王向

統(tǒng)計與概率的簡單應用是蘇科版初中數(shù)學的“收官之章”，是同學們經(jīng)過了“數(shù)據(jù)的收集、整理、描述”“數(shù)據(jù)的集中趨勢和離散程度”“認識概率”“等可能條件下的概率”等4章內(nèi)容學習后的實際應用。本章安排了6個具體實例，其中“抽簽模型”的考查形式新穎，大家要特別關注。下面選取一些中考題，做簡要探討。

例1 （2021·江蘇無錫）將4張分別寫有數(shù)字1、2、3、4的卡片（卡片的形狀、大小、質(zhì)地都相同）放在盒子中，攪勻后從中任意取出1張卡片，記錄后放回、攪勻，再從中任意取出1張卡片。求下列事件發(fā)生的概率。（請用“畫樹狀圖”或“列表”等方法寫出分析過程）

（1）取出的2張卡片數(shù)字相同;

（2）取出的2張卡片中，至少有1張卡片的數(shù)字為“3”。

【解析】（1）畫樹狀圖如圖：

共有16種等可能的結(jié)果，取出的2張卡片數(shù)字相同的結(jié)果有4種，

∴取出的2張卡片數(shù)字相同的概率為[416]=[14]。

（2）由（1）可知，共有16種等可能的結(jié)果，取出的2張卡片中，至少有1張卡片的數(shù)字為“3”的結(jié)果有7種，

∴取出的2張卡片中，至少有1張卡片的數(shù)字為“3”的概率為[716]。

【點評】此題考查的是利用枚舉法、列表法或樹狀圖法求概率。其中，樹狀圖法清晰簡單，適合兩步或兩步以上完成的事件;列表法可以不重復、不遺漏地列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件。從問題本身來看，本題是一道放回抽卡片的問題，每一次抽到其中任何一張卡片的概率都是相同的，最終的結(jié)果也都是等可能的。與一般的抽簽問題有共性也有區(qū)別，一個人分兩次去抽卡片，相當于兩個人抽簽，前一個人抽完不放回。

例2 （2021·江蘇常州）在3張相同的小紙條上，分別寫上條件：①四邊形是菱形;②四邊形有一個內(nèi)角是直角;③四邊形的對角線相等。將這3張小紙條做成3支簽，放在一個不透明的盒子中。

（1）攪勻后從中任意抽出1支簽，抽到條件①的概率是 。

（2）攪勻后先從中任意抽出1支簽（不放回），再從余下的2支簽中任意抽出1支簽。四邊形同時滿足抽到的2張小紙條上的條件，求四邊形一定是正方形的概率。

【解析】（1）攪勻后從中任意抽出1支簽，抽到條件①的概率是[13]。

（2）畫樹狀圖如圖：

共有6種等可能的結(jié)果，四邊形一定是正方形的結(jié)果有4種，

∴四邊形一定是正方形的概率為[46]=[23]。

【點評】這是一個典型的抽簽問題，難度不大，通過畫樹狀圖能理清等可能的所有結(jié)果，再從結(jié)果中找到能使事件發(fā)生的結(jié)果。事件發(fā)生的概率=能使事件發(fā)生的結(jié)果的個數(shù)與總結(jié)果個數(shù)之比。另外，本題在考查概率簡單應用的同時也考查了正方形的判定條件，題目形式比較新穎。

例3 （2021·江蘇鎮(zhèn)江）一只不透明的袋子中裝有1個黃球，現(xiàn)放若干個紅球，它們與黃球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出兩個球，使得P（摸出一紅一黃）=P（摸出兩紅），則放入的紅球個數(shù)為 。

【解析】（1）假設袋中紅球個數(shù)為1，此時袋中有1個黃球、1個紅球，攪勻后從中任意摸出兩個球，P（摸出一紅一黃）=1，P（摸出兩紅）=0，不符合題意。

（2）假設袋中的紅球個數(shù)為2，畫樹狀圖如下：

由圖可知，共有6種情況，其中兩次摸到紅球的情況有2種，摸出一紅一黃的有4種結(jié)果，

∴P（摸出一紅一黃）=[46]=[23]，P（摸出兩紅）=[26]=[13]，不符合題意，

（3）假設袋中的紅球個數(shù)為3，畫樹狀圖如下：

由圖可知，共有12種情況，其中兩次摸到紅球的情況有6種，摸出一紅一黃的情況有6種，∴P（摸出一紅一黃）=P（摸出兩紅）=[612]=[12]，符合題意，所以放入的紅球個數(shù)為3。

【點評】這道摸球問題本質(zhì)還是抽簽模型，不過大多問題都是問概率，這道題是給概率，求總個數(shù)。

（作者單位：江蘇省六合高級中學附屬初級中學）