離散滑?？刂葡到y(tǒng)狀態(tài)軌跡應(yīng)該有以下特點(diǎn):
(1) 從任意的初始狀態(tài)出發(fā),狀態(tài)軌跡單調(diào)地趨向切換平面并在有限時(shí)間內(nèi)穿越;
(2) 一旦狀態(tài)軌跡穿越了切換平面,之后的每一步都要穿越切換平面,圍繞切換平面形成鋸齒形軌跡:
(3) 每一步鋸齒形狀態(tài)軌跡的大小是非增的,并且保持在一個(gè)特定的準(zhǔn)滑動(dòng)模態(tài)帶內(nèi)。
如果離散滑?？刂仆瑫r(shí)滿足以上3個(gè)條件,就稱之為滿足了到達(dá)性條件[23]。
1.2 趨近律選取
在離散滑模控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中,高為炳院士提出的趨近律設(shè)計(jì)方法是一種簡(jiǎn)單有效的方法[22, 24],其主要思想是先構(gòu)造滿足離散滑模到達(dá)性條件的趨近律,然后利用趨近律和所設(shè)計(jì)的切換函數(shù)求取離散滑?？刂坡?。高為炳院士提出的離散指數(shù)趨近律如下所示:
s(k+1)-s(k)=-gTs(k)-εTsgn(s(k))
(1)
式中:g>0,ε>0,1-gT>0；T為采樣周期；sgn(·)為符號(hào)函數(shù)。
基于式(1)設(shè)計(jì)的離散滑?？刂葡到y(tǒng)具有誤差快速收斂、系統(tǒng)抖振較小等優(yōu)點(diǎn),但由于等速趨近項(xiàng)-εTsgn(s(k))的增益為常數(shù),使得系統(tǒng)狀態(tài)最終不能趨于平衡點(diǎn),而是圍繞切換面s=0振蕩。
為了有效地消除穩(wěn)態(tài)時(shí)振蕩,并且使系統(tǒng)狀態(tài)兼具“向切換面漸近趨近”和“穿越切換面”兩種特性,文獻(xiàn)[6]提出一種改進(jìn)的離散趨近律:
s(k+1)-s(k)=-gTs(k)-F|s(k)|Tsgn(s(k))
(2)
式中:g>0,1-gT>0；T為采樣周期；
其中,Δ為切換帶{x∈Rn||s(x)|<Δ}寬度；λ1和λ2滿足如下條件:
(3)
利用式(2)所示的趨近律設(shè)計(jì)離散滑?？刂破?不僅可以使得系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)切換帶內(nèi),而且系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)入切換帶后將步步穿越切換面,并且抖振逐漸衰減至零。因此,本文選取式(2)作為離散滑?？刂频内吔伞?/p>
文獻(xiàn)[6]對(duì)趨近律(2)的到達(dá)性條件證明、趨近運(yùn)動(dòng)和滑模運(yùn)動(dòng)過(guò)程分析進(jìn)行了充分的闡述,故這里不再重復(fù)說(shuō)明。
值得注意的是,由式(2)可得
s(k+1)=(1-gT-FT)s(k)
(4)
調(diào)整λ1和λ2的取值大小可以改變切換函數(shù)s(k)變化的速度。其規(guī)律和影響效果如下:
(1)λ1越大,1-gT-λ1T越小,切換函數(shù)s(k)衰減地越快,系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)入切換帶Δ越快,但會(huì)使得系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)切換面時(shí)抖振越大;
(2)λ2越小,|1-gT-λ2T|越小,切換函數(shù)s(k)衰減地越快,系統(tǒng)狀態(tài)趨近切換面越快(s(k)=0),但離散滑?？刂坡傻目垢蓴_能力也越弱。
基于這些變化規(guī)律,可以為離散滑模控制的仿真調(diào)試提供指導(dǎo)。
2 模型建立與控制律求取
2.1 離散滑?？刂茀?shù)分析
由文獻(xiàn)[25]可知,振動(dòng)陀螺運(yùn)動(dòng)模型可等價(jià)為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在二維平面上的橢圓進(jìn)動(dòng)模型。將相隔45°的檢測(cè)電極上的振動(dòng)信號(hào)分別輸入示波器的X、Y通道,可以觀察到典型的李沙育圖形,如圖2所示。圖2中X軸為0°檢測(cè)電極軸方向,Y軸為45°檢測(cè)電極軸方向,nθ為主波波腹軸與X軸的夾角,a為主波振幅,q為正交波振幅,φ0為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的初始相位,ω為諧振子振動(dòng)的角頻率。參照文獻(xiàn)[26]的方法,可以得到各橢圓參數(shù)的表達(dá)式如下。
(1) 主波振幅a:
(5)
主波振幅代表振動(dòng)陀螺振動(dòng)的幅度,陀螺正常工作時(shí)要求其保持為恒定值。
(2) 正交波振幅q:
(6)
正交波振幅反應(yīng)了振動(dòng)陀螺偏離理想工作狀態(tài)的程度,理想情況下應(yīng)將其抑制到0。
(3) 相位差δ:
(7)
相位差指的是參考信號(hào)發(fā)生器產(chǎn)生的參考信號(hào)與陀螺檢測(cè)電極產(chǎn)生的電壓信號(hào)之間的相位差,將其鎖定到0°即完成了對(duì)振動(dòng)陀螺的鎖頻和鎖相工作,即振動(dòng)陀螺保持在其諧振頻率處振動(dòng)。其中,E、Q、L由振動(dòng)陀螺檢測(cè)信號(hào)和參考信號(hào)經(jīng)調(diào)制解調(diào)組合得到,其含義與文獻(xiàn)[26]中一致,故不再贅述。
由以上分析可知,控制振動(dòng)陀螺工作的橢圓參數(shù)有3個(gè):主波振幅a、正交波振幅q和相位差δ。由于鎖定相位差δ涉及因素較多、難度較大,并且在現(xiàn)行PID控制下也已經(jīng)有了較高控制精度,恰恰主波振幅a和正交波振幅q仍有較大提升空間。進(jìn)一步分析,借助文獻(xiàn)[25]中的積分平均法,將振動(dòng)陀螺非理想運(yùn)動(dòng)方程轉(zhuǎn)化為橢圓參數(shù)方程[27],可得到關(guān)于駐波進(jìn)動(dòng)角θ的表達(dá)式:
(8)
綜上所述,在本文的離散滑模控制研究中,主波振幅和正交波振幅用離散滑?？刂?相位差仍用之前相同參數(shù)的、經(jīng)典的PID控制。
2.2 控制對(duì)象數(shù)學(xué)模型的建立
針對(duì)所控制的對(duì)象a和q建立數(shù)學(xué)模型,并寫成狀態(tài)方程的形式:
(9)
式中:Esmc和Qsmc分別代表幅值控制信號(hào)和正交控制信號(hào)。
為方便敘述,將式(9)記作:
(10)
由于rank([BABA2BA3B])=4,說(shuō)明式(10)所描述的系統(tǒng)狀態(tài)是完全可控的,即說(shuō)明控制輸入Esmc和Qsmc有能力將a和q控制到設(shè)定值[28]。
將式(10)用離散化公式進(jìn)行離散化[29],得到如下形式的離散系統(tǒng):
X(k+1)=ΦX(k)+ΓU(k)
(11)
式中:
2.3 離散滑?？刂坡汕笕?/h3>
對(duì)跟蹤問(wèn)題,設(shè)計(jì)切換函數(shù)(滑模函數(shù))為
S(k)=[sa(k);sq(k)]=CE(k)=C[Xd(k)-X(k)]
(12)
在本文設(shè)計(jì)的離散滑?？刂浦?a和q的切換函數(shù)分別為
(13)
(14)
為了保證對(duì)應(yīng)的多項(xiàng)式p+c1和p+c2滿足Hurwitz穩(wěn)定,需要多項(xiàng)式p+c1=0和p+c2=0的特征值實(shí)數(shù)部分為負(fù)數(shù),即要求
(15)
由式(12)和式(13)可得
S(k+1)=C[Xd(k+1)-X(k+1)]=
C[Xd(k+1)-ΦX(k)-ΓU(k)]
(16)
式中:Xd(k+1)為下一時(shí)刻的目標(biāo)值。
在多輸入問(wèn)題下,式(2)所示的趨近律改寫為
S(k+1)=(I-gT)S(k)-TFdiag(|S(k)|)sgn(S(k))
(17)
式中:diag(|S(k)|)表示以向量|S(k)|中的元素構(gòu)造對(duì)角矩陣。
聯(lián)立式(16)和式(17)可得離散滑模控制律:
U(k)=(CΓ)-1[CXd(k+1)-CΦX(k)-
(I-gT)S(k)+TFdiag(|S(k)|)sgn(S(k))]
(18)
3 模型搭建和仿真對(duì)比
3.1 仿真模型搭建
根據(jù)振動(dòng)陀螺的非理想運(yùn)動(dòng)方程、位移至電壓轉(zhuǎn)換的檢測(cè)原理、檢測(cè)信號(hào)與參考信號(hào)的解調(diào)原理、橢圓參數(shù)的解算方法、控制輸出的調(diào)制原理以及靜電力的驅(qū)動(dòng)原理[30-32],分別搭建相應(yīng)的Simulink模塊,互聯(lián)之后組成振動(dòng)陀螺的仿真平臺(tái)如圖3所示,圖中以順序序號(hào)1～6依次標(biāo)出所搭建的模塊。仿真模型中的振動(dòng)陀螺工作在全角(速率積分)模式下,即駐波進(jìn)動(dòng)角可以直接表征外界的轉(zhuǎn)動(dòng)角度。
離散滑?？刂苹騊ID控制方法可在圖3中編號(hào)5所示的控制輸出調(diào)制模塊內(nèi)搭建實(shí)現(xiàn)。為了后續(xù)能更方便地將仿真中離散滑?？刂坡梢浦驳綄?shí)際工程中應(yīng)用,離散滑模控制使用自定義的通用函數(shù)模塊且以編程的方式實(shí)現(xiàn)?？紤]實(shí)際情況中驅(qū)動(dòng)信號(hào)比檢測(cè)信號(hào)的幅值通常大2個(gè)數(shù)量級(jí)以上,因此驅(qū)動(dòng)信號(hào)與檢測(cè)信號(hào)在實(shí)際的電路中會(huì)存在串?dāng)_問(wèn)題。當(dāng)擾動(dòng)較大時(shí),甚至?xí)?dǎo)致振動(dòng)陀螺起振時(shí)的鎖頻失敗。為了使仿真更接近實(shí)際情況,在圖3中編號(hào)為2的檢測(cè)模塊和編號(hào)為6的驅(qū)動(dòng)模塊內(nèi)加入了信號(hào)串?dāng)_的模型。
為了驗(yàn)證離散滑?？刂频挠行?分別選取靜止0°/s和100°/s旋轉(zhuǎn)輸入2種情況進(jìn)行仿真對(duì)比實(shí)驗(yàn)。
3.2 靜止條件下仿真
設(shè)置外界輸入轉(zhuǎn)速為0°/s,目標(biāo)值矩陣Xd=[40 000;0;0;0]。
使用PID控制時(shí),PID的參數(shù)選取如下:
Pa=30
Ia=1
Pq=1 000
Iq=1
Pf=3 000
If=1 000
需要說(shuō)明的是,選取上述PID參數(shù)的依據(jù)是仿真程序在調(diào)試過(guò)程中抗串?dāng)_效果最好。而離散滑?？刂瓶梢酝ㄟ^(guò)控制量的切換使系統(tǒng)狀態(tài)在受到干擾時(shí)具有強(qiáng)魯棒性,因此能更好地降低串?dāng)_帶來(lái)的影響。
當(dāng)對(duì)主波振幅a和正交波振幅q使用離散滑?？刂茣r(shí),控制律式(18)中各參數(shù)的取值如下:
c1=c2=30
Δ=0.5
其中:
其余參數(shù)與PID控制仿真情況下設(shè)置一致。將這2種控制方法得到的仿真結(jié)果放置在同一張圖中對(duì)比,如圖4和圖5所示,圖中藍(lán)色實(shí)線表示PID控制的結(jié)果,紅色實(shí)線表示離散滑?？刂频慕Y(jié)果,黑色實(shí)線表示理論的駐波進(jìn)動(dòng)角度。
從圖4可得到:
(1) PID控制作用下,主波振幅a在0.4 s后進(jìn)入振蕩階段,振蕩范圍為40 023～40 024 LSB,10 s后振蕩范圍變?yōu)?0 017～40 018 LSB,并有逐漸減少的趨勢(shì);正交波振幅q在0.1 s后進(jìn)入固定幅值范圍振蕩,振蕩范圍為0.9～1.1,取整后結(jié)果為1 LSB;相位差δ在5 s后進(jìn)入固定幅值范圍振蕩,振蕩范圍為0.011 1°～0.011 3°。
(2) 離散滑?？刂谱饔孟?主波振幅a以更快的速度跟蹤上目標(biāo)值,a可在0.1 s后進(jìn)入固定幅值范圍振蕩,振蕩范圍為39 999～40 000 LSB;正交波振幅q跟蹤速度下降,在0.4 s后進(jìn)入固定幅值范圍振蕩,振蕩范圍為0.1～0.4,取整后為0 LSB;相位差δ在5 s后進(jìn)入固定幅值范圍振蕩,振蕩范圍同樣為0.011 1°～0.011 3°。
3.3 旋轉(zhuǎn)條件下仿真
設(shè)定外界輸入轉(zhuǎn)速為100°/s,振動(dòng)陀螺進(jìn)動(dòng)因子γ為0.27。用第3.2節(jié)同樣的PID參數(shù)、離散滑?？刂茀?shù)和目標(biāo)值矩陣,得到仿真結(jié)果如圖6和圖7所示。
從圖6中可得到:
(1) PID控制下,主波振幅a可在0.4 s后進(jìn)入固定幅值范圍振蕩,振蕩范圍為40 023～40 024 LSB,10 s后振蕩范圍變?yōu)?0 017～40 018 LSB,并有逐漸減少的趨勢(shì);正交波振幅q在0.1 s后進(jìn)入固定幅值范圍振蕩,振蕩范圍為-2～2 LSB;相位差δ在4 s后進(jìn)入固定幅值范圍振蕩,振蕩范圍為0.008°～0.014°。
(2) 離散滑?？刂葡?同樣實(shí)現(xiàn)了主波振幅a更快速度地跟蹤目標(biāo)值,a可在0.1 s后進(jìn)入固定幅值范圍振蕩,振蕩范圍為39 999～40 000 LSB;正交波振幅q跟蹤速度仍然是遜色于PID控制,在0.2 s后進(jìn)入固定幅值范圍振蕩,但跟蹤精度有所提升,振蕩范圍為-1～1 LSB;相位差δ在4 s后進(jìn)入固定幅值范圍振蕩,振蕩范圍同樣為0.008°～0.014°。
4 結(jié) 論
本文提出了將離散滑?？刂埔氲秸駝?dòng)陀螺橢圓參數(shù)的控制系統(tǒng)中,用來(lái)控制主波振幅和正交波振幅,提高了主波振幅和正交波振幅的跟蹤精度,進(jìn)而減小了振動(dòng)陀螺在全角模式下駐波進(jìn)動(dòng)角的漂移誤差和標(biāo)度因數(shù)誤差。從10 s內(nèi)的PID控制與離散滑模控制的仿真結(jié)果對(duì)比可知:① 0°/s靜止條件下,主波振幅a誤差減小了16 LSB;正交波振幅q誤差減小了1 LSB;振動(dòng)陀螺的角度漂移速率減小了0.36°/h。② 100°/s旋轉(zhuǎn)輸入條件下,主波振幅a誤差減小了16 LSB;正交波振幅q誤差減小了1 LSB;標(biāo)度因數(shù)誤差減小了5 ppm。仿真結(jié)果體現(xiàn)了離散滑?？刂频聂敯粜院涂焖偈諗啃?。
本文基于振動(dòng)陀螺得到的研究成果可廣泛應(yīng)用到半球諧振陀螺和MEMS陀螺等慣性傳感器的研發(fā)與設(shè)計(jì)中,從而有效提升陀螺傳感器的性能水平。
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郜中星, 彭 斌, 陳小煒, 張勇剛,*
(1. 哈爾濱工程大學(xué)物理與光電工程學(xué)院, 黑龍江 哈爾濱 150001;2. 哈爾濱工程大學(xué)智能科學(xué)與工程學(xué)院,黑龍江 哈爾濱 150001; 3. 陸軍步兵學(xué)院石家莊校區(qū)軍政訓(xùn)練系, 河北 石家莊 050083)
0 引 言
滑模變結(jié)構(gòu)控制(簡(jiǎn)稱為滑?？刂?由蘇聯(lián)學(xué)者Utkin于1950年提出。作為一種非常受歡迎的非線性控制方法,滑模變結(jié)構(gòu)控制在學(xué)術(shù)界得到了廣泛的研究,并且由于微處理器技術(shù)的巨大進(jìn)步,使得快速切換成為可能,從而使得滑模變結(jié)構(gòu)控制成功地應(yīng)用到了工業(yè)生產(chǎn)中[1]。滑模變結(jié)構(gòu)控制獲得巨大成功的關(guān)鍵還在于其自身?yè)碛泻芏嗟膬?yōu)點(diǎn),例如設(shè)計(jì)思路簡(jiǎn)單、速度快、魯棒性強(qiáng)等[2-4]。因?yàn)樵絹?lái)越多的先進(jìn)控制系統(tǒng)是由計(jì)算機(jī)控制實(shí)施的,離散滑模變結(jié)構(gòu)控制逐漸成為滑?？刂莆墨I(xiàn)研究的熱門話題[5-7]。
振動(dòng)陀螺作為新一代陀螺儀,具有易于小型化、高精度、低成本、高可靠性、超高穩(wěn)定性等優(yōu)點(diǎn)[8-10],在遠(yuǎn)洋航海、深空探測(cè)、地質(zhì)鉆探等領(lǐng)域有著廣闊的應(yīng)用前景[11]。振動(dòng)陀螺的控制策略關(guān)乎振動(dòng)陀螺儀能否保持在諧振頻率處以穩(wěn)定的幅度振蕩工作,這是振動(dòng)陀螺儀正常工作的前提,其控制效果決定了陀螺儀精度的上限。
在振動(dòng)陀螺的滑?？刂蒲芯糠矫?文獻(xiàn)[12]討論了將滑模控制運(yùn)用于微機(jī)械(micro-electro-mechanical system, MEMS)陀螺儀過(guò)程中關(guān)于降低抖振、抑制不匹配干擾、扇區(qū)輸入非線性的自適應(yīng)補(bǔ)償?shù)确椒?并通過(guò)仿真驗(yàn)證了所提策略的有效性和優(yōu)越性。文獻(xiàn)[13]將滑?？刂茟?yīng)用在工作于力平衡模式的MEMS陀螺儀上,通過(guò)數(shù)值仿真結(jié)果驗(yàn)證了該控制器對(duì)于參數(shù)變動(dòng)具有很好的魯棒性,并且在阻尼和剛度不對(duì)稱以及噪聲存在條件下,該控制器仍能保證系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)跟蹤理想運(yùn)動(dòng)軌跡。文獻(xiàn)[14]提出一種新型自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階滑模控制器,通過(guò)新的自適應(yīng)律更新分?jǐn)?shù)階滑?？刂破鞯脑鲆?使得MEMS陀螺運(yùn)動(dòng)具有更高的追蹤精度和更強(qiáng)的抗干擾性。文獻(xiàn)[15]將徑向基函數(shù)(radial basis function, RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與滑模控制結(jié)合,解決了MEMS陀螺系統(tǒng)不確定部分的自適應(yīng)逼近,并且使用快速終端滑?？刂?實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)狀態(tài)有限時(shí)間收斂。文獻(xiàn)[16]針對(duì)MEMS陀螺提出了一種快速自適應(yīng)比例-積分(proportional-integral, PI)滑?？刂撇呗?實(shí)現(xiàn)了快速穩(wěn)定地跟隨輸入信號(hào)的目的。文獻(xiàn)[17]提出了一種基于雙環(huán)遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近器的MEMS陀螺分?jǐn)?shù)階非奇異終端滑?？刂破?采用內(nèi)循環(huán)和外循環(huán)提供反饋信號(hào),以獲得滿意的逼近精度。值得注意的是,雖然目前國(guó)內(nèi)外學(xué)者運(yùn)用滑模控制結(jié)合自適應(yīng)、分?jǐn)?shù)階微分、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等方法對(duì)振動(dòng)陀螺進(jìn)行了研究[18],但主要集中在用連續(xù)滑?？刂品椒ㄖ苯涌刂普駝?dòng)陀螺的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),使之跟蹤上一個(gè)假設(shè)的、幅值和頻率恒定的理想運(yùn)動(dòng)軌跡,然后通過(guò)跟蹤的快速性、準(zhǔn)確性和魯棒性等各方面指標(biāo)評(píng)價(jià)滑模控制的效果[19-21],而這與實(shí)際中需要運(yùn)用離散滑?？刂?并且陀螺的諧振頻率會(huì)受到干擾因素影響而產(chǎn)生變化有較大出入。
基于滑?？刂片F(xiàn)有的研究成果和存在的實(shí)際問(wèn)題,本文提出從表征振動(dòng)陀螺工作狀態(tài)的橢圓參數(shù)出發(fā),將離散滑?？刂剖状螒?yīng)用于振動(dòng)陀螺的控制系統(tǒng)中,從而減小振動(dòng)陀螺在全角模式下駐波進(jìn)動(dòng)角的漂移誤差和標(biāo)度因數(shù)誤差。本文的結(jié)構(gòu)安排如下:第1節(jié)介紹離散滑?？刂频牡竭_(dá)性條件,并選取恰當(dāng)?shù)碾x散滑?？刂期吔?第2節(jié)首先分析橢圓參數(shù)并選取主波振幅和正交波振幅作為控制對(duì)象,然后對(duì)控制對(duì)象進(jìn)行了數(shù)學(xué)建模,最后結(jié)合趨近律和滑模面函數(shù)(切換函數(shù))求取離散滑?？刂坡?第3節(jié)給出了比例-積分-微分(proportional-integral-derivative, PID)控制和離散滑模控制的仿真對(duì)比,仿真結(jié)果驗(yàn)證了離散滑?？刂频膬?yōu)良特性。
1 離散滑?？刂圃?/h2>1.1 離散滑?；靖拍?/h3>
當(dāng)離散滑模控制施加于系統(tǒng)時(shí),系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)一般包括3種模態(tài):趨近模態(tài)(reaching mode, RM)、滑動(dòng)模態(tài)(sliding mode, SM)和穩(wěn)定模態(tài)(steady-state mode, SS),如圖1所示。
圖1中有兩種類型的離散系統(tǒng)狀態(tài)運(yùn)動(dòng)軌跡,分別記為I和II。I型軌跡代表理想狀態(tài)軌跡,II型軌跡代表了實(shí)際滑?？刂葡到y(tǒng)的狀態(tài)軌跡[22]。
需要注意地是,II型軌跡下系統(tǒng)狀態(tài)為準(zhǔn)滑動(dòng)模態(tài)運(yùn)動(dòng),在切換平面附近形成鋸齒型的軌跡。通過(guò)觀察該軌跡可知實(shí)際情況下的離散滑?？刂葡到y(tǒng)狀態(tài)軌跡應(yīng)該有以下特點(diǎn):
(1) 從任意的初始狀態(tài)出發(fā),狀態(tài)軌跡單調(diào)地趨向切換平面并在有限時(shí)間內(nèi)穿越;
(2) 一旦狀態(tài)軌跡穿越了切換平面,之后的每一步都要穿越切換平面,圍繞切換平面形成鋸齒形軌跡:
(3) 每一步鋸齒形狀態(tài)軌跡的大小是非增的,并且保持在一個(gè)特定的準(zhǔn)滑動(dòng)模態(tài)帶內(nèi)。
如果離散滑?？刂仆瑫r(shí)滿足以上3個(gè)條件,就稱之為滿足了到達(dá)性條件[23]。
1.2 趨近律選取
在離散滑模控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中,高為炳院士提出的趨近律設(shè)計(jì)方法是一種簡(jiǎn)單有效的方法[22, 24],其主要思想是先構(gòu)造滿足離散滑模到達(dá)性條件的趨近律,然后利用趨近律和所設(shè)計(jì)的切換函數(shù)求取離散滑?？刂坡?。高為炳院士提出的離散指數(shù)趨近律如下所示:
s(k+1)-s(k)=-gTs(k)-εTsgn(s(k))
(1)
式中:g>0,ε>0,1-gT>0；T為采樣周期；sgn(·)為符號(hào)函數(shù)。
基于式(1)設(shè)計(jì)的離散滑?？刂葡到y(tǒng)具有誤差快速收斂、系統(tǒng)抖振較小等優(yōu)點(diǎn),但由于等速趨近項(xiàng)-εTsgn(s(k))的增益為常數(shù),使得系統(tǒng)狀態(tài)最終不能趨于平衡點(diǎn),而是圍繞切換面s=0振蕩。
為了有效地消除穩(wěn)態(tài)時(shí)振蕩,并且使系統(tǒng)狀態(tài)兼具“向切換面漸近趨近”和“穿越切換面”兩種特性,文獻(xiàn)[6]提出一種改進(jìn)的離散趨近律:
s(k+1)-s(k)=-gTs(k)-F|s(k)|Tsgn(s(k))
(2)
式中:g>0,1-gT>0；T為采樣周期；
其中,Δ為切換帶{x∈Rn||s(x)|<Δ}寬度；λ1和λ2滿足如下條件:
(3)
利用式(2)所示的趨近律設(shè)計(jì)離散滑?？刂破?不僅可以使得系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)切換帶內(nèi),而且系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)入切換帶后將步步穿越切換面,并且抖振逐漸衰減至零。因此,本文選取式(2)作為離散滑?？刂频内吔伞?/p>
文獻(xiàn)[6]對(duì)趨近律(2)的到達(dá)性條件證明、趨近運(yùn)動(dòng)和滑模運(yùn)動(dòng)過(guò)程分析進(jìn)行了充分的闡述,故這里不再重復(fù)說(shuō)明。
值得注意的是,由式(2)可得
s(k+1)=(1-gT-FT)s(k)
(4)
調(diào)整λ1和λ2的取值大小可以改變切換函數(shù)s(k)變化的速度。其規(guī)律和影響效果如下:
(1)λ1越大,1-gT-λ1T越小,切換函數(shù)s(k)衰減地越快,系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)入切換帶Δ越快,但會(huì)使得系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)切換面時(shí)抖振越大;
(2)λ2越小,|1-gT-λ2T|越小,切換函數(shù)s(k)衰減地越快,系統(tǒng)狀態(tài)趨近切換面越快(s(k)=0),但離散滑?？刂坡傻目垢蓴_能力也越弱。
基于這些變化規(guī)律,可以為離散滑模控制的仿真調(diào)試提供指導(dǎo)。
2 模型建立與控制律求取
2.1 離散滑?？刂茀?shù)分析
由文獻(xiàn)[25]可知,振動(dòng)陀螺運(yùn)動(dòng)模型可等價(jià)為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在二維平面上的橢圓進(jìn)動(dòng)模型。將相隔45°的檢測(cè)電極上的振動(dòng)信號(hào)分別輸入示波器的X、Y通道,可以觀察到典型的李沙育圖形,如圖2所示。圖2中X軸為0°檢測(cè)電極軸方向,Y軸為45°檢測(cè)電極軸方向,nθ為主波波腹軸與X軸的夾角,a為主波振幅,q為正交波振幅,φ0為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的初始相位,ω為諧振子振動(dòng)的角頻率。參照文獻(xiàn)[26]的方法,可以得到各橢圓參數(shù)的表達(dá)式如下。
(1) 主波振幅a:
(5)
主波振幅代表振動(dòng)陀螺振動(dòng)的幅度,陀螺正常工作時(shí)要求其保持為恒定值。
(2) 正交波振幅q:
(6)
正交波振幅反應(yīng)了振動(dòng)陀螺偏離理想工作狀態(tài)的程度,理想情況下應(yīng)將其抑制到0。
(3) 相位差δ:
(7)
相位差指的是參考信號(hào)發(fā)生器產(chǎn)生的參考信號(hào)與陀螺檢測(cè)電極產(chǎn)生的電壓信號(hào)之間的相位差,將其鎖定到0°即完成了對(duì)振動(dòng)陀螺的鎖頻和鎖相工作,即振動(dòng)陀螺保持在其諧振頻率處振動(dòng)。其中,E、Q、L由振動(dòng)陀螺檢測(cè)信號(hào)和參考信號(hào)經(jīng)調(diào)制解調(diào)組合得到,其含義與文獻(xiàn)[26]中一致,故不再贅述。
由以上分析可知,控制振動(dòng)陀螺工作的橢圓參數(shù)有3個(gè):主波振幅a、正交波振幅q和相位差δ。由于鎖定相位差δ涉及因素較多、難度較大,并且在現(xiàn)行PID控制下也已經(jīng)有了較高控制精度,恰恰主波振幅a和正交波振幅q仍有較大提升空間。進(jìn)一步分析,借助文獻(xiàn)[25]中的積分平均法,將振動(dòng)陀螺非理想運(yùn)動(dòng)方程轉(zhuǎn)化為橢圓參數(shù)方程[27],可得到關(guān)于駐波進(jìn)動(dòng)角θ的表達(dá)式:
(8)
綜上所述,在本文的離散滑模控制研究中,主波振幅和正交波振幅用離散滑?？刂?相位差仍用之前相同參數(shù)的、經(jīng)典的PID控制。
2.2 控制對(duì)象數(shù)學(xué)模型的建立
針對(duì)所控制的對(duì)象a和q建立數(shù)學(xué)模型,并寫成狀態(tài)方程的形式:
(9)
式中:Esmc和Qsmc分別代表幅值控制信號(hào)和正交控制信號(hào)。
為方便敘述,將式(9)記作:
(10)
由于rank([BABA2BA3B])=4,說(shuō)明式(10)所描述的系統(tǒng)狀態(tài)是完全可控的,即說(shuō)明控制輸入Esmc和Qsmc有能力將a和q控制到設(shè)定值[28]。
將式(10)用離散化公式進(jìn)行離散化[29],得到如下形式的離散系統(tǒng):
X(k+1)=ΦX(k)+ΓU(k)
(11)
式中:
2.3 離散滑?？刂坡汕笕?/h3>
對(duì)跟蹤問(wèn)題,設(shè)計(jì)切換函數(shù)(滑模函數(shù))為
S(k)=[sa(k);sq(k)]=CE(k)=C[Xd(k)-X(k)]
(12)
在本文設(shè)計(jì)的離散滑?？刂浦?a和q的切換函數(shù)分別為
(13)
(14)
為了保證對(duì)應(yīng)的多項(xiàng)式p+c1和p+c2滿足Hurwitz穩(wěn)定,需要多項(xiàng)式p+c1=0和p+c2=0的特征值實(shí)數(shù)部分為負(fù)數(shù),即要求
(15)
由式(12)和式(13)可得
S(k+1)=C[Xd(k+1)-X(k+1)]=
C[Xd(k+1)-ΦX(k)-ΓU(k)]
(16)
式中:Xd(k+1)為下一時(shí)刻的目標(biāo)值。
在多輸入問(wèn)題下,式(2)所示的趨近律改寫為
S(k+1)=(I-gT)S(k)-TFdiag(|S(k)|)sgn(S(k))
(17)
式中:diag(|S(k)|)表示以向量|S(k)|中的元素構(gòu)造對(duì)角矩陣。
聯(lián)立式(16)和式(17)可得離散滑模控制律:
U(k)=(CΓ)-1[CXd(k+1)-CΦX(k)-
(I-gT)S(k)+TFdiag(|S(k)|)sgn(S(k))]
(18)
3 模型搭建和仿真對(duì)比
3.1 仿真模型搭建
根據(jù)振動(dòng)陀螺的非理想運(yùn)動(dòng)方程、位移至電壓轉(zhuǎn)換的檢測(cè)原理、檢測(cè)信號(hào)與參考信號(hào)的解調(diào)原理、橢圓參數(shù)的解算方法、控制輸出的調(diào)制原理以及靜電力的驅(qū)動(dòng)原理[30-32],分別搭建相應(yīng)的Simulink模塊,互聯(lián)之后組成振動(dòng)陀螺的仿真平臺(tái)如圖3所示,圖中以順序序號(hào)1～6依次標(biāo)出所搭建的模塊。仿真模型中的振動(dòng)陀螺工作在全角(速率積分)模式下,即駐波進(jìn)動(dòng)角可以直接表征外界的轉(zhuǎn)動(dòng)角度。
離散滑?？刂苹騊ID控制方法可在圖3中編號(hào)5所示的控制輸出調(diào)制模塊內(nèi)搭建實(shí)現(xiàn)。為了后續(xù)能更方便地將仿真中離散滑?？刂坡梢浦驳綄?shí)際工程中應(yīng)用,離散滑模控制使用自定義的通用函數(shù)模塊且以編程的方式實(shí)現(xiàn)?？紤]實(shí)際情況中驅(qū)動(dòng)信號(hào)比檢測(cè)信號(hào)的幅值通常大2個(gè)數(shù)量級(jí)以上,因此驅(qū)動(dòng)信號(hào)與檢測(cè)信號(hào)在實(shí)際的電路中會(huì)存在串?dāng)_問(wèn)題。當(dāng)擾動(dòng)較大時(shí),甚至?xí)?dǎo)致振動(dòng)陀螺起振時(shí)的鎖頻失敗。為了使仿真更接近實(shí)際情況,在圖3中編號(hào)為2的檢測(cè)模塊和編號(hào)為6的驅(qū)動(dòng)模塊內(nèi)加入了信號(hào)串?dāng)_的模型。
為了驗(yàn)證離散滑?？刂频挠行?分別選取靜止0°/s和100°/s旋轉(zhuǎn)輸入2種情況進(jìn)行仿真對(duì)比實(shí)驗(yàn)。
3.2 靜止條件下仿真
設(shè)置外界輸入轉(zhuǎn)速為0°/s,目標(biāo)值矩陣Xd=[40 000;0;0;0]。
使用PID控制時(shí),PID的參數(shù)選取如下:
Pa=30
Ia=1
Pq=1 000
Iq=1
Pf=3 000
If=1 000
需要說(shuō)明的是,選取上述PID參數(shù)的依據(jù)是仿真程序在調(diào)試過(guò)程中抗串?dāng)_效果最好。而離散滑?？刂瓶梢酝ㄟ^(guò)控制量的切換使系統(tǒng)狀態(tài)在受到干擾時(shí)具有強(qiáng)魯棒性,因此能更好地降低串?dāng)_帶來(lái)的影響。
當(dāng)對(duì)主波振幅a和正交波振幅q使用離散滑?？刂茣r(shí),控制律式(18)中各參數(shù)的取值如下:
c1=c2=30
Δ=0.5
其中:
其余參數(shù)與PID控制仿真情況下設(shè)置一致。將這2種控制方法得到的仿真結(jié)果放置在同一張圖中對(duì)比,如圖4和圖5所示,圖中藍(lán)色實(shí)線表示PID控制的結(jié)果,紅色實(shí)線表示離散滑?？刂频慕Y(jié)果,黑色實(shí)線表示理論的駐波進(jìn)動(dòng)角度。
從圖4可得到:
(1) PID控制作用下,主波振幅a在0.4 s后進(jìn)入振蕩階段,振蕩范圍為40 023～40 024 LSB,10 s后振蕩范圍變?yōu)?0 017～40 018 LSB,并有逐漸減少的趨勢(shì);正交波振幅q在0.1 s后進(jìn)入固定幅值范圍振蕩,振蕩范圍為0.9～1.1,取整后結(jié)果為1 LSB;相位差δ在5 s后進(jìn)入固定幅值范圍振蕩,振蕩范圍為0.011 1°～0.011 3°。
(2) 離散滑?？刂谱饔孟?主波振幅a以更快的速度跟蹤上目標(biāo)值,a可在0.1 s后進(jìn)入固定幅值范圍振蕩,振蕩范圍為39 999～40 000 LSB;正交波振幅q跟蹤速度下降,在0.4 s后進(jìn)入固定幅值范圍振蕩,振蕩范圍為0.1～0.4,取整后為0 LSB;相位差δ在5 s后進(jìn)入固定幅值范圍振蕩,振蕩范圍同樣為0.011 1°～0.011 3°。
3.3 旋轉(zhuǎn)條件下仿真
設(shè)定外界輸入轉(zhuǎn)速為100°/s,振動(dòng)陀螺進(jìn)動(dòng)因子γ為0.27。用第3.2節(jié)同樣的PID參數(shù)、離散滑?？刂茀?shù)和目標(biāo)值矩陣,得到仿真結(jié)果如圖6和圖7所示。
從圖6中可得到:
(1) PID控制下,主波振幅a可在0.4 s后進(jìn)入固定幅值范圍振蕩,振蕩范圍為40 023～40 024 LSB,10 s后振蕩范圍變?yōu)?0 017～40 018 LSB,并有逐漸減少的趨勢(shì);正交波振幅q在0.1 s后進(jìn)入固定幅值范圍振蕩,振蕩范圍為-2～2 LSB;相位差δ在4 s后進(jìn)入固定幅值范圍振蕩,振蕩范圍為0.008°～0.014°。
(2) 離散滑?？刂葡?同樣實(shí)現(xiàn)了主波振幅a更快速度地跟蹤目標(biāo)值,a可在0.1 s后進(jìn)入固定幅值范圍振蕩,振蕩范圍為39 999～40 000 LSB;正交波振幅q跟蹤速度仍然是遜色于PID控制,在0.2 s后進(jìn)入固定幅值范圍振蕩,但跟蹤精度有所提升,振蕩范圍為-1～1 LSB;相位差δ在4 s后進(jìn)入固定幅值范圍振蕩,振蕩范圍同樣為0.008°～0.014°。
4 結(jié) 論
本文提出了將離散滑?？刂埔氲秸駝?dòng)陀螺橢圓參數(shù)的控制系統(tǒng)中,用來(lái)控制主波振幅和正交波振幅,提高了主波振幅和正交波振幅的跟蹤精度,進(jìn)而減小了振動(dòng)陀螺在全角模式下駐波進(jìn)動(dòng)角的漂移誤差和標(biāo)度因數(shù)誤差。從10 s內(nèi)的PID控制與離散滑模控制的仿真結(jié)果對(duì)比可知:① 0°/s靜止條件下,主波振幅a誤差減小了16 LSB;正交波振幅q誤差減小了1 LSB;振動(dòng)陀螺的角度漂移速率減小了0.36°/h。② 100°/s旋轉(zhuǎn)輸入條件下,主波振幅a誤差減小了16 LSB;正交波振幅q誤差減小了1 LSB;標(biāo)度因數(shù)誤差減小了5 ppm。仿真結(jié)果體現(xiàn)了離散滑?？刂频聂敯粜院涂焖偈諗啃?。
本文基于振動(dòng)陀螺得到的研究成果可廣泛應(yīng)用到半球諧振陀螺和MEMS陀螺等慣性傳感器的研發(fā)與設(shè)計(jì)中,從而有效提升陀螺傳感器的性能水平。
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