周蘭庭，柳志坤，龔云柱

(1.河海大學(xué)水利水電學(xué)院, 江蘇 南京 210098; 2.青島市經(jīng)濟(jì)發(fā)展研究院, 山東 青島 266000)

時(shí)間序列的研究對(duì)于揭示事物發(fā)展變化規(guī)律具有重要的意義，但由于事物的發(fā)展常常受多種因素的影響，導(dǎo)致實(shí)際時(shí)間序列往往是非平穩(wěn)的，這給其分析研究帶來(lái)了困難。為了有效挖掘時(shí)間序列的內(nèi)在規(guī)律，人們引入分形理論來(lái)處理非平穩(wěn)時(shí)間序列，并在環(huán)境保護(hù)、金融市場(chǎng)、微震監(jiān)測(cè)等[1-3]領(lǐng)域廣泛應(yīng)用。推廣到水利領(lǐng)域，混凝土重力壩的水平位移受庫(kù)水位漲落、溫度變化等因素[4]的影響，監(jiān)測(cè)序列表現(xiàn)出高度的非線性和分形特征，分形理論最初在該領(lǐng)域的應(yīng)用主要集中在大壩變形性態(tài)的單分形分析[5-6]，通過(guò)單分形來(lái)表征位移的長(zhǎng)程相關(guān)性，描述時(shí)間序列波動(dòng)的宏觀特征，但其局限性在于無(wú)法對(duì)位移過(guò)程中某一時(shí)刻的局部特征或不同波動(dòng)層次的復(fù)雜精細(xì)特征進(jìn)行刻畫，故引入多重分形來(lái)完善單分形理論。

在多重分形領(lǐng)域，Su等[7]應(yīng)用多重分形去趨勢(shì)波動(dòng)分析法(multifractal detrended fluctuation analysis，MF-DFA)對(duì)某混凝土重力壩現(xiàn)場(chǎng)觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，確定現(xiàn)有大壩時(shí)間序列的多重分形標(biāo)度行為，刻畫了大壩的長(zhǎng)期行為和結(jié)構(gòu)演變規(guī)律；胡江等[8]利用MF-DFA對(duì)某混凝土重力壩監(jiān)測(cè)序列的波動(dòng)特征進(jìn)行分析，從局部和整體兩個(gè)波動(dòng)層次評(píng)價(jià)了大壩的工作性態(tài)及其演變規(guī)律；楊景文等[9]基于MF-DFA研究了某混凝土重力壩多個(gè)裂縫序列的多重分形特征，并通過(guò)序列替換發(fā)現(xiàn)裂縫序列的多重分形特征主要由序列自身的長(zhǎng)程相關(guān)性造成；韋武昌等[10]利用滑動(dòng)平均法改進(jìn)MF-DFA，并將其應(yīng)用于某混凝土壩的變形分析中，探討了多重分形強(qiáng)度與壩段運(yùn)行機(jī)理的關(guān)系，對(duì)大壩的工作性態(tài)進(jìn)行了安全評(píng)價(jià)；周斌等[11]將MF-DFA延伸到某混凝土重力壩的滲漏量監(jiān)測(cè)分析中，通過(guò)計(jì)算滲漏量的定標(biāo)指數(shù)確定滲漏監(jiān)測(cè)序列的時(shí)程相關(guān)性，對(duì)多重分形在大壩變形分析中的應(yīng)用有借鑒意義;周蘭庭等[12]利用MF-DFA、MV-MFDFA和A-MFDFA解析了大壩變形性態(tài)的多重分形特征及其對(duì)稱性。

前人的研究主要采用傳統(tǒng)方法探討混凝土重力壩監(jiān)測(cè)序列自身的多重分形特征，未考慮環(huán)境量對(duì)監(jiān)測(cè)序列多重分形波動(dòng)特征的影響，胡江等[8]雖然在研究中引入了水位、溫度等環(huán)境量因素，但并未將其與位移的多重分形特征建立聯(lián)系。本文引入多重分形去趨勢(shì)相關(guān)性分析法(multifractal detrended cross -correlation analysis，MF-DCCA)和多重分形非對(duì)稱去趨勢(shì)相關(guān)性分析法(multifractal asymmetric detrended cross-correlation analysis，MF-A-DCCA)，在考慮位移序列自身波動(dòng)特征的同時(shí)，兼顧位移與環(huán)境量間的相關(guān)性，研究位移在環(huán)境量影響下整體波動(dòng)與局部趨勢(shì)的聯(lián)合多重分形特征。

1 計(jì)算方法

1.1 多重分形去趨勢(shì)相關(guān)性分析法

MF-DCCA[13-14]從多重分形視角考察兩個(gè)時(shí)序的相關(guān)性，在金融、環(huán)境等眾多實(shí)證研究中得到廣泛應(yīng)用。將該方法用于混凝土重力壩水平位移與環(huán)境量的分析中，算法解析如下。

步驟1記大壩實(shí)測(cè)位移時(shí)間序列為x(1)(t)，某一環(huán)境量實(shí)測(cè)序列為x(2)(t)，序列長(zhǎng)度均為N。按式(1)計(jì)算相應(yīng)序列的累計(jì)離差和y(i)(t)(i=1，2)：

(1)

步驟2給定時(shí)間尺度s，對(duì)y(i)(t)進(jìn)行分割，得到h個(gè)長(zhǎng)度為s的等長(zhǎng)度不重疊連續(xù)子區(qū)間，其中h=int(N/s)。由于N未必能夠整除s，會(huì)出現(xiàn)數(shù)據(jù)冗余問(wèn)題，故采用逆序處理法回收數(shù)據(jù)信息，即在正序劃分的基礎(chǔ)上，從序列的末端開(kāi)始重復(fù)前述操作，總計(jì)得到2h個(gè)子區(qū)間。

步驟3通過(guò)多項(xiàng)式擬合去除各子區(qū)間的趨勢(shì)項(xiàng)，按式(2)計(jì)算去趨勢(shì)后序列間的相關(guān)系數(shù)F2(s,v)：

(2)

式中：v為劃分的子區(qū)間；pv(i)(k)為第v個(gè)子區(qū)間的趨勢(shì)量，i=1，2。

步驟4計(jì)算兩序列的q階相關(guān)系數(shù)Fq(s)：

(3)

式中：q為波動(dòng)階數(shù)。當(dāng)q>0時(shí)，表明大波動(dòng)的影響占優(yōu)勢(shì)；當(dāng)q<0時(shí)，表明小波動(dòng)的影響占優(yōu)勢(shì)；特別地，當(dāng)q=0時(shí)，可得極限形式：

(4)

步驟5若序列間存在多重分形相關(guān)關(guān)系，則有如下冪律關(guān)系成立：

Fq(s)∝sH12(q)

(5)

式中H12(q)為序列間的廣義相關(guān)Hurst指數(shù)。對(duì)式(5)兩邊取對(duì)數(shù)得到式(6)，對(duì)式(6)最小二乘擬合，其斜率值即為H12(q)。

lgFq(s)=H12(q)lgs+lgC

(6)

式中C為常數(shù)。

觀察擬合得到的H12(q)，若其不隨q的變化而變化，說(shuō)明序列間的相關(guān)關(guān)系是單分形的；若其隨q的變化呈非線性變化，說(shuō)明序列間存在多重分形相關(guān)關(guān)系。當(dāng)H12(q)處于不同的區(qū)間范圍時(shí)，可得到兩序列間相關(guān)關(guān)系的不同結(jié)論：若H12(q)>0.5，兩個(gè)序列間呈現(xiàn)正持續(xù)的相關(guān)性；H12(q)<0.5，兩個(gè)序列間呈現(xiàn)反持續(xù)的相關(guān)性；H12(q)=0.5，則兩個(gè)序列間的關(guān)系是隨機(jī)、不確定的。

步驟6求解兩序列間的相關(guān)性多重分形譜：

τ(q)=qH12(q)-1

(7)

α=τ′(q)

(8)

f(α)=qα-τ(q)

(9)

式中：τ(q)為標(biāo)度函數(shù)；α為奇異性指數(shù)；f(α)為多重分形譜，其表征序列具有相同奇異性指數(shù)子區(qū)間的維數(shù)值。此外，常用分形譜寬度Δα和分形強(qiáng)度ΔH來(lái)定量描述位移序列的多重分形特性。Δα主要反映大壩變形的奇異性和性態(tài)演變的空間差異性，ΔH主要反映序列的分形強(qiáng)度，并與參數(shù)值成正比:

Δα=max(α(q))-min(α(q))

(10)

ΔH=max(H(q))-min(H(q))

(11)

MF-DCCA的計(jì)算流程如圖1所示。

圖1 MF-DCCA和MF-A-DCCA計(jì)算流程Fig.1 Calculation steps of MF-DCCA and MF-A-DCCA

1.2 多重分形非對(duì)稱去趨勢(shì)相關(guān)性分析法

MF-DCCA只能辨識(shí)序列間相關(guān)性的多重分形特征，但無(wú)法進(jìn)一步刻畫當(dāng)位移序列處于上升或下降趨勢(shì)時(shí)，其與環(huán)境量間相關(guān)性的多重分形特征，故引入MF-A-DCCA[15-16]來(lái)實(shí)現(xiàn)這一目的，算法步驟如下。

步驟1同MF-DCCA的步驟1，得到兩序列的累計(jì)離差和y(i)(t)，i=1，2。

步驟2選取位移序列x(1)(t)、位移累計(jì)離差和y(1)(t)、某一環(huán)境量實(shí)測(cè)序列累計(jì)離差和y(2)(t)，采取MF-DCCA步驟2的方法，得到2h個(gè)子區(qū)間。

步驟3利用式(12)(13)對(duì)步驟2中的子區(qū)間進(jìn)行趨勢(shì)擬合，L為線性擬合函數(shù)，a為常數(shù)部分，b為擬合斜率，參數(shù)取值范圍：v=1，2,…,2h；i=1，2；k=1，2,…,s。

Lxv(1)(k)=bxv(1)k+axv(1)

(12)

Lyv(i)(k)=bxv(i)k+axv(i)

(13)

步驟4對(duì)子區(qū)間進(jìn)行去趨勢(shì)處理，并計(jì)算協(xié)方差F2(s，v)：

(14)

步驟5考察式(12)的斜率值bxv(1)，當(dāng)bxv(1)為正時(shí)，表明位移序列在該子區(qū)間為上升趨勢(shì)，記為正趨勢(shì)，反之，則記為負(fù)趨勢(shì)。按式(15)(16)計(jì)算當(dāng)位移處于不同趨勢(shì)時(shí)，位移與環(huán)境量的q階相關(guān)系數(shù)：

(15)

(16)

式中：M+為正趨勢(shì)序列的數(shù)目，M-為負(fù)趨勢(shì)序列的數(shù)目。當(dāng)bxv(1)≠0時(shí)，二者之和即為子區(qū)間數(shù)：

(17)

(18)

步驟6若不同趨勢(shì)下位移與環(huán)境量的多重分形相關(guān)關(guān)系仍存在，則有式(5)所示的冪律關(guān)系。同理兩邊取對(duì)數(shù)：

(19)

(20)

|ΔHA|越大，表明不同趨勢(shì)下位移與環(huán)境量相關(guān)關(guān)系的多重分形非對(duì)稱程度越高，趨勢(shì)變化對(duì)多重分形強(qiáng)度的影響越顯著。當(dāng)|ΔHA|為正時(shí)，說(shuō)明上升趨勢(shì)下的位移與環(huán)境量相關(guān)性的持續(xù)性更強(qiáng)；當(dāng)|ΔHA|為負(fù)時(shí)，說(shuō)明下降趨勢(shì)下的位移與環(huán)境量相關(guān)性的持續(xù)性更強(qiáng)。

1.3 多尺度滑動(dòng)時(shí)間窗

傳統(tǒng)多重分形分析易在區(qū)間劃分中產(chǎn)生偽波動(dòng)和冗余數(shù)據(jù)，若將該部分忽略，會(huì)造成數(shù)據(jù)信息的丟失；若采用逆序處理法，則會(huì)打亂原數(shù)據(jù)的順序，影響信息獲取。鑒于此，結(jié)合大壩位移監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的特殊性，采用滑動(dòng)時(shí)間窗[17]對(duì)區(qū)間劃分方式進(jìn)行優(yōu)化。

圖2 滑動(dòng)時(shí)間窗Fig.2 Sliding time window

滑動(dòng)時(shí)間窗通常指長(zhǎng)度一定、起始時(shí)間和結(jié)束時(shí)間變化的窗口。給定窗口初始長(zhǎng)度為s，兩端均以相同步長(zhǎng)r推進(jìn)，即一端加入r個(gè)數(shù)據(jù)，另一端依次分離出r個(gè)數(shù)據(jù)，運(yùn)行原理如圖2所示。滑動(dòng)窗口在保持?jǐn)?shù)據(jù)總量不變的同時(shí)，能夠?qū)崟r(shí)更新窗口數(shù)據(jù)，運(yùn)行一次得到子區(qū)間的數(shù)目為(N-s)/r+1，通過(guò)改變s的取值，使滑動(dòng)窗的長(zhǎng)度隨s的改變而改變，建立多尺度滑動(dòng)時(shí)間窗模型。取r=1，并用改進(jìn)后的式(21)～(23)代替式(3)(4)、式(15)(16):

(21)

(22)

(23)

2 實(shí)例應(yīng)用

圖3 測(cè)點(diǎn)布置Fig.3 Layout of measuring points

某水電站主要由混凝土重力壩、壩后溢流式廠房、埋設(shè)于壩內(nèi)的輸水系統(tǒng)、泄水底孔及過(guò)木筏等組成。大壩壩頂高程280 m，最大壩高78 m，壩頂全長(zhǎng)253 m，水平位移引張線測(cè)點(diǎn)布設(shè)于壩頂處，測(cè)點(diǎn)布置見(jiàn)圖3。選取河床壩段7～10號(hào)對(duì)應(yīng)的引張線測(cè)點(diǎn)EX5～EX8自動(dòng)化監(jiān)測(cè)序列為樣本，樣本時(shí)間跨度自2008年1月1日至2014年12月31日，規(guī)定向下游位移為正、向上游位移為負(fù)，實(shí)測(cè)位移過(guò)程線和環(huán)境量如圖4所示。

圖4 實(shí)測(cè)位移過(guò)程線和環(huán)境量Fig.4 Hydrographs of measured displacement and environmental quantities

表1 主成分貢獻(xiàn)率

由圖4(a)可知，各測(cè)點(diǎn)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)同升同降，同方向、同高程、不同位置各測(cè)點(diǎn)位移間存在關(guān)聯(lián)性。傳統(tǒng)方法基于權(quán)重思想[18-19]建立各測(cè)點(diǎn)的權(quán)重關(guān)系，但計(jì)算量大且權(quán)重確定方法有待驗(yàn)證。而運(yùn)用PCA[20-21]進(jìn)行數(shù)據(jù)處理時(shí)，可保證在有效信息丟失最少的情況下，提取最能表征大壩多測(cè)點(diǎn)變形整體關(guān)系的主成分綜合效應(yīng)量，該量是各測(cè)點(diǎn)效應(yīng)量的線性組合，可將其視為單測(cè)點(diǎn)效應(yīng)量建模分析，降低了分析的復(fù)雜度。表1為PCA的主成分貢獻(xiàn)率。

根據(jù)文獻(xiàn)[20-21]，PCA主成分的閾值為85%，由表1可知，第一主成分貢獻(xiàn)率1已達(dá)到PCA的閾值，能夠在反映有效信息的同時(shí)將數(shù)據(jù)最簡(jiǎn)化，故選擇第一主成分表征多測(cè)點(diǎn)位移信息。根據(jù)SPSS分析給出的評(píng)分系數(shù)，帶入式(24)求解多測(cè)點(diǎn)位移主成分。

F=m1Y1+m2Y2+m3Y3+m4Y4

(24)

式中：F為主成分；Y1，Y2,Y3,Y4分別為位移；m1，m2,m3,m4分別為評(píng)分系數(shù)。

2.1 水平位移與環(huán)境量的多重分形相關(guān)性分析

將MF-DCCA應(yīng)用到水平位移與環(huán)境量的多重分形相關(guān)性分析中，在matlab環(huán)境下運(yùn)行MF-DCCA程序，分別計(jì)算該混凝土重力壩水平位移與環(huán)境量的波動(dòng)函數(shù)Fq(s)、廣義相關(guān)Hurst指數(shù)H12(q)、標(biāo)度函數(shù)τ(q)和多重分形譜f(α)，如圖5、圖6所示。

圖5 位移與水位的多重分形相關(guān)性分析Fig.5 Multifractal correlation analysis of displacement and water level

圖6 位移與溫度的多重分形相關(guān)性分析Fig.6 Multifractal correlation analysis of displacement and temperature

a.結(jié)合圖5(a)和圖6(a)，在q一定時(shí)，波動(dòng)函數(shù)Fq(s)與s近似呈正相關(guān)關(guān)系。整體來(lái)看，q越小，F(xiàn)q(s)受波動(dòng)影響程度越大，位移與環(huán)境量相關(guān)性的波動(dòng)隨著s的增大而逐漸有序，并趨于均化。

b.結(jié)合圖5(b)和圖6(b)，位移與環(huán)境量的廣義相關(guān)Hurst指數(shù)H12(q) 并非恒定不變，均隨著q的增加而減小，說(shuō)明位移的多重分形復(fù)雜性與水位、溫度的影響均有關(guān)。位移與環(huán)境量的H12(q)均大于0.5，說(shuō)明位移與環(huán)境量間的相關(guān)性具有明顯的正持續(xù)性特征，總體表現(xiàn)出良好的長(zhǎng)程相關(guān)性，即位移序列數(shù)值的上升或下降伴隨著影響因子的上升或下降。當(dāng)q較大或較小時(shí)，位移與溫度間的H12(q)變化趨勢(shì)相較于與水位間的H12(q)變化趨勢(shì)更劇烈，說(shuō)明位移與溫度間的多重分形相關(guān)性對(duì)波動(dòng)的敏感性更強(qiáng)。但從定量的角度來(lái)看，位移與水位間H12(q)明顯大于位移與溫度間的H12(q)，說(shuō)明位移與水位間的正持續(xù)性強(qiáng)于位移與溫度間的正持續(xù)性，水位變化對(duì)位移的影響更顯著。

c.進(jìn)一步分析圖5(c)和圖6(c)，τ(q)呈非線性遞增趨勢(shì)，且圖5(c)的上凸程度和非線性程度均強(qiáng)于圖6(c)，說(shuō)明位移與環(huán)境量間的相關(guān)性具有多重分形特征，且位移與水位的這一特征要強(qiáng)于位移與溫度的組合，進(jìn)一步印證了前述分析。

d.結(jié)合圖5(d)和圖6(d)，位移與環(huán)境量的相關(guān)性多重分形譜圖像呈單峰凸分布，刻畫了不同時(shí)刻局部變化的多樣性。α主要集中于圖像的兩側(cè)，α分布的不均勻也印證了位移與環(huán)境量間的多重分形相關(guān)性。相關(guān)性多重分形譜基本對(duì)稱，整體協(xié)同性較好，發(fā)展?fàn)顟B(tài)穩(wěn)定，其中位移與溫度的相關(guān)性多重分形譜呈現(xiàn)不明顯的右鉤狀，說(shuō)明在該情況下小波動(dòng)的影響略占優(yōu)勢(shì)。進(jìn)一步計(jì)算位移與環(huán)境量間的分形特征統(tǒng)計(jì)量，即位移-水位：ΔH=1.255 2，Δα=1.596 4；位移-溫度：ΔH=0.476 8，Δα=0.713 8，位移與環(huán)境量間的ΔH和Δα均不為0。由于Δα越大，相關(guān)性的分形奇異性越強(qiáng)，ΔH越大，相關(guān)性的分形強(qiáng)度越強(qiáng)，故可知此時(shí)水平位移與水位間的多重分形相關(guān)性顯著強(qiáng)于位移與溫度間的多重分形相關(guān)性，水位變化對(duì)水平位移的發(fā)展影響更顯著。加之水位的漲落變化在周期性上不如溫度的變化穩(wěn)定，屬于高頻非線性影響量，故其與位移間的多重分形相關(guān)性往往更復(fù)雜，波動(dòng)性更強(qiáng)。

2.2 水平位移與環(huán)境量的非對(duì)稱多重分形相關(guān)性分析

基于MF-A-DCCA進(jìn)一步探究當(dāng)位移序列處于正趨勢(shì)或負(fù)趨勢(shì)時(shí)，其與環(huán)境量間相關(guān)性的多重分形特征，分析成果見(jiàn)圖7、圖8，非對(duì)稱分形特征統(tǒng)計(jì)量見(jiàn)表2。

圖7 位移與水位的非對(duì)稱多重分形相關(guān)性分析Fig.7 Correlation analysis of asymmetric multifractal of displacement and water level

圖8 位移與溫度的非對(duì)稱多重分形相關(guān)性分析Fig.8 Correlation analysis of asymmetric multifractal of displacement and temperature

表2 非對(duì)稱分形特征統(tǒng)計(jì)量

由圖7、圖8和表2可知，隨著q的變化，當(dāng)位移分別處于正趨勢(shì)和負(fù)趨勢(shì)時(shí)，其與環(huán)境量的廣義相關(guān)Hurst指數(shù)曲線互不重疊，說(shuō)明此時(shí)位移與環(huán)境量間相關(guān)性的多重分形特征具有明顯的非對(duì)稱性；無(wú)論是位移原序列、正趨勢(shì)還是負(fù)趨勢(shì)，其與環(huán)境量間的H12(q)并非定值，而是隨著q的變化而變化，且均大于0.5，說(shuō)明位移與環(huán)境量的相關(guān)性無(wú)論在位移序列上升還是下降時(shí)都具備多重分形特性，同時(shí)兼具良好的長(zhǎng)程相關(guān)性。從表2的結(jié)果可知，位移與環(huán)境量的正趨勢(shì)分形強(qiáng)度均大于負(fù)趨勢(shì)分形強(qiáng)度，說(shuō)明當(dāng)位移序列處于上升趨勢(shì)時(shí)，其與環(huán)境量間的正持續(xù)性比處于下降趨勢(shì)時(shí)的正持續(xù)性強(qiáng)；進(jìn)一步對(duì)比表3同一序列類型下位移-水位、位移-溫度的計(jì)算結(jié)果可知，無(wú)論原序列、正趨勢(shì)還是負(fù)趨勢(shì)，前者的分形奇異性和分形強(qiáng)度都明顯高于后者，說(shuō)明即使在不同的變化趨勢(shì)下，水位變化對(duì)位移多重分形特征的影響仍占優(yōu)勢(shì)，與前文結(jié)論對(duì)應(yīng)。

圖9 位移與環(huán)境量相關(guān)性的非對(duì)稱度量Fig.9 Asymmetric metric of displacement and environmental quantities

按式(20)計(jì)算位移與水位、溫度的非對(duì)稱度量，分別記為|ΔHAW|、|ΔHAT|，其與q的關(guān)系如圖9所示。當(dāng)q<0時(shí)，|ΔHAW|顯著大于|ΔHAT|，此時(shí)位移與水位的相關(guān)性非對(duì)稱程度較強(qiáng)，但逐漸呈下降趨勢(shì)，而|ΔHAT|無(wú)明顯變化；當(dāng)q>0時(shí)，|ΔHAW|、|ΔHAT|均呈上升趨勢(shì)，非對(duì)稱程度增強(qiáng)，其中，|ΔHAW|在q=2附近達(dá)到峰值后便開(kāi)始緩慢下降。|ΔHAW|前期相較于|ΔHAT|仍具有明顯的優(yōu)勢(shì)，但隨著后期q值的增大，兩種組合下的非對(duì)稱程度差異逐漸減小。從整體來(lái)看，|ΔHAW|變化不穩(wěn)定，跳躍性強(qiáng)，對(duì)波動(dòng)的反應(yīng)敏感，而|ΔHAT|增長(zhǎng)緩慢，對(duì)波動(dòng)的敏感性較低，進(jìn)一步說(shuō)明水位漲落對(duì)該混凝土重力壩位移多重分形非對(duì)稱性波動(dòng)程度起主導(dǎo)作用。

3 結(jié) 論

a.運(yùn)用多重分形理論刻畫了混凝土重力壩水平位移與環(huán)境量相關(guān)性的多重分形特征，并研究了其非對(duì)稱性，利用廣義相關(guān)Hurst指數(shù)、相關(guān)性多重分形譜等分析了多重分形相關(guān)性的強(qiáng)度，剖析了在環(huán)境量的影響下，大壩變形性態(tài)的動(dòng)力學(xué)特征和演變規(guī)律。

b.引入多尺度滑動(dòng)時(shí)間窗模型消除由子區(qū)間劃分而產(chǎn)生的偽波動(dòng)，相較于文獻(xiàn)[9]中未優(yōu)化的情形，優(yōu)化后所繪圖像平滑性較好，趨勢(shì)性明顯，減小了偽波動(dòng)的影響，提高了多重分形分析的信息利用率。

c.實(shí)例分析表明，該混凝土重力壩水平位移與環(huán)境量的相關(guān)性具有較強(qiáng)的多重分形特征，且這種特征在位移處于不同趨勢(shì)時(shí)具有非對(duì)稱性，位移變化從整體波動(dòng)到局部趨勢(shì)均表現(xiàn)出良好的記憶性和長(zhǎng)程相關(guān)性。水平位移的多重分形特征受環(huán)境量的影響，其中水位的頻繁漲落起主導(dǎo)作用，在環(huán)境量的影響下，該混凝土重力壩頂水平位移性態(tài)良好，分析結(jié)果符合實(shí)際工程情況，表明本文的方法在混凝土重力壩水平位移的分析中具有較好的可行性和適應(yīng)性。