張 潔， 李新穎， 楊宗凱， 達(dá) 虎

（1. 蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，蘭州 730070；2. 蘭州交通大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院，蘭州 730070；3. 甘肅省計(jì)算中心，蘭州 730046）

引 言

神經(jīng)元是神經(jīng)系統(tǒng)的基本單位，神經(jīng)元的基本結(jié)構(gòu)有胞體、樹突和軸突，主要通過突觸進(jìn)行信息傳遞，其中化學(xué)突觸是一種主要的信息傳遞方式，通過突觸前膜釋放神經(jīng)遞質(zhì)，刺激突觸后膜產(chǎn)生動作電位，在神經(jīng)元之間進(jìn)行信息傳遞[1].文獻(xiàn)[2]研究了化學(xué)突觸中時(shí)滯及耦合強(qiáng)度對耦合神經(jīng)元系統(tǒng)同步的影響，揭示了時(shí)滯對耦合神經(jīng)元同步有促進(jìn)作用.由于細(xì)胞間各帶電離子進(jìn)行跨膜運(yùn)動時(shí)產(chǎn)生的放電行為會在細(xì)胞周圍產(chǎn)生小范圍的磁場，影響神經(jīng)元的電位變化，而電位的變化又會引起磁場的改變，導(dǎo)致神經(jīng)元之間信息傳遞始終處于一個(gè)微弱磁場當(dāng)中，這勢必會對其放電模式及其同步狀態(tài)產(chǎn)生影響[3].Ma 等[4-5]通過對單個(gè)神經(jīng)元模型在電磁輻射下的多模式放電行為的研究，揭示了電磁對神經(jīng)元放電的影響.文獻(xiàn)[6]揭示了周期電磁刺激對單個(gè)神經(jīng)元和神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)動力學(xué)行為的顯著調(diào)控能力.文獻(xiàn)[7]研究了磁流對化學(xué)突觸與電突觸神經(jīng)元系統(tǒng)同步的影響.Guo 等[8]在改進(jìn)的電磁感應(yīng)神經(jīng)元模型基礎(chǔ)上，研究了鏈?zhǔn)竭B接下耦合神經(jīng)元模型的場耦合效應(yīng)，揭示了穩(wěn)定性與耦合強(qiáng)度之間的關(guān)系.然而突觸間總存在著間隙，使神經(jīng)元信息之間的傳遞總存在著一定的延遲，這種現(xiàn)象稱之為時(shí)滯[9].時(shí)滯的出現(xiàn)，使原本神經(jīng)系統(tǒng)從有限維轉(zhuǎn)變?yōu)闊o限維，使其本身復(fù)雜的動力學(xué)行為研究更具有挑戰(zhàn)性，國內(nèi)外學(xué)者紛紛在這方面進(jìn)行探索與研究.文獻(xiàn)[10]研究了傳導(dǎo)延遲對具有抑制性突觸神經(jīng)元系統(tǒng)破裂同步的影響，揭示了只有通過傳導(dǎo)延遲來抑制混沌，才能有效增強(qiáng)耦合系統(tǒng)的同步.文獻(xiàn)[11]研究了兩個(gè)具有時(shí)滯的突觸耦合FHN 神經(jīng)元的分岔和同步問題，揭示了隨著時(shí)滯的引入，耦合神經(jīng)元會出現(xiàn)由混沌運(yùn)動向周期運(yùn)動的過渡，并且小的時(shí)間延遲可以產(chǎn)生新的周期窗口.Wang 等[12]通過對引入時(shí)滯的耦合混沌Morris-Lecar (ML)神經(jīng)元同步研究，發(fā)現(xiàn)時(shí)滯不僅能提高耦合神經(jīng)元的同步，還能引發(fā)其豐富的放電模式.

為觀察化學(xué)突觸、電磁和時(shí)滯等作用對神經(jīng)元動力學(xué)特性的影響，本文在ML 神經(jīng)元模型的基礎(chǔ)上，首先通過化學(xué)突觸耦合，建立耦合神經(jīng)元系統(tǒng)，運(yùn)用相似函數(shù)，通過數(shù)值模擬方法，探究抑制性與興奮性化學(xué)突觸對耦合系統(tǒng)同步的影響，并用時(shí)間歷程圖與相圖進(jìn)行驗(yàn)證，討論了不同類型的化學(xué)突觸對神經(jīng)元特性的影響.之后，在此基礎(chǔ)上增加磁通量，建立了具有磁通的耦合ML 神經(jīng)元模型，通過數(shù)值仿真探究耦合神經(jīng)元系統(tǒng)的分岔與同步，探究了時(shí)滯對耦合系統(tǒng)分岔與同步的影響，并運(yùn)用雙參數(shù)圖研究了多個(gè)參數(shù)改變對分岔及同步的影響.

1 模型描述與數(shù)值模擬

1.1 模型描述

ML 神經(jīng)元模型是描述北極鵝肌肉纖維電活動的一個(gè)神經(jīng)元模型，也是產(chǎn)生動作電位最簡單的模型之一.在ML 模型中引入化學(xué)突觸[1]，得到如下模型：

這里V,w,u分 別表示神經(jīng)元的膜電位、恢復(fù)變量、調(diào)節(jié)V和w的慢變量；D表示由化學(xué)突觸建立耦合關(guān)系的耦合強(qiáng)度；Vsyn表 示突觸反轉(zhuǎn)電壓，它依賴于前突觸神經(jīng)元和接受者.耦合是興奮性的還是抑制性的，依賴于Vsyn的取值，根據(jù)文獻(xiàn)[2]，抑制性條件下，設(shè)置Vsyn=?0.5， 興奮性條件下，設(shè)置Vsyn=0.3. 突觸閾值 θ =?0.35，比率常數(shù) σ=5.0， 其 余 為 系 統(tǒng) 參 數(shù)，取 值 為gl=0.5，gK=2.0，gCa=1.2 ，Vl=?0.5，VK=?1，VCa=1.0，v1=?0.01，v2=0.15，v3=0.1，v4=0.05， μ=0.005.

1.2 數(shù)值模擬與結(jié)果

為分析耦合神經(jīng)元系統(tǒng)的同步情況，在此處引入一個(gè)統(tǒng)計(jì)量[2]——相似函數(shù)，其表達(dá)式如下：

對化學(xué)突觸的ML 神經(jīng)元模型，其抑制性與興奮性條件下的相似函數(shù)圖如圖1 所示，圖1(a)反映了抑制性條件下相似函數(shù)值S(0)與耦合強(qiáng)度D的關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)耦合系統(tǒng)在耦合強(qiáng)度D=2.04 時(shí)達(dá)到同步.圖1(b)反映了興奮性條件下相似函數(shù)值S(0)與耦合強(qiáng)度D的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)在耦合強(qiáng)度D=0.006 時(shí)同步，但并不穩(wěn)定，耦合強(qiáng)度繼續(xù)變大，耦合系統(tǒng)不再同步.直到耦合強(qiáng)度D=0.175 時(shí)，耦合系統(tǒng)達(dá)到同步，并趨于穩(wěn)定.圖2 與圖3 是進(jìn)一步對相似函數(shù)變化圖的驗(yàn)證，反映了耦合系統(tǒng)隨時(shí)間尺度的增大，耦合系統(tǒng)放電的狀態(tài)和同步的情況.抑制性條件下的時(shí)間歷程圖與相圖如圖2 所示.取耦合強(qiáng)度D=1.98，S(0)=0.239.其時(shí)間歷程圖與相圖如圖2(a)、圖2(b)所示.圖2(a)中黑色表示第一個(gè)神經(jīng)元的放電節(jié)律，紅色為第二個(gè)神經(jīng)元的放電節(jié)律，兩個(gè)神經(jīng)元放電開始為靜息態(tài)，之后隨時(shí)間的增加，兩個(gè)神經(jīng)元開始放電，但兩個(gè)神經(jīng)元的放電節(jié)律存在錯(cuò)位，表示兩個(gè)神經(jīng)元之間不同步.圖2(b)中的相圖也說明兩個(gè)神經(jīng)元之間不同步.取耦合強(qiáng)度D=2.04 ，S(0)=0.其時(shí)間歷程圖與相圖如圖2(c)、圖2(d)所示.圖2(c)中時(shí)間歷程圖呈現(xiàn)為一條水平直線，兩個(gè)神經(jīng)元都處于靜息狀態(tài)，為靜息同步.圖2(d)中，相圖在(V1,V2)平面內(nèi)呈現(xiàn)一個(gè)點(diǎn)，也說明耦合系統(tǒng)處于靜息同步.興奮性條件下的相圖與時(shí)間歷程圖如圖3 所示.取耦合強(qiáng)度D=0.081,S(0)=0.585639.其時(shí)間歷程圖與相圖如圖3(a)、圖3(b)所示，兩個(gè)神經(jīng)元的簇放電同時(shí)發(fā)生，但兩個(gè)神經(jīng)元的放電節(jié)律存在一定的錯(cuò)位，表示兩個(gè)神經(jīng)元之間不同步.圖3(b)中的相圖也表明兩個(gè)神經(jīng)元是不相關(guān)的.取耦合強(qiáng)度D=0.175 ，S(0)=0，時(shí)間歷程圖如圖3(c)、圖3(d)所示，此時(shí)兩個(gè)神經(jīng)元都為峰放電狀態(tài)，并且放電節(jié)律一致，表示耦合系統(tǒng)達(dá)到同步.圖3(d)中的相圖在(V1,V2)平面內(nèi)呈現(xiàn)一條斜率為1 的直線，表示此時(shí)耦合系統(tǒng)達(dá)到同步.

圖1 系統(tǒng)(1)在抑制性與興奮性條件下的相似函數(shù)圖Fig. 1 Similarity function diagrams of system (1) under inhibitory and excitatory conditions

圖2 系統(tǒng)(1)在抑制性條件下的時(shí)間歷程圖與相圖：(a) D =1.98 時(shí)的時(shí)間歷程圖；(b) D =1.98時(shí)的相圖；(c) D =2.04 時(shí)的時(shí)間歷程圖；(d) D =2.04時(shí)的相圖Fig. 2 Time history diagrams and phase diagrams of system (1) under inhibition: (a) the time history diagram at time D =1.98; (b) the phase diagram at time D=1.98 ; (c) the time history diagram at time D =2.04 ; (d) the phase diagram at timeD=2.04

圖3 系統(tǒng)(1)在興奮性條件下的時(shí)間歷程圖與相圖：(a) D =0.081時(shí) 的時(shí)間歷程圖；(b) D =0.081時(shí)的相圖；(c) D =0.175時(shí) 的時(shí)間歷程圖；(d) D =0.175時(shí)的相圖Fig. 3 Time history diagrams and phase diagrams of system (1) under excitatory condition: (a) the time history diagram at time D=0.081; (b) the phase diagram at time D =0.081; (c) the time history diagram at time D =0.175; (d) the phase diagram at timeD=0.175

通過對抑制性化學(xué)突觸和興奮性化學(xué)突觸對耦合系統(tǒng)同步影響的分析，發(fā)現(xiàn)在抑制性條件下，耦合系統(tǒng)隨著耦合強(qiáng)度的變大，神經(jīng)元放電的時(shí)間段逐漸減小，處于靜息的時(shí)間段不斷增加，在耦合強(qiáng)度增大到一定程度時(shí)，耦合系統(tǒng)為靜息狀態(tài)，達(dá)到靜息同步.興奮性條件下的耦合神經(jīng)元與抑制性條件下的耦合神經(jīng)元的不同之處為在耦合系統(tǒng)達(dá)到同步之后，神經(jīng)元依然處于放電狀態(tài).說明興奮性的化學(xué)突觸能夠刺激耦合系統(tǒng)在達(dá)到同步之后依然放電.

2 時(shí)滯對神經(jīng)元分岔的影響

2.1 模型描述

神經(jīng)元內(nèi)外磁場變化會引起電磁感應(yīng)現(xiàn)象[3-5]，對神經(jīng)元放電會產(chǎn)生影響，在具有化學(xué)突觸的模型中引入磁通變量和時(shí)滯[9]，得到如下模型：

2.2 分岔分析

2.2.1 單參數(shù)分岔分析

在數(shù)值計(jì)算中，采用四階變步長Runge-Kutta 方法對考慮時(shí)滯的帶有磁通和化學(xué)突觸的耦合神經(jīng)元系統(tǒng)進(jìn)行分岔分析，研究時(shí)滯對其動力學(xué)行為的影響.主要通過兩方面動力學(xué)特性進(jìn)行探討，首先是通過峰-峰間期（ISI）分岔圖探討耦合神經(jīng)元系統(tǒng)的分岔情況，其中峰-峰間期表示神經(jīng)元膜電位達(dá)到相鄰兩次動作電位的時(shí)間差，通過時(shí)間差描述神經(jīng)元的放電規(guī)律.之后是通過相似函數(shù)探討耦合神經(jīng)元中兩個(gè)神經(jīng)元的同步情況.在以下分析中，在分析分岔時(shí)，以第一個(gè)神經(jīng)元進(jìn)行分岔分析，但因?yàn)樵谶M(jìn)行分岔分析時(shí)所選取的初值是一樣的，兩個(gè)神經(jīng)元的分岔是同步進(jìn)行的，所以分岔的結(jié)論對第二個(gè)神經(jīng)元同樣適用.

選取磁通[3]反饋增益k1進(jìn)行數(shù)值仿真，峰-峰間期分岔圖如圖4 所示，隨著反饋增益的不斷增大，耦合系統(tǒng)呈現(xiàn)逆倍周期分岔.當(dāng)? 1.2≤k1≤?1.137時(shí) ，耦合系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，隨著反饋增益的不斷增大，至k1=?1.137，耦合系統(tǒng)呈現(xiàn)周期8 放電，至k1=?1.116， 退化至周期4 放電，至k1=?0.993，退化至周期2 放電，最后至k1=?0.419 5， 退化至周期1 放電.接下來對反饋增益k1的 峰-峰間期分岔圖進(jìn)行驗(yàn)證，分別取k1=0.2,?0.5,?1.08， 得到對應(yīng)的時(shí)間歷程圖與相圖，如圖5 所示.從圖5 中可以看到k1=0.2時(shí)，耦合系統(tǒng)呈現(xiàn)周期1 放電；k1=?0.5時(shí) ，耦合系統(tǒng)呈現(xiàn)周期2 放電；k1=?1.08時(shí)，耦合系統(tǒng)呈現(xiàn)周期4 放電.通過上述分析，說明耦合系統(tǒng)在反饋增益k1的影響下會產(chǎn)生豐富的放電行為.

圖4 系統(tǒng)(2)反饋增益k 1的峰-峰間期分岔圖Fig. 4 The peak-to-peak bifurcation diagram of the feedback gain of system (2)

圖5 系統(tǒng)(2)在不同反饋增益下的時(shí)間歷程圖與相圖：(a) k 1=0.2 的時(shí)間歷程圖；(b) k1 =?0.5 的時(shí)間歷程圖；(c) k 1=?1.08的時(shí)間歷程圖；(d) k 1=0.2 的 相圖；(e) k 1=?0.5 的 相圖；(f) k 1=?1.08的相圖Fig. 5 Time history diagrams and phase diagrams of system (2) under different feedback gains: (a) the time history diagram at time k1 =0.2; (b) the time history diagram at time k 1=?0.5 ; (c) the time history diagram at time k 1=?1.08 ; (d) the phase diagram at time k 1=0.2; (e) the phase diagram at time k 1=?0.5 ; (f) the phase diagram at timek1=?1.08

在反饋增益k1的影響下，耦合系統(tǒng)產(chǎn)生了豐富的放電行為，所以引入不同的時(shí)滯[10]，觀察時(shí)滯對反饋增益k1分 岔圖的影響，如圖6 所示，當(dāng)時(shí)滯 τ =0.1時(shí)，與圖4 進(jìn)行對比，耦合系統(tǒng)仍呈現(xiàn)逆倍周期分岔，隨反饋增益k1的不斷增大，耦合系統(tǒng)仍從混沌放電到周期8 放電，再到周期4 放電，再到周期2 放電，之后到周期1 放電，但混沌放電區(qū)間明顯減少，周期放電區(qū)間增加.當(dāng)時(shí)滯 τ =0.5時(shí)，耦合系統(tǒng)直接從周期2 退化至周期1.當(dāng)時(shí)滯τ=1.0時(shí)，耦合系統(tǒng)只呈現(xiàn)周期1 放電.

圖6 系統(tǒng)(2)在不同時(shí)滯下反饋系數(shù)k 1的峰-峰間期分岔圖Fig. 6 The peak-to-peak bifurcation diagrams of feedback coefficients for system (2) with different delays

接下來對參數(shù) α的峰-峰間期分岔圖進(jìn)行分析，不同時(shí)滯滯[11]下參數(shù) α的峰-峰間期分岔圖如圖7 所示.當(dāng)時(shí)滯 τ =0 時(shí) ，隨參數(shù) α的變化，耦合系統(tǒng)首先經(jīng)歷倍周期分岔，之后進(jìn)入混沌放電.從周期1 放電倍化至周期2 放電再到周期4 放電，之后進(jìn)入混沌放電，經(jīng)過混沌放電之后，又進(jìn)入短暫的周期3 放電，之后進(jìn)入混沌放電.當(dāng)時(shí)滯τ =0.5時(shí)，與圖7(a)對比，發(fā)現(xiàn)耦合系統(tǒng)仍經(jīng)歷倍周期分岔，之后進(jìn)入混沌放電，但混沌放電區(qū)間明顯減少.當(dāng)時(shí)滯τ =1.0時(shí)，耦合系統(tǒng)只出現(xiàn)倍周期分岔，不再出現(xiàn)混沌放電現(xiàn)象.

圖7 系統(tǒng)(2)在不同時(shí)滯下參數(shù)α 的峰-峰間期分岔圖Fig. 7 The peak-to-peak bifurcation diagrams of system (2) with different time delays

通過對添加時(shí)滯的反饋增益k1分 岔圖及參數(shù)α 的分岔圖的分析，發(fā)現(xiàn)引入時(shí)滯之后，耦合系統(tǒng)放電的混沌現(xiàn)象減少，并隨時(shí)滯增大，混沌現(xiàn)象減少越多，甚至消失.說明時(shí)滯增強(qiáng)了耦合系統(tǒng)放電的周期性，可以通過引入有效的時(shí)滯的方法，來實(shí)現(xiàn)對耦合系統(tǒng)放電行為的分岔和混沌控制.

2.2.2 雙參數(shù)分岔分析

為了進(jìn)一步研究多個(gè)參數(shù)對耦合神經(jīng)元系統(tǒng)放電模式的影響，運(yùn)用雙參數(shù)分岔圖進(jìn)行分析.選取反饋增益k1與 參數(shù)VK，VCa， 以及反饋增益k2與 參數(shù)gCa，gK進(jìn)行數(shù)值模擬，如圖8 所示.圖中紅色表示周期1 放電，黃色表示周期2 放電，綠色表示周期3 放電，藍(lán)綠色表示周期4 放電等，每個(gè)顏色都代表一個(gè)周期，代表的周期數(shù)由圖右邊的圖標(biāo)給出，其中大于等于周期15 的由淺黃色給出.觀察圖8(a)，發(fā)現(xiàn)在 (k1,VK)平面內(nèi)，固定k1=?0.225進(jìn) 行分析，整個(gè)耦合系統(tǒng)的分岔從左邊開始，首先為紅色區(qū)域呈現(xiàn)周期1 放電，隨著參數(shù)VK的增加，耦合系統(tǒng)發(fā)生三次倍周期分岔，進(jìn)入黃色區(qū)域周期2 放電、藍(lán)綠色區(qū)域周期4 放電及非常狹小的淺灰藍(lán)色區(qū)域周期8 放電，之后進(jìn)入混沌放電，經(jīng)過混沌放電之后，又一次重復(fù)發(fā)生倍周期分岔，進(jìn)入綠色區(qū)域周期3 放電、淡藍(lán)色區(qū)域周期6 放電及品紅色區(qū)域周期12 放電，之后又一次進(jìn)入混沌放電，緊接著發(fā)生加周期分岔，進(jìn)入藍(lán)綠色區(qū)域周期4 放電及藍(lán)色區(qū)域周期5 放電.觀察圖8(b)，發(fā)現(xiàn)在(k1,VCa)平 面內(nèi)，固定k1=?0.8進(jìn)行分析，整個(gè)耦合系統(tǒng)的分岔從右邊開始，首先為紅色區(qū)域周期1 放電，隨著參數(shù)VCa的不斷減小，耦合系統(tǒng)通過三次倍周期分岔進(jìn)入黃色區(qū)域周期2 放電、藍(lán)綠色區(qū)域周期4 放電及非常狹小的淺灰藍(lán)色區(qū)域周期8 放電，之后進(jìn)入混沌放電，通過混沌放電，耦合系統(tǒng)重復(fù)發(fā)生倍周期分岔，進(jìn)入綠色區(qū)域周期3 放電及淡藍(lán)色區(qū)域周期6 放電，隨參數(shù)VCa繼續(xù)減小，又進(jìn)入混沌放電，通過第二次混沌放電后，耦合系統(tǒng)開始進(jìn)入加周期分岔，依次進(jìn)入周期4、周期5、周期6 放電.觀察圖8(c)，發(fā)現(xiàn)在 (k2,gCa)平面內(nèi)，耦合系統(tǒng)整體分岔呈現(xiàn)山峰狀，固定gCa=1進(jìn)行分析，首先耦合系統(tǒng)整體從右上角開始呈現(xiàn)紅色區(qū)域周期1 放電，之后從兩邊向中間，通過多次倍周期分岔，依次出現(xiàn)周期2 放電、周期4 放電、周期8 放電，之后隨著反饋增益k2減小，混沌放電與周期放電交替出現(xiàn)，但周期放電區(qū)域非常小，之后隨反饋增益k2繼續(xù)減小，繼續(xù)發(fā)生倍周期分岔，出現(xiàn)周期3 放電、周期6 放電及小范圍周期12 放電.觀察圖8(d)，發(fā)現(xiàn)在 (k2,gK)平 面內(nèi)，固定k2=1.6進(jìn)行分析，整個(gè)耦合系統(tǒng)的分岔從右邊開始，首先為周期1 放電，之后隨參數(shù)gK不斷減小，耦合系統(tǒng)發(fā)生兩次倍周期分岔，進(jìn)入周期2、周期4 放電，之后進(jìn)入混沌放電，之后進(jìn)入周期3 放電，通過倍化分岔后，進(jìn)入周期6 與周期12 放電，之后又進(jìn)入混沌放電，通過混沌放電又進(jìn)入周期4 放電.

圖8 反饋增益k 1，k 2 與 不同參數(shù)的雙參數(shù)分岔圖：(a) k 1與 V K 雙參數(shù)分岔圖；(b) k 1與 V Ca雙參數(shù)分岔圖；(c) k 2 與 g Ca雙 參數(shù)分岔圖；(d) k 2 與 g K雙參數(shù)分岔圖Fig. 8 Two-parameter bifurcation diagrams with feedback gains and different parameters: (a) the k1 and VK two-parameter bifurcation diagram; (b) the k 1 and VCa two-parameter bifurcation diagram; (c) the k 2 and g Ca two-parameter bifurcation diagram; (d) the k 2 and g K two-parameter bifurcation diagram

3 時(shí)滯對耦合神經(jīng)元同步的影響

3.1 單參數(shù)分析

為研究耦合系統(tǒng)（2）的同步行為，仍利用上文中的相似函數(shù)，運(yùn)用四階變步長Runge-Kutta 方法進(jìn)行數(shù)值模擬.

以化學(xué)耦合強(qiáng)度D為參數(shù)，分別得到耦合強(qiáng)度D在 τ=0 和 τ=2.0等時(shí)滯作用下的相似函數(shù)圖[12,14-16]，如圖9 所示，觀察圖9(a)，發(fā)現(xiàn)耦合系統(tǒng)在τ =0，耦合強(qiáng)度D<1 時(shí)，相似函數(shù)的值約等于0.75，此時(shí)相似函數(shù)值比較大，耦合系統(tǒng)中的兩個(gè)神經(jīng)元相關(guān)性較小，耦合系統(tǒng)未達(dá)到同步.隨著耦合強(qiáng)度不斷增加，相似函數(shù)值不斷減小，說明耦合系統(tǒng)中兩個(gè)神經(jīng)元之間的相關(guān)性不斷增加，耦合強(qiáng)度在2.2 時(shí)，相似函數(shù)值急劇減小至0，說明耦合系統(tǒng)中兩個(gè)神經(jīng)元之間的相關(guān)性非常大，耦合系統(tǒng)達(dá)到同步.觀察圖9(b)，發(fā)現(xiàn)耦合系統(tǒng)在τ =2.0，耦合強(qiáng)度D<2 時(shí)，相似函數(shù)值約等于1.2，此時(shí)相似函數(shù)值比較大，耦合系統(tǒng)中的兩個(gè)神經(jīng)元相關(guān)性較小，耦合系統(tǒng)未達(dá)到同步.耦合系統(tǒng)在耦合強(qiáng)度D=2 與D=3 附近出現(xiàn)了兩次大幅度的波動，但相似函數(shù)值未達(dá)到0，在耦合強(qiáng)度大于3 之后，相似函數(shù)值逐漸減小，在耦合強(qiáng)度達(dá)到3.8 時(shí)，相似函數(shù)值等于0，說明耦合系統(tǒng)中兩個(gè)神經(jīng)元之間的相關(guān)性非常大，耦合系統(tǒng)達(dá)到同步.接下來選取耦合強(qiáng)度D=2.2，在 τ =0 與 τ =2.0處的相圖與時(shí)間歷程圖對以上分析加以驗(yàn)證，如圖10 所示.圖10(a)、圖10(b)為時(shí)滯 τ =0時(shí)的相圖與時(shí)間歷程圖，相圖呈現(xiàn)一條斜率為1 的直線，說明此時(shí)耦合系統(tǒng)達(dá)到同步，時(shí)間歷程圖呈現(xiàn)一條水平的直線，說明此時(shí)耦合系統(tǒng)處于一種靜息同步狀態(tài).圖10(c)、圖10(d)為時(shí)滯 τ =2.0處的相圖與時(shí)間歷程圖，相圖不是斜率為1 的直線，說明此時(shí)耦合系統(tǒng)未達(dá)到同步，時(shí)間歷程圖中兩個(gè)神經(jīng)元的放電也有錯(cuò)位，進(jìn)一步驗(yàn)證了此時(shí)神經(jīng)元未達(dá)到同步.

圖9 系統(tǒng)(2)不同時(shí)滯下的相似函數(shù)圖Fig. 9 Similar function diagrams of system (2) with different time delays

圖10 系統(tǒng)(2)在相同耦合強(qiáng)度不同時(shí)滯下的相圖與時(shí)間歷程圖Fig. 10 Phase diagrams and time history diagrams of system (2) under the same coupling strength and different delays

通過以上分析，對比在時(shí)滯 τ=0 與 τ=2.0時(shí)的相似函數(shù)圖，發(fā)現(xiàn)在具有化學(xué)突觸耦合與磁通耦合的神經(jīng)元系統(tǒng)中，添加時(shí)滯后，使耦合系統(tǒng)在原本的同步狀態(tài)變?yōu)榉峭綘顟B(tài)，即時(shí)滯的添加會破壞耦合系統(tǒng)的同步.

3.2 雙參數(shù)分析

為了進(jìn)一步分析多個(gè)參數(shù)對耦合系統(tǒng)同步行為的影響，在無時(shí)滯狀態(tài)下，通過相似函數(shù)進(jìn)行數(shù)值模擬，分別得到反饋增益k1與 參數(shù) α，Vsyn和耦合強(qiáng)度的相似函數(shù)圖，如圖11 所示.紅色區(qū)域表示耦合系統(tǒng)同步區(qū)域，其他顏色區(qū)域表示耦合系統(tǒng)不同步區(qū)域.觀察圖11(a)，發(fā)現(xiàn)在 (k1,α) 平 面內(nèi)，在區(qū)間k1∈[?0.5,0.8]內(nèi)，α<0.093 5時(shí) ，耦合系統(tǒng)始終處于藍(lán)色及藍(lán)綠色區(qū)域，說明耦合系統(tǒng)沒有達(dá)到同步；在 α=0.093 5，k1=0.8時(shí)，S(0)= 0.000001，此時(shí)耦合系統(tǒng)進(jìn)入紅色區(qū)域，達(dá)到同步，之后隨參數(shù) α不斷增加，紅色區(qū)域逐漸變大，藍(lán)色及藍(lán)綠色區(qū)域逐漸變小，說明耦合神經(jīng)元之間同步的范圍越來越多.觀察圖11(b)，發(fā)現(xiàn)在 (k1,Vsyn)平面內(nèi)，在區(qū)間k1∈[?1.2,0.9]內(nèi) ，Vsyn

圖11 系統(tǒng)(2)在無時(shí)滯狀態(tài)下的相似函數(shù)圖：(a) 反饋增益k 1與 參數(shù)α 相似函數(shù)圖；(b) 反饋增益k 1與 參數(shù)V syn相似函數(shù)圖；(c) 反饋增益k 1與耦合強(qiáng)度D 相似函數(shù)圖Fig. 11 Similar function diagrams of system (2) without delay: (a) the feedback gain k1 and parameter α similarity function diagram; (b) the feedback gaink1 and parameter V syn similarity function diagram; (c) the feedback gain k 1 and coupling strength similarity function diagram

4 結(jié) 論

本文在ML 神經(jīng)元的基礎(chǔ)上，利用化學(xué)突觸構(gòu)造耦合神經(jīng)元系統(tǒng)，研究了耦合系統(tǒng)在抑制性化學(xué)突觸和興奮性化學(xué)突觸條件下同步的差別，發(fā)現(xiàn)耦合系統(tǒng)在抑制性化學(xué)突觸的情況下，達(dá)到同步需要的耦合強(qiáng)度比興奮性化學(xué)突觸的情況下要大很多，并且達(dá)到同步之后的放電狀態(tài)也不同，抑制性條件下達(dá)到同步之后，神經(jīng)元不再放電，興奮性條件下達(dá)到同步之后，神經(jīng)元系統(tǒng)繼續(xù)放電.之后在具有化學(xué)突觸的神經(jīng)元系統(tǒng)的基礎(chǔ)上引入磁通耦合與時(shí)滯，主要以磁通反饋增益為參數(shù)研究了耦合系統(tǒng)的分岔與同步，單參數(shù)分岔分析中，發(fā)現(xiàn)時(shí)滯能夠減小混沌放電增強(qiáng)周期放電，使耦合系統(tǒng)更具周期性.與單參數(shù)分岔相比，雙參數(shù)分岔分析研究了多參數(shù)變化對耦合系統(tǒng)分岔的影響，能夠更加清楚直觀地觀察到耦合系統(tǒng)的放電狀態(tài).之后對耦合系統(tǒng)進(jìn)行單參數(shù)及雙參數(shù)同步分析，發(fā)現(xiàn)時(shí)滯可以延遲耦合系統(tǒng)的同步，使耦合系統(tǒng)達(dá)到同步的耦合強(qiáng)度變大.之后利用雙參數(shù)相似函數(shù)圖研究了多個(gè)參數(shù)變化對耦合系統(tǒng)同步的影響.

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