馬 亮 盧建旗 程建武

1 甘肅省地震局，蘭州市東崗西路450號(hào)，7300002 中國(guó)地震局工程力學(xué)研究所，哈爾濱市學(xué)府路29號(hào)，150080

地殼內(nèi)的介質(zhì)具有不均勻性和各向異性[1]，其波質(zhì)點(diǎn)的概率密度呈橢球分布，被稱為偏振橢球模型，并表現(xiàn)出核心密集、外層松散的特點(diǎn)。在三維空間，按時(shí)間序列繪制的位移記錄散點(diǎn)動(dòng)畫就是波質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的軌跡[2]，而位移記錄的三維靜態(tài)散點(diǎn)圖物理意義十分明確，旨在反映波質(zhì)點(diǎn)在空間的概率密度分布，不反映波質(zhì)點(diǎn)出現(xiàn)的先后順序。

在以偏振橢球模型和加速度記錄三分量的協(xié)方差矩陣為橋梁計(jì)算震中方位角的研究中，美國(guó)與中國(guó)的學(xué)者習(xí)慣用地震記錄的三分量數(shù)組計(jì)算震中方位角；而日本的學(xué)者則習(xí)慣用地震記錄的水平兩分量計(jì)算震中方位角或震中方位角的補(bǔ)角[3-4]，再結(jié)合垂直分量進(jìn)行校正。另外，對(duì)協(xié)方差矩陣求解震中方位角數(shù)理過(guò)程的研究較少，大多在輸入地震記錄后直接用協(xié)方差矩陣或徑向能量法求解方位角，沒(méi)有論證協(xié)方差矩陣的數(shù)理過(guò)程，本文對(duì)此進(jìn)行補(bǔ)充。

1 計(jì)算原理與數(shù)據(jù)準(zhǔn)備

地震波在均勻的各向同性介質(zhì)中傳播時(shí)，根據(jù)胡克定律：

F=-k·Δx

(1)

質(zhì)點(diǎn)的加速度方向(受力方向)總是跟質(zhì)點(diǎn)的位移方向相反。質(zhì)點(diǎn)的加速度方向與位移方向有2種情況：1)當(dāng)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向背離平衡位置時(shí)，加速度方向與位移方向相同；2)當(dāng)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向指向平衡位置時(shí)，加速度方向與位移方向相反。

在這樣的各向同性介質(zhì)中，P波和S波都沒(méi)有偏振現(xiàn)象，其質(zhì)點(diǎn)呈線性往復(fù)運(yùn)動(dòng)[1]，質(zhì)點(diǎn)的軌跡痕跡是一條線段AB，即理想軌跡線，且P波質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻的位移、速度、加速度矢量與P波的波射線必共線，表現(xiàn)出四線合一的特點(diǎn)，這是求解震中方位角的理論依據(jù)。

本文選用日本強(qiáng)震基巖觀測(cè)網(wǎng)CHBH強(qiáng)震臺(tái)的加速度數(shù)據(jù)，臺(tái)站坐標(biāo)為140.023 8°E、35.793 4°N，高程為-2 277 m，儀器采樣率為100 Hz，記錄持時(shí)187 s，震中距為150.494 1 km，震中方位角為70.983 7°，發(fā)震時(shí)間為2008-05-08 01:45:00，震中位于141.610°E、36.224°N，震級(jí)為7.0級(jí)，震源深度為51 km。以加速度三分量的時(shí)程數(shù)據(jù)為三維坐標(biāo)系的三軸坐標(biāo)，可以繪出以原點(diǎn)O為起點(diǎn)的加速度矢量端點(diǎn)密度分布圖。與位移三分量時(shí)程數(shù)據(jù)的三維散點(diǎn)圖不同，這類圖不表示波質(zhì)點(diǎn)的軌跡狀態(tài)，而反映波質(zhì)點(diǎn)的受力方向。由P波四線合一的性質(zhì)可知，這些散點(diǎn)的線性回歸方程對(duì)應(yīng)的直線必然無(wú)限趨近于震中。

2 P波質(zhì)點(diǎn)加速度矢量的端點(diǎn)概率密度

研究認(rèn)為，利用加速度地震記錄在P波到達(dá)前0.6 s時(shí)求出的震中方位角誤差最小[3-4]；也有學(xué)者發(fā)現(xiàn)，利用加速度地震記錄在P波到達(dá)前0.2 s時(shí)求出的震中方位角誤差最小[5]。由于前2 s的采樣點(diǎn)太少，本文取0.3～2.7 s的窗口繪制散點(diǎn)圖，以研究P波的線性特征。

圖1采用CHBH臺(tái)井下三分量地震記錄加速度數(shù)據(jù)來(lái)表現(xiàn)以原點(diǎn)O為起點(diǎn)的P波質(zhì)點(diǎn)加速度矢量的端點(diǎn)概率密度分布。結(jié)果表明，初至P波到達(dá)后的第0.6 s，窗口內(nèi)波質(zhì)點(diǎn)的受力矢量方向幾乎共線；0.9～1.5 s窗口內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的受力矢量出現(xiàn)法向分量，但概率密度呈橢球形展布；1.8～2.1 s窗口內(nèi)質(zhì)點(diǎn)受力矢量的法向分量開(kāi)始向理想軌跡線AB的兩端擴(kuò)散；2.1～2.7 s窗口內(nèi)質(zhì)點(diǎn)受力矢量的法向分量不僅向理想軌跡線AB的兩端擴(kuò)散，而且矢量范數(shù)劇烈增加，范數(shù)值甚至達(dá)到徑向分量的一半，使得概率密度分布的外輪廓呈橢圓形。

圖1 以原點(diǎn)O為起點(diǎn)的P波質(zhì)點(diǎn)加速度矢量的端點(diǎn)概率密度分布Fig.1 Probability density distribution of the end pointof the acceleration vector of the P-wave with the origin O as the starting point

圖2也采用CHBH臺(tái)井下三分量地震記錄加速度數(shù)據(jù)，來(lái)表現(xiàn)以原點(diǎn)O為起點(diǎn)的P波到達(dá)后第10～25 s質(zhì)點(diǎn)加速度矢量的端點(diǎn)概率密度分布。注意到圖2的坐標(biāo)軸刻度范圍擴(kuò)大到圖1的10倍以上，表明在地震波到達(dá)后10～25 s內(nèi)波質(zhì)點(diǎn)所受的外力迅速增大，達(dá)到了圖1的10倍左右。由圖2可知，在地震波到達(dá)后10～16 s，窗口內(nèi)波質(zhì)點(diǎn)的受力矢量端點(diǎn)概率密度呈飽滿的橢圓形分布；19 s后開(kāi)始演變?yōu)閳A形，并逐步失去線性特征；25 s后質(zhì)點(diǎn)的受力矢量法向分量的范數(shù)超過(guò)徑向分量，表明S波已經(jīng)到達(dá)。

圖2 以原點(diǎn)O為起點(diǎn)的P波第10～25 s質(zhì)點(diǎn)加速度矢量的端點(diǎn)概率密度分布Fig.2 Probability density distribution of the end pointof the acceleration vector of the particle in the 10 to 25 s of the P-wave starting from the origin O

3 加速度記錄服從高斯分布的檢驗(yàn)

將初至P波的時(shí)間窗口劃分為5 s、10 s、15 s，再分別檢驗(yàn)3個(gè)窗口內(nèi)P波NS、EW及UD分量的概率密度分布，其中每個(gè)窗口有3個(gè)分量，共9組數(shù)據(jù)樣本，每個(gè)樣本的期望μ和方差σ如表1所示。

表1 加速度三分量記錄的期望μ與標(biāo)準(zhǔn)差σ

利用假設(shè)檢驗(yàn)方法判斷地磁低點(diǎn)時(shí)間是否服從高斯分布。設(shè)某一隨機(jī)變量x(-3

a≥-3,b≤3

(2)

將表1中各組樣本的期望μ與標(biāo)準(zhǔn)差σ代入公式a=μ-σ、b=μ+σ中，求出a、b，再將a、b代入式(2)求出各組樣本在(μ-σ，μ+σ)區(qū)間內(nèi)的概率，即p(μ-σ

頻率分布直方圖能直觀反映加速度記錄的幅值落在任意區(qū)間的頻次，其概率密度曲線能直觀反映加速度幅值在連續(xù)區(qū)間上的頻次變化趨勢(shì)，對(duì)認(rèn)識(shí)加速度記錄的分布規(guī)律具有重要意義，同時(shí)也是判斷加速度記錄是否服從高斯分布的重要依據(jù)。從圖3可以看出，頻率分布直方圖呈鐘形分布，其外輪廓與相同期望、方差的高斯密度曲線較為接近，這與加速度地震記錄服從高斯分布的預(yù)期一致。圖3直觀地反映出初至P波在持續(xù)時(shí)間不同的窗口中幅值的概率密度分布差異很大，窗口越短加速度記錄幅值的標(biāo)準(zhǔn)差越小。

圖3 加速度三分量記錄的頻率分布直方圖和與其相同期望、方差的高斯概率密度曲線Fig.3 Frequency distribution histogram of three component acceleration record and Gaussian probability density curve with the same expectation and variance

4 置信橢圓與偏振橢球

在已獲得加速度記錄但未獲得位移記錄的前提下，要求出偏振橢球模型的長(zhǎng)軸、次長(zhǎng)軸、短軸的矢量坐標(biāo)，就必須先證明加速度記錄的P波質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)震動(dòng)的受力矢量服從三維高斯分布。三維高斯分布在空間上的置信區(qū)域是一個(gè)概率密度橢球體Σ(類似于電子云模型)，即離幾何中心越近，P波質(zhì)點(diǎn)的加速度矢量端點(diǎn)出現(xiàn)的幾率越高(圖1和2)。根據(jù)三維高斯分布的定義，概率密度橢球體Σ三軸的長(zhǎng)度、方向及橢球的旋轉(zhuǎn)角度可通過(guò)分解加速度記錄的協(xié)方差矩陣得到。根據(jù)P波四線合一的性質(zhì)，偏振橢球長(zhǎng)軸的延長(zhǎng)線必經(jīng)過(guò)震中，可通過(guò)求解偏振橢球的長(zhǎng)軸參數(shù)求出震中方位角(圖4)。

圖4 三維高斯分布在快速計(jì)算震中方位角中的橋梁作用Fig.4 The role of 3D Gaussian distribution in fast calculation of epicenter azimuth

加速度記錄偏振橢球的長(zhǎng)軸可看作是加速度矢量的主矢[3-4]，次長(zhǎng)軸和短軸可看作是加速度矢量法向偏差的主矢，那么加速度記錄的偏振橢球就是質(zhì)點(diǎn)受力矢量端點(diǎn)的集合。多數(shù)隨機(jī)誤差都服從高斯分布，不失一般性，P波質(zhì)點(diǎn)在三維空間中的振動(dòng)幅值變化服從三維高斯分布。如果P波和S波在地球的不均勻介質(zhì)中傳播，長(zhǎng)周期地震記錄的波質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)也呈線性特征；而短周期地震記錄的波質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)在平面上呈現(xiàn)出更橢圓或無(wú)規(guī)律的軌跡；在更短周期的高頻信號(hào)中，波質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)顯現(xiàn)出無(wú)規(guī)律的軌跡[1]。對(duì)同一地震記錄作長(zhǎng)周期濾波后，保留的短周期記錄的線性會(huì)顯著下降。

簡(jiǎn)言之，波質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)有2個(gè)特點(diǎn)：1)波質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的線性規(guī)律會(huì)隨著介質(zhì)的不均勻性和各向異性的增強(qiáng)而下降；2)波質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的線性規(guī)律會(huì)隨著地震信號(hào)頻率的升高而下降，下降后呈現(xiàn)出更橢圓或無(wú)規(guī)律的軌跡，從而在平面內(nèi)呈現(xiàn)出更橢圓、在空間內(nèi)呈現(xiàn)出橢球狀的偏振橢球。實(shí)際上，P波在不均勻介質(zhì)中傳播時(shí)速度記錄也有對(duì)應(yīng)的偏振橢球模型，但這種橢球模型不能反映出波質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，僅能看作是以原點(diǎn)O為起點(diǎn)的速度矢量端點(diǎn)的概率密度分布。

5 結(jié) 語(yǔ)

對(duì)協(xié)方差矩陣進(jìn)行分析能夠計(jì)算出偏振橢球的幾何參數(shù)，其原理是將波質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)看作結(jié)構(gòu)隨機(jī)的振動(dòng)，將質(zhì)點(diǎn)偏離線性運(yùn)動(dòng)軌跡線的距離看作隨機(jī)誤差，這種隨機(jī)誤差恰好服從三維高斯分布，從而用高斯分布的特性(置信橢圓)求出偏振橢球的幾何參數(shù)。主要結(jié)論如下：

1)P波的先至性、純凈性、強(qiáng)線性使其能很好地滿足地震預(yù)警快速反應(yīng)的特點(diǎn)，初至P波擁有其他地震波不具備的四線合一性質(zhì)。

2)加速度記錄不能像位移記錄一樣表現(xiàn)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，但由于P波的四線合一性質(zhì)，使得加速度記錄也可用來(lái)求取震中方位角。

3)加速度記錄的三分量各自獨(dú)立地服從高斯分布，加速度記錄整體服從三維高斯分布。

加速度記錄服從三維高斯分布在快速地震定位中有著非常重要的應(yīng)用。根據(jù)置信橢球的定義，當(dāng)滿足三維高斯分布條件時(shí)，利用地震記錄三分量的協(xié)方差矩陣可計(jì)算出偏振橢球的長(zhǎng)軸、次長(zhǎng)軸和短軸矢量，從而求出震中方位角，該過(guò)程完美展示了三維高斯分布的置信橢球、地震記錄的協(xié)方差矩陣與地震記錄的偏振橢球之間的物理關(guān)系。