李盛前，張小帆

(1.廣東機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院 電氣技術(shù)學(xué)院，廣東 廣州 510550；2.廣東技術(shù)師范大學(xué) 汽車(chē)交通學(xué)院，廣東 廣州 510665)

隨著人們生活水平的提高，人們對(duì)產(chǎn)品外表的視覺(jué)美觀效果越來(lái)越重視，在復(fù)雜曲面產(chǎn)品的制造過(guò)程中，拋光是一道很重要的工序，表面拋光加工過(guò)程的好壞直接影響產(chǎn)品的外觀和質(zhì)量。傳統(tǒng)拋光方式主要依靠人工手持工件進(jìn)行拋磨，勞動(dòng)強(qiáng)度大，加工質(zhì)量無(wú)法保證，效率低。近年來(lái)，隨著數(shù)控加工技術(shù)和CAD/CAM技術(shù)不斷成熟[1-3]，以及工業(yè)機(jī)器人的廣泛應(yīng)用，使得工業(yè)機(jī)器人在自動(dòng)化生產(chǎn)領(lǐng)域中成為不可或缺的自動(dòng)化設(shè)備，如何很好地利用工業(yè)機(jī)器人技術(shù)已成為目前研究和應(yīng)用發(fā)展的重要課題[4-5]。由于機(jī)器人特有的靈活性、柔順性和開(kāi)放性等特點(diǎn)，猶如人的手腕，使得它非常適合于代替人工作業(yè)，尤其是對(duì)復(fù)雜曲面的拋光加工，更能體現(xiàn)出機(jī)器人拋磨的優(yōu)越性[6-7]。而任何一種工業(yè)機(jī)器人要完成所規(guī)定的拋光任務(wù)都必須進(jìn)行軌跡規(guī)劃，因此對(duì)機(jī)器人軌跡生成方法的研究非常有必要，這也是機(jī)器人關(guān)鍵技術(shù)中研究的熱點(diǎn)問(wèn)題之一。目前，國(guó)內(nèi)外對(duì)此已經(jīng)進(jìn)行了廣泛的研究。于淼等在曲面CAD模型處理得到一系列交線，將所得到的截交線作為機(jī)器人末端加工運(yùn)動(dòng)軌跡[8-9]，向丹等采用基于CAD模型的自由曲面自適應(yīng)采樣方法，根據(jù)曲率特征使采樣點(diǎn)在曲線上自適應(yīng)分布，更好地逼近曲線、曲面的幾何特征等[10-13]。傳統(tǒng)的拋磨機(jī)器人一般采用人工示教法得到工業(yè)機(jī)器人的加工運(yùn)動(dòng)軌跡。這種方法缺陷很多，不但編程加工精度低，示教耗時(shí)長(zhǎng)、難度大，使用不夠靈活，而且無(wú)法完成任意復(fù)雜曲面的加工；而離線編程是在虛擬的作業(yè)環(huán)境下，通過(guò)使用計(jì)算機(jī)內(nèi)的CAD模型，生成示教數(shù)據(jù)，間接地對(duì)機(jī)器人進(jìn)行示教，不但軌跡精度高，編程時(shí)間短，難度降低，而且可以完成復(fù)雜曲面加工運(yùn)動(dòng)軌跡規(guī)劃[14]，這樣軌跡規(guī)劃過(guò)程的自動(dòng)化將顯著提高拋磨效率，以及減輕技術(shù)人員的勞動(dòng)強(qiáng)度。針對(duì)這些問(wèn)題，考慮到復(fù)雜曲面曲率的輪廓變化因素[15]，以及總結(jié)前人以往方法的優(yōu)缺點(diǎn)，有必要研究一種有效可行的拋磨運(yùn)動(dòng)軌跡生成算法實(shí)現(xiàn)這些創(chuàng)新思路，這對(duì)工業(yè)機(jī)器人技術(shù)領(lǐng)域的理論研究和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值具有重要的意義。

1 復(fù)雜曲面機(jī)器人拋磨軌跡生成問(wèn)題的研究

機(jī)器人軌跡規(guī)劃是其軌跡跟蹤控制的基礎(chǔ)，也是機(jī)器人執(zhí)行作業(yè)任務(wù)的基礎(chǔ)。機(jī)器人的軌跡指操作臂末端在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的位移、速度和加速度。路徑是機(jī)器人位姿的一定序列組合，而不考慮機(jī)器人位姿參數(shù)隨時(shí)間變化的因素。機(jī)器人為了實(shí)現(xiàn)預(yù)定的運(yùn)動(dòng)完成規(guī)定任務(wù)必須進(jìn)行軌跡規(guī)劃，那么運(yùn)動(dòng)軌跡是如何規(guī)劃生成呢？目前，運(yùn)動(dòng)軌跡生成的方法主要有[16]參數(shù)線法、截面線法和導(dǎo)動(dòng)面法等。但在機(jī)器人實(shí)際加工中，機(jī)器人末端不可能完全沿著上面方法生成的軌跡運(yùn)動(dòng)，而只能沿著極微小兩點(diǎn)間的直線段運(yùn)動(dòng)，從而逼近理想軌跡，換句話說(shuō)，生成的軌跡最后還要進(jìn)行離散化。

當(dāng)前機(jī)器人拋光應(yīng)用中，大多針對(duì)簡(jiǎn)單的曲面進(jìn)行加工，拋磨軌跡簡(jiǎn)單，機(jī)器人的優(yōu)越性無(wú)法體現(xiàn)，為了充分發(fā)揮機(jī)器人的優(yōu)勢(shì)，拋磨更復(fù)雜曲面，而形狀復(fù)雜的自由曲面既不是能用簡(jiǎn)單的非參數(shù)數(shù)學(xué)解析式表達(dá)其數(shù)學(xué)模型的簡(jiǎn)單解析曲面，也不是能由參數(shù)表達(dá)式表達(dá)其數(shù)學(xué)模型的簡(jiǎn)單自由曲面，而是由這些曲面組合在一起，所以復(fù)雜曲面的數(shù)學(xué)模型很難用數(shù)學(xué)表達(dá)式建立[17]。針對(duì)以上對(duì)軌跡生成問(wèn)題的綜合分析，本文提出一種結(jié)合CAD技術(shù)、以NURBS曲線和杠桿自適應(yīng)采樣算法為核心的方法，自動(dòng)生成平滑的復(fù)雜曲面拋磨運(yùn)動(dòng)軌跡，該方法處理過(guò)程如下：首先在Pro/E中生成自由曲面的CAD模型，利用截面線法切割自由曲面生成一系列的空間截交線，采用密集離散點(diǎn)近似表示截交線，離散點(diǎn)根據(jù)加工精度要求可進(jìn)行加密；然后采用NURBS曲線擬合離散數(shù)據(jù)點(diǎn)，使擬合曲線不但平滑無(wú)突變，且更好地逼近理論輪廓線；最后根據(jù)曲率的杠桿自適應(yīng)采樣處理得到曲面拋磨的一序列離散點(diǎn)集合，即將位于各截交線上的離散點(diǎn)插值反算獲得NURBS曲線，再結(jié)合曲率特征進(jìn)行杠桿自適應(yīng)采樣處理，使曲率大的地方生成的離散點(diǎn)越密集，反之亦然。從而達(dá)到拋磨加工要求，保證自由曲面的拋磨加工質(zhì)量及精度。

2 機(jī)器人復(fù)雜曲面拋磨運(yùn)動(dòng)軌跡生成算法

等截面法是磨具沿著曲面與等距截平面的相交線進(jìn)行加工(見(jiàn)圖1)。該法可較快生成機(jī)器人拋磨軌跡，但適用于拋磨曲率變化平緩的曲面，其優(yōu)點(diǎn)是加工軌跡容易生成；缺點(diǎn)是截平面間的距離及拋磨運(yùn)動(dòng)步長(zhǎng)難以控制，造成拋磨軌跡在曲面的平坦處(曲率小)相對(duì)密集，而在陡峭處(曲率大)較稀疏，導(dǎo)致加工表面質(zhì)量不高，精度差，因此應(yīng)對(duì)生成的截交線再次處理，生成更合理的拋磨軌跡。

圖1 等截面法生成軌跡

2.1 自由曲面數(shù)據(jù)點(diǎn)提取

針對(duì)完成自由曲面的CAD建模，數(shù)據(jù)點(diǎn)的提取成為后面反算理論輪廓曲線和計(jì)算曲率特征的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)。本文通過(guò)CAD/CAM技術(shù)建立復(fù)雜曲面模型，利用截平面切割復(fù)雜曲面得到一系列截交線，通過(guò)CAD/CAM系統(tǒng)可獲取各截交線的一系列離散數(shù)據(jù)點(diǎn)(見(jiàn)圖2)。這些離散理論數(shù)據(jù)點(diǎn)(坐標(biāo)點(diǎn))為后續(xù)NURBS曲線擬合做好了準(zhǔn)備。

圖2 截交線的離散數(shù)據(jù)點(diǎn)

2.2 拋磨軌跡數(shù)學(xué)模型建立

根據(jù)上節(jié)在各拋磨軌跡上提取出來(lái)的一系列離散數(shù)據(jù)點(diǎn)，采用非均勻有理B樣條曲線(NURBS)擬合方法，對(duì)離散數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行擬合計(jì)算，得到表示拋磨軌跡的非均勻有理B樣條曲線。

首先提取得到數(shù)據(jù)點(diǎn)，然后采用積累弦長(zhǎng)法計(jì)算法則計(jì)算出與離散數(shù)據(jù)點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)的結(jié)點(diǎn)參數(shù)，得到節(jié)點(diǎn)矢量U，最后將數(shù)據(jù)點(diǎn)和節(jié)點(diǎn)矢量代入NURBS曲線定義公式，根據(jù)方程組矩陣表達(dá)式求解出控制點(diǎn)，最后得到NURBS曲線。

1)一條p次NURBS曲線的定義[18-19]：

(1)

式中，di為控制點(diǎn)，用來(lái)形成擬合曲線的控制多邊形；ωi>0為控制點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的權(quán)因子，其大小影響著曲線的形狀，本文討論中令ωi=1，表示各個(gè)控制點(diǎn)對(duì)曲線形狀的影響程度相同；Ni,p(u)表示在節(jié)點(diǎn)矢量U中第i個(gè)p次B樣條基函數(shù)，其定義為：

(2)

2)節(jié)點(diǎn)矢量計(jì)算。

當(dāng)從每條拋磨軌跡離散得到的一系列數(shù)據(jù)坐標(biāo)點(diǎn)集合{PK}(k=0,1，……,n)，要把每條拋磨軌跡的離散點(diǎn)擬合成NURBS曲線時(shí)，要指定這些離散點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)一個(gè)參數(shù)值，使得這些參數(shù)值有序組合成一個(gè)個(gè)矢量U，這就是節(jié)點(diǎn)矢量，節(jié)點(diǎn)矢量計(jì)算常用的方法有均勻參數(shù)化、弦長(zhǎng)參數(shù)化和向心參數(shù)化等3種。

均勻參數(shù)化：

于是

弦長(zhǎng)參數(shù)化：在每條拋磨軌跡的離散數(shù)據(jù)點(diǎn)集合中，每相鄰兩點(diǎn)之間的連線成為一條弦，令每條拋磨軌跡構(gòu)成的弦長(zhǎng)之和為L(zhǎng)，于是有：

得到

U={0,0,0,0,u4,……，un+2,1,1,1,1}

向心參數(shù)化：

得到

U={0,0,0,0,u4,……，un+2,1,1,1,1}

由NURBS曲線擬合性質(zhì)可知，為了對(duì)拋磨軌跡離散數(shù)據(jù)點(diǎn)擬合得到的曲線與理論輪廓線相近且平滑，應(yīng)在拋磨軌跡上曲率大處比曲率小處采集的數(shù)據(jù)點(diǎn)相對(duì)密集，因此本文采用了弦長(zhǎng)參數(shù)法計(jì)算節(jié)點(diǎn)矢量，使NURBS曲線擬合效果更佳。

3)控制點(diǎn)的定義與反算。

當(dāng)?shù)玫綊伳ボ壽E離散數(shù)據(jù)點(diǎn){PK}(k=0,1，……,n)時(shí)，所有數(shù)據(jù)點(diǎn)都有一個(gè)與之對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)矢量，由以上計(jì)算得的節(jié)點(diǎn)矢量代入式1得如下矩陣方程組：

(3)

可以看出，系數(shù)矩陣中的元素全部是樣條的基函數(shù)，并且這些基函數(shù)的值只與節(jié)點(diǎn)值有關(guān)系，于是由以上方程組可以求解出曲線擬合的所有控制點(diǎn)dn。

綜合上述，最后把控制頂點(diǎn)dn、曲線擬合次數(shù)p及節(jié)點(diǎn)矢量U代入式1，這樣可以得到一條p次NURBS曲線。

2.3 基于曲率的曲線杠桿自適應(yīng)采樣離散方法

實(shí)現(xiàn)機(jī)器人跟蹤軌跡拋磨，最后還應(yīng)對(duì)擬合生成的NURBS曲線(拋磨軌跡)進(jìn)行離散化處理得到合理的砂帶拋磨觸點(diǎn)，連接各個(gè)觸點(diǎn)生成機(jī)器人拋磨加工運(yùn)動(dòng)路徑，這樣觸點(diǎn)的分布情況影響著機(jī)器人的拋磨加工運(yùn)動(dòng)路徑，為了提高復(fù)雜曲面的拋磨加工精度及效率，復(fù)雜曲面曲線曲率大的部分采樣點(diǎn)分布應(yīng)當(dāng)密集，而在曲率小的部分分布應(yīng)當(dāng)稀疏，本文提出了杠桿平衡原理處理采樣點(diǎn)的自適應(yīng)分布方法。杠桿平衡系統(tǒng)示意圖如圖3所示，根據(jù)杠桿原理，各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量越大越靠近支點(diǎn)，而質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量越小越遠(yuǎn)離支點(diǎn)，由此啟發(fā)，可以將曲線上各處的曲率函數(shù)K(u)看作是各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量，這樣利用杠桿平衡原理計(jì)算得到自適應(yīng)采樣的離散點(diǎn)，這里稱(chēng)為杠桿自適應(yīng)采樣法。

圖3 杠桿平衡系統(tǒng)示意圖

1)當(dāng)杠桿系統(tǒng)達(dá)到平衡時(shí)，有如下關(guān)系：

M1(u2-u1)+M2(u2-u3)=0

(4)

可以推導(dǎo)出：

進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：

(5)

2)NURBS的曲率計(jì)算式：

(6)

而反應(yīng)曲線彎曲程度的特征函數(shù)：

(7)

式中，參數(shù)α≥0表示采樣點(diǎn)分布受曲線曲率影響的程度，α越大采樣點(diǎn)分布受曲率影響就越小，最終趨向于參數(shù)域均勻化分布的情況。

3)NURBS曲率的杠桿平衡公式。

由于將曲線上各處的曲率函數(shù)K(u)看作是各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量，于是根據(jù)式5得到NURBS曲率的杠桿平衡公式：

式中，K為設(shè)定的采樣數(shù)據(jù)點(diǎn)；C(uij)為uij處的曲率；ui為平衡支點(diǎn)，即所求的采樣點(diǎn)。

4)迭代求解：

上式迭代求解過(guò)程中，其收斂終止條件為：

式中，ε為曲線擬合精度要求誤差；s為迭代次數(shù)。

根據(jù)上述計(jì)算過(guò)程，然后迭代求解，滿(mǎn)足給定的終止條件后得到NURBS曲線在參數(shù)域上的杠桿自適應(yīng)采樣點(diǎn)列ui；最后通過(guò)NURBS曲線方程計(jì)算出對(duì)應(yīng)的曲線上的采樣點(diǎn)序列Pk，即拋磨過(guò)程的序列離散觸點(diǎn)。

3 實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果與分析

3.1 軌跡自動(dòng)生成算法描述

根據(jù)以上所述可知，利用機(jī)器人對(duì)復(fù)雜曲面進(jìn)行拋磨加工時(shí)，運(yùn)動(dòng)軌跡自動(dòng)生成算法流程如圖4所示。

圖4 拋磨軌跡自動(dòng)生成算法流程圖

3.2 實(shí)例仿真

3.2.1 復(fù)雜曲面生成拋磨軌跡

上位機(jī)系統(tǒng)應(yīng)用Pro/E軟件的二次開(kāi)發(fā)功能結(jié)合VC++6.0軟件進(jìn)行開(kāi)發(fā)，在軟件中編程實(shí)現(xiàn)本文算法，系統(tǒng)運(yùn)行自動(dòng)生成拋磨加工軌跡，其系統(tǒng)為任意復(fù)雜曲面機(jī)器人拋磨加工自動(dòng)生成的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖5所示。

圖5 機(jī)器人拋磨軌跡生成

3.2.2 杠桿自適應(yīng)采樣與其他常用采樣對(duì)比

為了更清楚地說(shuō)明各種采樣算法的效果，本文應(yīng)用MATLAB軟件進(jìn)行仿真。利用截交線其中的一組離散數(shù)據(jù)點(diǎn)擬合得到的NURBS曲線，即拋磨機(jī)器人運(yùn)動(dòng)軌跡，分別采用本文的杠桿自適應(yīng)采樣、等參數(shù)采樣、等弧長(zhǎng)參數(shù)采樣對(duì)軌跡采樣得到機(jī)器人拋磨運(yùn)動(dòng)的一系列工具觸點(diǎn)集合進(jìn)行仿真對(duì)比(見(jiàn)圖6)。

a) 杠桿自適應(yīng)采樣

b) 等參數(shù)采樣

c) 等弧長(zhǎng)參數(shù)采樣

從圖6中分析可知，本文杠桿自適應(yīng)采樣點(diǎn)算法在曲線曲率大處分布較密，而在曲率平緩處分布較稀，實(shí)現(xiàn)了采樣點(diǎn)隨曲率大小自適應(yīng)分布的效果。達(dá)到了優(yōu)化拋磨軌跡，提高拋磨加工效率的目的，并且杠桿自適應(yīng)采樣方法在曲率大處采樣間距最小，說(shuō)明采用本方法得到的采樣點(diǎn)能更好地突出曲面曲線的特征，更準(zhǔn)確地反映復(fù)雜曲面拋磨加工軌跡信息。

為了對(duì)比說(shuō)明哪種方法能更高精度地逼近理論曲線，分別采用本文算法的杠桿自適應(yīng)采樣、等參數(shù)采樣、等弧長(zhǎng)參數(shù)采樣對(duì)理論曲線進(jìn)行采樣離散，各自得到10個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，再分別進(jìn)行NURBS擬合處理(見(jiàn)圖7)。

圖7 3種采樣方法數(shù)據(jù)擬合與理論曲線對(duì)比

從圖7可以看出，對(duì)這3種方法的離散點(diǎn)進(jìn)行NURBS擬合曲線，杠桿自適應(yīng)采樣的離散點(diǎn)得到的擬合曲線與理論曲線更逼近，說(shuō)明本文杠桿自適應(yīng)采樣方法精度更高，可提高拋磨加工精度。

4 結(jié)語(yǔ)

本文重點(diǎn)解決了目前復(fù)雜曲面拋磨機(jī)器人采用人工示教編程難度大、耗時(shí)長(zhǎng)、效率低、精度不高以及運(yùn)動(dòng)軌跡不平滑的問(wèn)題，文中通過(guò)CAD/CAM系統(tǒng)完成復(fù)雜曲面的建模，用一組平行平面切割復(fù)雜曲面得到一系列拋磨軌跡，并提取其某些坐標(biāo)點(diǎn)生成一系列離散數(shù)據(jù)點(diǎn)；然后利用NURBS曲線擬合離散數(shù)據(jù)點(diǎn)，再結(jié)合曲率特征進(jìn)行杠桿自適應(yīng)采樣處理優(yōu)化，得到一系列拋磨工具觸點(diǎn)的序列集合；最后將工具觸點(diǎn)依次連接生成機(jī)器人的拋磨運(yùn)動(dòng)路徑，從而實(shí)現(xiàn)了離線編程自動(dòng)生成復(fù)雜曲面上平滑的拋磨軌跡規(guī)劃，克服了人工示教存在的許多缺點(diǎn)。實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果表明，該方法簡(jiǎn)單穩(wěn)定，實(shí)用可靠，不但生成了平滑、無(wú)突變的任意復(fù)雜曲面的拋磨加工軌跡，而且提高了拋磨加工質(zhì)量、精度以及效率。