程春蕊,雷騰飛,毛北行

(1.鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院,河南 鄭州 450015；2.齊魯理工學(xué)院 機電工程學(xué)院,山東 濟南 250200)

混沌同步在安全通信等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用引起了越來越多的研究人員的興趣,到目前為止，多種控制技術(shù)已經(jīng)成功應(yīng)用于混沌同步[1-6].滑?？刂凭哂许憫?yīng)快速、設(shè)計簡單、對參數(shù)變化及攝動不靈敏等優(yōu)點,隨著大規(guī)模集成電路技術(shù)的發(fā)展,滑?？刂频难芯咳〉昧碎L足的進(jìn)步，成為控制領(lǐng)域中的一種常用的控制方法.但傳統(tǒng)的滑?？刂拼嬖谝欢ǖ亩墩駟栴},而在滑模控制系統(tǒng)的設(shè)計中，引入自適應(yīng)控制在保留了常規(guī)滑?？刂频聂敯粜缘耐瑫r削弱了系統(tǒng)的抖振，可以增強滑?？刂频钠焚|(zhì)，在理論和實際應(yīng)用中都取得了不斐的成績[7-9].

近年來,隨著分?jǐn)?shù)階微積分的發(fā)展,針對非線性系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階微分建模方法得到了廣泛應(yīng)用.相比整數(shù)階系統(tǒng),分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)能更精確地描述自然界中的一些物理特性,分?jǐn)?shù)階滑模控制在滑?？刂频幕A(chǔ)上,建立分?jǐn)?shù)階模型,可以提高實際問題的控制性能和精確性,被廣泛應(yīng)用于各個領(lǐng)域[10-13].毛北行等[14]結(jié)合分?jǐn)?shù)階微積分理論,研究了R?ssler系統(tǒng)的自適應(yīng)滑模同步問題,得到了R?ssler分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)取得滑模同步的充分條件.

在混沌保密通信中，混沌模型的維數(shù)和混沌信號的復(fù)雜程度決定著隱藏信息的保密程度，高維超混沌系統(tǒng)具有更好的保密性和通信性能.與混沌現(xiàn)象比較,超混沌至少具有 2 個正的 Lyapunov 指數(shù),這使得超混沌系統(tǒng)具有更強的隨機性和不可預(yù)測性[15-17].文中運用自適應(yīng)滑?？刂品椒?研究整數(shù)階及分?jǐn)?shù)階的新四維不確定超混沌系統(tǒng)的同步問題.針對整數(shù)階及分?jǐn)?shù)階的新四維不確定混沌系統(tǒng),分別設(shè)計了自適應(yīng)滑模同步控制方案,通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)幕Ｃ婧涂刂破骷白赃m應(yīng)律得到了新四維超混沌系統(tǒng)取得自適應(yīng)滑模同步的兩個充分條件.數(shù)值仿真驗證了本文滑?？刂品桨傅挠行?

1 系統(tǒng)描述及主要結(jié)果

考慮新四維超混沌系統(tǒng)[17]

(1)

其中a,b,c,d為常數(shù).當(dāng)a=24,b=125,c=5,d=10時,采用QR分解方法,用Matlab計算可得：時間t=3000時,系統(tǒng)(1)的4個Lyapunov指數(shù)分別為:L1=3.162 199,L2=0.280 214,L3=0.009 005,L4=-33.403 104,如圖1所示.

設(shè)置初始值為(0.2,0.2,0.2,0.2)，則系統(tǒng)的相圖如圖2所示.系統(tǒng)除具有超混沌行為以外,還存在共存吸引子[18](圖3).虛線相圖的初始值為[1，1，1，1],實線相圖的初始值為[1,1,1,-1].

圖1 系統(tǒng)的Lyapunov 指數(shù)譜

圖2 系統(tǒng)軌線在三維空間中的相圖

圖3 系統(tǒng)的共存吸引子

以(1)為驅(qū)動系統(tǒng),設(shè)計響應(yīng)系統(tǒng)為

(2)

其中Δf(y)表示不確定項,y=[x1,y1,z1,ω1]T為系統(tǒng)的狀態(tài)向量,d(t)表示外擾,u(t)為控制器.定義誤差e1=x1-x,e2=y1-y,e3=z1-z,e4=ω1-ω,得到誤差方程

(3)

假設(shè)1|Δf(y)|≤m,|d(t)|≤n,其中m,n>0為未知參數(shù).

定理1在假設(shè)1下,設(shè)計滑模面

控制律

及自適應(yīng)規(guī)則

系統(tǒng)不在滑模面時,構(gòu)造

求導(dǎo)得

定義1[20]連續(xù)函數(shù)x(t)的q階Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

考慮分?jǐn)?shù)階新超混沌系統(tǒng)

(4)

其中0

(5)

定義誤差e1=x1-x,e2=y1-y,e3=z1-z,e4=ω1-ω,得到誤差方程

(6)

定理2在假設(shè)1下,設(shè)計滑模面

控制律

及自適應(yīng)規(guī)則

根據(jù)引理2求分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)可得

2 數(shù)值仿真

新四維超混沌系統(tǒng)的誤差見圖4.從圖中可看出，開始時系統(tǒng)誤差距離原點較遠(yuǎn)，在控制器的作用下，誤差曲線逐步向坐標(biāo)原點靠攏，一段時間以后收斂至原點并保持穩(wěn)定，表明主從混沌系統(tǒng)實現(xiàn)了同步,所提方案具有較好的控制效果.

圖4 新四維超混沌系統(tǒng)的誤差

3 結(jié)束語

基于自適應(yīng)滑模方法研究了新四維超混沌系統(tǒng)的兩個控制方案，獲得了新四維超混沌系統(tǒng)的驅(qū)動-響應(yīng)系統(tǒng)達(dá)到自適應(yīng)滑模同步的兩個充分條件;從數(shù)學(xué)角度給出了嚴(yán)格推理和邏輯證明，并用Matlab數(shù)值仿真驗證了結(jié)論的正確性，文中方法對整數(shù)階、分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)均適用.