趙其華 蔣峻峰 鄭 濤 彭 毅 王 誼

(①地質災害防治與地質環(huán)境保護國家重點實驗室(成都理工大學)， 成都 610059， 中國) (②華南防災減災研究院(深圳)有限公司， 深圳 518001， 中國)

0 引 言

有限斜坡巖土體廣泛存在于河道斜坡上的樁板墻、基坑中半逆作法施工條件下的圍護樁墻、半挖半填路塹邊坡上樁板墻等擋墻工程中。這些條件下?lián)鯄η暗挠邢扌逼聨r土體，由于受斜坡坡度、擋墻與斜坡邊緣距離等因素的影響，導致此種條件下的土體破壞模式與側土壓力分布特征同半無限空間條件下有較大不同(Hu et al.，2020)。因此，擋墻前有限斜坡土體能否提供足夠的被動土壓力，對準確確定有限斜坡土體中擋墻的穩(wěn)定性具有重要意義。

目前被動土壓力的研究多以半無限空間條件為研究前提。在被動土壓力的試驗研究方面，國內(nèi)外眾多砂土的被動土壓力的室內(nèi)試驗與原位測試結果表明(Clough et al.， 1991； Fang et al.，1994； 顧慰慈， 2001； 徐日慶等， 2002； Becker et al.，2006； 趙建軍等， 2019)，當墻體平移時，在半無限空間中的被動土壓力大致呈三角形分布，當在墻體繞墻腳轉動和繞墻頂轉動模式下，被動土壓力隨深度呈現(xiàn)出較強的非線性分布。試驗測試結果與經(jīng)典的Rankine理論與Coulomb理論中的土壓力隨深度呈線性分布的特征存在矛盾之處，因而一些學者根據(jù)試驗監(jiān)測結果，在靜力極限法(Jiang et al.，2021)、圖解法(顧慰慈， 2001)、應力狀態(tài)法(朱建明等， 2015)、水平層分析法(王元戰(zhàn)等， 2006)、有限元法(張建勛等， 2004； Liu et al.，2020； 史克寶等， 2020； 趙亮亮等， 2020)等方法的基礎上提出了較多關于半無限空間的被動土壓力的改進計算理論，主要有對數(shù)螺旋線滑面被動土壓力計算(Terzzghi et al.， 1996； 顧慰慈， 2001)，考慮土拱效應的被動土壓力計算(Hu et al.，2020)，側向有限土體中的被動土壓力計算(韓同春等2018； 徐日慶等， 2020； Chen et al.，2021)，彈性地基梁法(陳繼彬， 2017)，應變楔形體計算模型(Ashour et al.，2004； Nimtyongskul et al.，2018； 楊明輝等， 2019)，考慮位移影響的非極限被動土壓力(Ni et al.，2018)等。對有限斜坡巖土體中的被動土壓力研究，應宏偉等(2011, 2016)采用室內(nèi)模型試驗和數(shù)值模型研究了土體有限側限寬度對被動土壓力的影響，但并未考慮斜坡坡度與臨坡距影響。Nimtyongskul et al. (2018)、Yin et al. (2018)和喻豪俊等(2018)則是研究采用原位試驗或數(shù)值模型研究了斜坡坡度對水平受荷單樁的側向地基承載力與地基反力系數(shù)分布特征的影響，并對半無限空間的水平受荷單樁側向極限承載力公式進行了改進。Muraro et al. (2014)和Pirone et al. (2018)采用強度折減法研究了斜坡條件下單樁加固坡體后的樁位移、被動土壓力與結構內(nèi)力分布特征。

由上述被動土壓力的研究現(xiàn)狀可見，考慮斜坡坡度、臨坡距及土層內(nèi)部剪力的被動土壓力的理論計算仍不多見，而目前實際工程中，斜坡條件下?lián)鯄η坝邢尥馏w的被動土壓力的計算仍多采用傳統(tǒng)的半無限空間的土壓力理論進行折減計算，由于忽略了斜坡坡度、臨坡距等因素對側土壓力的影響，導致傳統(tǒng)的被動土壓力計算理論在斜坡有限土體中的計算誤差較大，進而因水平抗力不足而出現(xiàn)擋墻傾覆或推倒破壞等工程問題，如四川茂縣黑虎四村滑坡、三岔湖雷打石滑坡等。針對以上情況，本文采用水平層分析法、靜力平衡法與數(shù)值模型，研究斜坡坡度、擋墻與斜坡邊緣距離以及土條水平層間剪切力等因素對被動土壓力的影響，推導了一種斜坡上有限土體中的被動土壓力計算公式，用室內(nèi)與數(shù)值模型結果驗證了該建議方法的合理性。

1 計算模型

1.1 數(shù)值模型

由于影響土壓力因素較為復雜，無論是常見的邊坡?lián)鯄蚴腔訃o結構墻體，現(xiàn)有的眾多土壓力理論多是基于平動模式下經(jīng)典的Rankine理論與Coulomb理論，故本文研究以簡單的平動模式為基礎(應宏偉等， 2011)，采用有限元Midas GTS對擋墻前斜坡土體破壞特征進行研究，將初始位移為0的墻體向左平移600mm，使擋墻(總長16m或20m，墻高H1為8m，嵌入深度L為8m或12m，墻厚0.8m，臨坡距b=4m或20.4m)兩側土體達到極限狀態(tài)，并用強度折減法確定土體最終破壞面位置(Pirone et al.，2018)。二維數(shù)值分析模型尺寸及邊界條件如圖 1。模型計算參數(shù)如表 1。網(wǎng)格采用3節(jié)點三角形與4節(jié)點四邊形的混合單元平面網(wǎng)格，單元尺寸為0.5～2.0m。土體破壞服從莫爾-庫侖準則。擋墻前斜坡坡度為25°。

已有大量研究表明，位移云圖能準確顯示土體破裂面的位置(Liu et al.，2020)。圖 1中，擋墻前側土體破裂面均經(jīng)過墻腳與坡腳附近位置，圖1a、圖1b和圖1c中的破裂角分別為22.6°、7.9°和11°，相比朗肯被動破裂角29°明顯偏小，表明斜坡條件的破裂角β≤45°-φ/2； 隨著墻體嵌入深度與臨坡距的增加，由于受斜坡影響，擋墻前土體并未沿朗肯被動破裂角破壞，而是沿著坡腳附近或坡中最為薄弱的位置出現(xiàn)破壞； 即使臨坡距足夠大，且滿足b/L=cot(45°-φ/2)時，破裂角可能依然沿坡腳破壞，這與半無限空間條件下的被動區(qū)土體破壞特征明顯不同。

表 1 數(shù)值模型計算材料參數(shù)Table1 Material parameters in the finite element model

1.2 基本模型建立

圖 2中ABCD為擋墻前土體被動區(qū)滑移楔形體。擋墻墻高為H1，斜坡坡高為H2，擋墻嵌入深度為L，擋墻前斜坡土體坡度為α，假定破裂面與水平面的夾角為β，A、C點的豎向高度為L1，C、B點的豎向高度為L2，臨坡距為b，土條ef與e′f′厚度為dy，土條與AD面的豎向高度為y。

圖 2 斜坡條件的土壓力計算模型示意圖Fig. 2 Sketch of lateral earth pressure calculation for the finite soil in sloping condition

1.3 基本假定

假設： ①模型處于平面應變狀態(tài)； ②擋墻前有限斜坡土體為均質彈塑性體； ③土體破壞時處于極限平衡狀態(tài)，并服從莫爾-庫侖準則； ④土體破壞面始終經(jīng)過墻底(Yin et al.，2018)； ⑤擋墻為剛體。

2 基本模型求解

由于ef和e′f′土條邊界條件不同，需以C點為邊界，分為上下兩段0≤y≤L1和L1≤y≤L2，分別對ef和e′f′土條進行受力分析。由于已知L、b、α和β，則：

(1)

2.1 0≤y≤L1 段ef土條受力分析

由圖 3，該段墻土接觸面f點處的正應力σw均由土條上下界面處的剪應力承擔，因此在平動模式下該段仍需要考慮一定的土體剪應力，才能滿足靜力平衡。令土條頂面上的剪應力與豎向應力之比為層間平均剪切系數(shù)K1(王元戰(zhàn)等， 2006)，則：

τm=K1σv

(2)

式中：σv為土條上的豎向正應力。

圖 3 土條ef受力分析圖Fig. 3 Force analysis of ef trapezoidal layer element

假定該段層間平均剪切系數(shù)K1與深度呈線性正相關(陳奕柏等， 2015； Hu et al.，2020)，則：

(3)

式中：KC為C點處分界面上層間剪切系數(shù)，且L1>0。

2.1.1 墻面粗糙時

根據(jù)土條ef在水平與豎向的靜力平衡條件，略去高階無窮小后，可得：

(4)

式中：σw為f點接觸面處的正應力；τm為土條水平剪應力；l為土體ef的水平長度，l=b+ycotα； dG=γldy。

由莫爾-庫侖破壞準則，墻土接觸f點處的剪應力：

τw=σwtanδ+cw

(5)

式中：δ為墻土接觸面摩擦角；cw為墻土接觸面黏聚力。

聯(lián)立式(2)、式(4)與式(5)，消除dσv/dy后，則：

(6)

令y=L1，代入上式，可得：

(7)

(8)

式中： 斜坡傾角α≠0°。

上式表明，斜坡條件下的0≤y≤L1段的被動土壓力與斜坡坡度、斜坡頂面寬度及土體層間剪切系數(shù)密切相關。

由于上式中，k值仍為未知數(shù)，后續(xù)需通過C點上下界面處的邊界條件相同來進行求解。

將式(6)代入式(4)，消去σw，則：

(9)

利用邊界條件y=0時，σv=0，求解微分方程式(9)，則得到土條ef上部的正應力為：

(10)

式中： 墻土摩擦角應滿足δ≠0°。

當y=L1時，代入式(10)，則C點水平界面處的豎向正應力為：

(11)

2.1.2 墻面光滑時

當δ=0°時，求解微分方程(9)，根據(jù)邊界條件：y=0時，σv=0，則：

(12)

此時，當y=L1時，代入式(12)，則可得到C點水平界面處的豎向正應力為：

(13)

2.2 L1≤y≤L2 段e′f′土條受力分析

由圖 4，平動模式下的墻土接觸面f′點處的正應力σw主要由滑動面e′點處的正應力與切應力承擔，為簡化計算，因此該段將層間剪力忽略(朱建明等， 2015)。

圖 4 土條e′f′受力分析圖Fig. 4 Force analysis of e′f′ trapezoidal layer element

2.2.1 墻面粗糙時

根據(jù)土條e′f′在水平向與豎直方向的靜力平衡條件，可得：

(14)

式中：τs和σs分別是破裂面BC上的剪應力與正應力；l為土條e′f′水平長度，l=(L-y)cotβ。

由于土體破裂面BC破壞遵循莫爾-庫侖準則，則破裂面上的剪應力為：

τs=σstanφ+c

(15)

式中：c為土體黏聚力。

聯(lián)立式(6)、式(15)代入式(14)，消去σs、τs與τw，則：

(16)

對土條e′f′上e點取矩，根據(jù)力矩平衡∑M=0，則：

(17)

聯(lián)立式(6)、式(16)和式(17)，消除σw，可得一階微分方程為：

(18)

式中：

根據(jù)邊界條件，當y=L1時，C點處邊界面上的豎向正應力值即為σC1，求解式(18)，則土條e′f′上豎向正應力為：

(19)

聯(lián)立式(6)、式(16)和式(17)，消除dσv/dy，則：

(20)

將式(19)代入式(20)，可得水平正應力為：

(21)

(22)

式中：

當ξ1=0時，則：

(23)

(24)

上式中墻土摩擦角應滿足δ≠0°。

上式表明，斜坡條件下的斜坡坡度、臨坡距、擋墻嵌入深度等因素仍對L1≤y≤L2段地面以下的被動土壓力存在一定影響。

將式(11)和式(24)代入下式，則斜坡條件下作用在擋墻上的土壓力合力Q為：

(25)

式中：ζ=ksinδ(γb+cw)+γcotαcosδ。

2.2.2 墻面直立光滑時

當δ=0°時，則τw=0kPa，即墻背直立光滑，同樣根據(jù)水平與豎向平衡條件，則：

c·cotβ

(26)

再對土條e點取矩，根據(jù)力矩平衡，則：

(27)

根據(jù)邊界條件，求解微分方程式(27)，可得：

σv=γ(y-L1)+σC2

(28)

根據(jù)pp=σw，將式(27)和式(28)代入式(18)，則墻面光滑的斜坡條件下的被動土壓力為：

(29)

此時，同樣聯(lián)立式(10)和式(29)可得，C點界面處的水平層間剪切系數(shù)為：

(30)

2.2.3 擋墻臨坡距足夠大時

根據(jù)圖 5，當破裂面BE經(jīng)過頂面時，此時L1=0m，則有L2=L。將該條件代入式(1)，則需要臨坡距滿足：

b/L>cotβ

(31)

若E點與D點重合，將L1=0m，L2=L與b=Lcotβ參數(shù)代入式(19)中的C1常數(shù)公式中： 則：

(32)

圖 5 臨坡距足夠大時的墻土體破壞Fig. 5 The failure mode of the soil-wall mass when the distance of retaining wall from the crest of slope is enough large

將式(32)代回式(24)，則半無限空間墻背粗糙條件下的被動土壓力計算公式。

(33)

若墻背光滑且土體破壞角為朗肯被動破裂角，并將上述條件代入式(29)，則：

(34)

上式即為朗肯被動土壓力計算公式。上述計算公式表明，在δ=0°時，式(29)可簡化為朗肯被動土壓力計算公式。

表 2 理論值與實測值對比

3 模型驗證

3.1 模型試驗驗證

Fang et al. (1994)對半無限空間條件下的被動土壓力進行了模型試驗。墻體通過平移s/L=10%達到極限狀態(tài)。模型擋墻嵌入深度L=500mm。渥太華砂的具體參數(shù)如下：γ=15.5kN·m-3，c=0kPa，φ=30.9°，δ=19.2°，本文解按朗肯被動破裂角。

圖 6對本文解與其他理論方法及實測值進行比較，表明平移模式下的被動土壓力分布特征隨深度逐漸增大，本文解在深度0.6L以上大致呈線性特征， 0.6L以下則呈指數(shù)增加趨勢，這與實測值存在一定差異，但結合表 2，本文解的被動土壓力合力值相比實測合力值偏大，與實測值的相對誤差為9.56%，相比其他理論解則更為可靠。

圖 6 平移模式下不同理論方法計算與實測值比較Fig. 6 Comparison between predicted and experimental values obtained under translational mode

3.2 數(shù)值模型驗證

徐日慶等(2002)對砂土中的被動土壓力進行模型試驗。模型中擋墻嵌入深度L=1.0m，墻厚5cm，墻體通過位移平移法s=50mm，使墻體達到被動狀態(tài)。在上述室內(nèi)模型基礎上建立二維擋墻數(shù)值模型，同樣采用3節(jié)點三角形與4節(jié)點四邊形的混合網(wǎng)格，建模具體尺寸及邊界條件如圖 7，單元尺寸為0.1～0.2m。采用靜力非線性分析計算了兩種工況：工況1的坡頂為水平條件，本文解按朗肯被動破裂角； 工況2為擋墻后側土體開挖形成30°斜坡，擋墻距離斜坡邊緣b/L=0.2，距離斜坡較近，破裂角經(jīng)過坡腳β=12°。計算參數(shù)如表 3。

圖 7 兩種條件下的墻-土體水平位移云圖Fig. 7 Horizontal displacement cloud map under two conditions a. 工況1：半無限空間條件; b. 工況2：30°斜坡條件

表 3 數(shù)值模型計算材料參數(shù)Table3 Material parameters in the finite element model

圖 8 工況1條件下的理論值與實測值比較Fig. 8 Comparison between predicted and experimental values obtained under the first condition

圖 9 工況兩條件下建議值與數(shù)值計算值比較Fig. 9 Comparison between predicted and calculated values of FEM under the second condition

圖 7通過對兩種不同條件下的位移云圖進行對比，再次表明斜坡條件擋墻前側土體破壞特征與半無限空間條件下的土體破壞特征明顯不同。

圖 8對工況1條件的理論解、數(shù)值解與實測值進行了對比，表明本文解大致介于朗肯解與庫侖解之間，結合表 2，朗肯解、本文解及數(shù)值解的被動土壓力合力值相比庫侖解，更為接近實測值。其中數(shù)值解的相對誤差為7.55%，驗證了數(shù)值模型參數(shù)取值與邊界條件的準確性，為工況2的計算提供了依據(jù)。

圖 9對兩工況條件下的本文解與數(shù)值解進行比較，表明本文解與數(shù)值解基本吻合，斜坡條件下的被動土壓力隨深度呈指數(shù)特征增長。結合表 2中的被動土壓力合力值，本文解的相對誤差為7.41%，證明了本文解對有限斜坡條件的被動土壓力預測的適用性。

4 參數(shù)分析

圖 10 不同臨坡距的被動土壓力變化曲線Fig. 10 Distribution of passive earth pressure with the different distance of retaining wall from the crest of slope

圖10是被動土壓力隨臨坡距與深度變化的規(guī)律。隨臨坡距增大，斜坡條件下被動土壓力也增大，并逐漸趨近于b/L=∞的被動土壓力； 被動土壓力在斜坡條件下隨深度呈指數(shù)增加規(guī)律。通過計算，朗肯解、庫侖解與b/L=0/0.3/0.6/0.9/∞的被動土壓力合力值分別為2335.5kN、3871.9kN、1236.85kN、1638.49kN、2010.79kN、2366.71kN和2641.66kN。其中：b/L=0的被動土壓力合力相比朗肯解小47%，表明臨坡距越小，被動土壓力降低幅度較大； 相比Rankine解與Coulomb解，b/L=∞的被動土壓力合力與Rankine解更為接近。

圖11是不同坡度條件下被動土壓力隨深度變化曲線。當其他條件不變，隨斜坡坡度增加，被動土壓力出現(xiàn)逐漸降低現(xiàn)象，α=35°時的被動土壓力合力1175.1kN相比α=15°的1795.9kN降低34.56%，但隨著坡度增加，被動土壓力的降低幅度逐漸趨于平緩。

圖12是不同坡度與臨坡距對層間剪切系數(shù)k的影響關系對比。隨著臨坡距增加，層間剪切系數(shù)k逐漸增大，但增加幅度較小； 當α=10°時，層間剪切系數(shù)隨臨坡距基本呈線性變化； 隨著坡度α增大，當擋墻接近斜坡邊緣時，層間剪切系數(shù)出現(xiàn)較大幅度增大。盡管層間剪切系數(shù)會受坡度與臨坡距影響，但其變化范圍始終在0.05～0.1之間，表明在平動模式下上部臨空斜坡土體中的層間剪切系數(shù)仍較小。

圖 12 不同臨坡距與坡度的層間剪切系數(shù)對比Fig. 12 Coefficient change of the layer shear stress with different distance of retaining wall from the crest of slope

5 結 論

本文采用水平層分析法、靜力平衡法及有限元法，推導了一種擋墻前有限斜坡土體中的被動土壓力公式，該方法考慮了斜坡坡度、臨坡距、土層水平層間剪切系數(shù)、墻土摩擦角、黏聚力等因素對被動土壓力的影響。通過模型試驗、數(shù)值模型及其他理論方法驗證了本文方法的合理性； 最后分析了斜坡坡度、臨坡距對被動土壓力與層間剪切系數(shù)的影響。主要結論有：

(1)由于受有限斜坡體的影響，平動模式下的擋墻前有限斜坡土體的破裂角一般沿著坡腳附近或坡中的薄弱位置破壞，且破裂角一般滿足β≤45°-φ/2，這與半無限空間條件下的土體破壞特征明顯不同。

(2)擋墻前臨坡距、斜坡坡度對被動土壓力的影響較大。斜坡條件下，被動土壓力隨深度呈指數(shù)增加的規(guī)律； 當臨坡距減小時，被動土壓力出現(xiàn)較大幅度減小，其中臨坡距為0時，被動土壓力相比半無限空間中的被動土壓力降低幅度30%～50%。而斜坡坡度增加，被動土壓力也出現(xiàn)較大幅度降低，但隨著坡度增加，逐漸趨于平緩。

(3)平動模式下?lián)鯄η暗呐R空斜坡土體中的剪切系數(shù)較小，主要在0.05～0.1。

(4)當墻背直立光滑且臨坡距足夠大時，本文建議方法可簡化為理想條件下的朗肯被動土壓力公式。