嚴(yán)利偉，張慧，張燈堂

(中冶集團(tuán)資源開(kāi)發(fā)有限公司， 北京 100028)

礦石邊際品位是礦山生產(chǎn)過(guò)程的重要指標(biāo)，用于區(qū)分礦石和廢石。邊際品位的取值決定了入選礦石量以及平均品位，對(duì)礦山企業(yè)的經(jīng)濟(jì)效益有直接的影響。K. F. Lane 提出以凈現(xiàn)值最大化為目標(biāo)的邊際品位優(yōu)化方法[1?2]。該方法引入了機(jī)會(huì)成本的概念，根據(jù)采選冶產(chǎn)能約束條件下單位礦石的最大收益確定最佳邊際品位。優(yōu)化使用的參數(shù)包括采選冶各個(gè)環(huán)節(jié)的產(chǎn)能、礦山生產(chǎn)過(guò)程中的各項(xiàng)成本以及礦石的品位分布情況。一般來(lái)說(shuō)，礦山在設(shè)計(jì)階段已經(jīng)根據(jù)開(kāi)采規(guī)模和礦石品位匹配了合適的采選冶產(chǎn)能，隨著資源逐漸減少，機(jī)會(huì)成本逐漸降低，邊際品位會(huì)呈緩慢下降的趨勢(shì)。合理的邊際品位可以讓礦山在生產(chǎn)期間保持良好的現(xiàn)金流，同時(shí)在合理利用資源，提高項(xiàng)目?jī)衄F(xiàn)值方面具有十分重要的意義。

雖然Lane 法的提出已經(jīng)過(guò)去了許多年，但由于其迭代算法的復(fù)雜性，目前在國(guó)內(nèi)外的礦山的應(yīng)用較少。許多學(xué)者基于Lane 法提出了一系列的改良算法[3?4]。由于國(guó)內(nèi)多數(shù)礦山采用固定雙品位指標(biāo)，針對(duì)Lane 法的研究較少。目前關(guān)于邊際品位的研究著重于建立邊際品位與凈現(xiàn)值之間的非線性關(guān)系[5?7]，取凈現(xiàn)值最大的邊際品位為最佳邊際品位。這種方法本質(zhì)上是關(guān)于生產(chǎn)規(guī)模和生產(chǎn)年限的優(yōu)化，求得的邊際品位無(wú)法根據(jù)礦產(chǎn)品價(jià)格的變化進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)整。有學(xué)者在邊際品位分析中引入了邊際成本的概念[8]，并探討了金屬價(jià)格對(duì)邊際品位的影響[9]。本文以某露天銅礦為例，提出了一種簡(jiǎn)單易用的邊際品位優(yōu)化方法，首先利用Lane 法進(jìn)行迭代計(jì)算，建立了穩(wěn)定價(jià)格預(yù)期下礦山生產(chǎn)周期內(nèi)的邊際品位策略，擬合了剩余凈現(xiàn)值與剩余礦巖總量的函數(shù)關(guān)系，利用該函數(shù)可以在金屬價(jià)格臨時(shí)變化時(shí)對(duì)邊際品位進(jìn)行及時(shí)調(diào)整。

1 邊際品位優(yōu)化理論

從經(jīng)濟(jì)學(xué)的定義看，F(xiàn)代表機(jī)會(huì)成本，所以作為一個(gè)最優(yōu)化策略，不僅要考慮礦石的收益情況，還要考慮開(kāi)采礦石所帶來(lái)的機(jī)會(huì)成本。

首先需要確定優(yōu)化邊際品位所需要的參數(shù)，見(jiàn)表1。

表1 優(yōu)化采用的參數(shù)

以v表示dV*/dR，利用以上參數(shù)，在采、選、冶產(chǎn)能限制條件下，處理單位礦石所帶來(lái)的凈現(xiàn)值變化分別是：

以邊際品位g為橫軸，v為縱軸繪制函數(shù)圖像，見(jiàn)圖1。由于生產(chǎn)過(guò)程必須受到采、選、冶至少一個(gè)環(huán)節(jié)的產(chǎn)能限制，因此在某個(gè)邊際品位上的凈現(xiàn)值變化僅能取這3 個(gè)值中的最小值。最優(yōu)的邊際品位可以使這個(gè)最小值在整個(gè)邊際品位選擇區(qū)間內(nèi)達(dá)到最大。

圖1 單位礦石收益隨邊際品位的變化

2 礦山概況

某斑巖型露天銅礦采用銅品位0.25%作為邊界品位，將0.2%～0.25%銅品位的礦石作為低品位礦作堆存處理。銅礦石經(jīng)過(guò)采、選、冶三個(gè)環(huán)節(jié)，以粗銅為最終產(chǎn)品進(jìn)行銷售。目前主要產(chǎn)能約束在選礦環(huán)節(jié)，以滿足選礦廠最大處理礦石量為目標(biāo)，根據(jù)礦石的品位分布特征，以0.25%為邊界品位反算年度采剝總量。該礦年采礦能力在2000 萬(wàn)t 以上，因目前在基建期，面臨較大的剝離任務(wù)，副產(chǎn)礦石比較少。上部有4 個(gè)臺(tái)階的剝采比較大，且存在較多氧化礦石，礦石品位分布與下部臺(tái)階存在較大區(qū)別，在繪制品位?噸位曲線時(shí)僅考慮898 水平以下的臺(tái)階。

采用克里格法對(duì)境界內(nèi)礦塊進(jìn)行估值，導(dǎo)出不同邊界品位下的礦石量和礦石平均品位，并繪制成品位?噸位曲線（見(jiàn)圖2）。從圖2 可以看出，在品位為0.18%之后噸位開(kāi)始快速下降，一直到品位為0.4%之后下降趨勢(shì)才開(kāi)始趨緩，表明境界內(nèi)大部分的礦石品位位于0.18%～0.4%之間。邊界品位為0.5%時(shí)，礦石量不足1000 萬(wàn)t。因伴生金含量較低，經(jīng)濟(jì)價(jià)值不大，為了避免模型的復(fù)雜化，本次計(jì)算沒(méi)有采用當(dāng)量品位。

圖2 境界內(nèi)898 水平以下品位?噸位曲線

3 計(jì)算方法

本次研究采用Excel 表格進(jìn)行邊際品位的迭代計(jì)算，一共有3 個(gè)表格，第1 個(gè)表格輸入各種參數(shù)（見(jiàn)表2），第2 個(gè)表包含了不同邊際品位下的礦石比例、平均品位，然后根據(jù)式（16）～式（18）計(jì)算不同邊際品位下的Vm、Vh和Vk值，并繪制這3個(gè)值隨邊際品位變化的圖，從中可以獲得最佳邊際品位。第3 個(gè)表格進(jìn)行邊際品位的迭代計(jì)算，計(jì)算的主要參數(shù)包括機(jī)會(huì)成本、現(xiàn)金流、剩余礦巖總量等，其中單位礦巖產(chǎn)生的現(xiàn)金流為：

表2 優(yōu)化采用的參數(shù)

在選礦能力為主要約束時(shí)，以最大選礦能力生產(chǎn)，處理礦巖總量為H/x，單位礦巖處理時(shí)間τ=x/H，當(dāng)年的現(xiàn)金流為c*H/x。

4 不同方案的計(jì)算結(jié)果

4.1 穩(wěn)定價(jià)格預(yù)期（7000 美元/t）的最優(yōu)邊際品位策略

銅價(jià)為7000 美元/t 的邊際品位變化見(jiàn)表3。從表3 中可以看出，最佳邊際品位從第1 年的0.29%穩(wěn)步下降到第12 年的0.23%，一直到開(kāi)采結(jié)束。每年的采剝總量和現(xiàn)金流也由于邊際品位的下降而減少。從第16 年開(kāi)始利用之前堆存的低品位礦，將礦山壽命延長(zhǎng)了不到兩年。低品位礦共有6 萬(wàn)t，平均品位0.25%。利用低品位礦總共可以獲得1000萬(wàn)美元的現(xiàn)金流，由于發(fā)生在16 a 以后，對(duì)凈現(xiàn)值的貢獻(xiàn)僅300 萬(wàn)美元左右。若采用該邊際品位策略，以6.5%為折現(xiàn)率，礦山的凈現(xiàn)值為307 600 000 美元。從時(shí)間上來(lái)看，第8 年礦山的累計(jì)凈現(xiàn)值已經(jīng)達(dá)到201 250 000 美元，大約是總凈現(xiàn)值的三分之二。

表3 銅價(jià)為7000 美元/t 時(shí)的邊際品位策略

與固定邊界品位0.25%的方案相比，采用動(dòng)態(tài)邊際品位獲得的累積凈現(xiàn)值一直高于采用固定邊界品位的累積凈現(xiàn)值（見(jiàn)圖3）。前8 a 兩者的差距逐漸擴(kuò)大，主要是由于采用動(dòng)態(tài)邊際品位在礦山開(kāi)采前期邊際品位較高，資源消耗較快。兩者的差距在第8 年達(dá)到最大，為1920 萬(wàn)美元。后8 a 隨著動(dòng)態(tài)邊際品位逐漸下降，每年消耗資源變少，現(xiàn)金流變少，兩者的差距在緩慢縮小。采用動(dòng)態(tài)邊際品位，資源會(huì)在第16 年耗盡。利用低品位礦石可以延長(zhǎng)礦山壽命至18 a。而采用固定邊際品位，資源會(huì)在第17 年耗盡。采用固定邊際品位堆存的低品位礦平均品位僅為0.22%左右，而在7000 美元/t 的銅價(jià)下這種低品位礦很難產(chǎn)生盈利，對(duì)凈現(xiàn)值的貢獻(xiàn)也是微乎其微。

圖3 穩(wěn)定銅價(jià)預(yù)期時(shí)累積凈現(xiàn)值隨時(shí)間的變化

4.2 銅價(jià)臨時(shí)升至9000 美元/t 的邊際品位

通過(guò)多項(xiàng)式擬合獲取穩(wěn)定價(jià)格預(yù)期（7000 美元/t）時(shí)剩余礦巖總量與剩余凈現(xiàn)值之間的關(guān)系（見(jiàn)圖4）。結(jié)果表明，剩余凈現(xiàn)值是剩余礦巖總量的二次函數(shù)。然后進(jìn)行迭代計(jì)算，提高第1 年的開(kāi)始凈現(xiàn)值，計(jì)算機(jī)會(huì)成本，通過(guò)機(jī)會(huì)成本計(jì)算邊際品位、第1 年消耗礦巖總量、現(xiàn)金流，然后利用凈現(xiàn)值的定義計(jì)算第2 年開(kāi)始時(shí)的剩余凈現(xiàn)值。反復(fù)調(diào)整第1 年開(kāi)始的凈現(xiàn)值，直至第2 年開(kāi)始的凈現(xiàn)值與剩余礦巖總量對(duì)應(yīng)的剩余凈現(xiàn)值吻合為止。

圖4 穩(wěn)定銅價(jià)預(yù)期時(shí)剩余礦巖總量與剩余凈現(xiàn)值之間的關(guān)系

結(jié)果表明，在銅價(jià)臨時(shí)漲到9000 美元/t 時(shí)，第1 年的邊際品位為0.32%，消耗礦巖總量為11 676 000 噸，獲得現(xiàn)金流71 270 000 美元，第2 年開(kāi)始時(shí)凈現(xiàn)值為285 900 000 美元，與剩余礦巖總量（114 024 000 t）對(duì)應(yīng)的剩余凈現(xiàn)值吻合，反算出第1 年開(kāi)始的凈現(xiàn)值為335 370 000 美元。

4.3 銅價(jià)波動(dòng)時(shí)的邊際品位

采用上述相同的迭代方法，計(jì)算銅價(jià)8000 美元/t 和6000 美元/t 之間波動(dòng)的邊際品位。假設(shè)銅價(jià)有長(zhǎng)期穩(wěn)定的預(yù)期，為7000 美元/t，銅價(jià)圍繞7000美元/t 上下波動(dòng)。每年都認(rèn)為銅價(jià)的變動(dòng)是臨時(shí)性的，銅價(jià)長(zhǎng)期的預(yù)期不變。通過(guò)當(dāng)年的銅價(jià)先估計(jì)該年初的凈現(xiàn)值，利用上述的二次函數(shù)計(jì)算穩(wěn)定銅價(jià)預(yù)期下的剩余凈現(xiàn)值，兩者之差代表因?yàn)榻?jīng)濟(jì)形勢(shì)變化而導(dǎo)致的機(jī)會(huì)成本。然后計(jì)算機(jī)會(huì)成本、邊際品位、現(xiàn)金流，并得出下一年度開(kāi)始的凈現(xiàn)值，同樣地要求下一年度開(kāi)始的凈現(xiàn)值與剩余的礦巖總量對(duì)應(yīng)的凈現(xiàn)值相吻合。

計(jì)算了前8 a 的邊際品位隨銅價(jià)波動(dòng)而變化的情況（見(jiàn)表4），由表4 可以看出，銅價(jià)在8000 美元/t 時(shí)的邊際品位均要高于6000 美元/t 時(shí)的邊際品位，表明在銅價(jià)比較高時(shí)，優(yōu)先利用高品位礦石能獲得 較好的凈現(xiàn)值。但隨著資源減少，機(jī)會(huì)成本降低，邊際品位同樣會(huì)逐漸降低，在本例中第7 年銅價(jià)8000 美元/t 時(shí)邊際品位降到了0.27%，而在第8 年銅價(jià)6000 美元/t 時(shí)則降到了0.23%。

表4 銅價(jià)波動(dòng)時(shí)的邊際品位策略

與固定邊際品位（0.25%）的結(jié)果相比，在銅價(jià)波動(dòng)的情況下采用動(dòng)態(tài)邊際品位依然能獲得更高的凈現(xiàn)值（見(jiàn)圖5）。兩者相差最大是在第7 年，差距為1730 萬(wàn)美元。

圖5 銅價(jià)波動(dòng)時(shí)累積凈現(xiàn)值的變化

5 影響邊際品位優(yōu)化的因素

5.1 金屬價(jià)格的預(yù)測(cè)

合理的邊際品位取值是基于對(duì)金屬價(jià)格的準(zhǔn)確預(yù)測(cè)，因?yàn)闊o(wú)論是長(zhǎng)期的價(jià)格期望還是短期的價(jià)格波動(dòng)，對(duì)于機(jī)會(huì)成本都有較大影響。礦山開(kāi)采的前半段對(duì)凈現(xiàn)值有較大貢獻(xiàn)，在這段時(shí)間機(jī)會(huì)成本對(duì)銅價(jià)的波動(dòng)也更為敏感，因此對(duì)這一階段的銅價(jià)預(yù)測(cè)需要更加謹(jǐn)慎。當(dāng)前的銅價(jià)位于9000 美元/t左右，對(duì)于近兩年的銅價(jià)走勢(shì)，不同的機(jī)構(gòu)有不同的預(yù)測(cè)。有的認(rèn)為銅價(jià)會(huì)維持在高位，甚至漲到12 000 美元/t，有的認(rèn)為會(huì)回落到7000 美元/t。企業(yè)應(yīng)綜合各方面的看法形成自身的判斷，并基于形勢(shì)變化及時(shí)做出調(diào)整。

5.2 礦石品位分布

目前的礦石品位分布是基于勘探鉆孔數(shù)據(jù)，采用普通克里格法估值得出的。普通克里格法在礦體控制程度不足時(shí)會(huì)產(chǎn)生不可避免的品位平滑現(xiàn)象[10]。為了獲得更為準(zhǔn)確的品位分布情況，有必要開(kāi)展補(bǔ)充勘探和生產(chǎn)探礦，對(duì)礦體進(jìn)行加密控制，對(duì)勘探模型進(jìn)行優(yōu)化。采用多種估值方法，例如序貫高斯模擬[11?12]、指示克里格等，比較不同方法估值效果的優(yōu)劣。另外要重視礦山地質(zhì)工作，開(kāi)展常態(tài)化的探采對(duì)比工作，建立生產(chǎn)地質(zhì)模型，與勘探地質(zhì)模型進(jìn)行對(duì)比。

5.3 企業(yè)經(jīng)營(yíng)策略

Lane 法是以最大凈現(xiàn)值為目標(biāo)的邊際品位優(yōu)化方法，這種方法考慮了資金的時(shí)間價(jià)值，符合一般的財(cái)務(wù)原則。如果以利潤(rùn)最大化為原則，則應(yīng)該以盈虧平衡品位作為邊界品位。采用動(dòng)態(tài)邊際品位具有較多好處。一方面項(xiàng)目的凈現(xiàn)值更高，低品位礦的回收價(jià)值更高。另一方面采用動(dòng)態(tài)邊際品位可以在前期獲得更好的現(xiàn)金流，減少未來(lái)不確定性對(duì)礦山企業(yè)造成的影響。采用動(dòng)態(tài)邊際品位對(duì)企業(yè)的管理提出了更高的要求。邊際品位論證本身就是比較復(fù)雜的一項(xiàng)工作，需要多部門(mén)協(xié)作才能完成。財(cái)務(wù)部門(mén)要協(xié)調(diào)各生產(chǎn)單位進(jìn)行成本的分割和核算。技術(shù)部門(mén)要匯總探礦和生產(chǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行地質(zhì)模型更新。生產(chǎn)管理部門(mén)綜合各方面信息對(duì)金屬價(jià)格進(jìn)行預(yù)測(cè)，在獲得最佳邊際品位后，制定生產(chǎn)計(jì)劃，調(diào)整采、選、冶系統(tǒng)的各項(xiàng)生產(chǎn)參數(shù)，以適應(yīng)邊際品位的變化。

6 結(jié)論

（1）與固定邊界品位相比，采用動(dòng)態(tài)邊際品位能獲得更好的凈現(xiàn)值，并且低品位礦的回收價(jià)值更高。

（2）礦山在開(kāi)采過(guò)程中，隨著礦產(chǎn)資源的減少，機(jī)會(huì)成本降低，邊際品位呈現(xiàn)下降趨勢(shì)。金屬價(jià)格臨時(shí)變化會(huì)引起機(jī)會(huì)成本的較大變化，從而影響邊際品位。通過(guò)計(jì)算穩(wěn)定價(jià)格預(yù)期的剩余凈現(xiàn)值與剩余礦巖總量的關(guān)系，方便計(jì)算價(jià)格臨時(shí)變化年度的機(jī)會(huì)成本，從而方便對(duì)最優(yōu)邊際品位進(jìn)行及時(shí)調(diào)整。

（3）要獲得合理的邊際品位，需要對(duì)金屬價(jià)格有準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)，對(duì)礦石品位分布情況有精確的掌握。邊際品位的調(diào)整對(duì)企業(yè)管理提出更高的要求，需要多部門(mén)各司其職、密切協(xié)作才能順利推進(jìn)。