○ 文 /賈子君 張軍

近年來(lái)，隨機(jī)過(guò)程在理論研究和實(shí)際應(yīng)用方面都有長(zhǎng)足的進(jìn)步，但是該課程是一門(mén)理論性較強(qiáng)，內(nèi)容抽象的統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)課程，學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中存在畏難情緒，為了學(xué)生更好掌握知識(shí)體系和內(nèi)容，也為了更好貫徹國(guó)家“課程思政”的教育理念，創(chuàng)新地提出“1+4”模式——1代表《隨機(jī)過(guò)程》課程內(nèi)容，4分別指學(xué)科歷史、人文素養(yǎng)、人物大家事跡、思政案例這四個(gè)方面，充分挖掘思政元素，并將這四個(gè)方面像“鹽“一樣加入《應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程》課程教學(xué)中，全方位多角度進(jìn)行引導(dǎo)，實(shí)現(xiàn)了立德樹(shù)人的根本目標(biāo)，多方位體現(xiàn)專業(yè)課程的育人價(jià)值，為國(guó)家培養(yǎng)時(shí)代新人。

一、引 言

2016年，習(xí)近平總書(shū)記在全國(guó)高校思想政治工作會(huì)議上確立了“課程思政”的教育理念[1]。2020年5月28日，教育部在印發(fā)的《高等學(xué)校課程思政建設(shè)指導(dǎo)綱要》中，對(duì)理學(xué)類課程提出了在教學(xué)中要把馬克思主義立場(chǎng)觀點(diǎn)方法的教育與科學(xué)精神的培養(yǎng)有機(jī)結(jié)合起來(lái)，提高學(xué)生正確認(rèn)識(shí)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力的工作要求。

通過(guò)查閱文獻(xiàn)資料發(fā)現(xiàn)，與《應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程》課程思政有關(guān)的論文數(shù)量極少，說(shuō)明該研究領(lǐng)域存在較大空白。目前只有劉秀琴等將“富不過(guò)三代，窮不過(guò)五服”這個(gè)中國(guó)諺語(yǔ)很好的融入了馬爾科夫過(guò)程的應(yīng)用[2]；同時(shí)，由于隨機(jī)過(guò)程可以應(yīng)用的領(lǐng)域較廣泛，包括：工程學(xué)、生物學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)、金融學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等等，相關(guān)教改論文涉及到案例教學(xué)法，有一些案例設(shè)計(jì)可以解決一些與學(xué)生專業(yè)相關(guān)的問(wèn)題，以增強(qiáng)學(xué)生的專業(yè)認(rèn)識(shí)和科學(xué)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，比如對(duì)于金融專業(yè)的學(xué)生，在介紹隨機(jī)過(guò)程的概念時(shí)，就可以使用某個(gè)股票或者外匯每日收盤(pán)價(jià)格，畫(huà)出圖像就是一個(gè)樣本路徑；對(duì)于工程類專業(yè)學(xué)生，在講解泊松過(guò)程時(shí)可以引入放射性物質(zhì)在一定時(shí)期內(nèi)放射出來(lái)的粒子量或者排隊(duì)理論中的例子；對(duì)于經(jīng)濟(jì)專業(yè)或者市場(chǎng)營(yíng)銷(xiāo)專業(yè)的學(xué)生，利用馬爾科夫過(guò)程可以很好的分析市場(chǎng)占有率[3]。

近二十年來(lái)，隨機(jī)過(guò)程的發(fā)展在理論研究和實(shí)際應(yīng)用方面都有長(zhǎng)足的進(jìn)步[4]。本課程作為統(tǒng)計(jì)專業(yè)的必修課，因其具備對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)要求較高、理論推導(dǎo)復(fù)雜、課程內(nèi)容抽象、學(xué)習(xí)難度較大等特點(diǎn)，學(xué)生對(duì)隨機(jī)過(guò)程學(xué)習(xí)普遍存在畏難情緒。為改善教學(xué)中存在的上述問(wèn)題，本文特將課程思政元素創(chuàng)新性的加入隨機(jī)過(guò)程教學(xué)中，方便學(xué)生理解、運(yùn)用和創(chuàng)新本課程知識(shí)。

二、“1+4”模式

本文創(chuàng)新地提出“1+4”模式，即將《應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程》中的知識(shí)點(diǎn)以“1+4”模式深挖思政元素，其中1代表《應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程》課程內(nèi)容，4分別指學(xué)科歷史、人文素養(yǎng)、人物大家事跡、思政案例這四個(gè)方面。針對(duì)課程內(nèi)容，從這四個(gè)方面全方位多角度的挖掘該課程的思政元素，使課程內(nèi)容和思政元素緊密結(jié)合，做到讓思政內(nèi)容像“鹽”一樣融入課程體系，實(shí)現(xiàn)了立德樹(shù)人的根本目標(biāo)。

（一）學(xué)科歷史

正如清華大學(xué)史學(xué)系吳國(guó)盛教授在接受《科技文摘報(bào)》采訪時(shí)指出，學(xué)科史有三點(diǎn)作用：一是增加自然科學(xué)教學(xué)的趣味性，這一方面正好是隨機(jī)過(guò)程教學(xué)迫切需要的，因?yàn)檎n程內(nèi)容學(xué)習(xí)難度大，通過(guò)融入學(xué)科史，有助于提升課程的趣味性，緩解學(xué)生的畏難情緒；二是有助于理解科學(xué)的批判性和統(tǒng)一性，批判性思維方式是當(dāng)代大學(xué)生有待提高的能力，通過(guò)科學(xué)史發(fā)展過(guò)程，讓學(xué)生明白科學(xué)也是在變化的，鼓勵(lì)學(xué)生勇于質(zhì)疑，勤于考證；三是科學(xué)史有助于理解科學(xué)的社會(huì)角色和人文意義，學(xué)科史也是歷史的一部分，所以了解它的社會(huì)角色和人文意義也很重要，可以培養(yǎng)學(xué)生的人文素養(yǎng)。

一方面，明晰隨機(jī)過(guò)程這門(mén)課程發(fā)展脈絡(luò)。如圖1所示，隨機(jī)過(guò)程的發(fā)展最早來(lái)源于諸如金融、物理等學(xué)科的研究，掌握科學(xué)發(fā)展的一般規(guī)律，理解科學(xué)理論不是一成不變的，它是發(fā)展的、進(jìn)化著的。通過(guò)熟悉隨機(jī)過(guò)程的歷史進(jìn)而全面的理解這門(mén)課程，學(xué)生們將明確自身責(zé)任，利用隨機(jī)過(guò)程的知識(shí)為未來(lái)社會(huì)發(fā)展造福。

圖1 隨機(jī)過(guò)程學(xué)科發(fā)展史

另一方面，在緒論部分通過(guò)學(xué)習(xí)隨機(jī)過(guò)程發(fā)展歷史，方便學(xué)生對(duì)后續(xù)課程的內(nèi)容有清晰的認(rèn)識(shí)，理解知識(shí)之間的發(fā)展過(guò)程。比如獨(dú)立增量過(guò)程、平穩(wěn)過(guò)程、泊松過(guò)程、馬爾科夫過(guò)程和布朗運(yùn)動(dòng)等內(nèi)容都將在課程的后面幾章一一講解，前期學(xué)科歷史進(jìn)行了鋪墊后，讓學(xué)生對(duì)相關(guān)術(shù)語(yǔ)不再陌生，知識(shí)也不再是單一存儲(chǔ)在大腦中，而形成科學(xué)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，學(xué)習(xí)也將更加有邏輯性，符合學(xué)生的記憶規(guī)律。

（二）人文素養(yǎng)

中國(guó)古典詩(shī)歌貫穿著蓬勃大氣的文脈、蘊(yùn)含著剛毅堅(jiān)貞的風(fēng)骨，挖掘經(jīng)典詩(shī)歌中的元素，一方面可以讓學(xué)生將抽象的概念具象化，另一方面，也可以從經(jīng)典的詩(shī)歌中感受隨機(jī)過(guò)程和詩(shī)歌本身韻律的美感，進(jìn)而提升學(xué)生的人文素養(yǎng)，真正做到文化自信。比如唐代溫庭筠的《夢(mèng)江南·千萬(wàn)恨》中寫(xiě)到：“梳洗罷，獨(dú)倚望江樓。過(guò)盡千帆皆不是”，表達(dá)了慵懶的少婦梳洗完畢，登樓而望，發(fā)現(xiàn)過(guò)往的行舟一帆接著一帆，可以發(fā)現(xiàn)有時(shí)候小船的兩次到達(dá)離得很近，有時(shí)兩次到達(dá)離得很遠(yuǎn)，很多小船都劃過(guò)了，唯獨(dú)自己等待的歸人還沒(méi)到達(dá)。我們可以把小船的到達(dá)事件看成是一個(gè)獨(dú)立增量過(guò)程；更進(jìn)一步如果時(shí)間間隔是指數(shù)分布，那么這就是一個(gè)泊松過(guò)程。通過(guò)這首詞將泊松過(guò)程具象化成小船到達(dá)的數(shù)量，方便學(xué)生掌握泊松過(guò)程這個(gè)最重要最基礎(chǔ)的隨機(jī)過(guò)程，也為后期學(xué)習(xí)其他過(guò)程奠定良好基礎(chǔ)。又比如唐代崔護(hù)的《題都城南莊》中寫(xiě)到：

去年今日此門(mén)中，

人面桃花相映紅。

人面不知何處去，

桃花依舊笑春風(fēng)。

顯然，用隨機(jī)過(guò)程中的狀態(tài)轉(zhuǎn)移來(lái)考慮這個(gè)場(chǎng)景的話，人面與桃花各自有兩個(gè)狀態(tài)，用0表示不在，用1表示在，則可以形成四種情況，分別為(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)。去年（時(shí)間節(jié)點(diǎn)t），狀態(tài)為(1,1)，今年（時(shí)間節(jié)點(diǎn)為t+1）就變成了(0,1)。通過(guò)這樣一個(gè)看似簡(jiǎn)單的人生經(jīng)歷，道出了千萬(wàn)人都似曾相識(shí)的共同生活體驗(yàn)，同時(shí)，也方便學(xué)生理解狀態(tài)轉(zhuǎn)移的現(xiàn)實(shí)意義，完美的將隨機(jī)過(guò)程中抽象的概念進(jìn)行了具象化處理。

（三）人物大家事跡

通過(guò)深入分析專家的事跡，塑造真正的偶像，形成榜樣的力量，引導(dǎo)廣大青年學(xué)生敬仰專家、學(xué)習(xí)專家、爭(zhēng)做專家，凝聚起培養(yǎng)擔(dān)當(dāng)民族復(fù)興大任的時(shí)代新人的磅礴力量，培養(yǎng)和激勵(lì)學(xué)生的科學(xué)精神。隨機(jī)過(guò)程課程中融入專家可以面向知識(shí)點(diǎn)展開(kāi)，在講解課程內(nèi)容之前引入一些專家的事跡和大家的思想。

比如在講特征函數(shù)時(shí)可以引入許寶騄，他頑強(qiáng)地堅(jiān)持長(zhǎng)期帶病搞科研和教學(xué),為祖國(guó)的科學(xué)事業(yè)工作到最后一息的科學(xué)精神，值得我們后輩敬仰和學(xué)習(xí)；在講遍歷理論時(shí)可以引入陳木法，他對(duì)自學(xué)能力有深刻的認(rèn)識(shí)：“自學(xué)是學(xué)習(xí)和研究工作的一個(gè)重要法寶，自學(xué)能力是人生的重要素質(zhì)?！倍@項(xiàng)能力又是大學(xué)生應(yīng)該好好培養(yǎng)和重視的能力；王梓坤關(guān)于“德、識(shí)、才、學(xué)”的思想則可以在講到馬爾可夫過(guò)程或者布朗運(yùn)動(dòng)方面內(nèi)容時(shí)給出，針對(duì)鞅隨機(jī)過(guò)程在金融領(lǐng)域的應(yīng)用這部分內(nèi)容的時(shí)候，可以講講嚴(yán)加安的理論和思想，尤其2018年4月18日下午在中國(guó)科大的題為“數(shù)學(xué)如詩(shī)，境界為上”的學(xué)術(shù)報(bào)告，里面有很多很好的比喻，可以深入淺出的認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)理論和知識(shí)，推薦學(xué)生可以在課后時(shí)間進(jìn)一步學(xué)習(xí)感悟。

通過(guò)這些學(xué)術(shù)專家的故事或者思想滲入到教學(xué)過(guò)程中，一方面可以在學(xué)生心目中樹(shù)立真正的偶像，形成健康的榜樣；另一方面，專家的研究領(lǐng)域與知識(shí)內(nèi)容契合，能夠做到將思政內(nèi)容“潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲”地融入課程體系之中。

（四）思政案例

利用案例教學(xué)的方式，通過(guò)在案例中適當(dāng)融入思政元素，增加案例的思政性，將知識(shí)內(nèi)容、思政元素和實(shí)際應(yīng)用或者社會(huì)熱點(diǎn)相融合。比如針對(duì)網(wǎng)上廣泛流傳的“寒門(mén)再難出貴子”等言論或者通過(guò)自身努力改變命運(yùn)，從偏遠(yuǎn)落后的小山村來(lái)到了繁華的大都市安身立命的普通人作為案例，針對(duì)這些現(xiàn)象可以讓學(xué)生展開(kāi)討論，分析社會(huì)階層是不是真的固化了，如何實(shí)現(xiàn)人生逆襲？

通過(guò)討論學(xué)生對(duì)于階層流動(dòng)有了一定的思考和認(rèn)識(shí)，進(jìn)一步引入馬爾科夫鏈中的轉(zhuǎn)移概率的概念和切普曼-柯?tīng)柲缏宸蚍匠蹋–-K方程）相關(guān)的知識(shí)，對(duì)該問(wèn)題進(jìn)一步闡釋。為了研究一個(gè)家族各代的社會(huì)階層變化情況，用Xn表示第n代的社會(huì)階層，Xn是齊次馬爾科夫鏈，狀態(tài)空間為S={U,M,L}，U,M,L分別表示社會(huì)階層處于上、中、下層，用Un,Mn,Ln表示第n代的情況。通過(guò)分析我國(guó)社會(huì)階層的數(shù)據(jù)情況，得到父代到子代的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣的一個(gè)樣本估計(jì)：

其中，0.40,0.50,0.10分別表示父代社會(huì)階層處于U層而子代處于U,M,L層的概率，0.15,0.70,0.15分別表示父代社會(huì)階層處于M層而子代處于U,M,L層的概率,0.02,0.50,0.48分別表示父代社會(huì)階層處于L層而子代處于U,M,L層的概率。

思考：

（1）父代在U層而子代、孫代、曾孫代處于U層的概率是多少？

（2）父代在U層而子代、孫代、曾孫代處于L層的概率是多少？

利用C-K方程可知，P(2)=P2,P(3)=P3。計(jì)算得，

（1）若父代在U層，而子代、孫代、曾孫代處于U層的概率分別為

說(shuō)明后代流動(dòng)到L層的比例逐代上升，這一現(xiàn)象就驗(yàn)證了現(xiàn)在社會(huì)階層的流動(dòng)性依舊存在，即通過(guò)自身努力，“寒門(mén)貴子”仍在存在。

（2）與上述問(wèn)題類似，若父代在U層，而子代、孫代、曾孫代處于L層的概率分別為

說(shuō)明后代下降到L層的比例也是逐代上升，即說(shuō)明后代如果不珍惜父輩的努力成果，鍛煉自身能力，那么階層下降的比例逐代增加。

綜上所述，努力是內(nèi)因，機(jī)會(huì)是外因，兩者相結(jié)合，階層跨越才有了實(shí)現(xiàn)的可能。年輕的大學(xué)生正處在拼搏努力的年紀(jì)，對(duì)于父代積累的社會(huì)階層應(yīng)該辯證地認(rèn)識(shí)，如果父代積累不多，那么應(yīng)該好好提高自身素質(zhì)和修煉自己的內(nèi)功，當(dāng)機(jī)會(huì)來(lái)臨時(shí)，你要有能力抓住，靠自己的努力實(shí)現(xiàn)階層的向上流動(dòng)；如果父代已經(jīng)積累了很多，自己更應(yīng)該珍惜父輩的成果，進(jìn)一步保住自己的社會(huì)階層，而不是一味“啃老”，坐吃山空，這樣的話再多的機(jī)會(huì)，也和你無(wú)關(guān)。

三、結(jié)論

知識(shí)、能力、情意目標(biāo)是教育中缺一不可的三個(gè)目標(biāo)維度, 必須協(xié)同發(fā)展，所以本文提出的“1+4”模式使思政內(nèi)容和隨機(jī)過(guò)程知識(shí)點(diǎn)有機(jī)結(jié)合，讓學(xué)生在獲取基礎(chǔ)理論知識(shí)、激發(fā)其專業(yè)的內(nèi)源性動(dòng)力、培養(yǎng)其科學(xué)能力并樹(shù)立正確的價(jià)值觀，很好融合了教育中的三個(gè)目標(biāo)維度；另一方面， “1+4”模式的引入做到潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲的隱性教育方式，以隨機(jī)過(guò)程知識(shí)體系為主，“學(xué)科歷史、人文素養(yǎng)、人物大家事跡、案例教學(xué)”四個(gè)方面融入，全方位多角度進(jìn)行引導(dǎo)，在培養(yǎng)學(xué)生專業(yè)能力和科學(xué)素養(yǎng)的同時(shí)，全面提升了學(xué)生的思想品德、意志品質(zhì)、人格操守。