高文君，鐵麒，鄭巍，湯欣

（中國石油 吐哈油田分公司 勘探開發(fā)研究院，新疆 哈密 839009）

Welge 方程是研究水驅(qū)（或氣驅(qū)）油藏地下油水（或油氣）飽和度推進(jìn)與分布的基礎(chǔ)方程[1]。目前，國內(nèi)外學(xué)者提出了多種Welge 方程的表達(dá)式，這些方程多用于線性地層一維滲流機(jī)理研究[2-4]，尤其是在陳元千教授研究成果基礎(chǔ)上形成的油井見水后Welge 微分表達(dá)式[5]，對(duì)于確定水驅(qū)油藏微觀滲流特征、含水變化規(guī)律、水驅(qū)特征曲線之間的邏輯關(guān)系非常重要[6]，修正了以往在水驅(qū)油藏理論研究方面簡單地將高含水期油層出口端含水飽和度認(rèn)為是油層平均含水飽和度的缺陷[5-7]；或者引入從艾富羅斯實(shí)驗(yàn)結(jié)果得來的線性關(guān)系Swe=1.5Sˉw-0.5(1-Sor)，建立水驅(qū)規(guī)律數(shù)學(xué)模型[8-9]。本文通過正向和反向推理，以明確Iraj Ersaghi 含水變化規(guī)律[10]和艾富羅斯實(shí)驗(yàn)結(jié)果[11]的形成過程、適用條件以及存在的理論缺陷，系統(tǒng)地給出水驅(qū)理論評(píng)價(jià)方法從宏觀水驅(qū)規(guī)律到微觀滲流特征之間的相互轉(zhuǎn)化流程，為水驅(qū)油藏的評(píng)價(jià)提供參考。

1 水驅(qū)（或氣驅(qū)）油藏Welge方程基本表達(dá)式

適用水驅(qū)（或氣驅(qū)）油藏的前緣飽和度推進(jìn)方程，簡稱Welge方程[1]，其基本表達(dá)式為：

按中國石油行業(yè)參數(shù)書寫規(guī)范[12]，水驅(qū)油藏的Welge方程為：

而氣驅(qū)油藏的Welge方程為：

2 國內(nèi)的幾種Welge方程表達(dá)式

2.1 水驅(qū)前緣Welge方程

1996 年，童憲章和匡建超結(jié)合Buckley-Leverett的線性驅(qū)替理論（圖1），通過數(shù)學(xué)分析，推導(dǎo)了水驅(qū)前緣含水飽和度推進(jìn)方程和前緣后平均含水飽和度方程，分別為[2]：

（5）式和（6）式結(jié)合，消除束縛水飽和度參數(shù)項(xiàng)，得到水驅(qū)前緣Welge方程：

由于前緣含水飽和度為定值，因此（9）式為定值方程。求解時(shí)，通常過束縛水飽和度向分流量曲線作切線，切點(diǎn)為（Swf，fwf），切線與直線fw=1 的相交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)值為前緣后平均含水飽和度。

2.2 油井見水后Welge方程

利用面積填補(bǔ)的方法，可得到油井見水后的Welge方程[2-3]（圖2）：

（9）式和（10）式與Welge 方程基本式相比，方程形式一致，區(qū)別在于（9）式和（10）式中含水率的導(dǎo)數(shù)是以偏導(dǎo)數(shù)的形式給出，而Welge 方程的基本式中是以微分的形式給出。按分流量方程[13-14]，含水率是含水飽和度的一元函數(shù)，因此，（9）式和（10）式可改寫為：

3 水驅(qū)油藏見水后Welge方程的確定

1985 年，陳元千教授通過理論推導(dǎo)[5]，給出了累計(jì)注入水孔隙倍數(shù)：

那么，（4）式或（12）式轉(zhuǎn)化為

對(duì)比（3）式和（15）式，可以發(fā)現(xiàn)Welge 方程基本式在原文采用標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)表示方法=df2/dS2，即=dfwe/dSwe，反映的是分流量曲線在Swe處的斜率，并沒有出現(xiàn)像國內(nèi)一些學(xué)者提出的=?fw/?Sw的表述[2-3]。因此，陳元千給出的（15）式不但從純數(shù)學(xué)角度完全符合文獻(xiàn)［1］中建立的Welge 方程式的表述方式和本意，而且也結(jié)合國內(nèi)的研究現(xiàn)狀，利用（14）式作為橋梁，將國內(nèi)外這一基礎(chǔ)理論研究進(jìn)行了有效統(tǒng)一。

若為均質(zhì)油藏，油井間和油層間無差異或開采差異很小，則油藏含水率fw=fwe，（15）式可轉(zhuǎn)換為油藏見水后Welge方程[6]：

同理，可得氣驅(qū)油藏見氣后氣層的平均含氣飽和度，計(jì)算式為

4 油藏見水后Welge方程的應(yīng)用

4.1 油水兩相滲流方程到含水變化規(guī)律的推導(dǎo)

在半對(duì)數(shù)坐標(biāo)系中，油水相滲比值與出口端含水飽和度呈直線關(guān)系[10]，即

由分流量方程可知：

將（18）式代入（19）式，得

將（20）式代入（16）式，得

油藏在注水保持地層壓力的條件下，其平均含水飽和度為[5]：

從（20）式求得出口端含水飽和度，代入（21）式，并結(jié)合（22）式，可得Iraj Ersaghi 含水變化規(guī)律，即丙型水驅(qū)特征曲線[2]：

丙型水驅(qū)曲線本質(zhì)上是一個(gè)具有極值的雙值函數(shù)，只有R隨含水率增大而增大時(shí)，才具有實(shí)際意義[2]。按照存在極值情況，對(duì)（23）式求導(dǎo)，其值為0時(shí)，確定出的最小含水率為0.5。從以上推導(dǎo)過程可知，當(dāng)油水相滲比值與出口端含水飽和度為指數(shù)關(guān)系，且含水率≥0.5 時(shí)，其含水變化規(guī)律適用于經(jīng)典的Iraj Ersaghi 含水變化規(guī)律，這一結(jié)果與國內(nèi)傳統(tǒng)認(rèn)知相左。前人一直認(rèn)為，油水相滲比值與出口端含水飽和度為指數(shù)關(guān)系時(shí)，其含水變化規(guī)律為甲型含水變化規(guī)律[5]，且多適用于原油黏度為3～30 mPa·s 的水驅(qū)油藏[11]：

進(jìn)一步分析甲型含水變化規(guī)律理論建立過程，在其推理過程中引入了從艾富羅斯實(shí)驗(yàn)結(jié)果得來的線性關(guān)系[12]Swe=1.5Sˉw-0.5(1-Sor)，即將（16）式處理為特殊的線性關(guān)系，然后代入分流量關(guān)系（20）式中，并結(jié)合（22）式，得到（24）式。而文獻(xiàn)［14］曾明確指出，只要存在線性關(guān)系Swe=1.5-0.5(1-Sor)，利用見水后Welge 方程，就可以直接得到含水變化規(guī)律R=a2-b2（1-fw）1/3。因此，國內(nèi)部分經(jīng)典水驅(qū)曲線理論的研究，看似引用了見水后Welge方程，其推理實(shí)質(zhì)是將見水后Welge 方程的第二項(xiàng)簡化為（1-Swi-Swe）/3，導(dǎo)致相同的油水相滲比值關(guān)系式得到不同的結(jié)果。

按文獻(xiàn)［7］提供的水驅(qū)特征曲線正向推導(dǎo)方法，（23）式是無法轉(zhuǎn)化為dWp=F(Np)dNp形式的微分方程，而（24）式可利用階段產(chǎn)油量qo=dNp/dt，階段產(chǎn)水量qw=dWp/dt，并結(jié)合fw=qw/(qw+qo)，可得

進(jìn)一步取初始邊界條件Np=Np0時(shí)，Wp=0，對(duì)（25）式定積分，可得

很明顯，在國內(nèi)應(yīng)用廣泛的馬克西莫夫—童憲章（甲型）水驅(qū)特征曲線[15-17]，其對(duì)應(yīng)的含水變化規(guī)律并不是Iraj Ersaghi 含水變化規(guī)律，而是甲型含水變化規(guī)律。同時(shí)，也進(jìn)一步表明馬克西莫夫—童憲章（甲型）水驅(qū)特征曲線的油水兩相相滲比值關(guān)系式并不是指數(shù)式，即不是（18）式，而是文獻(xiàn)［18］給出的

因此，從嚴(yán)格意義上講，只有油水相滲比值符合（27）式時(shí)，油藏含水變化規(guī)律才適用于甲型含水變化規(guī)律。

4.2 便于確定水驅(qū)曲線對(duì)應(yīng)的油水滲流特征方程

國內(nèi)外油藏工程師提出了許多水驅(qū)曲線，這些曲線一部分是水驅(qū)特征曲線，一部分是含水變化規(guī)律曲線。其中，水驅(qū)特征曲線一般經(jīng)微分可得到相應(yīng)含水變化規(guī)律，再結(jié)合（16）式微分求解，可得到對(duì)應(yīng)的油水滲流特征方程，此即文獻(xiàn)［6］所稱的反向推理方法。如文獻(xiàn)［19］曾給出了如下最簡單的水驅(qū)特征曲線：

對(duì)（28）式兩邊進(jìn)行時(shí)間求導(dǎo)，并結(jié)合階段產(chǎn)油量qo=dNp/dt，階段產(chǎn)液量qL=qo+qw=dLp/dt=dNp/dt+dWp/dt，油井含水率fw=qw/(qw+qo)，可得

將（29）式代入（28）式，并結(jié)合R=Np/N，可得

將（22）式代入（31）式，得

再將（32）式代入（16）式，整理得

利用常數(shù)變異法求解非齊次線性方程（33）式的解。先求得齊次線性方程的通解為

再將（34）式中常數(shù)項(xiàng)C2換成fw的未知函數(shù)u(fw)，則

對(duì)（35）式求導(dǎo)，得

將（33）式和（35）式代入（36）式，整理得

求解（38）式的微分方程通解，得

將（39）式代入（35）式，整理得（33）式的解為

在水驅(qū)油過程中，存在初始邊界條件，即（Swi，0）和（1-Sor，1），代入（40）式，得

將（19）式代入（41）式，得到（28）式對(duì)應(yīng)的油水相滲關(guān)系式：

因此，水驅(qū)特征曲線（28）式的適用條件，是油水相滲比值關(guān)系式需滿足（42）式。

若存在1-Sor-Swi=1.5b2(1-Swi)，那么（41）式轉(zhuǎn)化為

若取μr(1-Sor-Swi)-3=50，那么，必然存在艾富羅斯兩相滲流實(shí)驗(yàn)結(jié)果[5]：

以上推理過程進(jìn)一步表明，艾富羅斯實(shí)驗(yàn)結(jié)果是（41）式在特定條件下的一種特殊情況，不僅要符合Swe=Swi時(shí)，fw=0；Swe=1-Sor時(shí)，fw=1 等初始邊界條件。而且還要滿足a2=1.5b2和μr(1-Sor-Swi)-3=50等特殊條件約束。再結(jié)合艾富羅斯實(shí)驗(yàn)的適用條件，即地下油水黏度比為1～10，將會(huì)造成(Sor+Swi)為0.992～0.999 992 或者(Soi-Sor)為0.000 008～0.008 000，這種現(xiàn)象在實(shí)際油藏中根本不可能發(fā)生。因此，艾富羅斯實(shí)驗(yàn)結(jié)果若是（43）式，則理論性會(huì)更好。

總之，利用油井見水后Welge 方程，不僅可以將含水變化規(guī)律（R～fw）或水驅(qū)特征曲線轉(zhuǎn)化為油水滲流特征方程（Swe～fw）[20]，也可以將油水滲流特征方程轉(zhuǎn)化為含水變化規(guī)律。因此，（16）式不僅可以描述油井見水后的油水飽和度推進(jìn)方程，也是建立水驅(qū)油藏含水變化規(guī)律，確定水驅(qū)特征曲線與油水兩相滲流特征方程之間相互關(guān)系的最基本、最重要的方程[21-29]。

5 結(jié)論

（1）在Welge 基本式的基礎(chǔ)上確定的油井見水后Welge 方程，是實(shí)現(xiàn)水驅(qū)油藏含水變化規(guī)律或水驅(qū)特征曲線與油水兩相滲流特征之間相互轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵方程。

（2）利用見水后Welge 方程，論證了油水兩相相滲比值的關(guān)系為指數(shù)式時(shí)，其含水變化規(guī)律是經(jīng)典Iraj Ersaghi 含水變化規(guī)律，而不是傳統(tǒng)意義上的甲型含水變化規(guī)律。

（3）經(jīng)典Iraj Ersaghi 含水變化規(guī)律不存在對(duì)應(yīng)水驅(qū)特征曲線，而甲型含水變化規(guī)律對(duì)應(yīng)水驅(qū)特征曲線為馬克西莫夫—童憲章校正水驅(qū)特征曲線，即甲型校正水驅(qū)特征曲線。

（4）艾富羅斯實(shí)驗(yàn)結(jié)果是Np=A2-水驅(qū)特征曲線對(duì)應(yīng)的油水兩相滲流特征在特定條件下的一種特殊簡化形式，不具廣泛代表性。

符 號(hào) 注 釋

a，a1，a2，A1，A2，b，b1，b2，B1，B2，c1，c2，C1，C2——待定參數(shù)；

f2——水驅(qū)或氣驅(qū)油藏油層出口端含水率或含氣率；

fg——油井（地下）含氣率（對(duì)于單一油層，fg=fge）；

fg2，fge——水驅(qū)油藏油層出口端含水率；

fo——水驅(qū)或氣驅(qū)油藏油層出口端含油率；

fw——油井（地下）含水率（對(duì)于單一油層，fw=fwe）；

fw2，fwe——水驅(qū)油藏油層出口端含水率；

fwf——水驅(qū)前緣含水率；

fwmin——油井初見水時(shí)的含水率；

Kro——油相相對(duì)滲透率；

Krw——水相相對(duì)滲透率；

Lp——累計(jì)產(chǎn)液量（Lp=Np+Wp），104t；

m，n——待定參數(shù)；

N——地質(zhì)儲(chǔ)量，104t；

Np——累計(jì)產(chǎn)油量，104t；

qL——階段產(chǎn)液量（qL=qo+qw），t/d；

qo——階段產(chǎn)油量，t/d；

qw——階段產(chǎn)水量，t/d；

Qi——油層累計(jì)注入水或注入氣孔隙倍數(shù)；

R——采出程度；

S2——水驅(qū)或氣驅(qū)油藏油層出口端含水或含氣飽和度；

Sav——水驅(qū)或氣驅(qū)油藏見水或見氣后油層平均含水或含氣飽和度；

Sg2，Sge——?dú)怛?qū)油藏油層出口端含氣飽和度；

Soi——地層原始含油飽和度；

Sor——?dú)堄嘤惋柡投龋?/p>

Sw——油層某一截面含水飽和度；

Sw2，Swe——水驅(qū)油藏油層（油井）出口端含水飽和度；

Swf——水驅(qū)前緣含水飽和度；

Swi——束縛水飽和度；

Sˉg——平均含氣飽和度；

——平均含水飽和度；

——水驅(qū)前緣后平均含水飽和度；

t——時(shí)間，d；

Wp——累計(jì)產(chǎn)水量，104t；

μo——原油黏度，mPa·s；

μr——地下油水黏度比；

μw——地層水黏度，mPa·s。