張元海，龍均翊，陳東亮，王晨光

(蘭州交通大學 土木工程學院, 甘肅 蘭州 730070)

隨著箱壁厚度的日趨減小，箱形梁在偏心荷載作用下扭轉時橫截面變形即畸變不容忽視，由此產(chǎn)生的附加翹曲應力往往大于剛性扭轉翹曲應力，而且畸變使箱板產(chǎn)生橫向彎曲，因此，箱形梁的畸變效應分析受到許多學者的廣泛關注。近年來，有些學者運用三維有限元數(shù)值模擬方法分析箱形梁的畸變效應，并分析了不同荷載形式、橫隔板間距、高跨比、高寬比及板厚等參數(shù)變化對箱形梁畸變翹曲應力的影響[1-5]，其中，文獻[1-2]對偏心荷載進行分解后，直接在有限元模型上施加分解后的畸變荷載，因而求得的應力即為畸變翹曲應力；文獻[3-5]通過分別計算偏心荷載和相應對稱荷載作用下的應力然后相減的途徑，間接得出偏載作用下的翹曲應力，顯然這樣得到的應力包含了扭轉翹曲應力與畸變翹曲應力，并未得出獨立的畸變翹曲應力。除三維有限單元法外，一維梁段有限單元法也常被用于分析箱形梁的畸變效應及其他空間效應[6-8]，如，文獻[6]建立的梁段單元可對箱形梁的彎曲、扭轉、畸變及剪力滯效應等進行統(tǒng)一分析。雖然有限元數(shù)值解法特別是三維有限元法可用于任意邊界條件下復雜箱梁的空間分析，但獲得的變形、應力或內(nèi)力不便于設計人員對結構的特定剛度進行判斷或采取相應構造措施，而解析法卻可以針對箱形梁的某種單一變形狀態(tài)如畸變狀態(tài)進行針對性分析，并直觀反映各種影響因素，因此，解析法也被許多學者用于分析箱形梁畸變效應。王晨光等[9]基于廣義坐標法原理，針對雙軸對稱矩形截面箱梁，用總勢能變分法建立了畸變控制微分方程，并分析了剪切變形對畸變效應的影響；張元海等[10]在箱梁橫截面的畸變中心處定義畸變角并建立控制微分方程，分析了頂板和底板兩側均設置外伸懸臂板的箱形梁畸變效應。近年來，波形鋼腹板組合箱梁的畸變效應分析也受到關注。李運生等[11]用總勢能變分法推導了波形鋼腹板曲線箱梁的彎扭及畸變控制微分方程；文獻[12-13]在分析箱梁各板元的面內(nèi)和面外力系平衡條件的基礎上，建立了波形鋼腹板箱梁的畸變控制微分方程，分析了幾何參數(shù)對畸變翹曲正應力的影響。然而，上述文獻中的畸變效應解析法只能用于無跨內(nèi)橫隔板的箱梁。文獻[14-15]提出了一種分析有跨內(nèi)橫隔板的箱形梁畸變效應解析法，可考慮橫隔板的面內(nèi)變形影響。部分學者對箱形梁畸變效應開展了試驗研究[16-17]。

本文提出一種分析有跨內(nèi)橫隔板時箱梁的畸變效應解析法，首先解除跨內(nèi)橫隔板對畸變變形的約束作用，并代入相應的未知畸變矩，然后利用畸變變形協(xié)調(diào)關系求解未知畸變矩，繼而在無跨內(nèi)橫隔板的初參數(shù)解基礎上獲得有跨內(nèi)橫隔板箱梁的畸變效應解析解，最后以承受均布畸變荷載的簡支箱梁為例，分析跨中橫隔板布置對箱形梁畸變效應的影響。

1 箱梁畸變變形描述

具有豎向對稱軸的單室梯形箱梁橫截面示意見圖1。圖1中，A、B、C、D分別為4個角點位置，b1、b2、b3分別為頂板、底板、懸臂板寬度，bw為腹板的斜高，h為梁高，θ為斜腹板的傾角，t1、t2、tw分別為頂板、底板及腹板的厚度。

圖1 箱梁橫截面示意

圖2為箱梁橫截面發(fā)生畸變變形后的示意圖，角點A、B、C分別位移至A′、B′、C′。圖2中，P為豎向反對稱分布荷載，P1、P2、Pw分別為反對稱荷載分解后作用于頂板、底板及腹板的分布畸變荷載。選取角點B處腹板與底板夾角的改變量γ作為畸變角，并以使∠ABC減小時為正。

圖2 荷載及變形簡圖

由圖2可以看出，截面畸變角γ由腹板的偏轉角γ1和底板的偏轉角γ2兩部分組成，即

( 1 )

式中：uAB為角點A、B的相對水平位移；vBC為角點B、C的相對豎向位移。

若用f1、f2、fw分別表示箱梁頂板、底板及腹板在畸變荷載P1、P2、Pw作用下各自的面內(nèi)位移，則有

uAB=f1+f2

( 2 )

圖3為角點B、C處變位示意圖，根據(jù)圖3所示角點B、C處的變位關系，可得

( 3 )

將式( 2 )和式( 3 )代入式( 1 )，可得

( 4 )

圖3 角點B、C處變位示意

2 畸變微分方程初參數(shù)解

根據(jù)總勢能變分法[18]，可得箱梁的畸變控制微分方程為

( 5 )

根據(jù)總勢能變分要求的邊界條件可知，與畸變角γ及其一階導數(shù)γ′(廣義翹曲位移)相應的畸變內(nèi)力分別為

Md=-EJdγ?Bd=-EJdγ″

( 6 )

式中：Md為畸變矩；Bd為畸變雙力矩。

令微分方程( 5 )中md=0，即先不考慮跨內(nèi)畸變荷載作用，可得相應齊次微分方程的通解為

γ(z)=[C1sin(λz)+C2cos(λz)]sinh(λz)+

[C3sin(λz)+C4cos(λz)]cosh(λz)=

C4Φ1(λz)+(C2+C3)Φ2(λz)+2C1Φ3(λz)+

2(C3-C2)Φ4(λz)

( 7 )

式中：C1～C4為積分常數(shù)；Φ1(λz)～Φ4(λz)為克雷洛夫函數(shù)，即

Φ1(λz)=cos(λz)cosh(λz)

Φ2(λz)=0.5[sin(λz)cosh(λz)+cos(λz)sinh(λz)]

Φ3(λz)=0.5sin(λz)sinh(λz)

Φ4(λz)=0.25[sin(λz)cosh(λz)-cos(λz)sinh(λz)]

選取4個初參數(shù)為γ0、γ′0、Md0、Bd0，分別為箱梁起始端(z=0)的畸變角、畸變翹曲、畸變矩、畸變雙力矩，由式( 6 )和式( 7 )建立各積分常數(shù)與各初參數(shù)之間的關系后，可將箱梁的畸變位移和內(nèi)力通過初參數(shù)表達為

( 8 )

( 9 )

Bd(z)=4λ2EJdγ0Φ3(λz)+4λEJdγ′0Φ4(λz)+

(10)

Md(z)=4λ3EJdγ0Φ2(λz)+4λ2EJdγ′0Φ3(λz)-

4λBd0Φ4(λz)+Md0Φ1(λz)

(11)

當箱梁沿全跨承受均布畸變矩荷載md作用時，只需在式(8)～(11)的初參數(shù)解基礎上按Md0所在項補充相應的荷載項，從而可得初參數(shù)解為

(12)

(13)

Bd(z)=4λ2EJdγ0Φ3(λz)+4λEJdγ′0Φ4(λz)+

(14)

Md(z)=4λ3EJdγ0Φ2(λz)+4λ2EJdγ′0Φ3(λz)-

(15)

式(12)～式(15)中，4個初參數(shù)可根據(jù)箱梁兩端的邊界條件確定。剛性固定端或梁端設置面內(nèi)面外均為無限剛性的橫隔板時，滿足γ=γ′=0，即截面不變形且不產(chǎn)生翹曲位移；當梁端設置面內(nèi)無限剛性但面外無限柔性的橫隔板時，滿足γ=γ″=0，即截面不變形且不產(chǎn)生翹曲正應力；當梁端不設置橫隔板時，滿足γ″=γ?=0，即不產(chǎn)生翹曲正應力和剪應力。

3 跨內(nèi)橫隔板的處理

橫隔板位置及其約束畸變矩簡圖見圖4。圖4中，跨內(nèi)第1道和第i道橫隔板所在截面的縱向坐標分別為z1和zi，任一計算截面的縱向坐標為z；若將跨內(nèi)各道橫隔板解除，其對畸變變形的約束作用可分別用相應的未知畸變矩L1、Li代替。

圖4 橫隔板位置及其約束畸變矩簡圖

根據(jù)初參數(shù)解，箱梁在畸變外荷載及未知畸變矩共同作用下的畸變位移和內(nèi)力可表達為

(16)

(17)

Bd(z)=4λ2EJdγ0Φ3(λz)+4λEJdγ′0Φ4(λz)+

(18)

Md(z)=4λ3EJdγ0Φ2(λz)+4λ2EJdγ′0Φ3(λz)-

(19)

式中：n為計算截面至箱梁起始端之間的跨內(nèi)橫隔板總數(shù)。

根據(jù)跨內(nèi)各道橫隔板所在截面zj處畸變角為零的變形協(xié)調(diào)條件，可建立補充方程為

γ(zj)=0j=1, 2,…,N

(20)

式中：N為跨內(nèi)橫隔板總數(shù)。

根據(jù)箱梁兩端4個邊界條件及式(20)，即可求得4個初參數(shù)及N個未知畸變矩Lj(j=1, 2,…,N)。

4 畸變翹曲應力及橫向彎矩計算

箱梁發(fā)生畸變時，除在其橫截面上產(chǎn)生畸變翹曲正應力和剪應力外，由于組成閉合箱室的各板件還發(fā)生橫向彎曲變形，故在各箱板內(nèi)還產(chǎn)生橫向彎矩?；儥M向彎矩可在沿箱梁縱向截取的單位長度梁段所形成的閉合框架上按結構力學方法進行計算，注意到橫向彎矩關于橫截面豎向對稱軸呈反對稱分布，且在各角點處有最大值，故只需計算角點A和B處的橫向彎矩MA和MB，可利用畸變角γ表示為

MA=ψAγMB=ψBγ

(21)

式中：ψA、ψB分別為角點A、B處的畸變橫向彎曲系數(shù)。

箱梁橫截面上任一點的畸變翹曲正應力σd為

σd=-Eωdγ″

(22)

式中：ωd為畸變扇性坐標。

利用式( 6 )中畸變雙力矩Bd的表達式，則式(22)可表示為

(23)

定義ξ為角點A和B處的翹曲正應力之比，即ξ=σdA/σdB，ξ可根據(jù)畸變翹曲正應力的自平衡條件確定，其大小只取決于橫截面的幾何尺寸。根據(jù)畸變翹曲正應力分布特征，只要求得角點B處的畸變翹曲正應力σdB，則箱梁全截面的翹曲正應力即可確定。角點B處的畸變扇性坐標ωdB為

(24)

為了計算畸變翹曲剪力流qd，需利用箱板微元體的平衡條件。箱板上任一點P處的微元體受力簡圖見圖5。圖5中，t為箱板厚度，s為沿板厚中心線度量的周邊坐標，在箱梁正面上以逆時針方向為正。根據(jù)微元體的縱向平衡可得

(25)

圖5 箱板微元體受力簡圖

將式(22)代入式(25)并對s積分，可得

qd=qd0+Eγ?Sdω

(26)

利用畸變翹曲剪力流qd在箱梁橫截面上不合成扭矩的條件，可求得qd0為

(27)

將式(27)代入式(26)，并利用式( 6 )中畸變矩Md的表達式，可得畸變翹曲剪力流qd計算式為

(28)

必須注意，式(28)中的積分應在箱梁全截面上進行計算，即對于帶懸臂板的箱梁，積分區(qū)域包括閉口箱室和懸臂板。有些文獻中只在閉口箱室范圍內(nèi)進行積分計算，這顯然是錯誤的，只對無懸臂板的純閉口截面箱梁才適用。

為便于實際應用，給出畸變翹曲慣性矩Jd和橫向框架慣性矩JR的表達式為

b2t2+2bwtw(ξ2-ξ+1)]

(29)

(30)

式中：I1、I2、Iw分別為頂板、底板、腹板的橫向單寬抗彎慣性矩。

5 數(shù)值算例分析

預應力混凝土簡支箱梁計算跨徑l為40 m,梁端和跨中均布置有橫隔板，其厚度均為0.3 m，箱梁橫截面尺寸見圖6。箱梁采用C50混凝土，其彈性模量E為35 GPa，反對稱豎向均布荷載10 kN/m作用于兩側腹板與頂板交接處，其方向與圖2相同。

圖6 箱梁橫截面尺寸(單位：m)

按本文解析法和有限元軟件Ansys中的殼單元Shell63分別對箱梁的畸變翹曲應力進行了計算，跨中截面和1/4跨截面角點A處的畸變翹曲正應力見表1。有限元計算時，全梁共離散為3 350個殼單元，3 378個節(jié)點；從反對稱荷載中分解出各板件的畸變荷載后，以集中力方式施加在各相應節(jié)點上。由表1可以看出，本文解析解與Ansys有限元數(shù)值解總體上吻合良好。

表1 角點A處畸變翹曲正應力比較

為考察跨中布置橫隔板后對箱梁畸變效應的影響，按本文解析法分別計算了有跨中橫隔板和無跨中橫隔板時箱梁的畸變效應，圖7～圖9分別繪出了畸變雙力矩、畸變矩及角點A處橫向彎矩沿跨度分布曲線。

圖7 畸變雙力矩分布

圖8 畸變矩分布

圖9 角點A處畸變橫向彎矩分布

由圖7～圖9可以看出，在跨中截面布置橫隔板后，雖然使跨中截面的畸變橫向彎矩變?yōu)榱?，四分之一跨截面的橫向彎矩也減小了34.4%，然而，跨中截面的畸變雙力矩絕對值卻增大了27.2倍(由22.39 kN·m2變?yōu)?631.23 kN·m2)，四分之一跨截面的畸變雙力矩也增大了1.02倍，而且畸變矩內(nèi)力也顯著增大了(如跨中截面由零變?yōu)椤?85.98 kN·m)。可以看出，要通過設置跨中橫隔板的方式減小畸變變形和畸變橫向彎矩，必須以顯著增加畸變雙力矩和畸變矩從而顯著增加畸變翹曲應力為代價。對預應力混凝土箱梁，畸變翹曲應力的顯著增加必然會降低正截面和斜截面的抗裂性。進一步計算表明，與僅在跨中截面布置橫隔板相比，若同時在1/4跨和3/4跨處也布置橫隔板時，畸變內(nèi)力分布才能得到明顯改善。因此，在實際箱形梁的設計中，是否需要布置橫隔板以及在哪些位置布置橫隔板，必須根據(jù)具體情況決定。

跨中布置橫隔板時箱梁跨中右截面的畸變翹曲剪應力分布見圖10，圖10中79.6 kPa為腹板上的畸變翹曲剪應力最大值，箭頭表示剪應力方向。由圖10可以看出，本例箱梁全截面最大剪應力發(fā)生在懸臂板根部，在底板中點及腹板內(nèi)也存在較大的畸變翹曲剪應力。

圖10 跨中右截面畸變翹曲剪應力分布(單位：kPa)

為了考察懸臂板寬度變化對畸變翹曲應力的影響，引入懸臂板相對寬度概念。定義懸臂板相對寬度κ為懸臂板寬度與頂板寬度之比，即κ=b3/b1，在維持頂板寬度b1不變的條件下，令懸臂板寬度從0增大至4.7 m，則相應κ從0增大至1.0，用本文解析法得到設置跨中橫隔板的箱梁跨中截面角點A和角點B處畸變翹曲正應力隨κ變化曲線見圖11。由圖11可以看出，隨著懸臂板相對寬度的增大，角點A處畸變翹曲正應力迅速減小，而角點B處畸變翹曲正應力絕對值雖然逐漸增大，但其增大幅度很小。可見，角點A處畸變翹曲正應力對懸臂板寬度的變化很敏感。

圖11 畸變翹曲正應力隨懸臂板相對寬度變化曲線

6 結論

(1) 本文提出了一種適用于跨內(nèi)有橫隔板箱梁的畸變效應解析法，將跨內(nèi)橫隔板用相應的約束畸變矩代替并根據(jù)變形協(xié)調(diào)關系確定其大小，從而在初參數(shù)解基礎上獲得有跨內(nèi)橫隔板的箱梁畸變效應解析解，通過Ansys有限元數(shù)值解驗證了本文解析法的正確性。

(2) 布置跨中橫隔板雖然可以減小箱梁的畸變變形及畸變橫向彎矩，但同時顯著改變了箱梁的畸變雙力矩和畸變矩大小及其分布規(guī)律，從而使橫截面內(nèi)畸變翹曲應力顯著增大，設計中應充分重視。

(3) 懸臂板寬度變化對頂板與腹板交接處的畸變翹曲應力有顯著影響；隨著懸臂板寬度的增大，頂板與腹板交接處的畸變翹曲應力迅速減小，而腹板與底板交接處的畸變翹曲應力變化很小。

(4) 算例箱梁的畸變翹曲剪應力最大值發(fā)生在懸臂板根部，在底板中心處及腹板內(nèi)也有較大的畸變翹曲剪應力，在驗算預應力混凝土箱梁斜截面抗裂性時應充分考慮畸變翹曲剪應力影響。