楊成永 ，馬文輝 ，費(fèi) 騰 ，韓薛果 ，程 霖

（北京交通大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，北京 100044）

盾構(gòu)隧道、地下管線等地埋構(gòu)件一般采用彈性地基梁的方法分析其變形和內(nèi)力.但盾構(gòu)隧道與其他地埋構(gòu)件相比，有兩個不同點(diǎn)：一是盾構(gòu)隧道由于其圓環(huán)的截面形式及環(huán)縫的存在，其剪切剛度比彎曲剛度小很多，因此剪切變形不可忽略；二是盾構(gòu)隧道在修建時，為了環(huán)間防水的需要，環(huán)縫被擠緊，存在軸向受壓的裝配力[1].本文探究了在剪切變形及軸向荷載影響下盾構(gòu)隧道縱向變形的計算方法及縱向變形的規(guī)律.

剪切變形可采用Timoshenko梁理論進(jìn)行處理.隧道在橫向力作用下將產(chǎn)生彎曲變形wb(x) 和剪切變形ws(x) ，總變形w(x) 為兩者之和[2].

Timoshenko梁理論認(rèn)為，剪切變形只是使梁產(chǎn)生撓度，不產(chǎn)生內(nèi)力；彎曲變形和剪切變形分別滿足不同的微分方程；彎曲變形和剪切變形需要分開進(jìn)行計算.

Wu等[3-4]考慮剪切效應(yīng)探討了盾構(gòu)隧道的變形問題.他們的方法是按總變形建立控制微分方程.這樣做需要對剪切變形（撓度）求高于二階的導(dǎo)數(shù).由于剪切變形的二階導(dǎo)數(shù)是荷載集度，其三階及四階導(dǎo)數(shù)缺乏明確的物理意義.另外，當(dāng)隧道不是無限長而是有限長時，端部條件需要同時滿足彎曲變形和剪切變形的要求.

Hetenyi[5]研究過梁在其端部承受軸向拉力的情況，楊成永等[6]探討了撓曲變形產(chǎn)生的軸力對地下管線變形的影響.他們處理軸力的方法均是在控制微分方程中增加了軸力項，并且得到的微分方程是一致的.在小變形情況下，撓曲變形軸力可以忽略.

本文分別列出了彎曲變形和剪切變形遵從的微分方程，討論了右端荷載的形式，然后考慮剪切變形所產(chǎn)生的那部分地基反力，建立了彎曲變形的控制微分方程.按照剪力的表達(dá)式，推導(dǎo)了剪切變形的計算公式；采用帶補(bǔ)充項的傅立葉級數(shù)為彎曲變形的展開式，得到了求解彎曲變形傅立葉系數(shù)及端部轉(zhuǎn)角和剪力的方程組.給出了求解撓曲變形軸力的迭代步驟.通過本文的傅立葉解與既有理論解的對比，驗(yàn)證了級數(shù)解的正確性.最后采用本文方法計算分析了盾構(gòu)隧道縱向變形的規(guī)律.

1 隧道變形的控制微分方程

1.1 基本方程

1.1.1 彎曲變形

考慮軸力的彈性地基梁的彎曲變形撓曲線微分方程[5-6]為

式中：E為隧道的彈性模量，kPa；I為隧道橫截面的慣性矩，m4；wb(x)為彎曲變形量；D為隧道的外徑，m；K為地基系數(shù)，kPa/m；q(x)為作用在隧道上的分布荷載（不包含地基反力），kPa，向上為正；Na為盾構(gòu)隧道由于裝配產(chǎn)生的軸力，kN，軸力以拉為正；Nd為由于隧道撓曲變形產(chǎn)生的軸力，kN；x為沿隧道軸線的坐標(biāo)（中點(diǎn)處x= 0），m.

根據(jù)彎曲變形計算彎矩M（x）及剪力Q（x），分別如式（2）、（3）.

1.1.2 剪切變形

彈性地基梁的剪切變形遵從的撓曲線微分方程[2]為

式中：η為Timoshenko梁的剪切系數(shù)；G為隧道的剪切模量，kPa；A為隧道的截面面積，m2；ws(x)為剪切變形.

不同類型截面Timoshenko梁的剪切系數(shù)[7-8]為

式中：m=d/D，d為圓環(huán)內(nèi)徑，m；v為泊松比.

由式（4）可得剪切變形為

1.2 右端荷載

盾構(gòu)隧道主要承受由于地層不均勻、地層固結(jié)或近接施工產(chǎn)生的土層位移荷載，但為了本文方法具有更廣泛的實(shí)用性，還考慮隧道承受滿布均布荷載、對稱的集中力及對稱的局部均布荷載作用，如圖1.圖中：x0為集中力P作用的位置；x1為局部均布荷載的起始位置；c為局部均布荷載的分布寬度；S0為土層在沉降槽中點(diǎn)處（x= 0）的最大沉降，向上為正；i為土層沉降槽半寬，即沉降曲線反彎點(diǎn)距x=0處的水平距離；L為計算范圍的半寬.則式（1）中的右端荷載可寫為

圖1 盾構(gòu)隧道上的作用荷載及其沉降示意Fig.1 Schematic of loads on a shield tunnel and its deflection

式中：S(x)為土層沉降，m，向上為正；q0為滿布均布荷載，kN/m；q1為局部均布荷載，kN/m；荷載均以向上為正.

式（7）中集中力有兩個，局部均布力有兩處，均呈對稱分布.

為了進(jìn)行級數(shù)法求解，需要在式（7）中引入脈沖函數(shù)和階梯函數(shù)，如式(8).

式中：δ(x)為脈沖函數(shù)，如式（9）；H(x)為 Heaviside階梯函數(shù)，如式（10）.

由式（9）和式（10）可知：當(dāng)令x0= 0 時，可得到作用在沉降槽中央的大小為2P的集中荷載；當(dāng)令x1= 0時，就得到作用在沉降槽中央的分布范圍為2c的局部均布荷載.

式（8）中的土層沉降一般服從正態(tài)曲線，即

當(dāng)土層位移荷載、集中荷載和局部均布荷載不對稱時，計算公式將有不同，但不存在數(shù)學(xué)困難.

1.3 考慮剪切變形影響的控制微分方程

在存在有彈性地基時，剪切變形將產(chǎn)生相應(yīng)的地基反力.考慮剪切變形引起的地基反力后，式（1）中右端荷載將增加一項 -KDws(x)，負(fù)號表示地基反力與隧道剪切變形的方向相反.結(jié)合式（1）和式（6）得式（12）.

將式（3）代入式（12）中的積分項，將式（8）代入式（12）中的右端第一項，得考慮軸力和剪切變形影響的彈性地基上盾構(gòu)隧道的彎曲變形的撓曲線微分方程為

2 傅立葉級數(shù)求解

2.1 函數(shù)的級數(shù)展式

為了使問題得到簡化，將式（13）中的Nd作為一個待求的常量，即用平均軸力（Ndmean）代替Nd.為了對式（13）進(jìn)行級數(shù)求解，需要把式（13）和式（8）中的wb(x)、S(x)、δ(x)、H(x)展開成三角傅立葉級數(shù).由于對稱，可分別展成余弦級數(shù).

為了能同時適應(yīng)有限長隧道和無限長隧道兩種情況，wb(x)的級數(shù)展開采用在范圍[-L，L]上的帶補(bǔ)充項的余弦傅立葉級數(shù)[9]為

式中：a0～an均為待求的傅立葉級數(shù)系數(shù)；θ0為隧道兩端的轉(zhuǎn)角，rad；Q0為隧道兩端處的剪力，kN；an、θ0和Q0均是待求量；C(x)、D(x)分別如式（15）、（16）.

當(dāng)θ0和Q0均為 0 時，對應(yīng)無限長隧道的情況，此時式（14）已滿足兩端轉(zhuǎn)角為0及剪力為0的邊界條件，并且由于對稱，中點(diǎn)的轉(zhuǎn)角及剪力也為0；當(dāng)θ0或Q0不為 0時，對應(yīng)有限長隧道的情況；θ0為0而Q0不為0時，對應(yīng)兩端固支的情況；θ0不為0而Q0為0時，對應(yīng)兩端自由的情況；θ0及Q0均不為0時，對應(yīng)兩端簡支的情況.

級數(shù)求解中補(bǔ)充項也需要展開成余弦傅立葉級數(shù).

C(x)的級數(shù)展開為

D(x)的級數(shù)展開為

式（14）按C(x)和D(x)的級數(shù)展開式得到的各階導(dǎo)數(shù)為

S(x) 在[-L，L]上的余弦傅立葉級數(shù)展開為

式中：s0和sn均為S（x）的傅立葉級數(shù)系數(shù).

在計算范圍較大，如L取不小于3i時，利用式（11）有

若梁的長度較短，并在該短梁上要施加土層荷載，則式（28）、（29）只能采用直接積分的方法計算.

δ(x)的傅立葉級數(shù)展開[9]為

H(x)的傅立葉級數(shù)展開為

2.2 剪切變形的計算公式

將式（15）、（16）代入式（14），求三階導(dǎo)數(shù)后代入式（3），再代入式（6），得

2.3 方程組及相關(guān)變量計算

將式（17）、（20）代入式（14），然后把式（14）、式（24）、（26）、（27）、（30）、（33）代入式（13），比較常數(shù)項及三角函數(shù)的系數(shù)，得到求解式（14）中級數(shù)系數(shù)及待求量的方程組為

式（37）、（38）中有N+1個方程，N+4個未知量：a0及an、端部轉(zhuǎn)角θ0及剪力Q0、平均撓曲變形軸力Ndmean.

對端部轉(zhuǎn)角θ0，當(dāng)為無限長隧道和兩端固支的有限長隧道，θ0= 0；對兩端簡支或自由的有限長隧道，可利用隧道端部彎矩為0的條件增加一個補(bǔ)充方程.將式（15）、（16）代入式（14）并求二階導(dǎo)數(shù)，令其在x= ±L處等于 0，有

對端部剪力Q0，當(dāng)為無限長隧道和兩端自由的有限長隧道，Q0= 0；對兩端簡支或固支的有限長隧道，可根據(jù)端部位移為0的條件來增加另一個補(bǔ)充方程.令式（14）在x= ±L處等于 0，有

Ndmean需要采用迭代法進(jìn)行計算.

2.4 撓曲變形軸力的迭代過程

式（37）、（38）中未知量Ndmean的迭代過程如下：

1）按式（18）、（19）計算c0和cn，按式（21）、式（22）計算d0和dn，按式（28）、（29）計算s0和sn，按式（31）、（32）計算δ0和δn，按式（34）、（35）計算H0和Hn.

3）根據(jù)不同類型的梁及梁的不同支承條件，按式（37）、（38）、（39）、（40）組成方程組計算a0、an及θ0和Q0.

4）根據(jù)a0、an、θ0和Q0按式（14）通過數(shù)值積分計算梁的半弧長L(j)，然后計算撓曲變形產(chǎn)生的平均軸力為

6）按式（14）計算彎曲變形產(chǎn)生的撓度.按式（36）計算剪切變形產(chǎn)生的撓度；兩者相加得總撓度.

7）按式（2）計算彎矩M（x）；按式（3）計算剪力Q（x）.

其中關(guān)于撓度w（x）的二階及三階導(dǎo)數(shù)可以分別按式（24）、（25）計算，也可按式（42）、（43）計算.

至此，若與隧道有關(guān)的參數(shù)D、d、E、v、G，以及與荷載有關(guān)的參數(shù)K、S0、i、P、q0、q1已知，則可計算隧道的沉降和內(nèi)力.

不難理解，上述的級數(shù)解力學(xué)模型可以進(jìn)行多種情況的簡化：若不考慮剪切變形，則在前述的公式中去掉包含的項；若不考慮裝配軸力，則去掉包含Na的項；若不考慮撓曲變形軸力，則去掉包含Nd及Ndmean的項，求解過程也無需進(jìn)行迭代；若沒有土層位移荷載、集中力或均布荷載，則分別去掉包含S0及b0和bn、P、q0、q1的項.若不考慮彈性地基，則去掉包含K及KD的項.

3 計算與分析

3.1 計算數(shù)據(jù)

后續(xù)計算中用到的關(guān)于盾構(gòu)隧道、土層及荷載的計算參數(shù)如下：

盾構(gòu)隧道L= 62 m，D= 6.2 m；無限長梁時，取L= 2.5 × 62 m，等效抗彎剛度EI= 8 × 107kN·m2，等效抗剪剛度ηGA= 4 × 106N，K= 1 000 kPa/m；P=-1 000 kN （x0= 0）；q0= -50 kN/m；q1= -100 kN/m，分布范圍 10 m （x1= 0，c= 5 m）；Na= -20 MN.

土層位移荷載取土層沉降參數(shù)：最大沉降S0=-10 mm，沉降槽半寬i= 6 m.

計算中級數(shù)取200項.后面第3.2節(jié)～3.4節(jié)中，未特別指明的參數(shù)，均采用本節(jié)所列數(shù)值.

3.2 模型驗(yàn)證

采用普通梁及彈性地基梁的解析解來驗(yàn)證本文級數(shù)解的正確性.

選取無彈性地基和有彈性地基各4個算例進(jìn)行計算，分別列于表1、2.表中：Mc、wc分別為中點(diǎn)彎矩及撓度；wd為端點(diǎn)撓度.

表1 無彈性地基時解析解與傅立葉級數(shù)解的計算結(jié)果Tab.1 Analytical and Fourier series solutions for an ordinary beam

從表1和表2的對比計算可以看出：

表2 有彈性地基時解析解與傅立葉級數(shù)解的計算結(jié)果Tab.2 Analytical and Fourier series solutions for a beam on elastic foundation

1）級數(shù)解在有無彈性地基、考慮和不考慮剪切變形及軸力各種情況下，均與理論解吻合很好.

2）級數(shù)解與理論解，在滿布均布荷載時，計算結(jié)果完全相同；在局部均布荷載時，前四位有效數(shù)字相同；在集中荷載時，區(qū)別最大，最大相對誤差發(fā)生在例7的彎矩，為1.03%.造成局部均布荷載及集中荷載時有差異的原因是采用階梯函數(shù)及脈沖函數(shù)來模擬荷載分布形式的緣故.

3.3 盾構(gòu)隧道剪切變形占總變形的比例

盾構(gòu)隧道剪切變形的大小與其截面形式、端承條件、荷載形式、長高比以及有無彈性地基有關(guān).

3.3.1 截面形式

關(guān)于截面形式對剪切變形的影響，可根據(jù)式（5）的剪切系數(shù)及表1中Timoshenko梁的撓度式進(jìn)行對比計算.不考慮彈性地基，也不考慮環(huán)縫的存在.隧道的抗彎剛度及剪切剛度根據(jù)截面尺寸和彈性模量與剪切模量進(jìn)行計算.取隧道內(nèi)徑d= 5.5 m；E=3.45 × 107kPa，v= 0.2，其他參數(shù)（l、D、P及q0）仍按第3.1節(jié)中取值，結(jié)果見表3.

表3 截面形式對比計算結(jié)果Tab.3 Comparison between circular and annular cross sections

由表3可以看出：具有空心圓環(huán)斷面的盾構(gòu)隧道，即使不考慮環(huán)縫的存在，其剪切變形占總變形的比例也比實(shí)心梁構(gòu)件大許多；圓環(huán)截面算例2是圓截面算例1的2.9倍，算例4是算例3的2.6倍.

3.3.2 端承條件、荷載形式及長高比

盾構(gòu)隧道實(shí)為彈性地基構(gòu)件并主要承受土層位移荷載.為分析端承條件、荷載形式及長高比情況下盾構(gòu)隧道剪切變形的大小，按不同支承條件（兩端自由、兩端簡支、兩端固支、無限長梁）、不同荷載形式（滿布均布荷載、集中荷載、土層位移荷載）及不同長高比（10∶1、20∶1、30∶1）計算隧道的彎曲變形和剪切變形.長高比10∶1是按約10倍的沉降槽半寬確定的；長高比20∶1、30∶1是用于考查隨計算范圍的擴(kuò)大，有限長隧道的計算結(jié)果與無限長隧道間的差異.具體的計算結(jié)果列于表4.

從表4可以看出：

1）不同支承條件間進(jìn)行比較可知，兩端固支時剪切變形在總變形中的占比最大，其他支承條件（兩端自由、兩端簡支、無限長隧道）時該占比小并且較為接近.

2）不同荷載形式間進(jìn)行比較可知，對兩端自由、兩端簡支、無限長隧道，荷載在跨中的集中度越大剪切變形的占比越高.

但在兩端固支時，集中荷載和滿布均布荷載時剪切變形的占比較大并且兩者數(shù)值接近；在中部有局部荷載（正態(tài)分布的土層位移荷載）時，剪切變形的占比較小.這一現(xiàn)象在無彈性地基時也是如此.因此，這個規(guī)律是由端部條件決定的.

3）長高比越小，剪切變形在總變形中的占比越大[2].從表4對集中荷載的計算結(jié)果來看，對兩端自由、兩端簡支隧道，當(dāng)長高比大于10后，剪切變形的占比趨于穩(wěn)定，與無限長隧道接近.對兩端固支隧道，這一比值約為15.

3.3.3 有無彈性地基

用表1中的變形數(shù)據(jù)計算剪切變形與總變形之比，列于表5.

比較表4與表5中對應(yīng)的數(shù)據(jù)可知：當(dāng)有彈性地基時，彎曲變形及剪切變形均明顯減小.但剪切變形與總變形的比例并沒有趨勢性的變化.

表4 盾構(gòu)隧道彎曲變形和剪切變形的計算結(jié)果Tab.4 Bending and shear deformations of shield tunnels

表5 無彈性地基時彎曲變形和剪切變形的計算結(jié)果Tab.5 Bending and shear deformations of a shield tunnel as an ordinary beam without elastic foundation

3.4 剪切剛度對變形和內(nèi)力的影響

針對無限長彈性地基隧道進(jìn)行計算.參照文獻(xiàn)[4]中外徑6.2 m和11.0 m盾構(gòu)隧道的等效抗剪剛度分別為 2.08 × 109N 和 3.38 × 109N，本次計算的等效抗剪剛度變化范圍取為ηGA= 8 × 109，4 × 109，2 ×109，1 × 109N.其他參數(shù)按第 3.1 節(jié)中取值.計算隧道在土層位移荷載作用下的沉降和彎矩.結(jié)果列于表6.

表6 盾構(gòu)隧道剪切剛度對變形影響的計算結(jié)果Tab.6 Influence of shear rigidity of a shield tunnel on its deformation

從表6可知彎曲變形和剪切變形呈現(xiàn)如下規(guī)律：

1）考慮剪切變形后，總撓度是增加的；

2）隨剪切剛度的降低，剪切撓度增大，其在總撓度中的占比也增大，該占比可以達(dá)到20%以上；

3）雖然總撓度是增加的，但隨剪切剛度的降低，彎曲撓度及彎矩是減小的，產(chǎn)生這一現(xiàn)象的原因，是由于剪切變形所對應(yīng)的那部分地基反力，抵消了部分外荷載所致.

3.5 裝配力對彎曲變形和彎曲內(nèi)力的影響

對無限長盾構(gòu)隧道，參照文獻(xiàn)[1]對盾構(gòu)隧道管片縱向應(yīng)力的測量結(jié)果，取Na= -10，-20，-40 MN.其他參數(shù)仍按第 3.1 節(jié)中取值.計算隧道在土層位移荷載及軸力作用下的沉降和彎矩.結(jié)果列于表7.

表7 盾構(gòu)隧道裝配軸力對變形影響的計算結(jié)果Tab.7 Influence of installation caused axial force of a shield tunnel on its deformation

由表7可知：1）隨軸力的增大，撓度和彎矩均增大；2）軸力對撓度和彎矩的影響幅度不大，一般對撓度的影響不超過2%，對彎矩的影響不超過3%.

4 結(jié)束語

本文把彎曲變形和剪切變形分開分別計算.彎曲變形和剪切變形兩者的聯(lián)系是在有彈性地基時，在彎曲變形的撓曲線微分方程中需要考慮剪切變形產(chǎn)生的地基反力.剪切變形的計算可以采用兩種方法：一是通過外部荷載（包括地基反力）；二是通過內(nèi)力（剪力）.本文采用的是較為簡單的內(nèi)力的方式.

得到如下主要結(jié)論：

1）考慮剪切變形后，總撓度有所增加，但彎曲撓度及彎矩反而有所減小.

2）剪切變形隨剪切剛度的降低而增大.

3）剪切變形占總變形最少可達(dá)20%.這么大的剪切變形一是由截面形式（圓環(huán)截面）貢獻(xiàn)的，二是由低的剪切剛度造成的.這里要注意，如果環(huán)縫的存在引起抗彎剛度和抗剪剛度同等幅度地降低，是不會增大剪切變形的占比的.

4）盾構(gòu)隧道所受的軸向力對其豎向撓度和彎矩的影響較小，可以忽略.

本文所建立的計算方法適應(yīng)于長隧道和短隧道、有彈性地基和無彈性地基，并可考慮多種荷載形式.但所討論的問題是對稱的，對非對稱問題，可采用不同的補(bǔ)充項及正弦級數(shù)展開解決，公式要復(fù)雜一些，但不存在數(shù)學(xué)困難.