杜 晨， 彭雄奇

（上海交通大學(xué) 材料科學(xué)與工程學(xué)院，上海 200030）

引 言

纖維增強復(fù)合材料的使用為結(jié)構(gòu)帶來輕量化的同時，其較高的設(shè)計自由度（鋪層順序、鋪層角度、不同厚度處鋪層層數(shù)）同樣為復(fù)合材料的結(jié)構(gòu)設(shè)計帶來了挑戰(zhàn).因此，如何對纖維增強復(fù)合材料進(jìn)行鋪層設(shè)計、優(yōu)化以得到最佳的結(jié)構(gòu)性能是當(dāng)前的研究熱點之一[1-2].隨著計算機并行計算能力的提升以及智能算法的發(fā)展，多元、離散變量的復(fù)合材料鋪層設(shè)計優(yōu)化問題在本世紀(jì)得到了廣泛的理論研究.Zehnder 等[2]和Kim 等[3]提出了patch 概念用來定義結(jié)構(gòu)中鋪層順序相同的區(qū)域.這種定義方法可以大幅減少設(shè)計變量，較易滿足設(shè)計約束，并且能很好地保持鋪層的連續(xù)性.Kristinsdottir 等[4]提出了混合準(zhǔn)則用來避免設(shè)計優(yōu)化中鋪層的不連續(xù)性.Soremekun 等[5]和Liu 等[6]提出了分級優(yōu)化方法，通過將鋪層層數(shù)、鋪層順序分開進(jìn)行優(yōu)化來逐步得到最優(yōu)鋪層信息，其中Soremekun 等[5]還提出了經(jīng)典的benchmark 問題，成為各學(xué)者用于檢驗各自優(yōu)化方法的標(biāo)準(zhǔn)問題.Yang 等[7]提出了層落序列(PDS)概念，通過結(jié)構(gòu)中的最厚鋪層來得到全局連續(xù)的鋪層信息，并通過引入罰函數(shù)使設(shè)計具有更大的自由度.Irisarri 等[8]從航空用復(fù)合材料多設(shè)計約束出發(fā)，通過構(gòu)建鋪層順序表(SST)準(zhǔn)確表達(dá)了復(fù)雜結(jié)構(gòu)的鋪層設(shè)計信息、滿足了設(shè)計約束，與前述各優(yōu)化方法相比，SST 方法更加貼近工程實際，但也更加復(fù)雜.

當(dāng)前復(fù)雜纖維增強結(jié)構(gòu)件的鋪層設(shè)計優(yōu)化呈現(xiàn)出理論算法模型開發(fā)較多、結(jié)合實際工程問題研究較少的特點，這是由于工程問題中眾多設(shè)計變量、設(shè)計目標(biāo)、設(shè)計約束導(dǎo)致復(fù)雜度呈指數(shù)式的增長.基于此，本文將從解決實際復(fù)雜工程問題的角度出發(fā)，充分考慮航空用纖維復(fù)合材料的鋪層設(shè)計約束，并以遺傳算法作為理論框架，提出了一套具有較強通用性的鋪層設(shè)計優(yōu)化算法，最后利用benchmark 問題對提出的算法進(jìn)行了分析與驗證.

1 航空用纖維復(fù)合材料設(shè)計準(zhǔn)則

航空航天工業(yè)中大多數(shù)復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的鋪層設(shè)計通常遵循以下6 條基本設(shè)計準(zhǔn)則[9]：

1) 對稱(symmetry) 鋪層應(yīng)沿層合板中面對稱.

2) 平衡(balance) 鋪層角度應(yīng)保證平衡，其中 + θ 與?θ 應(yīng)有相同的數(shù)量(θ 不包括0°，90°).

3) 鄰接性(contiguity) 相同鋪層角度的鋪層不能連續(xù)超過一定的層數(shù).

4) 最大角度差(disorientation) 兩個連續(xù)層的鋪層角度差不應(yīng)超過一定的角度.

5) 10%-準(zhǔn)則(10%-rule) 鋪層中0°，±45°，90°鋪層角度最小層數(shù)應(yīng)當(dāng)不低于總鋪層數(shù)的10%.

6) 損傷容限(damtol) 層合板上下外表面不應(yīng)鋪放0°，90°鋪層.

除了上述常見的6 條基本設(shè)計準(zhǔn)則外，對于如圖1 所示的層合板結(jié)構(gòu)，通常需要多層尺寸不一樣的預(yù)浸料進(jìn)行堆疊才能形成厚度的連續(xù)變化，其中未能鋪滿整個區(qū)域的鋪層稱為層降層，而尺寸不一樣的鋪層之間往往會形成圖中所示的樹脂富集區(qū).樹脂富集區(qū)的形成會帶來應(yīng)力集中、疲勞等問題，對此，一些學(xué)者展開了理論與實驗上的研究，給出了以下一些其他的設(shè)計建議[10].

圖1 連續(xù)厚度變化層合板Fig. 1 Continuous thickness varying laminates

7) 覆蓋(covering) 層合板上下表面的覆蓋層不應(yīng)發(fā)生層降.

8) 最大錐度(maximum taper slope) 錐度不應(yīng)超過7°，即最小錯開距離(層降區(qū)的長度)約為層降層厚度的8 倍.

9) 內(nèi)部連續(xù)性(internal continuity) 每3 個連續(xù)的下降層應(yīng)保持1 個連續(xù)層.

10) 連續(xù)性(continuity) 該準(zhǔn)則旨在確保結(jié)構(gòu)的完整性和可制造性，薄層合板的所有層必須覆蓋整個結(jié)構(gòu).

11) Δn準(zhǔn)則(Δn-rule) 相鄰區(qū)域間最大數(shù)目的層降為Δn，限制相鄰區(qū)域之間的厚度變化可以平滑載荷分布，防止應(yīng)力集中.

2 設(shè) 計 變 量

2.1 鋪層厚度變量Nstr

根據(jù)厚度分布的特點可以將整個結(jié)構(gòu)劃分為多個區(qū)域，各個區(qū)域厚度對應(yīng)的鋪層層數(shù)即構(gòu)成了鋪層變量.對于一個如圖1 所示的厚度變化層合板，可分為3 個區(qū)域，從左往右分別為最厚板、過渡區(qū)、最薄板，每個區(qū)域?qū)?yīng)的鋪層層數(shù)分別為5，4，3，因此，鋪層厚度變量Nstr=[5 4 3].對于一個厚度分布未確定需要設(shè)計的結(jié)構(gòu)，構(gòu)建該變量時需要滿足Δn準(zhǔn)則以及連續(xù)性準(zhǔn)則.

2.2 鋪層插入順序變量Sins

為了準(zhǔn)確表達(dá)變厚度結(jié)構(gòu)中的鋪層順序信息，保證理論解的搜索空間，此處參考了文獻(xiàn)[8]中的Sins變量生成方法.Sins是一維數(shù)為1 × (Nstr)max的矩陣，矩陣中數(shù)字0 對應(yīng)的序列為全局鋪層鋪放的序列，數(shù)字1 ～n對應(yīng)的序列，則可從最薄板(Nstr)min得到厚度為(Nstr)min+n層合板所需要額外添加鋪層的序列.圖1 對應(yīng)的鋪層順序變量生成步驟如圖2 所示.對于一個鋪層順序未確定的結(jié)構(gòu)，構(gòu)建該變量時需要滿足覆蓋、最大錐度以及連續(xù)性準(zhǔn)則.

圖2 鋪層順序變量生成步驟Fig. 2 The generation steps of stacking sequence variables

2.3 鋪層角度變量Slam

鋪層角度變量Slam也是一維數(shù)為1 × (Nstr)max的矩陣，其代表結(jié)構(gòu)最厚處每一層的鋪層角度信息，Sins鋪層序列信息對應(yīng)到Slam中則可以得到相應(yīng)的鋪層角度信息，其過程如圖3 所示.對于一個鋪層角度未確定的結(jié)構(gòu)，構(gòu)建該變量時需要滿足對稱、平衡、鄰接性、最大角度差、10%-準(zhǔn)則以及損傷容限這6 條基本設(shè)計準(zhǔn)則.

圖3 由Sins 和Slam 得到鋪層角度信息Fig. 3 The ply angle information obtained from Sins and Slam

3 鋪層優(yōu)化中的遺傳算子、優(yōu)化策略以及優(yōu)化流程

纖維復(fù)合材料的優(yōu)化設(shè)計往往是一個多變量離散優(yōu)化問題，當(dāng)前解決此類問題常用的方法是利用啟發(fā)式算法[9].鋪層優(yōu)化遺傳算法所涉及的遺傳算子以及為了增加全局、局部解搜索能力所引入的優(yōu)化策略如下所示.

3.1 交叉算子

交叉算子是指兩個配對的父代染色體進(jìn)行部分基因互換得到對應(yīng)兩個子代個體的操作，其得到的子代個體有很大的幾率繼承父代優(yōu)秀的基因，因此子代有一定的幾率要優(yōu)于父代個體.相較于其他進(jìn)化算法，交叉算子是遺傳算法中最具特色且最為重要的遺傳算子.根據(jù)前述三個變量各自的特點，共采用了三種交叉算子.

3.1.1 針對鋪層厚度變量Nstr的雙點交叉算子

雙點交叉是指在染色體中隨機選擇兩個交叉點，相互交換兩個父代個體交叉點之間的染色體序列，雙點交叉操作過程如圖4 所示.

圖4 雙點交叉過程Fig. 4 The process of 2-point chiasma

3.1.2 針對鋪層插入順序變量Sins的順序交叉(OX)算子

Sins相較于Nstr和Slam變量不一樣，其矩陣中非0 元素只能出現(xiàn)一次，該變量與旅行商問題(TSP)中每個城市只能訪問一次，根據(jù)城市訪問的先后順序建立的數(shù)組具有相似的特點.因此，參考TSP 問題中的OX 算子來對Sins染色體進(jìn)行交叉操作.OX 操作如圖5 所示，其首先在染色體中隨機選擇兩個交叉點，隨后將第一個父代交叉點之間的基因序列復(fù)制至第二個子代個體對應(yīng)的位置，隨后從第二個父代個體第二個交叉點開始從后向前依次選出與子代2 中不重復(fù)的基因，最后同樣從后向前依次放入至子代2 個體中的空位處.對于子代1 個體的生成也是同樣的原理.

圖5 OX 過程Fig. 5 The process of OX

3.1.3 針對鋪層角度變量Slam的單點交叉算子

單點交叉是指在染色體中隨機選擇一個交叉點，相互交換兩個父代個體交叉點之后的染色體序列，單點交叉操作過程如圖6 所示.

1.2.1 信息環(huán)境外部歸因。一是特殊的地理自然條件是我國農(nóng)村形成信息貧困的客觀原因。農(nóng)村地區(qū)由于受歷史、地理條件等諸多因素的制約，形成社會信息環(huán)境落后，信息產(chǎn)品供需矛盾突出，信息產(chǎn)品生產(chǎn)不足和信息基礎(chǔ)設(shè)施薄弱。二是當(dāng)?shù)氐慕?jīng)濟(jì)發(fā)展水平是導(dǎo)致信息貧困的主要因素。經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平?jīng)Q定了農(nóng)民對信息產(chǎn)品的消費能力和信息資源的生產(chǎn)能力以及信息的傳播能力。三是政府投入與政策扶持是消除信息資源分布不均衡的主要外力。農(nóng)民擁有信息資源量少，可接觸信息媒介種類和信息內(nèi)容單一，這就要強調(diào)政府的主體責(zé)任，強力推動農(nóng)村信息化建設(shè)。

圖6 單點交叉過程Fig. 6 The process of single-point chiasma

3.2 變異算子

變異是指兩個父代個體在進(jìn)行交叉復(fù)制時，由于某些偶然因素，復(fù)制出現(xiàn)了差錯從而產(chǎn)生了新的基因序列的過程.在實際進(jìn)化過程中變異出現(xiàn)的概率非常低，但其作為遺傳算子之一同樣具有非常重要的作用，適當(dāng)?shù)倪x定變異概率可以增加種群的多樣性，避免尋優(yōu)提前陷入局部最優(yōu)的情況發(fā)生.根據(jù)前述三個變量各自的特點，共采用了兩種變異算子.

3.2.1 針對鋪層厚度變量Nstr以及鋪層角度變量Slam的單點變異算子

單點變異是指在染色體中隨機選擇一個突變位置，將該位置處的基因值隨機替換成另一個范圍內(nèi)的基因值，單點變異過程如圖7 所示.

圖7 單點變異過程Fig. 7 The process of single-point mutation

3.2.2 針對鋪層插入順序變量Sins的反轉(zhuǎn)變異算子

反轉(zhuǎn)變異是指在染色體中隨機選擇一個基因序列，并將該序列的基因順序顛倒，反轉(zhuǎn)變異過程如圖8 所示.

圖8 反轉(zhuǎn)變異過程Fig. 8 The process of swap mutation

3.3 選擇算子

選擇算子是用來模擬自然界環(huán)境中的優(yōu)勝劣汰過程，該算子通過特定規(guī)則從父代種群中選擇合適的個體遺傳至子代種群中，以此來提高后代種群的質(zhì)量，從而向最優(yōu)種群進(jìn)化.選擇算子可以提高種群的適應(yīng)度值，但是同時會降低種群的多樣性.選擇算子含有多種，本文采用錦標(biāo)賽選擇作為每一代種群的選擇算子.

3.4 每一子代種群鋪層角度變量Slam 的“修復(fù)”策略

由于考慮的約束條件較多，對于一個滿足所有約束的父代Slam種群在經(jīng)過遺傳操作后得到的子代種群，其大多數(shù)個體均不能滿足層合板設(shè)計約束.對于此問題，解決方法主要分為兩類，一類是SST 方法中窮舉出可行解，隨機選擇一個個體作為后代解.該方法缺點非常明顯，當(dāng)鋪層層數(shù)增加，可行解將成指數(shù)倍數(shù)增長，此時窮舉法帶來的計算成本將大大增加.

另一類則是當(dāng)前較為新穎的“修復(fù)”策略，該方法針對交叉后的子代個體，對其染色體中不滿足約束的基因序列進(jìn)行逐個替代，從而最終得到滿足約束的子代種群.該方法在得到可行解的同時最大程度保留了父代的基因，從而保證了局部搜索的效率.考慮到實際工程問題中鋪層層數(shù)較多的問題，選擇合適的“修復(fù)”策略將很大程度上影響運算效率.基于Fedon 等[11]提出的relay 方法所用的“修復(fù)”策略，流程如圖9 所示.

圖9 用于變量Slam 的修復(fù)策略[11]Fig. 9 The repair strategy for Slam variable[11]

3.5 精英保留策略

精英保留策略是指父代在進(jìn)行遺傳操作前選出其中適應(yīng)度值最大的個體，直接遺傳至下一代，不參與中間的遺傳操作，以避免破壞優(yōu)良的父代基因.由于考慮的約束較多，Slam變量在遺傳結(jié)束后還要進(jìn)行染色體的“修復(fù)”操作，這導(dǎo)致了子代種群多樣性的大大增加，算法全局搜索能力較強、局部搜索能力較弱的特點.為了使大的工程問題盡快能收斂到較優(yōu)解，節(jié)約計算成本，因此此處引入了精英保留策略以加快算法的局部搜索能力.

3.6 優(yōu)化流程

這里給出優(yōu)化算法中所用的遺傳算子后，基于遺傳算法框架，建立了如圖10 所示的優(yōu)化流程，整個優(yōu)化流程編碼在MATLAB 中完成.對于設(shè)計目標(biāo)與變量之間無明確函數(shù)關(guān)系，需要使用CAE 進(jìn)行分析的工程問題，往往需要進(jìn)行軟件的二次開發(fā)，多個軟件間進(jìn)行數(shù)據(jù)交互、聯(lián)合處理才能得到相應(yīng)的目標(biāo)參數(shù)值，圖10 同樣給出了對應(yīng)的解決方案流程.

圖10 鋪層優(yōu)化流程Fig. 10 The layering optimization process

4 基于經(jīng)典benchmark 問題的算法驗證

通過一個經(jīng)典的問題算例來驗證算法的尋優(yōu)能力.該算例由Soremekun 等[5]于2002 年提出，其模型圖如圖11 所示.整個結(jié)構(gòu)由18 塊平板組成，假設(shè)每塊平板四邊簡支，并且承受恒定的雙向壓縮載荷，其中平板采用IM7/8552 碳纖維單向帶制成，單向帶厚度為0.191 mm，材料參數(shù)為E1=141 GPa，E2=9.03 GPa，G12=4.27 GPa，μ12=0.32.求解每塊平板在不發(fā)生屈曲且滿足設(shè)計準(zhǔn)則的前提下，總重量最小的鋪層設(shè)計.

圖11 經(jīng)典benchmark 問題算例[5]Fig. 11 Classic examples of benchmark problems[5]

4.1 優(yōu)化問題分析

該優(yōu)化問題優(yōu)化目標(biāo)為最小化結(jié)構(gòu)總重量minW(x)，直接優(yōu)化約束為各板不發(fā)生屈曲，即λi≥1(i=1,2,···,18)，間接約束為各層合板需要滿足的各設(shè)計準(zhǔn)則，設(shè)計變量為厚度、鋪層順序、鋪層角度.

根據(jù)層合板屈曲方程可得屈曲因子計算表達(dá)式：

其中Dij為彎曲剛度矩陣D中的元素，D可由經(jīng)典層合板理論計算獲得；mx和my為平板彎曲時x和y方向上的半波數(shù)；a和b為各平板分別在x和y方向上的長度.

在優(yōu)化過程中，很有可能出現(xiàn)屈曲失效即不滿足約束的最優(yōu)個體，對于此種情況，可以引入罰系數(shù)對超出約束的部分進(jìn)行懲罰，對此，參考Yang 等[7]提出的適應(yīng)度函數(shù)，其表達(dá)形式為

其中fi為結(jié)構(gòu)總重量；gcr,i=1?λi；β為罰因子，用于懲罰適應(yīng)度值高于要求的不可行解；ε 為獎勵因子；C為常數(shù)，用于增加不可行解的懲罰量.β，ε，C的數(shù)值此處分別取為10，0.01，1.

4.2 優(yōu)化結(jié)果

為了與Irisarri 等[8]提出的SST 優(yōu)化方法結(jié)果有較好的可比性，考慮了第1 節(jié)中所列出的所有設(shè)計約束，這與文獻(xiàn)[8]中解決benchmark 問題所用的設(shè)計準(zhǔn)則一致.其中，優(yōu)化benchmark 問題所用算法參數(shù)設(shè)定如表1所示.此外考慮了兩種優(yōu)化類型，其中一種鋪層角度可取值為[0° ±45° 90°]，另一種鋪層角度可取值為[0° ±15°±30° ±45° ±60° ±75° 90°]，設(shè)計問題更加復(fù)雜.

表1 優(yōu)化算法參數(shù)取值Table 1 Optimization algorithm parameter values

4.2.1 滿足所有設(shè)計準(zhǔn)則，鋪層角度取[0° ±45° 90°]

常見的鋪層角度取值通常為[0° ±45° 90°]，因此，首先考慮鋪層在此取值下算法的尋優(yōu)能力.尋優(yōu)結(jié)果如圖12 所示，橫坐標(biāo)為進(jìn)化代數(shù)，縱坐標(biāo)為結(jié)構(gòu)最小重量.從圖中尋優(yōu)曲線變化與取值可以看出，5 次尋優(yōu)曲線平均在700 代左右收斂至全局最優(yōu)解，且每次最終收斂得到的最優(yōu)解基本均在29.3 kg 以下.其中5 次收斂中的最優(yōu)解變量取值如表2 所示，由于奇偶數(shù)層的存在以及屈曲裕度的過剩，對收斂到的厚度變量Nstr進(jìn)一步調(diào)整可得到更少的層數(shù)(finalNstr).表3 為本優(yōu)化算法與SST 優(yōu)化算法最優(yōu)解的對比，其中SST 方法得到的最優(yōu)解是在鋪層角度取[0° ±15° ±30° ±45° ±60° ±75° 90°]時得到的.從表中對比可以看出，此次優(yōu)化得到的結(jié)構(gòu)最小重量要小于SST 方法得到的結(jié)構(gòu)最小重量，并且各區(qū)域?qū)雍习寰窗l(fā)生屈曲，滿足設(shè)計要求.其中總鋪層層數(shù)比SST 多一層，而重量更輕是因為不同區(qū)域的平板長寬度不一樣導(dǎo)致的.相較于SST 方法中每層鋪層角度有12 種選擇，此處的變量取值范圍更小，但最終收斂得到了更優(yōu)的解，說明了SST 方法在全局尋優(yōu)能力上仍有待提升.

圖12 4 種可選鋪層角度下最小重量-進(jìn)化代數(shù)收斂曲線Fig. 12 Minimum weight-generation convergence curves under 4 alternative ply angles

表2 四種可選鋪層角度下最優(yōu)解變量取值Table 2 Variable value of the optimal solution under 4 alternative ply angles

表3 與SST 方法最優(yōu)解的比較Table 3 Comparison with the optimal solution of the SST method

4.2.2 滿足所有設(shè)計準(zhǔn)則，鋪層角度取[0° ±15° ±30° ±45° ±60° ±75° 90°]

最后考慮了與SST 方法中一致的鋪層角度可選取值，尋優(yōu)結(jié)果如圖13 所示，從圖中尋優(yōu)曲線變化與取值可以看出，5 次尋優(yōu)曲線平均在1 000 代以內(nèi)收斂至全局最優(yōu)解，這相較于SST 方法在2 000 代左右收斂仍表現(xiàn)出更優(yōu)的收斂速度，全局尋優(yōu)效率提升近50%，并且每次最終收斂得到的最優(yōu)解基本均在29.4 kg 以下.此外在SST 方法中，在優(yōu)化進(jìn)行至2 000 代左右時，所有優(yōu)化曲線對應(yīng)的結(jié)構(gòu)最小重量要小于30 kg，圖13在優(yōu)化進(jìn)行至600 代左右時即達(dá)到同樣的優(yōu)化效果，證明了所提出的優(yōu)化方法具有更佳的局部尋優(yōu)能力.其中5 次收斂得到的最優(yōu)解變量取值如表4 所示，表5 為此次優(yōu)化得到的最優(yōu)解與SST 優(yōu)化算法最優(yōu)解的對比.從表中可以看出，兩次不同鋪層角度取值收斂得到的最小重量均要優(yōu)于SST 算法得到的最優(yōu)解，由此可以得出本文提出的算法具有更優(yōu)的全局與局部搜索解的能力.

圖13 12 種可選鋪層角度下最小重量-進(jìn)化代數(shù)收斂曲線Fig. 13 Minimum weight-generation convergence curves under 12 alternative ply angles

表4 12 種可選鋪層角度下最優(yōu)解變量取值Table 4 Variable values of the optimal solution under 12 alternative ply angles

表5 與SST 方法最優(yōu)解的比較Table 5 Comparison with the optimal solution of the SST method

5 結(jié) 論

1) 本文針對航空用纖維復(fù)合材料較多的設(shè)計約束，通過逐步構(gòu)建三個變量滿足所有的鋪層約束，準(zhǔn)確表達(dá)了結(jié)構(gòu)厚度分布以及鋪層信息.相較于Irisarri 的方法舍棄了構(gòu)建SST 這一步，具有更快、更廣的可行解搜索能力.

2) 本文以遺傳算法作為鋪層優(yōu)化算法框架，定義了三個設(shè)計變量分別對應(yīng)的遺傳算子，設(shè)計了適用于多鋪層角度設(shè)計變量的“修復(fù)”策略，引入了精英保留策略，在保證鋪層優(yōu)化算法全局尋優(yōu)能力的同時，加快了算法局部尋優(yōu)的能力.

3) 本文將鋪層優(yōu)化算法用于解決經(jīng)典benchmark 問題，證明了所提出方法的全局、局部尋優(yōu)能力.以此作為理論基礎(chǔ)，后續(xù)將進(jìn)行相應(yīng)的實例化應(yīng)用.

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