繆炳榮，彭齊明，楊樹旺，雒耀祥，裘楊喆

(西南交通大學 牽引動力國家重點實驗室，四川 成都 610031)

0 引 言

由于材料疲勞、老化、過度變形以及超載和惡劣的環(huán)境條件等原因，軌道車輛結構不可避免地會累積損傷，最終嚴重危害軌道車輛安全運行和壽命，造成人員和基礎設施重大損失。因此，對結構損傷進行早期檢測，及時對結構損傷部位進行維修，以確保結構安全。

結構系統(tǒng)中的損傷會引起模態(tài)參數(shù)變化，如固有頻率、振型、振型曲率、模態(tài)應變能、頻響函數(shù)等，這些參數(shù)可作為判斷損傷狀態(tài)的信號，其中固有頻率和振型在損傷識別中應用最廣。李旭娟等[1]利用振型和離散小波變換對不同邊界條件下的板進行損傷識別研究，用對角細節(jié)分量小波系數(shù)成功定位和量化損傷；殷紅等[2]利用頻響函數(shù)進行損傷識別，并對傳感器布置優(yōu)化進行了研究；夏志鵬等[3]利用交叉模態(tài)應變能和Tikhonov正則化識別一海洋平臺結構損傷；蔣舸等[4]利用結構殘余力和最小秩修正法來識別3D桁架結構損傷?？紤]到結構損傷識別可看作是一個優(yōu)化問題，近年來智能優(yōu)化技術在結構損傷識別研究中得到了關注，如遺傳算法(GA)、粒子群算法(PSO)、差分進化算法(DE)、蟻獅優(yōu)化算法(ALO)等智能優(yōu)化算法。張曉東[5]利用遺傳算法和僅含固有頻率的目標函數(shù)準確識別了損傷程度較大的簡支梁單處損傷。N.B.GUEDRIA[6]提出了一種改進的DE算法，并對板和層合板進行損傷識別分析；D.C.DU等[7]提出了一種多階段優(yōu)化識別方法，提高了收斂速度和識別精度；D.C.DU等[8]利用Jaya算法研究了不同目標函數(shù)下結構損傷識別效果；M.MISHRA等[9]利用ALO算法識別結構損傷，并與改進的PSO算法識別效果進行對比，結果表明ALO算法識別結果更加可靠；CHEN Zepeng等[10]采用PSO和Nelder-Mead相結合方法，大大提高了結構損傷識別精度；V.D.TRUNG等[11]提出了一種基于模態(tài)應變能和改進DE算法的兩階段結構損傷識別方法；H.R.E.H.BOUCHEKARA[12]提出了一種新的智能優(yōu)化算法，即最有價值球員算法(MVPA)，MVPA顯著特點是需要確定的參數(shù)少，收斂速度更快、精度更高；J.MILAD等[13]采用MVPA及其他優(yōu)化算法進行結構損傷識別，研究結果表明MVPA識別效果明顯優(yōu)于其他優(yōu)化算法。雖然這些方法都取得了比較滿意的識別效果，但它們均未考慮不確定性因素對識別結果的影響。不確定性因素包括計算模型參數(shù)的不確定性和模型誤差；前者是結構進行數(shù)學建模所造成的，其參數(shù)可能會受到一定程度的統(tǒng)計變化；后者為建模過程可能會引入的建模誤差[14]。

筆者基于MVPA，利用結構振型和固有頻率構建目標函數(shù)來進行結構損傷識別。結構損傷在物理空間上具有稀疏性，即結構少量單元或子結構出現(xiàn)損傷，通過在目標函數(shù)中引入罰函數(shù)以加強求解結果精度。以一簡支梁和桁架結構為例，考慮不確定性因素和噪聲影響，對比不同目標函數(shù)下的損傷識別效果。研究結果表明：即使在不確定性因素和高噪聲水平影響下，筆者的方法也具有準確可靠的識別效果。

1 最有價值球員算法(MVPA)

MVPA是一種求解優(yōu)化問題的新型基于元啟發(fā)式群體算法，其靈感來自于國際籃球錦標賽，具有簡單易實現(xiàn)、控制參數(shù)較傳統(tǒng)算法少、魯棒性強、運行高效等優(yōu)點。其核心思想是通過模擬運動員間以團隊和個人形式的競爭來獲得優(yōu)化問題的最優(yōu)解。通過團隊成員隨機組成和運動員競爭后個人技能的更新實現(xiàn)全局搜索，貪婪策略和精英策略的引入提高了團隊多樣性和算法尋優(yōu)性能，加快算法收斂速度，避免陷入局部最優(yōu)。MVPA流程如圖1。

圖1 MVPA流程Fig. 1 Flow chart of MVPA

1.1 團隊形成

對于D維優(yōu)化問題，假設共有N位運動員，每位運動員擁有D項技能，即每位運動員對應著優(yōu)化問題的一個解。

xi={xi1,xi2,…,xiD}表示第i位運動員，其中：xij∈[lj,uj]為第i位運動員的第j項技能，uj和lj分別對應第j項技能的上限值和下限值。一旦運動員的數(shù)量確定，將以隨機組隊方式形成nT個團隊，如式(1)：

(1)

式中：nP1、nP2分別為團隊1、2中的運動員人數(shù)；nT1、nT2分別為團隊中人數(shù)為nP1、nP2的團隊數(shù)；N為團隊總數(shù)；Ceil為一個將實數(shù)四舍五入為最小整數(shù)的函數(shù)，故可能出現(xiàn)nP1≠nP2，這大大增強該算法的靈活性。

1.2 技能提升

團隊形成后，每個運動員將會提升自己技能。團隊i中運動員Ti技能更新計算如式(2)：

Ti=Ti+Rand(Fri-Ti)+2Rand(TMVP-Ti)

(2)

式中：Rand為[0, 1]均勻分布隨機數(shù)；Fri為團隊i中的特許運動員，即團隊i中最好或最有價值的運動員；TMVP為所有運動員中表現(xiàn)最優(yōu)異的運動員。

1.3 團隊競爭

團隊組建且技能更新完成后，假設隨機選取兩個團隊Tx和Ty進行團隊間比賽，并規(guī)定團隊間的比賽沒有平局。為確定獲勝球隊，需對給定團隊Ti的適應度進行歸一化處理，如式(3)：

Fnorm,i=Fi-min(F1,F2,…,FnT),

i=1,2,…,nT

(3)

式中：Fi和Fnorm, i分別為團隊i歸一化前后的適應度值。

團隊Tx打敗Ty的概率如式(4)：

(4)

由于不確定性因素，即使Tx比Ty有更高的獲勝概率，Ty仍有獲勝可能。故為了確定最終獲勝的團隊，將產(chǎn)生一個隨機數(shù)來決定最終獲勝者。若該隨機數(shù)大于兩隊中獲勝較大的概率，則獲勝概率低的團隊獲勝。

兩隊比賽結束后各隊運動員技能如式(5)。當團隊Tx獲勝時取“+”，團隊Ty獲勝時取“-”。

Tx=Tx±Rand×(Tx-Fry)

(5)

式中：Fry為團隊Ty中的特許運動員。

1.4 邊界限制

由于技能存在邊界限制，需對運動員xi技能作出如式(6)約束：

(6)

1.5 貪婪策略

(7)

1.6 精英主義

在此階段，第k+1次迭代更新后的所有運動員中表現(xiàn)較差的一部分將由第k次迭代后表現(xiàn)最好的一部分運動員替代，如式(8)：

(8)

2 結構損傷識別

2.1 局部損傷參數(shù)化

對于一個n自由度無阻尼結構，其特征方程表征如式(9)：

(K-λiM)φi=0

(9)

式中：K、M分別為結構整體剛度矩陣和整體質(zhì)量矩陣；λi、φi分別為結構第i階特征值及相應振型。

結構損傷將通過每個單元的剛度折減變量dj(j=1, 2,…,Nele) 來模擬結構局部損傷發(fā)生；且由于結構損傷對其質(zhì)量的影響可忽略，結構損傷情形可由式(10)表示：

(10)

式中：Kd為結構有損傷下的整體剛度矩陣；Kj為第j個單元在整體坐標下的單元剛度矩陣；dj為第j個單元的損傷因子，且dj∈(0,0.99)，其中dj=0表示第j個單元沒有發(fā)生損傷，dj=0.99表示第j個單元已經(jīng)完全損壞；Nele表示結構單元總數(shù)。

2.2 目標函數(shù)

從數(shù)學角度而言，損傷識別問題可看作是一個非線性優(yōu)化問題。優(yōu)化問題中目標函數(shù)一般定義為實際測量結構振動響應與有限元模型分析響應之間的誤差，通過最小化該誤差可定位和量化結構局部損傷。故目標函數(shù)選擇對損傷檢測過程成功與否有著廣泛影響。

傳統(tǒng)目標函數(shù)是根據(jù)固有頻率和模態(tài)保證準則(MAC)變化來定義的，記為obj1，如式(11)～式(13)：

(11)

(12)

(13)

在obj1基礎上引入罰函數(shù)，記為obj2，如式(14)～式(15)：

(14)

(15)

式中：L(d)為罰函數(shù)；M(d)為優(yōu)化識別時，當前迭代步識別結果向量中數(shù)值大于零的個數(shù)。

根據(jù)結構固有頻率和振型建立新的目標函數(shù)，記為obj3，定義如式(16)：

(16)

(17)

式中：E為期望值運算符。

在目標函數(shù)obj3基礎上同樣引入罰函數(shù)L(d)，記為obj4，定義如式(18)：

(18)

2.3 不確定性因素和噪聲影響

為更加真實的貼近工程實際，考慮不確定性因素和噪聲影響。在單元剛度參數(shù)中引入1%的變化量來模擬不確定性因素影響。為模擬噪聲影響，按式(19)對固有頻率和振型施加隨機噪聲：

γ*=γ(1+LnRn)

(19)

式中：γ*和γ分別為含噪聲和不含噪聲的模態(tài)參量；Ln為噪聲等級；Rn為隨機矩陣，矩陣內(nèi)每個數(shù)均為[-1, 1]的隨機數(shù)。

2.4 損傷識別結果誤差表示

考慮到微小損傷設定損傷值較小，即使識別結果與設定真實損傷值存在微小差異都會使得損傷指標百分比誤差(δerror)很大，因此規(guī)定其計算如式(20)：

(20)

3 數(shù)值算例

采用MVPA最小化提出的目標函數(shù)求解得出結構損傷位置和程度，并對比4種不同目標函數(shù)下的損傷識別效果，另外考慮1%不確定因素和噪聲影響。

以一簡支梁和桁架模型為數(shù)值仿真對象，取結構固有頻率和垂直方向上振型數(shù)據(jù)用于結構狀態(tài)識別[15]。筆者分別對1～6階模態(tài)數(shù)據(jù)代入驗證，發(fā)現(xiàn)這6階識別效果最佳，限于篇幅并未考慮模態(tài)階數(shù)對識別結果影響?？紤]到針對某一損傷工況，MVPA獨立運行次數(shù)與計算結果精度和計算時間有關，即運行次數(shù)越大，計算結果精度越高，但計算時間越長。綜合考慮，對每一損傷工況獨立運行10次，取其平均值作為最終識別結果，通過標準差衡量MVPA在不同目標函數(shù)下的穩(wěn)定性；標準差越小，其穩(wěn)定性更強，得到的結果更加可靠。

3.1 簡支梁模型

簡支梁有限元模型如圖2。模型參數(shù)為：彈性模量Eb=206 GPa；橫截面面積Ab=3×10-4m2；慣性矩Ib=6.25×10-10m4；密度ρb=7 800 kg/m3。梁全長0.75 m，共劃分為15個單元。圖2中：①、②、…為單元編號，1、2、…、16為節(jié)點編號。MVPA參數(shù)設置為：運動員總數(shù)N=70，團隊總數(shù)nT=7，最大迭代次數(shù)Gmax=500。簡支梁損傷工況設置如表1。

圖2 簡支梁有限元模型(單位：mm)Fig. 2 Finite element model of simply supported beam

損傷工況損傷單元@程度C13@0.05C23@0.10C33@0.20、11@0.20

在obj1～obj4這4種目標函數(shù)下，分別獨立運行10次，并取其平均值作為最終識別結果。值得注意的是，為確保識別效果具有可比性，每次獨立運行時，各目標函數(shù)中添加噪聲后的振型和固有頻率數(shù)據(jù)完全一致，其中：對固有頻率添加1%、振型添加5%的隨機噪聲。筆者以損傷工況C1和C3為例進行描述。

單處微小損傷工況C1識別結果如圖3。

圖3 簡支梁損傷工況C1識別結果Fig. 3 Identification results of damage case C1 ofthe simply supported beam

假設單元③的剛度折損量為5%，即d3=0.05。從圖3中可知：obj1～obj4均能準確定位和量化損傷；相比之下，obj1和obj2在損傷單元③處的損傷量化誤差比obj3和obj4大；此外，obj1～obj3均引入了大量損傷誤判單元，其中obj3尤為明顯，特別是在邊界單元號處出現(xiàn)嚴重誤判；從識別穩(wěn)定性而言，對微小損傷情形，各目標函數(shù)識別結果不太穩(wěn)定。

損傷單元指標d3變化曲線和各目標函數(shù)適應度值收斂曲線分別如圖4、圖5。

從圖5中看出：各目標函數(shù)的適應度值曲線分別在10、100、300和150次收斂；對應圖4中各目標函數(shù)的d3變化曲線的收斂趨勢，其中：obj1和obj2由于過早收斂，導致其識別效果不理想；而obj3和obj4在經(jīng)過更多次迭代后更加接近真實損傷值。

圖4 不同目標函數(shù)下識別損傷指標d3收斂曲線Fig. 4 Convergence curve of damage index d3 underdifferent objection functions

圖5 簡支梁損傷工況C1適應度值變化曲線Fig. 5 The fitness value variation curve of simply supported beamunder damage case C1

多處損傷工況C3識別結果如圖6。假設③、單元剛度折損量均為20%，即d3=d11=0.2。

圖6中：obj1～obj4均能定位和量化損傷，量化誤差程度上，obj1最大；obj1～obj3均引入大量誤判損傷單元信息，但誤判損傷程度均很微小，仍可看作無損單元。

圖6 簡支梁損傷工況C3識別結果Fig. 6 Identification results of damage case C3 ofthe simply supported beam

損傷單元指標d3、d11和各目標函數(shù)適應度值收斂曲線分別如圖7～圖9。從圖8中看出：各目標函數(shù)適應度值曲線分別在80、120、550和800次左右收斂。obj1和obj2同樣存在著過早收斂的問題，導致其識別精度不高；obj3和obj4雖收斂較晚，但是其收斂值更加接近真實損傷對應的適應度值。

圖7 不同目標函數(shù)下識別損傷指標d3收斂曲線Fig. 7 Convergence curve of damage index d3 underdifferent objection functions

圖8 不同目標函數(shù)下識別損傷指標d11收斂曲線Fig. 8 Convergence curve of damage index d11 underdifferent objection functions

圖9 簡支梁損傷工況C3適應度值變化曲線Fig. 9 The fitness value variation curve of simply supported beamunder damage case C3

簡支梁損傷工況C1～C3下各目標函數(shù)識別結果如表2。由表2可見：在5%噪聲水平下，obj1和obj3識別損傷誤差均小于6%；從各損傷工況識別誤差和標準差來看，obj3識別效果要優(yōu)于obj1。而分別在obj1和obj3基礎上引入罰函數(shù)后的obj2和obj4誤差分別小于3%、2%，可見罰函數(shù)的引入對識別精度有較大提升。obj4在4個目標函數(shù)中識別效果最佳，不僅定位和量化損傷能力最強，而且識別穩(wěn)定性也最高，即識別效果最可靠。

3.2 桁架模型

桁架有限元模型如圖10。模型參數(shù)：密度ρt=7 850 kg/m3；彈性模量Et=200 GPa；橫截面面積At=7.85×10-3m2。桁架共劃分為26個單元。圖10中：①、②、…為單元編號，1、2、…為節(jié)點編號。MVPA參數(shù)為：運動員總數(shù)N=70，團隊總數(shù)nT=7，最大迭代次數(shù)Gmax=300。取前6階固有頻率和垂直方向上振型用于結構狀態(tài)識別。桁架損傷工況設置如表3，分別考慮了橫桿、立桿和斜桿處損傷對識別效果影響。

表2 簡支梁損傷識別結果Table 2 Damage identification results of simply supported beam

圖10 桁架有限元模型(單位：mm)Fig. 10 Finite element model of truss

表3 桁架損傷工況Table 3 Damage cases of truss

在obj1～obj4這4種目標函數(shù)下，分別獨立運行10次取其平均值作為最終識別結果，其中：對固有頻率添加1%、振型添加3%的隨機噪聲。以損傷工況C1和C3為例進行描述。

單處損傷工況C1識別結果如圖11～圖13。假設單元②剛度折損量為5%，即d2=0.05。從圖11可知：obj1～obj4識別效果很差，無法準確定位和量化損傷，在非損傷單元處識別出大量嚴重的虛假損傷；obj1～obj3雖在單元②處的損傷識別值接近真實值，但是其穩(wěn)定性太差，表現(xiàn)為其每次識別的損傷值變化太大。

圖11 桁架損傷工況C1識別結果Fig. 11 Identification results of truss under damage case C1

圖12 不同目標函數(shù)下識別損傷指標d2收斂曲線Fig. 12 Convergence curve of damage index d2 underdifferent objection functions

圖13 桁架損傷工況C1適應度值變化曲線Fig. 13 The fitness value variation curve of truss under damagecase C1

多處損傷工況C3識別結果如圖14～圖16。從圖14、圖15可看出：obj1、obj2適應度值曲線過早收斂；obj3先振蕩后收斂；obj4一直處于振蕩過程，其損傷單元處識別損傷指標值一直處于振蕩狀態(tài)?？傮w來看，在微小損傷工況下，obj1～obj4無法達到理想的損傷識別效果。假設單元②、的剛度折損量分別為20%、30%，即d2=0.2，d18=0.3，各單元識別結果如圖14。obj1～obj4均能定位和量化損傷，其中：obj3、obj4識別效果較好；雖然obj1～obj3均引入大量微小誤判損傷單元信息，但可看作無損單元，對識別效果影響不大。損傷單元指標d2、d18和各目標函數(shù)適應度值收斂曲線分別如圖15、圖16。雖然obj2在obj1基礎上引入了罰函數(shù)來增加識別結果稀疏性，但從兩者適應度值變化曲線(圖16)上來看，obj2沒有出現(xiàn)過早收斂問題；從損傷單元指標變化曲線(圖15)看，罰函數(shù)的引入并沒有使其識別損傷值更加接近真實損傷值；而在obj3基礎上引入罰函數(shù)的obj4來說，obj4的識別效果更好，不僅在真實損傷單元處量化誤差更小，而且虛假損傷誤判信息大大減少。

圖14 桁架損傷工況C3識別結果Fig. 14 Identification results under of truss damage case C3

圖15 不同目標函數(shù)下識別損傷指標d2和d18收斂曲線Fig. 15 Convergence curve of damage index d2 and d18 underdifferent objection functions

圖16 桁架損傷工況C3適應度值變化曲線Fig. 16 The fitness value variation curve of truss under damagecase C3

桁架損傷工況C1～C4下各目標函數(shù)識別結果如表4。由表4可知：在3%噪聲水平下，除了損傷工況C1，其他損傷工況識別效果均比較好，obj1～obj4最大識別誤差分別為7.26%、9.18%、6.11%和7.81%，且均出現(xiàn)在C4中損傷程度設置較小單元處。對比obj1～obj4識別結果發(fā)現(xiàn)，罰函數(shù)的引入對obj1提升識別精度效果不明顯，甚至有時起到反作用，例如工況C4；而罰函數(shù)的引入對obj3識別結果有較大改善效果，具體體現(xiàn)在C2～C4識別效果的改善。

表4 桁架損傷識別結果Table 4 Damage identification results of truss

3.3 結果分析

在簡支梁模型和桁架模型中，MVPA在obj4下識別效果都是最好的，其次為obj3。對于微小損傷情形，在簡支梁模型中的4種目標函數(shù)下識別結果均較好，但在桁架模型中卻均失效，連損傷位置都無法準確定位。在obj1、obj2下的計算結果易陷入局部最優(yōu)，出現(xiàn)過早收斂現(xiàn)象，導致其在某些工況識別效果不太理想。在這兩種模型中，obj1～obj3識別效果中均出現(xiàn)損傷誤判現(xiàn)象。比較明顯的是：在桁架模型中，obj1、obj2對橫桿單元損傷并不是特別敏感，導致其對橫桿識別誤差比立桿和斜桿要大；而obj3、obj4沒有出現(xiàn)這種現(xiàn)象。從表2、表4識別結果來看，obj3損傷識別效果均要優(yōu)于obj1。

相較于obj1，在obj1中引入罰函數(shù)的obj2在梁模型中有時會起到提升識別精度效果，但不太明顯。而在obj3中引入罰函數(shù)的obj4總能取得比obj3好得多的損傷識別效果，這不僅大大減少了誤判信息，顯著提高了損傷識別精度，而且其識別損傷值標準差更小，即識別結果更加穩(wěn)定可靠。由此可知：提出的罰函數(shù)不適用于目標函數(shù)obj1，但適用于obj3；故罰函數(shù)與目標函數(shù)的不同組合對識別結果有較大影響。

4 結 論

筆者針對不確定性因素和噪聲影響將損傷識別逆問題轉(zhuǎn)化為優(yōu)化求解問題，并提出了obj1～obj4這4種不同目標函數(shù)下基于MVPA的結構損傷識別方法。選取簡支梁和桁架模型進行數(shù)值模擬，討論了不同目標函數(shù)下?lián)p傷識別效果，結論如下：

1)數(shù)值模擬表明：obj3比obj1對結構損傷更加敏感，損傷識別精度更高；由于obj1下MVPA易于過早收斂，導致某一損傷工況下每次運行結果差異偏大，其識別結果穩(wěn)定性不如obj3。

2)這4種目標函數(shù)中obj4識別效果最好，表明罰函數(shù)不僅令單元誤判信息大大減少，而且使識別結果更準確、更穩(wěn)定可靠，表現(xiàn)出對不確定性因素和高噪聲的不敏感性。

3)罰函數(shù)并不一定適合于所有的目標函數(shù)。對于某些目標函數(shù)，引入罰函數(shù)后的識別效果并不一定會有所提升，故針對不同目標函數(shù)選取合適的罰函數(shù)尤為關鍵。

4)與獲得完整模態(tài)信息相比，筆者未考慮實際試驗中測量點有限這一問題，接下來將針對傳感器位置布置展開研究。