楊雯婷

（江蘇省昆山市周市中心小學校，江蘇昆山 215314）

一、關于構造法

構造法是一種在數(shù)學中十分重要的教學方法。無論是在小學、初中、高中，甚至是大學，構造法在數(shù)學教學思維方式中都占據(jù)一定的地位。古今中外，無數(shù)位數(shù)學家運用了構造法發(fā)現(xiàn)并證明了偉大的定理。

運用構造法教學并沒有固定的套路與方式，若是一味地利用一種方法套用教學，那恐怕會一事無成。因此，教師們學會了運用構造法教學，并不代表這樣便學會了所有數(shù)學問題的教學，若是這樣認為，那恐怕是片面的、決斷的。構造法不是教學的萬金油，并不是任何的問題都能適用。教師教會學生學習構造法的目的，在于教會學生學會構造法的精髓，那便是讓學生學會敏捷、靈活地運用構造法解題時的創(chuàng)造性思維。所謂創(chuàng)造性思維，其實就是指運用新穎、獨特的方式來解決問題的思維。運用構造法教學最大的特點便是賦予創(chuàng)造性地利用已知的條件、定理或公理來解決實際問題。

構造法的歷史非常悠久，可謂是一種古老的科學方法，因此用構造法教學的淵源可是追溯到很久很久以前。古希臘數(shù)學家歐幾里得是個偉大的數(shù)學家，他是構造法的創(chuàng)始人。他運用了構造法成功地證明了“素數(shù)的個數(shù)是無限的”這一定理，這無疑是偉大的。另外，西方數(shù)學家布勞威也運用了構造法對代數(shù)基本定理展開了更加詳細的說法，雖然運用構造的方法比常規(guī)方法的過程多一些，但是其中涉及的內(nèi)容與證明方法卻比常規(guī)的方法多得多，也深得多。

構造法不僅在西方被時常涉及，在古代中國，構造法也常被涉及。如三國時期的數(shù)學家與天文學家趙爽，在他著作的《周髀算經(jīng)》中運用了構造的方法，并詳細地介紹了中國古代勾股算術的深奧高深的原理，并被記錄于《九章算術》中，這為勾股算術的運用與勾股定理的證明提供了十分重要的依據(jù)，并且也促進了中國古代數(shù)學史的發(fā)展與壯大。

既然構造法并沒有它的固定套路與公式，教師便可以從一些具體的實例中分析構造法。我國著名的數(shù)學家陳省身也曾經(jīng)指出：“一個數(shù)學家的優(yōu)秀與蹩腳，在于他善于利用具體、易懂的實例并非那些抽象、難懂的理論。”

二、數(shù)字朋友，激發(fā)興趣

運用構造法教學有太多的好處。教師在學習使用構造法教學的過程中，第一方面，教師可以達到順利教學的目的。第二方面，教師還可以在教學過程中不斷強化學生的知識結(jié)構，將所學知識結(jié)合起來，使學生學到的知識更加全面、牢固。第三方面，學會運用構造法教學，還能激發(fā)學生的求異思維，讓學生在解題的過程中，學會選擇最佳的解題方法，從而使得思維方式和解題能力得到訓練。

20以內(nèi)進位加法和退位減法是小學數(shù)學一年級上冊的知識，也就是說，學生剛進一年級就接觸到了構造法的基本思想與基本內(nèi)容。

在學習本節(jié)課內(nèi)容時，教師為了讓學生更好地明白與理解20以內(nèi)進位加法，運用了“湊十法”。所謂“湊十法”，就是先構造出一個十，再計算余下的算式，顯然學生對于十加幾的運算比較熟練。

例1：9+4=

分析：這是20以內(nèi)進位加法的第一課時九加幾的學習，運用了“湊十法”的構造思想與方法。關于“湊十法”，它的思考過程一般可以表達為：因為9和1構造成10，所以要把4分成1和3，先算9+1=10，再算10+3=13，于是9+4=13。

解：9+1=10，10+3=13

例2：15-6=

分析：這是20以內(nèi)退位減法十幾減幾的學習，可以運用“平十法”的數(shù)學思想，即上個位不夠減時，先減去一部分構造出10，再用10減去剩下的一部分數(shù)。15-6=的思考過程可以理解為：先用15-5構造出一個10，所以將6分成5和1，先算15-5=10，再算10-1=9，于是15-6=9。

在六年級加法的簡便運算中也運用到了構造法。

例3：805+798+801+802+797+794=

分析：這是6個三位數(shù)相加，在教師進行教學之始，學生多數(shù)是豎式計算，計算過程冗長，并且容易出錯。在學生計算出正確答案之后，啟發(fā)學生觀察數(shù)字特點，發(fā)現(xiàn)都與800相近，于是構造出6個800相加，再進行計算。

解：805+798+801+802+797+794=（800+5）+（800-2）+（800-1）+（800+2）+（800-3）+（800-6）=800×6+5-2-1+2-3-6=4797

構造法是數(shù)學教學中比較常見的方法之一，但其實構造法并沒有固定的公式與套路。在教學時，由于每個題目都有每個題目不同的題干和待解決的問題，甚至還有其不同的研究內(nèi)容和意義，所以教師在用構造法教學的時候切記不可以生搬硬套，不能搞“一刀切”。但是，教師可以根據(jù)所給題目的題干與問題，尋找出其一般的、典型的、本質(zhì)的特征，根據(jù)這些特征，依靠教師的大腦產(chǎn)生聯(lián)想與想象，構造出一個與原問題相關聯(lián)的問題從而使原問題得到解答。

三、數(shù)形結(jié)合，巧妙構造

構造法說的是當教師在教學生解決某些數(shù)學實際問題時，沿著固定的路線按照定向的思維難以解決該問題，應牢牢利用題干條件和問題的特征、性質(zhì)，從新的方面，新的角度，用新的觀點突破并去觀察、分析、理解目標。緊緊抓住反映問題的條件與結(jié)論之間的內(nèi)部關聯(lián)點，運用問題的數(shù)字特征、外形特征、坐標特征等，使用題干的已給條件作為原有的材料，運用已知的、現(xiàn)有的知識，在思維、想象中構造出滿足題干條件或結(jié)論的數(shù)學目標。從而使原問題中蘊涵的關系和性質(zhì)在新構造出來的數(shù)學目標中清晰、明白地顯現(xiàn)出來，并把該數(shù)學目標作為踏板，更加方便、快捷地解決數(shù)學實際問題的方法。

前蘇聯(lián)著名的數(shù)學家卡皮查曾經(jīng)指出：“數(shù)學是培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力和實踐能力最合適的學科”。在數(shù)學學習過程中，構造法便是這其中一種富于創(chuàng)造性的教學方法。1999年，中共中央和國務院頒布的《關于深化教育改革，全面推進素質(zhì)教育的決定》中提出教育要“以培養(yǎng)學生的創(chuàng)造精神和實踐能力為重點?！庇纱?，教師就更應該注重培養(yǎng)創(chuàng)新能力，構造法就顯得非常重要了。

四、圖形拼搭，引起靈感

有一句諺語：學會“走”才能“跑”。所以教師在學會應用構造法教學之前，首先應該知道的就是構造法的基本概念、定義與歷史發(fā)展情況，并且必須牢牢記在心中，打好基礎才是關鍵，這樣才能靈活運用并且不會出現(xiàn)原則性的錯誤。只有清楚地了解與明白構造法的這些基本內(nèi)容，才能夠正確并且靈活地運用構造法來教學，甚至應用構造法熟練地解決實際問題。接下來將介紹關于圖形構造法的一些基本概念和歷史進程。

例5：關于平行四邊形面積、三角形面積、梯形面積的計算是在五年級上冊中學習的，平行四邊形的推導方式是將平行四邊形延它的高剪下后平移構造成一個長方形，長方形的長就是平行四邊形的底，長方形的寬就是平行四邊形的高，長方形面積=長×寬，在平移構造的過程中面積不變，所以推導出平行四邊形的面積=底×高。

三角形面積的計算是在學習了平行四邊形面積的基礎上，再學習計算方法的。在教科書上，三角形的面積計算原理是用一個與該三角形不論形狀、大小都完全一模一樣的三角形構造出一個平行四邊形，平行四邊形的面積計算公式是：平行四邊形的面積=底×高。因為是由兩個完全一模一樣的三角形構造出來的平行四邊形，所以一個三角形的面積是平行四邊形面積的一半，一個三角形的面積=底×高÷2。于是，三角形面積的計算公式便推出來了。

用同樣的方法可以推導出梯形的面積公式，梯形的推導方式也是用兩個完全相同的梯形構造出一個平行四邊形，這個平行四邊形的底就是梯形的上底加下底的和，平行四邊形的高就是梯形的高，一個梯形的面積就是這個平行四邊形面積的一半，所以，梯形的面積公式就是（上底＋下底）×高÷2。

例6：求下面圖形的面積

在五年級上冊學習的組合圖形面積這一課中，就運用了構造法的思想?？梢詫⑾旅孢@個組合圖形填補一個長3 m，寬2 m的長方形，從而構造成一個長6 m，寬5 m的長方形，便于理解和計算。啟發(fā)學生明確：要計算組合圖形的面積就等于大長方形的面積減去小長方形的面積，于是就有了5×6-2×3=24。

五、雞兔同籠，構造假設

《孫子算經(jīng)》作為中國古代舉足輕重的數(shù)學著作，成書大約是在四、五世紀，也就是大約一千五百年前，作者生平和編寫年份不詳，流傳的《孫子算經(jīng)》共三卷，上卷敘述算籌記數(shù)的縱橫相間制度和籌算乘除法，書卷中舉例說明了籌算分數(shù)算法和籌算開平方法。下卷第31題，可謂是后世“雞兔同籠”題的始祖，后來流傳到日本，變成“鶴龜算”。書中是這樣記載的。

例7：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”這四句話的意思是：有若干只雞兔同在一個籠子里，從上面數(shù)，有35個頭；從下面數(shù)，有94只腳。求籠中各有幾只雞和兔？此題被義務教育課程標準實驗教科書人教版數(shù)學五年級上冊選為補充教材，并且為部分五～六年級的課外習題所用，及義務教育課程標準實驗教科書北師大版數(shù)學八年級上冊“應用二元一次方程組——雞兔同籠”中也作重點教學。

此題可以根據(jù)學生不同的年齡特點用不同的方法解答。

1.擺一擺、畫一畫（二年級學生）

此題對二年級學生來說，因為有兩個未知數(shù)，解答起來很困難，所以可以采用畫圖的方法便于二年級學生理解。

第一步可以先畫35個頭，第二步為每個頭畫兩只腳，剩下的24只腳可以分給12個頭，每個頭可以畫兩只腳。由此可得4只腳的是兔子，2只腳的是雞，兔有12只，雞有35-12=23（只）。

2.構造假設法（五～六年級學生）

解法一：構造假設全部都是雞，一共有：35×2=70只腳，但實際上共有94只腳，少算了94-70=24只腳，因為每只兔少算了2只腳。因此，一共有多少只兔呢？24÷2=12（只），則雞有35-12=23（只）。

解法二：構造假設全部都是兔，一共有：35×4=140只腳，但實際上只有94只腳，多算了140-94=46只腳，因為每只雞多算了2只腳。因此，一共有多少只雞呢？46÷2=23（只），則兔有35-23=12（只）。

解法三：金雞獨立：兔兩只后腳著地，前腳抬起；雞一只腳著地，一只腳抬起，則腳的數(shù)量是原來的一半94÷2=47（只），現(xiàn)在雞有一只腳，兔有兩只腳，籠子里只要有一只兔子，則腳數(shù)比頭數(shù)多1，那么腳數(shù)與頭數(shù)相差47-35=12（個），就是兔子的只數(shù)，則雞有35-12=23（只）。

解法四：砍腿法：先砍掉每只雞、兔的兩只腳，那么雞就沒有腳了，兔還有兩只腳，腳的總數(shù)就變成94-35×2=24（只）。這24只腳就是砍掉兔的兩只腳后兔子剩下的腳，兔的只數(shù)：24÷2=12（只），則雞有35-12=23（只）。

六、結(jié)束語

本文介紹了小學數(shù)學的幾個構造法教學。毋庸置疑，用構造法教學的優(yōu)勢盡顯無遺，但其實用構造法教學并沒有什么套路可言，教師只能從中尋找并總結(jié)規(guī)律，運用教師所掌握的知識和自身已具備的能力，先進行觀察，再進行細致分析。通過仔細地觀察和分析、去發(fā)現(xiàn)問題的各個環(huán)節(jié)中的外在聯(lián)系和內(nèi)在聯(lián)系，從而為尋求解法創(chuàng)造條件。當然教師在運用構造法解決問題時，要明確的就是問題的目的，需要構造出什么條件，根據(jù)這些構造的條件來設計出構造的方案。構造出來的形式、結(jié)構和模型應該要盡可能地直觀并且明了，以便于運用所學過的知識、方法來解決問題，盡教師所能使復雜的問題簡單化。

在教學過程中，教師引導學生運用構造法教學有利于開拓學生的思維，提高學生的積極性，而且有利于培養(yǎng)學生的思維能力，使學生的思維由單一轉(zhuǎn)化為多角度。構造法不僅能開拓學生的教學思路，而且能加深學生對數(shù)學的理解。同時，構造法的運用不但能提高學生對于學習數(shù)學的興趣，而且能讓學生真正感受到數(shù)學的美，從而使學生愛上數(shù)學。最后還應該指出，運用構造法并不是教學的唯一途徑，并且構造法也不單單只限于本文提到的幾種，對于同一道題既能有幾種不同的構造方法，也可以用其他的思維來求解。在教學過程中，教師應注意培養(yǎng)學生的創(chuàng)造思維和實踐能力，使得學生在學習與實踐中切身體會知識之間的內(nèi)在聯(lián)系和互相轉(zhuǎn)化，學以致用，能創(chuàng)造性地構造出解決問題的有利條件，從而巧妙地解決問題，獲得學習上的成就感和成功的喜悅。