桓 茜，王 偉，鄭旭飛，李宇軒

(1.陜西工業(yè)職業(yè)技術學院航空工程學院，陜西 咸陽 712000) (2.西安工業(yè)大學光電工程學院，陜西 西安 710021)

外骨骼助行機器人具有非線性和強耦合的特點，不同穿戴者在不同的環(huán)境狀態(tài)下行走時，很難及時獲得其精確的數(shù)學模型[1-2]。在設計控制算法時，通常采用最為簡單且有效的線性PD控制，但當機器人處于復雜外界環(huán)境中時，傳統(tǒng)的線性PD 控制會使電機輸出波動較大，影響系統(tǒng)的動態(tài)性能[3-4]。針對這類問題，本文采用自適應魯棒PD 控制策略研究外骨骼助行機器人的動力學模型。

1 外骨骼機器人結(jié)構(gòu)特征

可穿戴式外骨骼可以耦合下肢，協(xié)調(diào)其運動，外骨骼的運動依賴髖、膝、踝3個關節(jié)的運動，為了保證耦合運動協(xié)調(diào)性，外骨骼機器人結(jié)構(gòu)自由度設計如圖1所示。髖關節(jié)是承載人體的關鍵機構(gòu)，設計了內(nèi)收/外展、前屈/后伸、旋內(nèi)/旋外3個自由度，其在協(xié)調(diào)下肢運動中起著關鍵作用，在髖關節(jié)處安裝驅(qū)動電機；膝關節(jié)的活動幅度較小，在滿足人體正常行走情況下只保留1個自由度，即屈/伸，同樣在膝關節(jié)處安裝驅(qū)動電機；踝關節(jié)為從動件，其跟隨外骨骼擺動，故只考慮其背屈/跖屈運動[5]。

圖1 下肢外骨骼機器人結(jié)構(gòu)

在外骨骼控制系統(tǒng)的設計中，關節(jié)驅(qū)動方式采用電機驅(qū)動，系統(tǒng)硬件包括盤式直流伺服電機、錐齒輪減速器、旋轉(zhuǎn)編碼器、嵌入式運動控制器、壓力傳感器、信號處理器等。通過編碼器采集關節(jié)角度，分析處理后發(fā)送給運動控制器，驅(qū)動關節(jié)電機進行實時運動控制，保證了外骨骼跟隨下肢步態(tài)軌跡協(xié)調(diào)運動[6]。

2 下肢外骨骼動力學分析

動力學分析結(jié)果是后續(xù)外骨骼系統(tǒng)控制算法中建立數(shù)學模型的重要依據(jù)。所設計下肢外骨骼控制系統(tǒng)中，通過關節(jié)運動信息來控制驅(qū)動電機對各個關節(jié)輸出力矩的大小，采用逆動力學分析方法建立外骨骼機構(gòu)動力學模型，圖2所示為下肢外骨骼二自由度連桿模型，為了簡化分析過程，在此僅考慮髖、膝2個關節(jié)的運動，忽略踝關節(jié)處的作用力矩[7- 8]。

圖2 下肢外骨骼二自由度連桿模型簡圖

以人體行走的矢狀面為參考，大腿構(gòu)件繞髖關節(jié)O1點擺動，以O1為原點建立坐標系。下肢外骨骼系統(tǒng)中大腿構(gòu)件的長度為l1，質(zhì)量為m1；小腿構(gòu)件的長度為l2，質(zhì)量為m2。θ1和θ2為髖、膝關節(jié)的運動關節(jié)角度，T1和T2為控制力矩。

對于二自由度連桿機構(gòu)，其動力學特征可以由二階非線性微分方程來表示[9]：

(1)

對于上述二自由度連桿系統(tǒng)，通過建立拉格朗日方程表達式來求解，其方程函數(shù)L為系統(tǒng)動能Ek和勢能Ep之差，即：

L=Ek-Ep=(Ek1+Ek2)-(Ep1+Ep2)

(2)

式中：Ek1，Ek2分別為大、小腿構(gòu)件的動能；Ep1，Ep2分別為大、小腿構(gòu)件的勢能。

求解關節(jié)力矩的拉格朗日動力學方程為：

(3)

在圖2所示的外骨骼系統(tǒng)中，關于大、小腿構(gòu)件的動能和勢能計算如下：

1)M1(x1,y1)點的坐標為(l1sinθ1，-l1cosθ1)，則大腿構(gòu)件的動能Ek1和勢能Ep1分別為：

(4)

Ep1=m1gy1=-m1gl1cosθ1

(5)

式中：v1為M1點的速度；g為重力加速度。

2)M2(x2,y2)點的坐標為(l1sinθ1+l2sin(θ1+θ2)，-l1cosθ1-l2cos(θ1+θ2))，計算M2點的速度v2為：

(6)

(7)

則小腿構(gòu)件的動能Ek2和勢能Ep2為：

(8)

Ep2=m2gy2=-m2gl1cosθ1-m2gl2cos(θ1+θ2)

(9)

由此，可構(gòu)造出拉格朗日函數(shù)L為：

(10)

綜上，求解外骨骼的動力學方程如下。

1)大腿構(gòu)件的控制力矩T1為：

(11)

其中

(12)

(13)

θ2)m2l1l2

(14)

將式(12)～式(14)代入式(11)，得：

(15)

2)小腿構(gòu)件的控制力矩T2為：

(16)

其中

(17)

(18)

(19)

將式(17)～式(19)代入式(16)，得：

將T1和T2以矩陣形式表達：

(20)

式中：

M(θ)=

3 自適應魯棒PD控制策略

焦曉紅等[10]提出了一種自適應魯棒PD控制策略，避免了初始力矩過大的缺點，同時確保良好的軌跡跟蹤性能，保證下肢外骨骼控制系統(tǒng)的良好運動特性。

將下肢外骨骼動力學的建模誤差和步態(tài)運動時存在的擾動記為ω，用于描述各種誤差和外部擾動，則公式(1)可寫成：

(21)

進一步，引入輔助信號y和θr：

(22)

式(1)在滿足線性關系特性時，結(jié)合所引入變量y和θr可以得到如下關系式：

(23)

結(jié)合式(21)，可得如下關系式：

(24)

當外骨骼機器人輔助下肢運動時，必定會受到外界干擾產(chǎn)生各種誤差和擾動[11]。為了保證系統(tǒng)穩(wěn)定性，本文所設計的控制器為：

(25)

在式(1)中，對于上確界未知的誤差擾動信號，采用以下自適應率可保證全局漸進穩(wěn)定：

(26)

(27)

式中：Γ為正定對稱矩陣。

4 下肢外骨骼控制仿真實驗

完成控制器設計之后，在MATLAB/Simulink環(huán)境下建立S函數(shù)進行控制仿真實驗，控制系統(tǒng)仿真實驗模型如圖3所示，通過S函數(shù)完成動力學模型的建立。

圖3 在MATLAB/Simulink環(huán)境下的控制仿真模型

以期望正弦信號作為髖、膝關節(jié)的輸入，仿真得到髖、膝2個關節(jié)的位置跟蹤仿真曲線，如圖4～圖7所示。由圖可以看出，在外部干擾下，髖、膝關節(jié)的位置跟蹤曲線與期望正弦曲線的形狀保持一致，誤差較小，且誤差很快收斂到0，表明系統(tǒng)能夠很好地控制下肢外骨骼的運動軌跡。

圖4 膝關節(jié)位置跟蹤曲線

圖5 膝關節(jié)位置跟蹤誤差曲線

圖6 髖關節(jié)位置跟蹤曲線

圖7 髖關節(jié)位置跟蹤誤差曲線

圖8所示為仿真得到的髖、膝關節(jié)的控制力矩，由圖可以看出，2個關節(jié)的力矩均小于100 N·m，說明控制系統(tǒng)具有很好的穩(wěn)定性，可以很好地跟隨下肢關節(jié)的運動軌跡，為下肢外骨骼結(jié)構(gòu)與驅(qū)動優(yōu)化設計提供了數(shù)據(jù)支持。

圖8 膝、髖關節(jié)的控制力矩

5 結(jié)束語

本文采用自適應魯棒PD控制方式對一種錐齒輪外骨骼助行機器人的控制系統(tǒng)進行了仿真實驗，通過建立下肢外骨骼的二自由度連桿模型，計算了髖、膝關節(jié)的動力學方程。在MATLAB/Simulink環(huán)境中對控制系統(tǒng)進行仿真，結(jié)果表明，采用自適應魯棒PD控制算法具有很好的步態(tài)軌跡跟蹤能力，系統(tǒng)穩(wěn)定且誤差小，證實了所設計控制算法是有效的，所計算關節(jié)力矩為下肢外骨骼結(jié)構(gòu)與驅(qū)動優(yōu)化設計提供了數(shù)據(jù)支持。