侯紅玲，李 巧，王艷茹，趙永強(qiáng),2

（1.陜西理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，漢中 723001；2.陜西省工業(yè)自動(dòng)化重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，漢中 723001）

0 引言

行星滾柱絲杠副作為一種將旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換為直線運(yùn)動(dòng)的新型高精度傳動(dòng)部件，目前運(yùn)用高速傳動(dòng)、螺距大、高精度等場合，而循環(huán)式行星滾柱絲杠副更適用于空間小、螺距小的場合。在行星滾柱絲杠副理論研究方面，Velinsky等建立了SPRS運(yùn)動(dòng)學(xué)分析模型[1]；岳琳琳等基于有限元仿真研究了行星滾柱絲杠動(dòng)態(tài)特性[5]；靳謙忠等基于行星滾柱絲杠運(yùn)動(dòng)簡圖分析了傳動(dòng)原理及運(yùn)動(dòng)關(guān)系[6]；祝明路等在建立標(biāo)準(zhǔn)式行星滾柱絲杠空間機(jī)構(gòu)簡圖的基礎(chǔ)上分析了標(biāo)準(zhǔn)式行星滾柱絲杠的自由度[7]；韋振興等人依據(jù)行星齒輪傳動(dòng)原理，對行星滾柱絲杠副的相關(guān)設(shè)計(jì)變量進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化分析[8]；徐強(qiáng)等人建立PWG型絲杠副的傳動(dòng)分析模型計(jì)算了差動(dòng)式絲杠副的導(dǎo)程，試驗(yàn)測量了導(dǎo)程誤差，驗(yàn)證了傳動(dòng)模型的正確性[9]；韓敏等建立了絲杠和滾柱之間的相對滑動(dòng)速度的數(shù)學(xué)模型，分析研究行星滾柱絲杠副的滑動(dòng)特性[10]；馬尚君等采用顯式動(dòng)力學(xué)算法，對行星滾柱絲杠副運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行分析[11]。

上述文獻(xiàn)的研究對象均為標(biāo)準(zhǔn)式和差動(dòng)式行星滾柱絲杠副，而未曾涉及循環(huán)式行星滾柱絲杠副，關(guān)于循環(huán)式行星滾柱絲杠副設(shè)計(jì)的相關(guān)報(bào)道僅限在國外極少數(shù)產(chǎn)品樣本中。與標(biāo)準(zhǔn)式行星滾柱絲杠副相比，循環(huán)式行星滾柱絲杠副采用無螺旋升角的環(huán)槽狀滾柱，取消了滾柱與螺母之間的齒輪副，增加了實(shí)現(xiàn)連續(xù)運(yùn)動(dòng)的復(fù)位凸輪，由此增加了運(yùn)動(dòng)的復(fù)雜性和容易出現(xiàn)運(yùn)動(dòng)不連續(xù)的缺陷。

本文以循環(huán)式行星滾柱絲杠副為研究對象，基于約束螺旋和機(jī)構(gòu)學(xué)理論，建立循環(huán)式行星滾柱絲杠副的空間機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)模型，分析計(jì)算循環(huán)式行星滾柱絲杠副的機(jī)構(gòu)自由度和運(yùn)動(dòng)參數(shù)，分析各構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)關(guān)系，研究相關(guān)參數(shù)對實(shí)際導(dǎo)程的影響，基于ADAMS運(yùn)動(dòng)仿真軟件，驗(yàn)證循環(huán)式行星滾柱絲杠副的工作原理合理性。

1 循環(huán)式行星滾柱絲杠副的結(jié)構(gòu)組成和工作原理

循環(huán)式行星滾柱絲杠副的結(jié)構(gòu)如圖1所示[12]，由絲杠、保持架、復(fù)位凸輪、螺母、滾柱等構(gòu)件組成，與標(biāo)準(zhǔn)式行星滾柱絲杠副相比，保持架替代了內(nèi)齒圈，滾柱結(jié)構(gòu)形式發(fā)展為無螺旋升角的環(huán)槽狀滾柱，保持架使多個(gè)滾柱沿絲杠軸線呈圓周狀均勻分布。

圖1 循環(huán)式行星滾柱絲杠副結(jié)構(gòu)圖

當(dāng)滾柱完成一個(gè)周期的轉(zhuǎn)動(dòng)后，在保持架內(nèi)到達(dá)極限位置，正好對應(yīng)螺母內(nèi)部的讓位槽位置處，同時(shí)螺母端部固定的復(fù)位凸輪使?jié)L柱復(fù)位，回到起始的位置，使?jié)L柱實(shí)現(xiàn)往復(fù)循環(huán)運(yùn)動(dòng)。在復(fù)位過程中，滾柱始終與螺母的讓位槽處嚙合。標(biāo)準(zhǔn)式行星滾柱絲杠副是將空間運(yùn)動(dòng)等效為行星齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的平面機(jī)構(gòu)[13]。

循環(huán)式行星滾柱絲杠副則是在標(biāo)準(zhǔn)式行星滾柱絲杠副的基礎(chǔ)上進(jìn)行演化，絲杠1視為太陽輪，滾柱2視為行星輪，螺母3視為中心輪，保持架H視為行星架，復(fù)位凸輪4與螺母3固定。

圖2 循環(huán)式行星滾柱絲杠副平面機(jī)構(gòu)簡圖

2 循環(huán)式行星滾柱絲杠副的自由度計(jì)算

為了分析循環(huán)式行星滾柱絲杠副的空間運(yùn)動(dòng)規(guī)律，特進(jìn)行自由度驗(yàn)算?？臻g機(jī)構(gòu)的自由度計(jì)算一直缺少準(zhǔn)確公式，而運(yùn)用約束螺旋理論[14]定義這些約束能夠更加準(zhǔn)確的分析自由度，提出了修正的Grübler-Kutzbach 公式。通過修正的 Grübler-Kutzbach 公式計(jì)算循環(huán)式行星滾柱絲杠副空間自由度，從空間機(jī)構(gòu)學(xué)角度驗(yàn)證該機(jī)構(gòu)是否具有確定的相對運(yùn)動(dòng)。

2.1 基于約束螺旋理論的自由度計(jì)算

2.1.1 修正的G-K公式

通過修正的G-K公式[15]進(jìn)行計(jì)算，確定冗余約束和局部自由度，可以求得循環(huán)式行星滾柱絲杠副的自由度。

式中，M為機(jī)構(gòu)的自由度，d為機(jī)構(gòu)的階數(shù)，n為機(jī)構(gòu)中的構(gòu)件數(shù)（包括機(jī)架），g為運(yùn)動(dòng)副的個(gè)數(shù)，fi為第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副的自由度，v為冗余約束的個(gè)數(shù)，ζ為機(jī)構(gòu)中的局部自由度。

2.1.2 空間自由度計(jì)算方法

1）建立Plücker坐標(biāo)；

2）依次將每個(gè)運(yùn)動(dòng)副具有的自由度表示為對應(yīng)的運(yùn)動(dòng)旋量＄i；

3）將運(yùn)動(dòng)旋量＄i整理為運(yùn)動(dòng)旋量系A(chǔ)；

4）對運(yùn)動(dòng)旋量系A(chǔ)求反螺旋，求解得到約束反螺旋系B，反螺旋系B的秩就是該空間機(jī)構(gòu)的公共約束數(shù)；

5）判斷該空間機(jī)構(gòu)是否存在冗余約束、局部自由度；

6）代入修正的G-K公式求解。

本文通過建立循環(huán)式行星滾柱絲杠副的空間簡圖，基于約束螺旋理論，通過以上的方法計(jì)算和分析循環(huán)式行星滾柱絲杠副的自由度。

2.2 循環(huán)式行星滾柱絲杠副的空間自由度分析

循環(huán)式行星滾柱絲杠副中復(fù)位凸輪除了充當(dāng)擋圈的作用，還有使?jié)L柱回程的作用，復(fù)位凸輪固定在螺母內(nèi)，循環(huán)式行星滾柱絲杠副空間機(jī)構(gòu)簡圖如圖3所示。

圖3 循環(huán)式行星滾柱絲杠副空間簡圖

因?yàn)闉樾行菨L柱絲杠對稱布置，簡化計(jì)算機(jī)構(gòu)簡圖為單滾柱、單復(fù)位凸輪的情況，如圖4所示，電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)絲杠旋轉(zhuǎn)，絲杠軸線方向?yàn)閜lücker坐標(biāo)軸的z方向。

圖4 循環(huán)式行星滾柱絲杠副空間部分圖

其中各元件對應(yīng)的運(yùn)動(dòng)旋量系A(chǔ)的坐標(biāo)矢量表示如下：

螺母—保持架 ＄1=（0 0 1;p10 0）

滾柱—保持架 ＄2=（0 0 1;p20 0）

螺母—滾柱 ＄3=（0 0 1;p3q3r3）

滾柱—凸輪 ＄4=（0 0 1;p4q4r4）

絲杠—滾柱 ＄5=（0 0 1;0 0 r5）

絲杠—機(jī)架 ＄6=（0 0 1;0 0 r6）

螺母—機(jī)架 ＄7=（0 0 1;p70 r7）

其中，pi和ri為不同的實(shí)數(shù)，這個(gè)運(yùn)動(dòng)旋量系中的5個(gè)旋量坐標(biāo)線性無關(guān)，觀察這個(gè)機(jī)構(gòu)，求取各個(gè)分支的約束螺旋系，約束螺旋系B為：

＄r11=(0 0 0;1 0 0)

＄r12=(0 0 0;0 1 0)

這兩個(gè)約束力偶有2個(gè)公共反螺旋，即機(jī)構(gòu)有2個(gè)公共約束，則λ＝2，而d=6-λ=4。該機(jī)構(gòu)不存在冗余約束，ν＝0。該機(jī)構(gòu)也不存在局部自由度，ζ＝0。

將以上數(shù)值代入如式(1)所示的修正G-K公式，求得自由度為：

得到循環(huán)式滾柱絲杠副的自由度為1。這與實(shí)際運(yùn)動(dòng)相符，即絲杠的轉(zhuǎn)動(dòng)帶動(dòng)滾柱做行星運(yùn)動(dòng)，滾柱的行星運(yùn)動(dòng)最終轉(zhuǎn)換為螺母的直線平動(dòng)，驗(yàn)證了循環(huán)式行星滾柱絲杠副具有確定的相對運(yùn)動(dòng)。

3 循環(huán)式行星滾柱絲杠副的運(yùn)動(dòng)分析及導(dǎo)程計(jì)算

在循環(huán)式行星滾柱絲杠副運(yùn)動(dòng)過程中，絲杠轉(zhuǎn)動(dòng)，滾柱繞著絲杠公轉(zhuǎn)以及繞著自身軸線自轉(zhuǎn)，滾柱帶動(dòng)螺母沿著軸線方向移動(dòng)，由于螺母周向固定，螺母只沿軸線方向移動(dòng)不轉(zhuǎn)動(dòng)。

首先分析循環(huán)式行星滾柱絲杠副各構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)關(guān)系，絲杠和螺母的旋向均為右旋，如圖5所示，點(diǎn)O為滾柱的中心，點(diǎn)Os為絲杠和螺母的中心。rs、rR、rN分別為絲杠、滾柱、螺母的螺紋中徑的半徑。點(diǎn)B為滾柱和螺母的嚙合點(diǎn)，點(diǎn)A為滾柱和絲杠的公共嚙合點(diǎn)。絲杠以ws的角速度逆時(shí)針公轉(zhuǎn)，絲杠通過摩擦帶動(dòng)滾柱以角速度wr自轉(zhuǎn)，以角速度wR公轉(zhuǎn)。

圖5 循環(huán)式行星滾柱絲杠副的運(yùn)動(dòng)簡圖

忽略滑動(dòng)的存在，螺母由于周向固定，滾柱和螺母之間的運(yùn)動(dòng)為純滾動(dòng)，接觸點(diǎn)B處是絕對瞬心點(diǎn)。而滾柱和絲杠接觸點(diǎn)A處速度相等，接觸點(diǎn)A的速度可以表示為：

由圖5幾何關(guān)系可知：

式中：OB=rR，AB=2rR。

結(jié)合式(3)、式(4)有：

滾柱中心點(diǎn)的速度vO可以表示為滾柱公轉(zhuǎn)半徑與滾柱公轉(zhuǎn)角速度的乘積：

由于接觸點(diǎn)B是絕對瞬心點(diǎn)，可表示為滾柱繞瞬心點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，所以vO可以表示為：

則滾柱自轉(zhuǎn)角速度wr為：

結(jié)合式(5)和式(6)，滾柱的公轉(zhuǎn)角速度為：

由式(9)可知，滾柱的自轉(zhuǎn)和絲杠的公轉(zhuǎn)方向相反，當(dāng)右旋絲杠逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)時(shí)，滾柱順時(shí)針方向自轉(zhuǎn)，但由于滾柱為無螺旋升角的環(huán)槽狀，其自轉(zhuǎn)不會(huì)改變自身相對于絲杠螺旋線的位置，不影響絲杠和滾柱的相對位置。同時(shí)，滾柱逆時(shí)針公轉(zhuǎn)與絲杠的轉(zhuǎn)動(dòng)方向相同。

則螺母沿軸線的移動(dòng)速度v為：

式中，PS為絲杠的導(dǎo)程。

循環(huán)式行星滾柱絲杠副的實(shí)際導(dǎo)程P為：

結(jié)合式(9)、式(10)和式(11)有：

由式(12)可得循環(huán)式行星滾柱絲杠副的實(shí)際導(dǎo)程P小于絲杠的導(dǎo)程PS。在實(shí)際工作情況下，由于滾柱無螺旋升角，絲杠與滾柱在接觸位置會(huì)產(chǎn)生相對滑移，實(shí)際導(dǎo)程大小處于P和PS之間。因此，循環(huán)式行星滾柱絲杠副在工作時(shí)，必須事先施加足夠的預(yù)緊力，為接觸區(qū)域提供足夠的摩擦力，盡可能的避免明顯的滑動(dòng)現(xiàn)象發(fā)生，以提高循環(huán)式行星滾柱絲杠副的可靠性。

4 循環(huán)式行星滾柱絲杠副的運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真

4.1 循環(huán)式行星滾柱絲杠副的三維模型及處理

基于ADAMS軟件，將裝配好的循環(huán)式行星滾柱絲杠副三維模型導(dǎo)入ADAMS軟件，循環(huán)式行星滾柱絲杠副的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示，之后修改材料屬性，添加運(yùn)動(dòng)副，得到的運(yùn)動(dòng)副模型如圖5所示。在主動(dòng)件絲杠上添加驅(qū)動(dòng)，確定其運(yùn)動(dòng)規(guī)律，設(shè)置運(yùn)動(dòng)時(shí)長5s，步數(shù)設(shè)置為2500步，模擬循環(huán)式行星滾柱絲杠副的實(shí)際工作情況。

圖5 循環(huán)式行星滾柱絲杠副的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

表1 循環(huán)式行星滾柱絲杠副的結(jié)構(gòu)參數(shù)

4.2 仿真結(jié)果與分析

1）取一個(gè)滾柱為例說明循環(huán)式行星滾柱絲杠副運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真中滾柱的仿真結(jié)果，圖6分為滾柱在x、y軸上的位移曲線圖，由圖可知，滾柱在x、y軸方向進(jìn)行周期性旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，可以從圖6中得到曲線的波峰和波谷之間的距離得到滾柱繞絲杠的公轉(zhuǎn)直徑為30.5mm，圖7為滾柱在和z軸上位移曲線圖，滾柱在z軸方向自轉(zhuǎn)一周是1mm，得到滾柱繞絲杠軸線做公轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的同時(shí)繞自身軸線自轉(zhuǎn)，這個(gè)結(jié)果與理論設(shè)計(jì)值一致。

圖6 滾柱在x、y軸上位移曲線圖

圖7 滾柱在z軸上位移曲線圖

如圖8所示為滾柱在x、y軸方向上的速度曲線圖，曲線圖表明滾柱在在x、y軸方向速度呈周期性變化，與位移曲線圖所得出的滾柱在x、y軸方向做周期性運(yùn)動(dòng)結(jié)果一致。如圖9所示，滾柱在z軸方向上以恒定速度值運(yùn)動(dòng)，表明滾柱在z軸方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)。

圖8 滾柱在x、y軸上速度曲線圖

圖9 滾柱在z軸上速度曲線圖

2）絲杠在x、y軸和z軸上的位移曲線圖如圖10所示，由圖可知，絲杠在x、y軸位移為0，在z軸方向上的位移值為恒定值，所以絲杠在x、y軸和z軸方向上相對位移。

圖10 絲杠在x、y軸和z軸上位移曲線圖

由圖11可知絲杠在x、y軸的速度為周期運(yùn)動(dòng)，由圖12可知絲桿的角速度值恒定不變，表明絲杠繞自身軸線方向做回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。

圖11 絲杠在x、y軸和z軸上速度曲線圖

圖12 絲杠角速度曲線圖

3）螺母在x軸、y軸和z軸上的位移曲線圖如圖13所示，由圖可知，螺母在x、y軸相對位移值恒為0，螺母在z軸方向上的位移曲線與滾柱在z軸方向上的位移曲線平行，說明螺母與滾柱在z軸方向運(yùn)動(dòng)狀態(tài)一致。

圖13 螺母在x軸、y軸和z軸上位移曲線圖

螺母在x軸、y軸和z軸上的速度曲線圖如圖14所示，由圖可知，螺母在x、y軸方向速度恒為0，螺母在z軸方向的速度為恒定值，表明螺母的運(yùn)動(dòng)沿z軸方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)。

圖14 螺母在x軸、y軸和z軸上速度曲線圖

綜上所述，基于ADAMS軟件進(jìn)行循環(huán)式行星滾柱絲杠副的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，分析了絲杠、滾柱、螺母的位移和速度曲線圖，仿真結(jié)果與工作原理一致。

5 結(jié)語

1）通過建立循環(huán)式行星滾柱絲杠副的空間機(jī)構(gòu)簡圖，基于約束螺旋理論計(jì)算，該空間機(jī)構(gòu)的輸出為沿軸線方向的自由度為1的移動(dòng)，驗(yàn)證了該機(jī)構(gòu)具有確定的相對運(yùn)動(dòng)。

2）對循環(huán)式行星滾柱絲杠副的運(yùn)動(dòng)參數(shù)與實(shí)際導(dǎo)程進(jìn)行理論分析，根據(jù)各構(gòu)件間的運(yùn)動(dòng)關(guān)系進(jìn)行理論推導(dǎo)，對循環(huán)式行星滾柱絲杠副的實(shí)際導(dǎo)程進(jìn)行了計(jì)算，得出實(shí)際工況下，循環(huán)式行星滾柱絲杠副的滾柱和絲杠在接觸區(qū)域會(huì)發(fā)生滑動(dòng)，所以要施加有效的預(yù)緊力，使絲杠和滾柱接觸區(qū)域產(chǎn)生摩擦力，減少滑動(dòng)現(xiàn)象。

3）基于ADAMS軟件進(jìn)行了循環(huán)式行星滾柱絲杠副的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，仿真結(jié)果與工作原理和運(yùn)動(dòng)學(xué)理論分析相符，驗(yàn)證了循環(huán)式行星滾柱絲杠副工作原理的合理性。