王 曦，王宗彥，張宇廷，范浩東

(1.中北大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，山西 太原 030051)(2.山西省起重機(jī)數(shù)字化設(shè)計(jì)工程技術(shù)研究中心，山西 太原 030051)

隨著“中國(guó)制造2025”和歐盟委員會(huì)工業(yè)5.0的提出，機(jī)器人的發(fā)展日趨成熟。Delta機(jī)器人作為一種高載荷的閉環(huán)式機(jī)械結(jié)構(gòu)，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、高速、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量小、占用空間小等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于機(jī)械加工、食品、藥品等行業(yè)，代替人工完成重復(fù)性高的分揀、抓取、裝箱等工作[1]。

軌跡規(guī)劃是機(jī)器人運(yùn)動(dòng)控制的前提，最優(yōu)軌跡規(guī)劃是指根據(jù)給定路徑點(diǎn)，在滿足一定運(yùn)動(dòng)學(xué)約束條件下，得到時(shí)間、能量或者沖擊最優(yōu)的軌跡。司艷偉[2]使用GA(genetic algorithm，遺傳算法)對(duì)果蔬采摘機(jī)器人軌跡進(jìn)行優(yōu)化，得到時(shí)間-沖擊最優(yōu)軌跡；Su等[3]提出一種基于5次PH曲線的時(shí)間最優(yōu)軌跡規(guī)劃方法；Liu等[4]提出一種結(jié)合前瞻算法的acc-jerk連續(xù)控制方法；施祥玲、袁錦濤等[5-6]提出一種基于多目標(biāo)粒子群算法的時(shí)間-能量-脈動(dòng)最優(yōu)軌跡規(guī)劃方法；Mei等[7]提出一種基于Delta機(jī)器人關(guān)節(jié)抖動(dòng)平均累積效應(yīng)的末端執(zhí)行器運(yùn)動(dòng)軌跡優(yōu)化方法，結(jié)果表明機(jī)器人最大關(guān)節(jié)抖動(dòng)與最大扭矩顯著降低。

對(duì)于Delta并聯(lián)機(jī)器人，在高速運(yùn)動(dòng)的場(chǎng)合下，不僅要考慮運(yùn)行效率，對(duì)于高速運(yùn)行時(shí)會(huì)產(chǎn)生的較大慣性力，以及機(jī)器人輕量化桿件產(chǎn)生的振動(dòng)也不容忽視。同時(shí)為了增加機(jī)器人的壽命，系統(tǒng)能量損耗也是一個(gè)值得優(yōu)化的目標(biāo)。目前國(guó)內(nèi)對(duì)Detla機(jī)器人的多目標(biāo)優(yōu)化算法研究較少。為了縮短并聯(lián)機(jī)器人的運(yùn)行時(shí)間，并降低其高速運(yùn)動(dòng)過程產(chǎn)生的沖擊和能量消耗，本文在門型操作軌跡的基礎(chǔ)上，采用5次非均勻有理B樣條曲線作為操作軌跡并求取各階導(dǎo)矢，得到了機(jī)器人各階運(yùn)動(dòng)學(xué)表達(dá)式，并通過NSGA-Ⅱ算法對(duì)軌跡進(jìn)行優(yōu)化[8-9]。使機(jī)器人在更短運(yùn)行時(shí)間的基礎(chǔ)上，提高了其工作效率、能量利用率和使用壽命。

1 并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解分析

4-DOF-Delta并聯(lián)機(jī)器人如圖1所示。主要由靜平臺(tái)、動(dòng)平臺(tái)、主動(dòng)桿和從動(dòng)連桿組成。靜平臺(tái)上安裝伺服電機(jī)、減速器等傳動(dòng)裝置。

4-DOF并聯(lián)機(jī)器人結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化模型如圖2所示。記靜平臺(tái)世界坐標(biāo)系為O-XYZ，外接圓半徑為R。記動(dòng)平臺(tái)動(dòng)坐標(biāo)系為P-XYZ，外接圓半徑為r。3根主動(dòng)臂與靜平臺(tái)鏈接處為E1,E2,E3，臂長(zhǎng)為L(zhǎng)。3根主動(dòng)臂與從動(dòng)臂鏈接處的球鉸為e1,e2,e3，從動(dòng)臂的臂長(zhǎng)為l。主動(dòng)臂與OXY平面夾角為α，主動(dòng)臂與從動(dòng)臂之間的夾角為β。設(shè)動(dòng)平臺(tái)為質(zhì)點(diǎn)，在世界坐標(biāo)系中，靜平臺(tái)各個(gè)方向的位置矢量為Px,Py,Pz。

圖1 Delta并聯(lián)機(jī)器人

圖2 機(jī)器人結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

采用幾何法對(duì)Delta并聯(lián)機(jī)器人進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析。由Delta并聯(lián)機(jī)器人的支鏈結(jié)構(gòu)相互對(duì)稱可得，3根從動(dòng)桿的長(zhǎng)度始終相等：

‖eiTi‖2=L2

(1)

(2)

式中：Ti為3根從功臂與動(dòng)平臺(tái)鏈接處;β1,β2,β3分別為3組主動(dòng)臂與從動(dòng)臂之間的夾角。其中α分別取-30°、0°和30°。通過倍角公式，整理求得主動(dòng)臂與從動(dòng)臂夾角為：

(3)

其中：

2 軌跡規(guī)劃

本文對(duì)Delta并聯(lián)機(jī)器人的軌跡規(guī)劃在關(guān)節(jié)空間中進(jìn)行。采用5次非均勻有理B樣條插值方法規(guī)劃軌跡既滿足了運(yùn)動(dòng)的高階連續(xù)性還具備了局部控制的特性。

2.1 路徑描述

Delta并聯(lián)機(jī)器人的抓放工作為點(diǎn)到點(diǎn)的操作[9]，其運(yùn)動(dòng)軌跡的規(guī)劃應(yīng)滿足：1)能夠合理地跨越障礙物；2)運(yùn)動(dòng)軌跡平滑且易于實(shí)現(xiàn)；3)工作效率高，避免不必要的時(shí)間或能量等消耗。本文所研究并聯(lián)機(jī)構(gòu)參數(shù)見表1。

表1 機(jī)器人結(jié)構(gòu)參數(shù) 單位：mm

門型軌跡路徑關(guān)鍵點(diǎn)選取如圖3所示。在OXZ平面內(nèi)X軸方向的路徑長(zhǎng)度b=360 mm，z軸方向的路徑高度h=50 mm。其中P1—P2為直線加速段，P2—P3、P3—P4為曲線過渡段，P4—P5為直線減速段。

圖3 機(jī)器人路徑及關(guān)鍵點(diǎn)

2.2 關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃

5次B樣條曲線不僅自身具備局部可控的特性還保留了貝齊爾曲線的幾何不變性和凸包性質(zhì)等。故為了能夠規(guī)劃出高階連續(xù)且可進(jìn)行局部修改的運(yùn)動(dòng)軌跡，采用5次B樣條曲線作為本文路徑規(guī)劃方法。k次B樣條一般形式P(u)為：

(4)

式中：di為曲線的控制頂點(diǎn)；Ni,k(u)為k次規(guī)范B樣條基函數(shù)，其中i為B樣條函數(shù)序列號(hào)，k為B樣條次數(shù)，u為具體節(jié)點(diǎn)。由de Boor-Cox遞推公式得基函數(shù)Ni,k(u)為：

(5)

式中：ui為B樣條曲線中第i個(gè)節(jié)點(diǎn)。

遞增區(qū)間U∈[u0,u1,…,un+2k]，并使ui∈[0,1]。同時(shí)為了使k次B樣條曲線端點(diǎn)具有幾何不變性，將端節(jié)點(diǎn)重復(fù)度設(shè)為(k+1),將時(shí)間節(jié)點(diǎn)ti根據(jù)累計(jì)弦長(zhǎng)參數(shù)化方法進(jìn)行歸一化處理。由de Boor算法計(jì)算末端執(zhí)行器運(yùn)動(dòng)軌跡各階導(dǎo)矢：

(6)

使各關(guān)節(jié)軌跡經(jīng)過(n+1)個(gè)位置點(diǎn)Pi，反求曲線(n+5)個(gè)控制點(diǎn)，將(n+1)個(gè)位置關(guān)鍵點(diǎn)代入式(4)中，由位置-時(shí)間序列可得(n+1)個(gè)方程：

(7)

此外，還需增加(k-1)個(gè)約束條件，通過對(duì)始末位置的初始速度與加速度的設(shè)定來滿足5次B樣條的剩余邊界條件：

(8)

曲線插值所需的(n+5)個(gè)控制點(diǎn)Pi可通過聯(lián)立式(7)和式(8)求解(n+k)個(gè)方程得出，在式(5)推導(dǎo)得出k次B樣條基函數(shù)的基礎(chǔ)上，通過式(6)推導(dǎo)得出曲線控制點(diǎn)的關(guān)節(jié)位置與r階導(dǎo)矢，即可求得相應(yīng)時(shí)刻并聯(lián)機(jī)器人關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)特征。

3 基于NSGA-Ⅱ的多目標(biāo)軌跡優(yōu)化

3.1 多目標(biāo)問題描述

根據(jù)并聯(lián)機(jī)器人實(shí)際工作需求，希望機(jī)器人在能耗小、沖擊小、軌跡平滑條件下使得工作效率最高，因此定義如下目標(biāo)函數(shù)、權(quán)重函數(shù)與機(jī)器人各運(yùn)動(dòng)特征約束條件。

目標(biāo)函數(shù)為：

(9)

權(quán)重函數(shù)為：

S=(λ1S1+λ2S2+λ3S3)/NP

(10)

機(jī)器人各運(yùn)動(dòng)特征約束條件為：

(11)

3.2 NSGA-Ⅱ算法優(yōu)化方案

非支配排序遺傳算法(NSGA-Ⅱ)是一種元啟發(fā)式算法，在傳統(tǒng)遺傳算法的基礎(chǔ)上按照種群中每個(gè)個(gè)體間支配關(guān)系進(jìn)行分層處理[10]。然后通過初始種群的生成、染色體編碼和交叉變異等最終求得Pareto最優(yōu)解集。Pareto支配關(guān)系一般定義為：

(12)

式中：fm(x)為第m維目標(biāo)函數(shù)；lb和ub分別為變量x的下限和上限。

因?yàn)镹SGA-Ⅱ算法具有計(jì)算復(fù)雜度低、運(yùn)行速度快、解集收斂性好等優(yōu)點(diǎn)，所以該算法廣泛應(yīng)用于多目標(biāo)優(yōu)化問題。同時(shí)初始種群的規(guī)模和相關(guān)參數(shù)的選擇在優(yōu)化過程中起著決定性作用。初始種群在式(13)取值范圍內(nèi)隨機(jī)生成。

(13)

染色體編碼采用二進(jìn)制編碼方式，選用40位二進(jìn)制數(shù)，每10位表示一個(gè)時(shí)間變量。交叉操作采用兩點(diǎn)交叉的方式隨機(jī)互換基因序列中任意兩個(gè)位置。變異操作采用多項(xiàng)式變異方法。NSGA-Ⅱ參數(shù)設(shè)置為：1)初始種群規(guī)模N=200；2)交叉概率Pc=0.8；3)最大種群遺傳代數(shù)G=100；4)突變概率M=0.01。

多目標(biāo)優(yōu)化時(shí)，往往各目標(biāo)間存在互相限制的情況，無法做到在改進(jìn)某一目標(biāo)的同時(shí)不影響到其他優(yōu)化目標(biāo)。而優(yōu)化后的解無法相互比較優(yōu)劣，這些解被稱為Pareto最優(yōu)解集，其組成的Pareto前沿如圖4所示。

通過圖4可以看出，在A點(diǎn)機(jī)器人工作時(shí)間最短，在B點(diǎn)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)軌跡最平滑，在C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡能耗和沖擊最小。

4 優(yōu)化結(jié)果及分析

按照?qǐng)D3門型軌跡在機(jī)器人操作空間中選取P1,P2,P3,P4,P5為路徑點(diǎn)，坐標(biāo)見表2。

圖4 Pareto前沿

表2 路徑點(diǎn)參數(shù)

通過路徑關(guān)鍵點(diǎn)的設(shè)置對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行約束，由運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解模型求得各關(guān)鍵點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的機(jī)器人關(guān)節(jié)角(表3)，設(shè)置各關(guān)鍵點(diǎn)時(shí)間序列為[0;0.1;0.4;0.7;0.8]，從而取得關(guān)節(jié)時(shí)間序列{ɑi,t}。

表3 各關(guān)鍵點(diǎn)對(duì)應(yīng)的關(guān)節(jié)角 單位：rad

通過式(10)得出的最優(yōu)時(shí)間序列見表4。

表4 優(yōu)化前后時(shí)間序列 單位：s

在MATLAB中對(duì)規(guī)劃后的路徑進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真，求出優(yōu)化前后各關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)學(xué)特征曲線，如圖5所示。

如圖5所示，在運(yùn)動(dòng)過程中并聯(lián)機(jī)器人的能量消耗和沖擊分別與加速度和急動(dòng)度成正比；機(jī)器人以優(yōu)化后的軌跡可以以較短的時(shí)間(Tall=0.642 3 s)和更為平滑的路徑到達(dá)路徑關(guān)鍵點(diǎn)，比優(yōu)化前的時(shí)間縮短了19.7%。從圖5(b)、(c)可知，優(yōu)化后的運(yùn)動(dòng)軌跡更加平穩(wěn)，加速度比優(yōu)化前明顯減小，故機(jī)器人在工作過程中能耗也會(huì)隨之降低。從圖5(d)可得，5次B樣條曲線插值可保持運(yùn)動(dòng)的高階連續(xù)性，在優(yōu)化后急動(dòng)度得到了明顯改善，有效降低了高速運(yùn)動(dòng)過程中各關(guān)節(jié)的沖擊。

圖5 優(yōu)化前后關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)學(xué)特征曲線

5 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了基于NSGA-Ⅱ算法的并聯(lián)機(jī)器人多目標(biāo)軌跡規(guī)劃方法。以NSGA-Ⅱ算法為基礎(chǔ)，以Delta并聯(lián)機(jī)器人為研究對(duì)象，利用5次非均勻有理B樣條曲線插值法規(guī)劃?rùn)C(jī)器人運(yùn)動(dòng)軌跡，并對(duì)運(yùn)行過程中的時(shí)間、能耗和沖擊進(jìn)行優(yōu)化，使其運(yùn)動(dòng)軌跡更加的平滑無突變，具有更好的柔順性。同時(shí)軌跡優(yōu)化后相較于優(yōu)化前的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)速度、加速度和急動(dòng)度峰值更小，使得機(jī)器人在較短的運(yùn)動(dòng)時(shí)間內(nèi)，有效降低了運(yùn)動(dòng)過程中的能耗和機(jī)械沖擊。