魏彥紅，張?jiān)?/p>

(蘭州交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

實(shí)際工程中，薄壁箱梁的受力和變形普遍具有彎扭耦合特點(diǎn)。因此，薄壁結(jié)構(gòu)的撓曲扭轉(zhuǎn)力學(xué)性能一直是橋梁工程領(lǐng)域內(nèi)關(guān)注的課題[1-4]。隨著交通事業(yè)的快速發(fā)展，橋梁設(shè)計(jì)理念也隨之改變。為適應(yīng)道路的走向，克服地理環(huán)境的限制，合理跨越河谷和既有線路，斜支承形式的箱梁橋成為橋梁設(shè)計(jì)者的選擇方案之一[5]。因特殊的支承形式，即使在豎向?qū)ΨQ荷載作用下，斜支承箱梁的內(nèi)力和變形也會存在彎扭耦合特點(diǎn)。與常規(guī)支承的正交箱梁相比，斜支承箱梁的分析更加復(fù)雜。近年來，國內(nèi)外一些學(xué)者也對這種特殊支承形式的箱梁作了不少研究[6-11]。文獻(xiàn)[12]提出了一種全面考慮剪力滯效應(yīng)和約束扭轉(zhuǎn)翹曲變形的10自由度薄壁箱梁單元，編寫了用于分析斜支承連續(xù)箱梁撓曲扭轉(zhuǎn)力學(xué)性能的有限元程序，通過對一斜支承三跨連續(xù)箱梁的研究，發(fā)現(xiàn)剪力滯和約束扭轉(zhuǎn)效應(yīng)對箱梁正應(yīng)力的分布有重要影響。文獻(xiàn)[13]在此基礎(chǔ)上，推導(dǎo)了用于分析斜支承連續(xù)承箱梁約束扭轉(zhuǎn)力學(xué)性能的薄壁箱梁單元，對比分析了常規(guī)支承和斜支承的連續(xù)箱梁在豎向偏心荷載作用下力學(xué)性能的差異，研究發(fā)現(xiàn)斜支承連續(xù)箱梁的扭轉(zhuǎn)特性更加突出。文獻(xiàn)[14]給出了豎向?qū)ΨQ荷載作用下，計(jì)算斜支承連續(xù)梁的平面桿系有限元方法，同時還給出了扭矩荷載作用下，計(jì)算斜支承連續(xù)梁的建議，但未作進(jìn)一步的具體論述。文獻(xiàn)[15]用三維有限元法研究了斜交角的變化對組合桁架連續(xù)梁橋內(nèi)力的影響。文獻(xiàn)[16]用解析法分析了剪切變形對單跨斜梁撓度計(jì)算的影響，分析結(jié)果顯示斜交角度的變化與剪切變形對撓度計(jì)算的影響呈正相關(guān)。當(dāng)然，文獻(xiàn)[17-18]利用有限元商業(yè)軟件對斜支撐橋梁進(jìn)行分析。綜上所述，現(xiàn)有文獻(xiàn)多為用有限元數(shù)值方法分析斜支承連續(xù)箱梁，而用解析法研究此類箱梁的文獻(xiàn)并不多見。

本文按力法原理，以斜支點(diǎn)的約束反力為多余未知力，建立了斜支承兩跨連續(xù)箱梁的力法方程，給出了多余未知力的解析解。通過對分別按自由扭轉(zhuǎn)和約束扭轉(zhuǎn)理論計(jì)算的斜支承連續(xù)箱梁的內(nèi)力、變形和正應(yīng)力作對比分析，給出了按自由扭轉(zhuǎn)理論分析斜支承連續(xù)箱梁撓曲扭轉(zhuǎn)的簡化計(jì)算方法。

1 簡支梁約束扭轉(zhuǎn)微分方程初參數(shù)解

若作用在簡支梁上的分布扭矩荷載m(z) 沿梁軸線性分布，且力矢指向z軸正向時，約束扭轉(zhuǎn)控制微分方程可表示為扭轉(zhuǎn)角θ(z) 的四階常系數(shù)非齊次線性微分方程[19]為

( 1 )

當(dāng)簡支梁上無荷載作用時，則m(z)=0。式( 1 )的齊次微分方程的初參數(shù)解為[19]

( 2 )

( 3 )

( 4 )

T(z)=T0

( 5 )

式中：θ0、β′0、B0、T0為初參數(shù)，分別為z坐標(biāo)起始位置的扭轉(zhuǎn)角、廣義翹曲位移、雙力矩、扭矩。

1.1 集中扭矩荷載作用下的初參數(shù)解

圖1 承受集中扭矩荷載的簡支梁

簡支梁約束扭轉(zhuǎn)控制微分方程的邊界條件為：在邊界處，扭轉(zhuǎn)角θ和雙力矩B皆為0。根據(jù)約束扭轉(zhuǎn)齊次微分方程的初參數(shù)解和簡支約束的邊界條件，可得到在集中扭矩荷載作用下，簡支梁的初參數(shù)解[19]為

( 6 )

( 7 )

( 8 )

( 9 )

式中：‖d表示帶有此符號的項(xiàng)僅在z>d時才計(jì)入。

1.2 均布扭矩荷載作用下的初參數(shù)解

圖2為承受均布扭矩荷載的簡支梁，在梁上取微段dξ，ξ為dξ所在位置到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離。

圖2 承受均布扭矩荷載的簡支梁

均布扭矩荷載作用下，簡支梁初參數(shù)解[19]為

(10)

(11)

(12)

T(z)=ml/2-mz

(13)

2 斜支承兩跨連續(xù)箱梁的力法原理

即使在豎向?qū)ΨQ荷載作用下，斜支承箱梁在發(fā)生彎曲變形時還會發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形，見圖3。圖3為中墩斜置的兩跨連續(xù)箱梁，承受豎向均布偏載作用，偏心距為e，以x軸正向?yàn)檎?。中墩兩支座連線與梁軸線夾角的余角為斜交角φ，兩斜支點(diǎn)所在橫截面的z坐標(biāo)值分別為d1和d2。選取圖3(c)、圖3(d)所示的簡支箱梁為基本結(jié)構(gòu)，將斜支點(diǎn)的約束代之以相應(yīng)的多余未知力r1和r2。按力法原理，原結(jié)構(gòu)和基本體系在斜支點(diǎn)處的變形相同，可建立斜支承兩跨連續(xù)箱梁的力法方程。

圖3 中墩斜置的兩跨連續(xù)箱梁的原結(jié)構(gòu)及基本體系

本文所提出的方法對鋼箱梁和預(yù)應(yīng)力混凝土箱梁都適用，對于預(yù)應(yīng)力混凝土箱梁而言，預(yù)應(yīng)力筋對梁體的作用可以用等效荷載代替，然后按本文提出的方法進(jìn)行分析，所以本文對預(yù)應(yīng)力效應(yīng)不再專門進(jìn)行研究。

2.1 荷載等效及斜支點(diǎn)變形描述

荷載等效及斜支點(diǎn)的變形見圖4，由圖4(a)可知，豎向均布偏載q可以等效成過截面形心的豎向均布荷載qe和繞截面扭轉(zhuǎn)中心的均布扭矩荷載q·e。δiq(i=1,2)為由q引起的第i個多余未知力作用位置沿其方向上的位移，由等效荷載qe產(chǎn)生的位移ζiq和q·e產(chǎn)生的位移θiq·ei組成。由圖4 (b)可知，多余未知力ri可以等效成過截面形心的豎向集中荷載rie和繞截面扭轉(zhuǎn)中心的集中扭矩荷載ri·ei。δii是由單位多余未知力ri=1引起的第i個多余未知力作用位置沿其方向上的位移，由單位等效荷載rie=1產(chǎn)生的位移ζii和單位多余未知力等效扭矩1·ei產(chǎn)生的位移θii·ei組成。q、qe、ri和rie以y軸正向?yàn)檎籷·e和ri·ei以力矢指向z軸正向?yàn)檎?；ei為斜支點(diǎn)到該點(diǎn)所在橫截面扭轉(zhuǎn)中心的距離，以使等效后的扭矩荷載力矢指向z軸正向時為正；ζiq和ζii以y軸正向?yàn)檎?；θiq和θii以橫截面繞扭轉(zhuǎn)中心逆時針轉(zhuǎn)動為正。

圖4 荷載等效及斜支點(diǎn)變形

2.2 力法方程及其解

在原結(jié)構(gòu)中，斜支點(diǎn)位置的豎向位移受到支座約束，所以其豎向位移為0。根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件，原結(jié)構(gòu)和基本體系在斜支點(diǎn)的豎向位移相等，可建立的力法方程為

(14)

求解式(14)的方程組可得到其解為

r1=

(15)

r2=

(16)

ζ可以通過圖乘法計(jì)算，也可按材料力學(xué)中的公式求得，即

(17)

(18)

(19)

當(dāng)不考慮橫截面的翹曲變形時，θ可按材料力學(xué)的方法計(jì)算，即

θ11=-θ22=e1d2d1/(GJdl)

(20)

(21)

θ1q=θ2q=qed1d2/(2GJd)

(22)

當(dāng)考慮橫截面的翹曲變形時，θ可按式( 6 )、式(10)計(jì)算，即

(23)

(24)

(25)

3 斜支承兩跨連續(xù)箱梁算例分析

本文以跨徑為(40+40) m、中墩斜置的兩跨連續(xù)箱梁為例，計(jì)算簡圖見圖5。材料選C40混凝土，彈性模量E=34.5 GPa，剪切變形模量G=14.45 GPa，泊松比ν=0.2。箱梁所承受的荷載見圖5(a)，可分為兩種工況，工況一為作用于箱梁縱向?qū)ΨQ面與頂板交線的豎向?qū)ΨQ均布荷載P=100 kN/m，工況二為作用于箱梁頂板與左腹板(相對與橫截面正面)交線的豎向偏心均布荷載P=100 kN/m。箱梁的橫截面尺寸及正應(yīng)力計(jì)算點(diǎn)分布見圖5(b)。

圖5 斜支承箱梁算例簡圖(單位：m)

為驗(yàn)證本文方法的可靠性，用Ansys19.1中的Shell63單元建立了斜交角φ為30°的斜支承兩跨連續(xù)箱梁橋模型。全橋共劃分為39 688個單元和39 762個節(jié)點(diǎn)；斜支承兩跨連續(xù)箱梁的約束布置見表1，約束分別施加于節(jié)點(diǎn)上。在腹板與頂板的交線上建立表面效應(yīng)單元Surf156，用于施加均布線荷載。Shell63單元建立的箱梁模型無法直接提取橫截面的內(nèi)力，Ansys中提供了兩種計(jì)算橫截面的內(nèi)力方法，分別為路徑積分法和節(jié)點(diǎn)力求和法，本文采用后者來計(jì)算在兩種工況作用下箱梁各個截面的彎矩和扭矩。

表1 斜支承兩跨連續(xù)箱梁的約束布置

將用本文方法計(jì)算的彎矩和扭矩與Ansys計(jì)算值作比較。因篇幅所限，本文僅展示了斜交角為30°時，豎向均布偏載作用下的結(jié)果。豎向均布荷載作用下的彎矩值比較見表2。由表2可知，豎向均布荷載作用下，按約束扭轉(zhuǎn)計(jì)算得到的彎矩與Ansys計(jì)算值相吻合。因本文未考慮剪力滯效應(yīng)和畸變的影響，且節(jié)點(diǎn)力求和法對應(yīng)力結(jié)果作二次處理時存在一定誤差，所以兩種理論計(jì)算的扭矩值與Ansys值的偏差較大。豎向均布偏載作用下的內(nèi)力見圖6，但從圖6(b)的扭矩分布曲線可以看出其變化規(guī)律完全一致，從而驗(yàn)證了本文方法是可行的。計(jì)算結(jié)果還表明，豎向均布荷載作用下，按自由扭轉(zhuǎn)和約束扭轉(zhuǎn)計(jì)算的彎矩、扭矩的分布曲線幾乎重合，各控制截面的偏差均小于5%。

表2 豎向均布荷載作用下的彎矩值比較

圖6 豎向偏心均布荷載作用下的內(nèi)力

斜交角等于30°時，豎向均布偏載作用下，按自由扭轉(zhuǎn)和約束扭轉(zhuǎn)計(jì)算的斜支承兩跨連續(xù)箱梁的變形見圖7，由圖7可知，兩種方法計(jì)算的撓度、扭轉(zhuǎn)角的分布曲線幾乎重合，各控制截面的偏差均小于5%。

圖7 豎向偏心荷載作用下的變形分布

兩種荷載工況作用下，按約束扭轉(zhuǎn)理論計(jì)算的雙力矩分布見圖8。由圖8可知，雙力矩沿梁軸的分布具有明顯的局部特征，僅在斜支點(diǎn)截面及附近2倍梁高范圍的截面上出現(xiàn)較大值。在豎向?qū)ΨQ均布荷載作用下，雙力矩絕對值隨斜交角的增大而增大，沿梁軸的分布具有反對稱性。在豎向偏心均布荷載作用下，隨著斜交角的增大，Ⅱ-Ⅱ截面的雙力矩絕對值呈現(xiàn)出先減小再增大的趨勢，Ⅲ-Ⅲ截面的雙力矩絕對值呈現(xiàn)出先增大后減小的變化趨勢，沿梁軸的分布不具有對稱性。

圖8 豎向均布荷載作用下的雙力矩

為論證上述結(jié)論對不等跨斜支承兩跨連續(xù)箱梁也成立，本文對跨徑(30+50) m的不等跨連續(xù)箱梁在豎向均布荷載作用下的力學(xué)性能進(jìn)行了研究，箱梁的截面尺寸及材料的性質(zhì)見3節(jié)。斜交角為30°時，分別按約束扭轉(zhuǎn)與自由扭轉(zhuǎn)計(jì)算得到的彎矩、雙力矩隨斜交角度的變化規(guī)律見圖9。通過對不等跨連續(xù)箱梁的計(jì)算可看出，對等跨斜支承連續(xù)箱梁所得出的結(jié)論可以推廣到不等跨箱梁。

圖9 豎向均布偏載作用下不等跨連續(xù)箱梁的彎矩、雙力矩

按自由扭轉(zhuǎn)理論計(jì)算斜支承連續(xù)箱梁橫截面的正應(yīng)力時，沒有考慮橫截面翹曲變形的影響。為計(jì)入雙力矩對橫截面正應(yīng)力的貢獻(xiàn)，本文引入正應(yīng)力修正系數(shù)λ，λ表示按約束扭轉(zhuǎn)理論計(jì)算出的某個橫截面上指定計(jì)算點(diǎn)的正應(yīng)力值與按自由扭轉(zhuǎn)理論計(jì)算出的該點(diǎn)的正應(yīng)力值之比。

當(dāng)斜交角為30°時，兩種荷載工況作用下各計(jì)算點(diǎn)的正應(yīng)力修正系數(shù)沿梁軸的變化曲線見圖10。

圖10 正應(yīng)力修正系數(shù)沿梁軸的變化規(guī)律

由圖10可知，正應(yīng)力修正系數(shù)在斜支點(diǎn)截面出會現(xiàn)極值，但其影響范圍很??；在反彎點(diǎn)附近截面的修正系數(shù)也會出現(xiàn)極值，彎矩為零的截面甚至?xí)霈F(xiàn)無窮間斷點(diǎn)，但此時的彎矩很小不作為設(shè)計(jì)的控制截面。所以在計(jì)算斜支承兩跨連續(xù)箱梁橫截面正應(yīng)力時，可先按自由扭轉(zhuǎn)計(jì)算，再乘以相應(yīng)的修正系數(shù)。由圖10(a)可知，在豎向?qū)ΨQ均布荷載作用下，斜支點(diǎn)截面及附近2倍梁高范圍內(nèi)截面的正應(yīng)力修正系數(shù)可取1.22，其它梁段內(nèi)截面的正應(yīng)力修正系數(shù)取1.02；由圖10(b)可知，在豎向偏心均布荷載作用下，斜支點(diǎn)截面及附近2倍梁高范圍內(nèi)截面的正應(yīng)力修正系數(shù)可取1.31，其它梁段內(nèi)截面的正應(yīng)力修正系數(shù)取1.10。

為了研究斜交角變化對正應(yīng)力修正系數(shù)的影響，將兩種荷載工況作用下，控制截面上各計(jì)算點(diǎn)的正應(yīng)力修正系數(shù)隨斜交角的變化見表3～表8。

表3 豎向?qū)ΨQ均布荷載作用下箱梁截面 a點(diǎn)的修正系數(shù)λ值

表4 豎向?qū)ΨQ均布荷載作用下箱梁截面 b點(diǎn)的修正系數(shù)λ值

表5 豎向?qū)ΨQ均布荷載作用下箱梁截面 c點(diǎn)的修正系數(shù)λ值

由表3～表5可知，在豎向?qū)ΨQ均布荷載作用下，斜交角的變化對Ⅱ-Ⅱ截面上a點(diǎn)，Ⅲ-Ⅲ截面上b、c兩點(diǎn)的正應(yīng)力修正系數(shù)影響較大，對其它截面上各計(jì)算點(diǎn)的正應(yīng)力修正系數(shù)影響很小。對同一斜交角，a點(diǎn)的正應(yīng)力修正系數(shù)在Ⅱ-Ⅱ截面達(dá)到最大值，b、c兩點(diǎn)正應(yīng)力修正系數(shù)均在Ⅲ-Ⅲ截面達(dá)到最大值。

表6 豎向均布偏載作用下箱梁截面 a點(diǎn)的修正系數(shù)λ值

表7 豎向均布偏載作用下箱梁截面 b點(diǎn)的修正系數(shù)λ值

表8 豎向均布偏載作用下箱梁截面 c點(diǎn)的修正系數(shù)λ值

由表6～表8可知，在豎向偏心均布荷載作用下，斜交角的變化對跨中截面和斜支點(diǎn)截面上各計(jì)算點(diǎn)的正應(yīng)力修正系數(shù)影響較大，對其它截面上各計(jì)算點(diǎn)的正應(yīng)力修正系數(shù)影響很小。對同一斜交角，b、c兩點(diǎn)正應(yīng)力修正系數(shù)均在偏載作用一側(cè)斜支點(diǎn)截面達(dá)到最大值。隨著斜交角的增大Ⅱ-Ⅱ截面的雙力矩從負(fù)值變?yōu)檎?，所以?Ⅱ截面內(nèi)各計(jì)算點(diǎn)的正應(yīng)力修正系數(shù)會出現(xiàn)小于1和大于1兩種情況。

4 結(jié)論

本文利用力法原理建立了斜支承兩跨連續(xù)箱梁的力法方程，分別按自由扭轉(zhuǎn)理論和約束扭轉(zhuǎn)理論計(jì)算了一斜支承兩跨連續(xù)箱梁的內(nèi)力、變形和橫截面正應(yīng)力，并用Ansys軟件對所計(jì)算的內(nèi)力進(jìn)行了校核，通過本文的研究，得出如下結(jié)論：

(1) 對比用本文方法和Ansys軟件計(jì)算的斜支承兩跨連續(xù)箱梁的彎矩和扭矩分布圖，可以發(fā)現(xiàn)二者計(jì)算的結(jié)果相吻合，驗(yàn)證了用本文方法的可靠性。

(2) 分析斜支承兩跨連續(xù)箱梁時，按自由扭轉(zhuǎn)理論計(jì)算的彎矩、扭矩、撓度和扭轉(zhuǎn)角與按約束扭轉(zhuǎn)理論計(jì)算的結(jié)果相差甚小，因此在工程計(jì)算時可直接按自由扭轉(zhuǎn)理論計(jì)算彎矩、扭矩、撓度和扭轉(zhuǎn)角，避免按約束扭轉(zhuǎn)計(jì)算時的復(fù)雜性。

(3) 斜支承兩跨連續(xù)箱梁的雙力矩沿梁軸線的分布具有明顯的局部特征，僅在斜支點(diǎn)截面出現(xiàn)較大峰值后便快速衰減。因此，雙力矩對箱梁截面正應(yīng)力的影響也具有局部特征，本文中雙力矩較大的截面主要集中在斜支點(diǎn)及附近2倍梁高范圍的梁段。

(4) 豎向均布荷載作用下，計(jì)算斜支承兩跨連續(xù)箱梁橫截面正應(yīng)力時，可先按自由扭轉(zhuǎn)計(jì)算，再乘以相應(yīng)的修正系數(shù)。