王開元 魏孝龍 龔國斌 毛一葳

（南京大學物理學院，江蘇南京 210093）

0. 引言

弗蘭克-赫茲實驗是經典的近代物理實驗之一，該實驗證明了原子能級的存在，為玻爾的原子模型提供了直接證據，但是，一般的弗蘭克-赫茲實驗中，受到測量電路的限制，只能測量出原子的第一激發(fā)電位。除此之外，實驗測得氬原子的第一激發(fā)電位為11.69V，與資料中13.1V相比誤差較大。對圖像進一步的分析與認識也相對缺乏。我們嘗試通過改進的電路測量原子的其他激發(fā)態(tài)。本文討論了改進的測量電路的原理和測量結果，并針對弗蘭克-赫茲實驗圖像作了一些分析，提出了可以進一步研究的方向。

1. 實驗原理

根據玻爾的原子模型，電子只能處在一些分立的軌道上，這種穩(wěn)定運動狀態(tài)稱為定態(tài)。每一定態(tài)對應于一定的能量，稱為能級。電子在躍遷時會以電磁波的形式吸收或放出能量。由于能量是分立的，吸收或放出的光子具有特定的頻率。原子與具有一定能量的電子發(fā)生碰撞，可以分為兩種情形：若發(fā)生彈性碰撞，電子能量幾乎不變，方向改變；若發(fā)生非彈性碰撞，電子的部分或全部能量轉移給原子的電子，使其激發(fā)到高能級。

1.1 一般測量電路

一般的實驗測量電路如圖1所示。燈絲電源VF加熱燈絲，產生慢電子。第一柵極G1主要消除空間電荷對陰極電子發(fā)射的影響。VG2K在第二柵極和陰極之間建立加速場，VG2P在第二柵極和極板之間建立拒斥場。在上述測量電路中，陰極和第二柵極之間全部為電子加速和碰撞的公用區(qū)域。由于電子的加速距離遠大于其平均自由程，電子可以多次與原子發(fā)生碰撞，從而主要將原子的電子激發(fā)到第一激發(fā)能級。這為測量原子的其他激發(fā)態(tài)造成了困難。

圖1 一般測量電路

1.2 改進測量電路

為了解決以上問題，弗蘭克于1920年對實驗裝置作了改進[1]。如圖2所示，第一柵極和第二柵極用導線短接，一同接到加速電壓的正極，使得陰極和第一柵極之間建立減少碰撞的加速區(qū)，第一柵極和第二柵極之間建立等勢碰撞區(qū)。電子的加速距離變短，小于其平均自由程。改進電路把加速區(qū)和碰撞區(qū)分開，從而使電子在加速區(qū)易于獲得更高的能量，在碰撞區(qū)有更高的概率和原子發(fā)生碰撞[1-2]。

圖2 改進測量電路，在G1和G2之間可以增加調節(jié)電壓δVG

在此基礎上，為了減少碰撞區(qū)游離的慢電子和其他離子，并考慮補償電子彈性碰撞過程中損失的能量，第一柵極和第二柵極之間又增加了一個0V～1V的調節(jié)電壓δVG[3]。

2. 實驗過程與結果

本實驗的主要器材有：DH-FH-VI型弗蘭克-赫茲實驗儀、DH4507A微機型弗蘭克-赫茲實驗儀、F-H汞管、F-H氬管、計算機。

2.1 測量第一激發(fā)電位

按照圖1的方式連接實驗儀器。根據常規(guī)的實驗步驟分別對汞管和氬管進行測量，去除本底電流后得到的曲線如圖3和圖4所示。

圖3 汞原子第一激發(fā)電位測量

2.2 測量氬原子的亞能級

按照圖2的方式將氬管的第一柵極和第二柵極短接。測量得到曲線如圖5所示。選擇VF=2.3V，VG2A=7.0V的曲線，利用程序獲得極值點如圖6所示。

圖5 氬原子亞能級測量

圖6 VF= 2.3V VG2A=7.0V

2.3 測量汞原子的高激發(fā)能級

按照圖2的方式將汞管的第一柵極接到實驗儀上VG2K的正極和VG1K的負極，第二柵極接到VG2A和VG1K的正極。這里實驗儀上的VG2K實際對應汞管的VG1K，VG1K調整的是δVG。控制VG2A=1.0V，VF=1.4V，在不同溫度下得到F-H曲線如圖7所示。

圖7 汞原子高激發(fā)能級測量

結果表明，隨著管子溫度的升高，極板上的電流下降，曲線峰的數(shù)目先增加后減小。選擇T=120℃對應的曲線（見圖8）進行分析。

圖8 T=120℃下的F-H曲線

3. 分析與討論

3.1 汞原子的高激發(fā)能級

圖7顯示了多個高度不一且間距不等的峰和谷，各個峰（谷）可能是汞原子直接被激發(fā)到較高能級的結果，也可能是激發(fā)能級的疊加[3]。第一個峰與第二個峰間距為5.0V，是63P1能級?？梢郧蟮媒佑|電勢差為5.9V-5.0V=0.9V。將測量值減去接觸電勢差后，根據汞原子能級圖，嘗試不同的能級組合方式[3-4]。減去接觸電勢差的測量值和可能的組合方式列如表1所示。其中a為63P1，b為63P2，c為61P1。

表1 能級的測量值和理論值

理論值和測量值相差比較小，可以認為測得了前3個激發(fā)能級。但是這種方法是通過配湊組合的方式，從理論值倒推實際情況的，其精度不高。上表中15.2V的測量值沒有找到對應的組合方式，該測量值可能是管子內部的雜質蒸汽引起的。

3.2 氬原子的第一激發(fā)電位的修正

常規(guī)實驗的結果給出氬原子的第一激發(fā)電位為11.69V，與理論值13.1V的相對誤差為10.76%，偏差較大。該偏差出現(xiàn)的原因在于氬原子亞能級的存在[2,5]。從氬原子能級圖如圖9所示都可以看出，氬原子在基態(tài)與第一激發(fā)態(tài)之間有幾個亞穩(wěn)態(tài)。

圖9 氬原子的亞穩(wěn)態(tài)示意圖

通過程序獲取極小值點，并用三次多項式插值擬合本底電流，去除本底電流后分析單一變量對實驗結果的影響，如圖10～圖12所示。

圖10 VG1K=2.0V VG2A=7.1V

圖11 VF=2.2V VG1K= 2.0V

圖12 VF=2.2V VG2A=7.1V

從圖中可以得到：

（1）燈絲電壓越高，曲線的峰谷越明顯。

（2）拒斥電壓越高，所得的峰間距、谷間距越大，且隨著第二柵壓增大間距變化得越小。

（3）第一柵壓越小，曲線的峰谷越明顯。

但是，計算所得的結果仍與第一激發(fā)態(tài)有一定差距，因為此時測的仍然是躍遷到兩個亞能級與躍遷到第一能級的概率和[6]。兩個亞能級間距相對較小，可視為一個能級，取平均值為11.64V，不考慮原子被激發(fā)到更高能級的情況的話，可將原子被激發(fā)到亞能級和第一能級的概率分別設為x和1-x，因此概率與峰（谷）間距的關系為：

其中ΔV為峰（谷）間距。計算結果如表2所示。

由表2可知：

表2 原子激發(fā)到亞能級的概率

（1）燈絲電壓越高，電子躍遷到亞能級的概率越大。

（2）拒斥電壓越高，電子躍遷到亞能級的概率越小。因此，想要實驗結果更加接近真實的第一激發(fā)電位，應盡量選擇小的燈絲電壓和大的拒斥電壓。

3.3 F-H 曲線分析

對于以上實驗的結果，我們還從以下幾個方面進行了討論：

3.3.1 峰間距和電子平均自由程

根據理論分析，F(xiàn)-H曲線上峰（谷）的間距應該相等。常規(guī)實驗就是根據這一原理通過計算峰（谷） 間距的平均值得出原子的第一激發(fā)能。但是實際的結果顯示，汞管和氬管的曲線上峰（谷）間距隨著峰（谷）數(shù)目的增加而增大。

這一現(xiàn)象產生的原因有：（1）由于其他亞穩(wěn)態(tài)能級的存在，隨著加速電壓的增大，電子的能量升高，將原子的電子激發(fā)到能量較高的亞穩(wěn)態(tài)能級的可能性增大；（2）由于陰極發(fā)射電子，電子積聚，在兩極板間形成了“虛陰極”，相當于一個勢壘。隨著VG2K的增大，勢壘向陰極移動，逐漸消失，從而出射到管子中的電子數(shù)量增加，使得峰間距增大；（3）與非彈性碰撞的模型有關[7]。

非彈性碰撞的模型指出，若自由電子的能量小于第一激發(fā)能，發(fā)生彈性碰撞，能量近似不變。當能量達到第一激發(fā)能時，電子與原子在發(fā)生非彈性碰撞前還會再移動一段距離。移動的平均距離近似等于電子的平均自由程λ。在這段距離中電子獲得了額外的能量，如圖13所示。由于汞原子和氬原子第一激發(fā)態(tài)附近的能級多，間隔小，電子在發(fā)生非彈性碰撞時有較大的可能將原子的電子激發(fā)到較高能級，而自身失去絕大部分能量。

圖13 電子在柵極G1G2之間運動時的能量變化

若發(fā)生了n次非彈性碰撞，電子從電場中獲得的總能量為

說明峰（谷）間距與n為線性關系。作出汞管的峰間距與n的關系圖線，如圖14所示。

圖14 汞原子ΔV-n關系圖線

3.3.2 數(shù)據點分組現(xiàn)象

實驗中發(fā)現(xiàn)了一個暫無解釋的現(xiàn)象，測量得到數(shù)據點呈組狀，每隔固定幾個數(shù)據點后會出現(xiàn)電流值的突然增加或減小，如圖15所示。

圖15 電流突變現(xiàn)象

經過實驗我們發(fā)現(xiàn)，無論是汞管還是氬管均出現(xiàn)了電流突變的現(xiàn)象。改變燈絲電壓、柵極電壓和拒斥電壓均不能消除這種現(xiàn)象，因此我們考慮可能是儀器本身的問題。把萬用表切換到電壓檔，接在儀器步進電壓輸出端進行測量，我們發(fā)現(xiàn)步進電壓的變化與儀器顯示的數(shù)值不同，實際上是不均勻的。前幾個時間步長內電壓的增量不足0.1V，到一定時間后電壓的增量會突然超過0.1V，可能這就是造成電流突變的原因。但是萬用表的示數(shù)會受到其電池電量的影響，為了減小誤差可以改用數(shù)字電壓表測量。

4. 進一步探究

查閱文獻可知，第一柵極和第二柵極之間常常增加一個0V～1V的調節(jié)電壓δVG。我們嘗試將δVG變?yōu)?δVG進行實驗，在T=120℃下和T=125℃下得到的F-H曲線分別如圖16和圖17所示。

圖16 T= 120℃

圖17 T= 125℃

我們發(fā)現(xiàn)使用負的δVG后，F(xiàn)-H圖線的分辨率有所提高。同時也出現(xiàn)了新的現(xiàn)象。在兩幅圖中， 隨著δVG絕對值的增大，曲線的峰和谷都向右移動，但是不同的峰和谷位移的距離并不相同。由于我們的實驗時間有限，這一現(xiàn)象有待進一步研究與解釋。

5. 結語

本實驗通過對傳統(tǒng)測量電路進行改進，使電子在加速區(qū)獲得更高的能量，在碰撞區(qū)有更高的概率和原子發(fā)生碰撞，從而成功地觀察到了汞原子較高激發(fā)能級和氬原子亞能級的存在。在嘗試使用負的δVG后我們發(fā)現(xiàn)圖線的峰和谷變得更加明顯，且發(fā)生不同程度的位移。具體的原理有待接下來更深入的研究。對于曲線上每隔一定的數(shù)據點電流值發(fā)生突變的問題，我們遺憾地發(fā)現(xiàn)可能是儀器本身的因素造成了該異?，F(xiàn)象。可以嘗試外接電壓表測量，以實際電壓值為x軸重新作圖，觀察電流突變現(xiàn)象是否消失。