羅 哲, 權(quán)婉珍,*, 張樸睿, 楊小岡

(1. 火箭軍工程大學(xué)導(dǎo)彈工程學(xué)院, 陜西 西安 710025; 2. 國(guó)防科技大學(xué)航天科學(xué)與工程學(xué)院, 湖南 長(zhǎng)沙 410073)

0 引 言

近年來(lái),多智能體系統(tǒng)協(xié)同控制已經(jīng)成為許多學(xué)者關(guān)注的熱點(diǎn),被應(yīng)用到多無(wú)人機(jī)編隊(duì)控制、傳感器網(wǎng)絡(luò)同步、多機(jī)器人協(xié)作、多導(dǎo)彈協(xié)同攻擊、分布式電網(wǎng)控制、多衛(wèi)星組網(wǎng)技術(shù)等領(lǐng)域。一致性控制是各個(gè)智能體根據(jù)鄰居狀態(tài)信息設(shè)計(jì)的一種協(xié)作策略,在環(huán)境變化的影響下各個(gè)智能體仍然能利用這種策略使共同關(guān)注的狀態(tài)信息達(dá)到一致。

目前,多智能體系統(tǒng)的一致性問(wèn)題已經(jīng)被廣泛研究。文獻(xiàn)[15]基于一致性理論,提出了一種二階線性多智能體系統(tǒng)時(shí)變性能編隊(duì)控制協(xié)議,適用于實(shí)際中無(wú)人機(jī)電池和燃料等資源有限的情況,驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)的控制協(xié)議不僅能夠形成期望的編隊(duì),同時(shí)系統(tǒng)所消耗的能量小于給定的系統(tǒng)總能量。文獻(xiàn)[16-17]考慮到多智能體系統(tǒng)中部分狀態(tài)不可測(cè),提出了多智能體系統(tǒng)的輸出一致性控制。文獻(xiàn)[18-19]研究連續(xù)時(shí)間和離散時(shí)間的混合多智能體系統(tǒng)一致性問(wèn)題,利用博弈論的方法對(duì)兩組智能體建模,獲得了系統(tǒng)一致的充分必要條件。文獻(xiàn)[20]設(shè)計(jì)了一種改進(jìn)的控制協(xié)議,可抑制外界擾動(dòng)并實(shí)現(xiàn)了多智能體系統(tǒng)的一致性。上述研究都是針對(duì)線性系統(tǒng),線性系統(tǒng)比較簡(jiǎn)單,易于分析,但由于實(shí)際中幾乎所有系統(tǒng)是非線性的,很難用線性去刻畫(huà)出實(shí)際物理系統(tǒng)的非線性本質(zhì)。

為了解決以上線性系統(tǒng)所帶來(lái)的缺陷,Lipschitz非線性系統(tǒng)的一致性問(wèn)題引起了學(xué)者的廣泛關(guān)注和深入研究。文獻(xiàn)[21-22]研究了基于狀態(tài)觀測(cè)器的Lipschitz非線性系統(tǒng),巧妙地利用分離原理,獲得了系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件。文獻(xiàn)[23]針對(duì)二階Lipschitz非線性無(wú)領(lǐng)導(dǎo)者有限時(shí)間一致性問(wèn)題,提出了有限時(shí)間一致性算法,使多智能體在有限的時(shí)間內(nèi)達(dá)到平衡狀態(tài)。文獻(xiàn)[24-25]以Lipschitz非線性多智能體系統(tǒng)為研究對(duì)象,考慮了智能體之間通信鏈路中斷問(wèn)題,提出了切換拓?fù)錀l件下的一致性追蹤控制器,獲得了Lipschitz非線性系統(tǒng)一致性跟蹤的充分條件。文獻(xiàn)[26]針對(duì)任意有向網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),設(shè)計(jì)了帶有動(dòng)態(tài)增益的一致協(xié)議,實(shí)現(xiàn)了在馬爾可夫切換拓?fù)湎赂唠A非線性多智能體系統(tǒng)的一致性控制。以上文獻(xiàn)主要是Lipschitz非線性系統(tǒng)為研究對(duì)象,分別從Lipschitz非線性多智能體之間的通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、收斂時(shí)間、狀態(tài)不可測(cè)等方面進(jìn)行一致性分析和設(shè)計(jì),并取得了一定的研究結(jié)果,較之前線性系統(tǒng)具有更強(qiáng)的工程應(yīng)用價(jià)值(如單連桿柔性機(jī)械臂系統(tǒng)、航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)、蔡氏電路系統(tǒng))。但通常情況下,Lipschitz非線性多智能體系統(tǒng)的Lipschitz常數(shù)必須為正數(shù),從而限制了非線性函數(shù)的增長(zhǎng)速率,這使得Lipschitz條件常數(shù)具有局限性,將會(huì)給系統(tǒng)帶來(lái)保守性。

針對(duì)上述Lipschitz條件常數(shù)所帶來(lái)的局限性問(wèn)題,本文研究了單邊Lipschitz非線性多智能體系統(tǒng)一致追蹤控制。相比較以上的線性和Lipschitz非線性系統(tǒng),本文研究的單邊Lipschitz非線性多智能體系統(tǒng)主要有以下特點(diǎn):首先,單邊Lipschitz非線性多智能體系統(tǒng)的單邊Lipschitz常數(shù)可以為負(fù)數(shù)、零和正數(shù),克服了Lipschitz常數(shù)的局限性,降低了系統(tǒng)的保守性。其次,解決了Lipschitz常數(shù)因系數(shù)增大而失效的問(wèn)題。因此,本文所提出的單邊Lipschitz非線性系統(tǒng)具有更強(qiáng)的實(shí)際工程應(yīng)用意義,有待進(jìn)一步的深入研究。

1 預(yù)備知識(shí)及問(wèn)題描述

1.1 預(yù)備知識(shí):圖論

=((),())表示多智能體構(gòu)成的一個(gè)有向通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖,其中非空集()={,,…,}表示圖的節(jié)點(diǎn)集,節(jié)點(diǎn)表示智能體,()?()×()表示邊集,每條邊由一對(duì)節(jié)點(diǎn)(,)來(lái)表示,表示智能體與智能體之間的通信關(guān)系,其中代表父節(jié)點(diǎn),代表子節(jié)點(diǎn)。={:(,)∈()}表示節(jié)點(diǎn)的鄰居節(jié)點(diǎn)的集合。圖的拉普拉斯矩陣定義為=()-(),其中非空集()=[]∈×表示鄰接矩陣,表示邊的權(quán)重,≥0且>0當(dāng)且僅當(dāng)(,)∈(),()=diag{,,…,}表示入度矩陣。

1.2 問(wèn)題描述

假設(shè)+1個(gè)非線性智能體具有相同的結(jié)構(gòu),并構(gòu)成了一個(gè)單邊Lipschitz非線性領(lǐng)導(dǎo)-跟隨者多智能體系統(tǒng),其動(dòng)力學(xué)模型如下:

(1)

式中:()和()分別代表領(lǐng)導(dǎo)者和跟隨者的狀態(tài);()代表其對(duì)應(yīng)的控制輸入。單邊Lipschitz非線性函數(shù)()∶×[0,+∞)→是連續(xù)可微的,且滿足單邊Lipschitz條件和二次內(nèi)部有界條件如下:

(2)

(3)

式中:表示單邊Lipschitz常數(shù);和是已知的常數(shù)。

本文研究的單邊Lipschitz條件優(yōu)勢(shì)在于其常數(shù),和可以為正數(shù)、0、負(fù)數(shù),而Lipschitz條件常數(shù)>0。即單邊Lipschitz條件和二次內(nèi)部有界條件代表了更廣泛的一類(lèi)非線性函數(shù),而傳統(tǒng)Lipschitz條件不具備所有非線性動(dòng)力學(xué)特性。在這種情況下,研究的單邊Lipschitz非線性多智能體系統(tǒng)具有更廣泛的應(yīng)用價(jià)值。此外,基于Lipschitz條件的非線性控制方法對(duì)Lipschitz常數(shù)具有很強(qiáng)的依賴(lài)性,通常要求其較小,當(dāng)Lipschitz常數(shù)很大時(shí),很難找到一個(gè)可行的解。因此,基于單邊Lipschitz條件和二次內(nèi)有界的單邊Lipschitz非線性多智能體系統(tǒng)的研究具有十分重要的意義。

為了解決單邊Lipschitz非線性多智能體追蹤問(wèn)題,考慮控制協(xié)議:

(4)

式中:=1,2,…,;是有待設(shè)計(jì)的控制增益矩陣。單邊Lipschitz非線性多智能體系統(tǒng)一致性追蹤控制的定義為:如果存在一個(gè)控制增益矩陣使得lim→∞(()-())=0(=1,2,…,)成立,那么通過(guò)設(shè)計(jì)控制增益矩陣,單邊Lipschitz非線性領(lǐng)導(dǎo)-跟隨者多智能體系統(tǒng)式(1)在控制協(xié)議式(4)的作用下可實(shí)現(xiàn)一致性追蹤。

本文主要研究如何設(shè)計(jì)出合適的增益矩陣使單邊Lipschitz非線性領(lǐng)導(dǎo)-跟隨者多智能體系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)一致性追蹤控制。

2 控制協(xié)議設(shè)計(jì)

本節(jié)給出單邊Lipschitz非線性領(lǐng)導(dǎo)-跟隨者多智能體系統(tǒng)一致性追蹤控制設(shè)計(jì)的充分條件。

首先,根據(jù)控制協(xié)議式(4),可得

0(()-())+(())

(5)

令狀態(tài)差()=()-(),在控制協(xié)議式(4)和式(5)的作用下,單邊Lipschitz非線性領(lǐng)導(dǎo)-跟隨者多智能體系統(tǒng)可轉(zhuǎn)化為誤差系統(tǒng):

0(())+(())-(())

(6)

對(duì)于領(lǐng)導(dǎo)-跟隨者結(jié)構(gòu)作用拓?fù)錇?/p>

=[,,…,1]

=diag{,,…,1}

式中:表示領(lǐng)導(dǎo)者與跟隨者的通信拓?fù)?表示跟隨者之間的通信拓?fù)?。通信拓?fù)浒蓸?shù)且跟隨者之間的拓?fù)涫菬o(wú)向的,則矩陣+是對(duì)稱(chēng)的。因此,存在一個(gè)正交矩陣滿足條件(+)=diag{,,…,},且拉普拉斯矩陣的特征值>0(=1,2,…,)。

對(duì)于任意給定的系統(tǒng)參數(shù)>0,>0,存在矩陣=使得

成立。其中,*表示對(duì)稱(chēng)矩陣。那么通過(guò)將控制增益矩陣設(shè)計(jì)為=,可保證單邊Lipschitz非線性領(lǐng)導(dǎo)-跟隨者多智能體系統(tǒng)式(1)在控制協(xié)議式(4)的作用下實(shí)現(xiàn)了一致性追蹤控制,其中:

(7)

式中:=1,2,…,;=>0,可以看出()>0。將()沿著誤差系統(tǒng)式(6)的解對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得

(8)

根據(jù)單邊Lipschitz非線性條件式(3),下面的不等式成立:

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

式中:

=++2+2μ-2

對(duì)式(14)左乘右乘diag{,},等價(jià)變化可得

(15)

式中:

=++(2+2μ)-2

證畢

定理給出了單邊Lipschitz非線性系統(tǒng)中控制協(xié)議式(4)的設(shè)計(jì)判據(jù)。下面考慮在控制增益矩陣給定的情況下,給出了單邊多智能體系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)一致性的分析判據(jù)。

對(duì)于任意給定的控制增益矩陣,存在一個(gè)對(duì)稱(chēng)正定矩陣=>0使得

成立,那么單邊Lipschitz非線性領(lǐng)導(dǎo)-跟隨者多智能體系統(tǒng)式(1)在控制協(xié)議式(4)的作用下實(shí)現(xiàn)了一致性追蹤控制。其中，=++2+2μ-2。

3 仿真分析

本節(jié)通過(guò)一個(gè)數(shù)值仿真實(shí)例對(duì)單邊Lipschitz非線性系統(tǒng)的一致性追蹤控制算法的有效性進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

單邊Lipschitz非線性領(lǐng)導(dǎo)-跟隨者多智能體系統(tǒng)由1個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者和6個(gè)跟隨者構(gòu)成,其中每個(gè)智能體的動(dòng)力學(xué)方程由式(1)表示,系統(tǒng)矩陣為

單邊Lipschitz非線性函數(shù)(())(=0,1,…,)為

式中:函數(shù)()滿足條件單邊Lipschitz條件式(2)和二次內(nèi)部有界條件式(3)。圖1表示領(lǐng)導(dǎo)跟隨者的通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖,其中拓?fù)鋱D的權(quán)重都是0-1的。

圖1 通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖Fig.1 Communication topology

每個(gè)智能體的初始狀態(tài)如下:

(0)=[02,03,15,06]
(0)=[12,08,-13,04]
(0)=[-15,05,12,09]
(0)=[-11,09,-06,03]
(0)=[-15,12,-12,10]
(0)=[-12,13,10,-08]
(0)=[13,02,11,-12]

選擇參數(shù)=01,=-5,=015,=02和=5。根據(jù)LMI工具箱的FEASP求解器求出:

則控制增益:

==[3612 2,0949 1,0390 6,3756 0]

圖2～圖5表示了狀態(tài)量的運(yùn)動(dòng)軌跡,其中紅色圓圈表示領(lǐng)導(dǎo)者的運(yùn)動(dòng)軌跡曲線,其他不同顏色的曲線表示不同跟隨者的狀態(tài)運(yùn)動(dòng)軌跡。圖2～圖5分別表示狀態(tài)量1(),2(),3()和4()(=0,1,…,6)的運(yùn)動(dòng)軌跡。從圖2～圖5的仿真結(jié)果可以看出,最后跟隨者的狀態(tài)與領(lǐng)導(dǎo)者的狀態(tài)達(dá)到一致,因此可以得出在控制協(xié)議式(4)的作用下,單邊Lipschitz非線性領(lǐng)導(dǎo)-跟隨多智能體系統(tǒng)式(1)實(shí)現(xiàn)了一致性追蹤。

圖2 狀態(tài)xi1(t)的軌跡曲線Fig.2 Trajectories of the state xi1(t)

圖3 狀態(tài)xi2(t)的軌跡曲線Fig.3 Trajectories of the state xi2(t)

圖4 狀態(tài)xi3(t)的軌跡曲線Fig.4 Trajectories of the state xi3(t)

圖5 狀態(tài)xi4(t)的軌跡曲線Fig.5 Trajectories of the state xi4(t)

4 結(jié) 論

本文研究了單邊Lipschitz非線性多智能體系統(tǒng)的追蹤控制問(wèn)題。首先,提出了分布式一致性控制協(xié)議。然后,利用正交變換,將一致性協(xié)議的設(shè)計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)穩(wěn)定性問(wèn)題。同時(shí),給出了單邊Lipschitz非線性多智能體系統(tǒng)追蹤控制的充分條件。理論結(jié)果表明,所設(shè)計(jì)的控制協(xié)議能夠?qū)崿F(xiàn)領(lǐng)導(dǎo)者和跟隨者之間狀態(tài)一致,即實(shí)現(xiàn)了一致追蹤控制。最后,通過(guò)仿真算例驗(yàn)證了本文所提出方法的正確性。在未來(lái)工作中,將考慮一般非線性系統(tǒng)的一致追蹤問(wèn)題。