關(guān) 欣, 于昊天, 衣 曉

(海軍航空大學(xué), 山東 煙臺 264001)

0 引 言

置信函數(shù)來源于“l(fā)ower probabilities”,在20世紀(jì)60年代由Dempster提出。到了70年代,Shafer將其引申發(fā)展為證據(jù)理論,因此證據(jù)理論又被稱為Dempster-Shafer證據(jù)理論(簡稱為DST)。證據(jù)理論用基本概率賦值(basic probability assignment,BPA)函數(shù)表征某個命題的信任度。DSmT(Dezert-Smarandache theory of plausible and paradoxical reasoning)克服了DST內(nèi)在的限制,展現(xiàn)出很大的優(yōu)勢。

然而,從Smets定義出發(fā),發(fā)現(xiàn)Dempster組合規(guī)則似乎違反或破壞了證據(jù)的獨立性,而DSmT理論并未出現(xiàn)這樣的問題。

當(dāng)前判斷證據(jù)的獨立性沒有統(tǒng)一的方法,其中一種方法是基于概率統(tǒng)計中的相關(guān)系數(shù)來判斷獨立性。這種方法對于大樣本情形是有效的,但概率論中常用的相關(guān)系數(shù)本質(zhì)上是研究隨機變量間線性關(guān)系的函數(shù),并不能涵蓋所有的相關(guān)關(guān)系。小樣本或無樣本情形使得這種方法的可靠性大大降低。本文將從Smets定義出發(fā),針對小樣本或無樣本情形,從目標(biāo)信息獨立性的角度,提出一種解釋和判斷獨立性的方法。

證據(jù)獨立性是Dempster和DSm證據(jù)組合規(guī)則的前提,然而真實世界的信息之間往往存在著不同程度的相關(guān)性。如果忽略證據(jù)之間的相關(guān)性,或者說默認(rèn)證據(jù)之間的獨立性,直接使用Dempster等組合規(guī)則將導(dǎo)致不合理的結(jié)果。本文將對Zadeh悖論進(jìn)行討論,給出新的分析和解釋。

為了解除獨立性對Dempster組合規(guī)則的限制,也就是研究相關(guān)證據(jù)組合問題,目前主要有兩種方法。一種方法是對證據(jù)源進(jìn)行處理從而消除相關(guān)性,這種方法認(rèn)為相關(guān)性是由于同一證據(jù)源與兩個證據(jù)源合成產(chǎn)生的,而這種假設(shè)的局限性在于假設(shè)共同信息是以共同證據(jù)源的形式存在的。另一種方法是對Dempster組合規(guī)則進(jìn)行修改而消除獨立性的限制,來解決相關(guān)證據(jù)的組合問題。這類方法使用的前提是對于不同證據(jù)體的信息共享部分有一定的先驗知識,則可以針對相關(guān)部分進(jìn)行處理,從而消除相關(guān)的影響。對于具有高沖突特性的證據(jù)組合問題,其處理也暗含了一定的先驗知識。

如何對沒有上述前提的相關(guān)證據(jù)進(jìn)行組合呢？由于證據(jù)理論是概率論在一定意義上的推廣,因此類比概率論,可以把證據(jù)的獨立性關(guān)系分為完全獨立、完全相關(guān)和混合相關(guān)。一定條件下,混合相關(guān)情形的概率組合介于獨立和完全相關(guān)情形的概率組合結(jié)果之間,那證據(jù)是不是也有類似結(jié)論呢？

綜上,由于目前沒有關(guān)于證據(jù)獨立性判斷的統(tǒng)一方法,而且基于大樣本情形的相關(guān)系數(shù)判斷法方法對于小樣本或無樣本情形不適用。因此,針對小樣本或無樣本情形,本文嘗試從邏輯的角度出發(fā)探討?yīng)毩⑿耘袛鄦栴}?；赟mets關(guān)于證據(jù)獨立性的定義,研究提出一種基于目標(biāo)信息獨立性的證據(jù)獨立性判斷方法。通過對證據(jù)獨立性的分析,不僅可以對經(jīng)典的Zadeh悖論從新的角度進(jìn)行討論,也可以為目標(biāo)識別中不同傳感器獨立性的合理判斷提供指導(dǎo)。最后,基于目標(biāo)識別背景,針對小樣本的相關(guān)證據(jù)組合問題,考慮從復(fù)合事件概率組合中借鑒方法,探索合適的組合方法。

1 證據(jù)理論

1.1 BPA

設(shè)={,,…,}是一個元素有限的識別框架。

在DST中,元素是完備和互斥的。2表示的冪集,記為2=(,∪)。定義BPA函數(shù):2→[0,1]滿足

(1)

在DSmT中,元素可以相交。令表示的超冪集,記為=(,∪,∩)。其BPA函數(shù)滿足

(2)

1.2 經(jīng)典組合規(guī)則

121 Dempster組合規(guī)則

Dempster組合規(guī)則來源于DST中的Shafer模型。假設(shè)識別框架定義在={,,…,}上的兩個獨立的等可靠的BPA：和,則和的Dempster組合規(guī)則滿足:

(1)(?)=0;

(2) ?(≠?)∈2,有≠時：

(3)

其中,表示沖突度：

的使用前提是當(dāng)且僅當(dāng)式(3)的分母非零,即<1。

122 經(jīng)典DSm組合規(guī)則

假設(shè)同一識別框架下兩條獨立、不確定、高沖突的信源、,以及定義在上的兩個廣義BPA函數(shù)、,經(jīng)典DSm組合規(guī)則定義為對?∈-{?}。有:

(4)

式中：()(?)=0,除非在特殊的例子中信源把非零值賦給空集(如Smets的概率轉(zhuǎn)換模型)。

2 證據(jù)獨立性判斷方法

1976年Glenn在《A mathematical theory of evidence》書中提出信度函數(shù)的組合基于證據(jù)體的獨立性,這一組合的前提條件被很多組合規(guī)則采納。例如,DSmT遵從了Smets對證據(jù)獨立性的定義。

2.1 Smets對證據(jù)獨立性的定義

在文獻(xiàn)[5,29]中,Smets如下定義了證據(jù)體的獨立性。

(1) 如果一個信度函數(shù)滿足:除了全集以外,所有真子集的信度值均為0,那么這種信度函數(shù)稱為空信度函數(shù)。

(2) 證據(jù)體對應(yīng)的限定于空間中的一個區(qū)域。對于空間和。給定證據(jù)體1表示的一個子集為真,證據(jù)體2表示的子集為真,在某個新的空間上構(gòu)造信度函數(shù)Bel和Bel?？紤]由證據(jù)體1(為真)誘導(dǎo)出的上的信度函數(shù)Bel(·|),以及由證據(jù)體2(為真)誘導(dǎo)出的上的信度函數(shù)Bel(·|)。如果兩個信度函數(shù)都是空信度函數(shù),那么就稱這兩個證據(jù)體是獨立的。因此,兩個證據(jù)體獨立的條件是:其中一個證據(jù)體對另一個證據(jù)體的信度值完全不知道。

基于上述定義回顧Dezert給出的例子。

一個75歲的老人和他9歲的孫子看到了一個45歲左右的搶劫犯正在搶奪一個老婦人的包。警察向他們詢問搶劫犯的信息(年齡大還是小)。基于識別框架={=年輕,=年老},利用DSm模型將證詞記為

這兩個證據(jù)體存在高沖突性。利用DSmT組合規(guī)則,得到新的BPA：

=0009 9+0009 9+
0000 1∪+0980 1∩

因此,結(jié)論是∩,即警察確認(rèn)搶劫犯比老人年齡小且比孫子年齡大。

如果令和分別代表由老人和孫子提供的證據(jù)所對應(yīng)的概率空間?；诶先说恼J(rèn)知,的子集和分別對應(yīng)年輕和年老。同樣,基于孫子的認(rèn)知,的子集和分別對應(yīng)年輕和年老。

現(xiàn)在,假設(shè)警察還對其證詞一無所知。顯然,在空間和上的置信度分布函數(shù)都是空置信函數(shù)。假設(shè)是真,即搶劫犯相對于老人是年老。一般來說,搶劫犯相對孫子也應(yīng)該是年老,這就是說是真的可能性也很大,同時是真的可能性很小。換句話說,基于“是真”條件下,上的置信度函數(shù)不是空置信函數(shù)。同樣的方法,基于“是真”條件下,上的置信度函數(shù)也不是空置信函數(shù)。所以,由老人和孫子提供的證據(jù)體是非獨立的。

2.2 Dempster組合規(guī)則中的獨立性問題

對于識別框架的兩個證據(jù)和,,,… 和,,… 分別是兩個證據(jù)的焦元。用表示合成之后的證據(jù)。對于Dempster組合規(guī)則,如果∩=?,則認(rèn)為,是矛盾的,∩不可能發(fā)生,即(|)=0。

于是,對于證據(jù)上的信度函數(shù)Bel,有Bel(|)=0且Bel(-|)=1。因此,按照Smets對獨立性的定義,由(為真)誘導(dǎo)出的上的信度函數(shù)Bel(·|)一定不是空函數(shù),即與不是獨立的。基于此,Dempster組合規(guī)則中,把∩=?當(dāng)做矛盾處理與證據(jù)獨立性這個條件是背離的。而對于DSm理論模型,允許組合后∩的存在,就不會出現(xiàn)這樣的問題。

事實上,僅從組合的計算形式上來看,兩個獨立證據(jù)源所涉及的事件之間不存在矛盾,但是實際中,某些事件組合不可能發(fā)生,因此人為將其歸為空集(如∩=?),這實際上是引入了新的信息,或加入了限制。換句話說,在加入這種特定限制之前,證據(jù)是嚴(yán)格獨立的,這種限制的引入在一定程度上破壞了獨立性,引入了相關(guān)性。從這個角度來講,對于利用沖突再分配策略的組合方法,都不是嚴(yán)格意義上的基于獨立性的組合方法。或者說,沖突再分配策略處理的證據(jù)組合問題,證據(jù)之間不是嚴(yán)格獨立的。

2.3 證據(jù)組合的內(nèi)涵

在目標(biāo)識別中,通過觀察和測量手段獲取目標(biāo)的特征信息,經(jīng)過信息處理,得到一個目標(biāo)的像或模型,這個像包含了對目標(biāo)的所有認(rèn)知信息。對于多源信息融合系統(tǒng),需要對多個信源的信息進(jìn)行融合,每個信源都提供了目標(biāo)的一部分或全部信息,為得到目標(biāo)最終的像提供依據(jù)。

從證據(jù)理論的角度來看,每個信源提供的證據(jù)都代表了一種目標(biāo)的像,包含了目標(biāo)的一部分或全部信息。證據(jù)組合的過程就是對這些信息重新整合，從而建立一個新的像。所以,證據(jù)組合的內(nèi)涵就是對證據(jù)所提供信息進(jìn)行組合,組合的對象是目標(biāo)信息而非信源。圖1和圖2分別是證據(jù)組合的外在表現(xiàn)和內(nèi)涵示意圖。

圖1 證據(jù)組合的外在表現(xiàn)Fig.1 Outward expression of combining evidence

圖2 證據(jù)組合的內(nèi)涵Fig.2 Connotation of combining evidence

實際問題中,多個證據(jù)可以基于同一個識別框架,但是這些證據(jù)隱含的意義是不同的。如例1所述,老人和孫子對同一識別框架的認(rèn)識是有差別的,因為其判斷標(biāo)準(zhǔn)不同。但是其所提供的證據(jù)仍然不是獨立的,那是因為都是基于目標(biāo)的同一屬性(即搶劫犯的年齡)做出的判斷。所以說,真正影響?yīng)毩⑿缘牟皇桥袛鄻?biāo)準(zhǔn)是否一致,而是目標(biāo)的屬性是否一致。一般來講,在對一個目標(biāo)做出判斷的時候,依據(jù)的是目標(biāo)的某些屬性(特征)。例如,中國寓言故事《盲人摸象》中,盲人們分別給出大象是蘿卜、簸箕、石頭、木臼等結(jié)論,實際解釋則是大象在牙齒、耳朵、頭、腿這些屬性上與上述這些描述是一致的。

因此,如果目標(biāo)有多個屬性,而信源基于目標(biāo)屬性進(jìn)行目標(biāo)識別,那么證據(jù)體對識別框架的解釋是:目標(biāo)的某個或幾個屬性與識別框架中的元素具有一致性,BPA的大小則反映了一致性的相對程度。

考慮一個多傳感器數(shù)據(jù)融合的例子。設(shè)表示戰(zhàn)斗機,表示多用途或地面攻擊飛機,表示轟炸機,目標(biāo)識別框架={,,}。傳感器系統(tǒng)使用電子支援措施、紅外、光學(xué)成像3種傳感器,提供的證據(jù)分別為、和。

那么()=02表示目標(biāo)在射頻(radio frequency,RF)頻率、脈沖寬度(pulse width,PW)這兩個屬性上,與戰(zhàn)斗機的一致性程度是02;()=()=03則表示目標(biāo)分別在波長和光學(xué)設(shè)備這兩個屬性上,與戰(zhàn)斗機的一致性程度都是03。雖然()=(),但是其對識別框架的解釋完全不一樣。

因此,在應(yīng)用證據(jù)理論進(jìn)行信息融合之前,需要對不同證據(jù)包含的意義做出準(zhǔn)確的分析。這一點,在關(guān)于Zadeh悖論討論還會有涉及。

2.4 一種獨立性的邏輯判斷方法

證據(jù)組合的內(nèi)涵是對證據(jù)所蘊含目標(biāo)的信息進(jìn)行組合,因此可以依據(jù)是否包含目標(biāo)共同的信息來判斷獨立性,即包含共同信息的證據(jù)一定是相關(guān)的。反之,獨立性的證據(jù)不包含共同信息。文獻(xiàn)[15-18]則依據(jù)共有知識判斷相關(guān)性。

實際應(yīng)用中如何判斷是否包含共同信息,可以從信息特征或目標(biāo)屬性的角度來分析。關(guān)于獨立性的判斷,這里提出兩個判斷準(zhǔn)則。

(1) 證據(jù)體獨立性的判斷應(yīng)當(dāng)依據(jù)不同信源所掌握目標(biāo)信息的獨立性而不是信源的獨立性。信息源于目標(biāo),信源是信息的渠道或載體。信源的獨立性說明了獲取信息途徑的方法或過程是獨立的,但是對于信息是否獨立沒有決定性作用。一方面,不同信源可以對目標(biāo)的同一信息給出結(jié)論。例如,對于一個人身高的判斷,可以從不同角度(正面、側(cè)面、背面)判斷,可以從不同媒介(照片、視頻)判斷,甚至可以通過影子的長度來判斷,但是不同方法最終聚焦在身高這個特征信息上。再來看“指認(rèn)搶劫犯的例子”,老人和孫子雖然可以獨立給出證詞,但都是關(guān)于年齡這同一信息的判斷。另一方面,同一信源可以對目標(biāo)的不同信息給出結(jié)論。例如,對一個人的聲音和身形兩個方面的信息,可以同時獲得,也可以只獲得其中一個。所以,依靠信源的獨立性來判斷證據(jù)的獨立性是值得商榷的。同時,由于不同信源的可靠性不同,或多或少都存在誤差,所以不同信源對同一信息得到的結(jié)果也是有差別的。

關(guān)于信息獨立性的判斷和衡量可以借鑒概率論中事件獨立性判斷方法。數(shù)據(jù)分析可以作為一種方法,但在缺乏數(shù)據(jù)或小樣本的情形下,則需要通過邏輯上的判斷。

(2) 對于具有獨立屬性的目標(biāo),由該目標(biāo)不同屬性產(chǎn)生的信息是獨立的,基于這些獨立信息的證據(jù)也是獨立的。但是同一個目標(biāo)的不同屬性不一定是獨立的,這些屬性間也可以存在聯(lián)系。例如,水果的味道和外觀是兩個屬性,但是一般情況下,味道和外觀都能獨立的作為判斷水果種類的依據(jù),所以這兩個屬性之間的相關(guān)性很強。由于真實世界中,事物的聯(lián)系是普遍存在的,因此只能在一定誤差范圍內(nèi)對獨立性做一個大致的判斷。

這種判斷方法是滿足Smets定義的。事實上,設(shè)目標(biāo)包含可列個獨立屬性{,,…},對任意屬性(=1,2,…)存在狀態(tài)集合(),選定狀態(tài)集合：

={(,,…)|()∈(),=1,2,…}

取、為兩個不同屬性的狀態(tài)集合()、(),那么對于任意?()和?(),其選取互相沒有影響,因此上的信度函數(shù)Bel(·|),以及上的信度函數(shù)Bel(·|)也一定都是空信度函數(shù)。

對于空中目標(biāo)識別來說,多個傳感器得到的信息既可以是動態(tài)數(shù)據(jù),也可以是身份信息。動態(tài)信息描述目標(biāo)運動的動態(tài)參數(shù),通常包括位置、速度和加速度。身份信息則是有助于確立目標(biāo)身份的命題或陳述,目標(biāo)身份信息包括傳感器信號、屬性信息、身份說明等。

在沒有其他信息的情況下,動態(tài)信息與身份信息可以看作是不同屬性的信息,基于這些獨立信息的證據(jù)是獨立的。例2中,3個傳感器分別依據(jù)RF、PW、波長以及光學(xué)特征對目標(biāo)進(jìn)行判斷,因此其是獨立的。

但是對于都是測量位置信息的傳感器,如紅外傳感器和激光傳感器,雖然其輸出數(shù)據(jù)有角度、高度或者坐標(biāo)等不同形式,但是對目標(biāo)非獨立屬性進(jìn)行的識別,所以作為證據(jù)源,應(yīng)該是非獨立的或者完全相關(guān)的。但是,由于測量存在系統(tǒng)誤差和隨機誤差,不同傳感器測量的誤差一般被認(rèn)為是獨立的。事實上,兩者并不矛盾,從測量屬性的角度來講是關(guān)于同一屬性的測量,在證據(jù)組合時應(yīng)選用相關(guān)的方法融合;而測量結(jié)果的誤差是獨立的,對誤差分析需要用獨立性的方法來處理。

2.5 Zadeh悖論

基于本文判斷方法,回顧一下著名的Zadeh悖論。1982年,Zadeh提出了下面的例子來說明Dempster規(guī)則會產(chǎn)生不合常理的結(jié)論。

兩位醫(yī)生A和B對同一個病人做檢查,都認(rèn)為病人可能患的疾病為腦膜炎(meningitis,M)、腦震蕩(concussion,C)或腦瘤(brain tumor,T)。因此，識別框架可以記為={,,}。兩位醫(yī)生對疾病的判斷用BPA形式表述就是：

=099·+0·+001·

和

=0·+099·+001·

當(dāng)使用Dempster規(guī)則組合和時,有：

這就意味著病人患有的疾病確定是腦瘤。而兩位醫(yī)生都認(rèn)為病人患腦瘤的可能性很小,只有001,這就產(chǎn)生了巨大的矛盾。Dempster組合規(guī)則在高沖突情形下會產(chǎn)生不合理的結(jié)論,這為該方法招致了很多批評。

很多文獻(xiàn)對該例子進(jìn)行了分析討論,這里采用一種新的思路。

第一種情形:如果醫(yī)生們的檢測方法大致相同,或者其檢測的是患者同一類身體指標(biāo),那么,依據(jù)判斷方法,這兩個醫(yī)生給出的證據(jù)是相關(guān)而不是獨立的。因此,不應(yīng)該使用Dempster規(guī)則進(jìn)行證據(jù)組合。而此時,兩位醫(yī)生給出的證據(jù)之間的巨大沖突主要來自于檢測結(jié)果的巨大誤差。

如果兩個醫(yī)生的檢測都是可信的,就是說在誤差允許范圍內(nèi),兩名醫(yī)生對患者患病概率的估計是可信的,即患者患病的真實概率分配={(),(),()}滿足：

∈(Bel,)∩(Bel,)

(5)

其中,

Bel={Bel(),Bel(),Bel()}

和

Bel={Bel(),Bel(),Bel()}

分別是由、兩個醫(yī)生分別給出的信度函數(shù);、分別表示兩個醫(yī)生的判斷誤差,而(,)表示在空間中以為中心為半徑的鄰域。

于是,兩個醫(yī)生給出的證據(jù)間沖突主要來源于判斷誤差、。根據(jù)本例的數(shù)據(jù),實際沖突很大,說明兩個誤差中至少有一個很大。因此,如果兩個醫(yī)生的可信度是一致的,那么比較合理的結(jié)論是：

Bel(),Bel()∈[0,099]

Bel()=001

這是因為在沒有額外信息的情況下,無法判斷哪個醫(yī)生的判斷更準(zhǔn)確,對Bel(),Bel()給出了較為寬泛的區(qū)間估計,區(qū)間較長是由大沖突引起的,但是可以確定Bel()依然很小,這與實際是相符的。

第二種情形:如果醫(yī)生們的檢測方法是完全不同的,或者說醫(yī)生是對患者不同的(相對獨立的)身體指標(biāo)進(jìn)行檢測,那么此時的證據(jù)是獨立的。當(dāng)然,兩個證據(jù)的意義是不同的。假設(shè)病人具有兩種完全獨立的病征和(正如球的大小和顏色是球的兩個完全獨立的特征)。醫(yī)生針對病人出現(xiàn)的病征進(jìn)行檢測,得到結(jié)果顯示,病征與腦震蕩完全不一樣,而病征與腦膜炎和腦瘤相似的程度分別為099和001。(這一相似程度來源于:具有病征的病人中,腦膜炎和腦瘤患者人數(shù)的比例)。也就是說醫(yī)生排除了腦震蕩。同樣的,醫(yī)生基于病征給出了判斷。在這一假設(shè)下,腦膜炎和腦震蕩分別被病征和所排除,那么唯一的可能性就是腦瘤。在這種情形下,結(jié)論與直觀認(rèn)識還是一致的。事實上,病人去醫(yī)院檢查身體,會被要求做各種不同的檢查,例如血液檢查、超聲波、射線檢查等。這些檢查很大程度上是獨立的,由其所得到的結(jié)論(證據(jù))在很大程度上也是獨立的,因此可以使用Dempster規(guī)則進(jìn)行組合。

3 證據(jù)獨立性對目標(biāo)識別的影響

假設(shè)一個未知目標(biāo)有3個屬性、、,并且依據(jù)第(=1,2,3)個屬性,該目標(biāo)與已知目標(biāo)匹配的概率為。傳感器能夠識別到目標(biāo)、屬性的信息,給出目標(biāo)為的概率為;傳感器能夠識別到目標(biāo)、屬性的信息,給出目標(biāo)為的概率為。表示綜合3個屬性未知目標(biāo)為的概率。

假設(shè)傳感器、識別結(jié)果如表1所示。

表1 傳感器A和B對目標(biāo)的概率識別結(jié)果Table 1 Probabilistic recognition results of sensors A and B on targets

從傳感器、的識別信息可以發(fā)現(xiàn),兩個傳感器可以是獨立、混合相關(guān)或完全相關(guān)的。

3.1 置信度以概率方式給出

假設(shè)對某一空中目標(biāo)的識別采用“與”匹配方式,即當(dāng)目標(biāo)的所有屬性均與匹配,才能推斷未知目標(biāo)是。事實上,大部分目標(biāo)識別的組合都屬于“與”匹配,如例2,只有RF、PW、紅外波長和光學(xué)設(shè)備屬性都匹配時,才作出識別判斷。

從識別概率角度來說,有=,=,=。

一方面,結(jié)合≤1,可知=≥。同理，=≥。于是≥max{,}。進(jìn)一步有:

且當(dāng)=max{,}時,等號可以成立。

另一方面,由于≤1,所以==≥。且當(dāng)=1時,等號可以成立。

綜上,得到∈[,min{,}]?；诖?有以下分析。

(1) 由于傳感器沒有考慮屬性的影響,所以給出的目標(biāo)概率中混入了不符合的情形,從而整體概率會變小。同理,整體識別概率要比傳感器給出的概率也要小。

(2) 如果屬性不對識別結(jié)果產(chǎn)生影響,此時可把屬性去掉,得到表2。

表2 傳感器獨立的情形Table 2 Sensor independent case

此時,、是完全獨立的情形?？梢岳锚毩⑹录怕视嬎惴椒?得到整體識別概率為,這也正好等于的下界。

(3) 如果屬性、不對識別結(jié)果產(chǎn)生影響,即兩個傳感器都是針對屬性給出的識別結(jié)果,那么其是完全相關(guān)的。由于識別環(huán)境不同,識別結(jié)果差距主要來源于識別誤差。在兩個傳感器的可靠性一致的情況下,既可以采取平均的方法消除誤差(即=(+)2),也可以對做區(qū)間估計(即∈[min{,},max{,}])。

(4) 需要說明的是,混合相關(guān)的上界是由=1推導(dǎo)得到的,此時就是完全相關(guān)情形?？紤]到傳感器的探測誤差,采取了平均方法,這對于混合相關(guān)情形也是適用的。因此,混合相關(guān)情形的上界也可以寫成(+)2的形式。

綜上,討論了獨立、相關(guān)、混合相關(guān)情形下的整體概率的估計,識別概率與相關(guān)性關(guān)系如表3所示。特別地,無論哪種匹配方式,混合相關(guān)的組合概率均處于獨立情形與相關(guān)情形之間。

表3 識別概率與相關(guān)性Table 3 Recognition probability and correlation

由于=,且∈[max{,},1],與成反比例,因此:① 當(dāng)=1時,、完全獨立,越大說明屬性對整體識別概率的影響越小,則獨立性越強;② 當(dāng)=max{,}時,兩者相關(guān),且越小,相關(guān)性越強;③ 獨立性越強,整體概率越接近獨立情形,相關(guān)性越強,整體概率越接近相關(guān)情形。

3.2 置信度以證據(jù)形式給出

前文是置信度以概率形式給出情況,現(xiàn)在分析識別置信度是以證據(jù)形式給出的情形。設(shè)傳感器、給出的證據(jù):

(6)

(7)

首先,分別計算上下界。一方面,由于:

綜上,可得

(8)

類似第31節(jié)的討論,的上界是在傳感器沒有誤差的情況下得到的。而此時正是在=1也就是完全相關(guān)情形,因此在沒有其他信息的情況下,為了消除誤差,較好的方法是用平均方法計算上界,即

(9)

進(jìn)一步將式(7)代入式(9)得

(10)

通過式(10),置信度以證據(jù)形式給出的情形下,混合相關(guān)情形識別概率也是介于獨立情形和完全相關(guān)情形之間。而證據(jù)的相關(guān)性程度決定了組合結(jié)果更接近哪種情形。

于是,如果令和分別表示獨立性和相關(guān)性情形的證據(jù)組合結(jié)果,則混合相關(guān)情形的組合結(jié)果結(jié)果介于前兩者之間,即

(11)

3.3 算例分析

例4 傳感器、識別結(jié)果如表4所示。

表4 傳感器A和B對目標(biāo)的BPA識別結(jié)果Table 4 BPA recognition results of sensors A and B on targets

識別結(jié)果是以證據(jù)體BPA給出的,通過計算信任函數(shù)和似然函數(shù)得到兩個傳感器的置信區(qū)間∈[06,08]、∈[065,09]。按照上文所述方法得到整體概率滿足∈[039,085]。

通過Dempster、DSmT以及平均組合方法可以得到:

4 結(jié) 論

證據(jù)體之間相關(guān)性的不同,適用的組合方法也不同,需要依據(jù)相關(guān)性選用合適的方法進(jìn)行組合。本文主要做了以下工作。

(1) 從Smets在1986年給出證據(jù)獨立性定義出發(fā),研究了證據(jù)組合的內(nèi)涵、證據(jù)對識別框架的解釋以及證據(jù)組合中的獨立性問題。認(rèn)為證據(jù)的獨立性來源于證據(jù)源獲取的目標(biāo)信息而不是證據(jù)源,并從證據(jù)源信息屬性的角度提出了一種判斷證據(jù)獨立性的方法,即對于具有獨立屬性的目標(biāo),由該目標(biāo)不同屬性產(chǎn)生的信息是獨立的,基于這些獨立信息的證據(jù)也是獨立的?；谠摲椒?從新的角度研究了經(jīng)典的Zadeh悖論,給出了新的分析和結(jié)論。

(2) 多傳感器單目標(biāo)識別為背景,研究了傳感器獨立性、相關(guān)性對識別置信度的影響。分別對置信度以概率形式和證據(jù)形式給出的情形進(jìn)行研究,發(fā)現(xiàn)混合相關(guān)傳感器的組合結(jié)果應(yīng)介于獨立傳感器和完全相關(guān)傳感器的組合結(jié)果之間。在沒有額外信息的情況下,給出了識別置信區(qū)間。