黃 冬，袁 媛，張 乾，李 頌，梁越超

(1.西安交通大學(xué) 核科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，陜西 西安 710049；2.中國(guó)核電工程有限公司，北京 100840；3.哈爾濱工程大學(xué) 核安全與仿真技術(shù)國(guó)防重點(diǎn)學(xué)科實(shí)驗(yàn)室，黑龍江 哈爾濱 150001；4.海軍工程大學(xué) 核科學(xué)技術(shù)學(xué)院，湖北 武漢 430033；5.國(guó)防科技大學(xué) 并行與分布處理國(guó)防科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 長(zhǎng)沙 410073)

彌散顆粒燃料元件中燃料顆粒彌散在非裂變基體中，該燃料元件能承受更高的溫度，具有優(yōu)秀的固有安全性。近年來(lái)引入壓水堆的全陶瓷微密封(FCM)燃料，將燃料顆粒彌散在SiC基體中，制作為圓柱形燃料芯塊[1]。這種彌散形式的燃料顆粒，難以獲得確定的幾何信息，同時(shí)由于共振自屏現(xiàn)象的存在，呈現(xiàn)出一種雙重非均勻系統(tǒng)，如果不在共振計(jì)算中考慮雙重性，將對(duì)中子輸運(yùn)計(jì)算帶來(lái)不可忽視的無(wú)限增殖因數(shù)誤差。

針對(duì)彌散顆粒燃料的共振計(jì)算，當(dāng)前國(guó)際上主要有3種方法，分別為丹可夫方法[2]、缺陷因子法[3-6]和Sanchez-Pomraning方法[7]。這些研究?jī)A向于沿用或改進(jìn)傳統(tǒng)壓水堆組件計(jì)算程序中的共振計(jì)算方法，在幾何適應(yīng)性、計(jì)算精度上還存在局限性。美國(guó)橡樹嶺國(guó)家實(shí)驗(yàn)室實(shí)現(xiàn)了嵌入式共振計(jì)算方法在隨機(jī)分布介質(zhì)燃料元件中的應(yīng)用[8]，但未使用考慮雙重非均勻性幾何的共振積分表。DeCART程序中實(shí)現(xiàn)了子群方法在隨機(jī)分布介質(zhì)燃料元件中的應(yīng)用，但沿用了壓水堆問(wèn)題中的子群參數(shù)[9]。本研究試圖提出雙重非均勻系統(tǒng)下共振積分表和子群參數(shù)，基于Sanchez-Pomraning模型下的特征線固定源計(jì)算方法，通過(guò)超細(xì)群求解慢化方程獲得共振核素的共振截面，結(jié)合特征線固定源計(jì)算獲得均勻化燃料區(qū)域的標(biāo)通量，從而建立一套雙重非均勻積分表，通過(guò)子群方法實(shí)現(xiàn)隨機(jī)介質(zhì)燃料元件的共振計(jì)算。

1 理論模型

1.1 Sanchez-Pomraning模型應(yīng)用于特征線固定源計(jì)算

Sanchez-Pomraning提出的隨機(jī)輸運(yùn)模型將微觀尺度上燃料顆粒間的碰撞概率與宏觀尺度上燃料元件間的碰撞概率耦合。對(duì)于包含隨機(jī)分布顆粒的材料，Sanchez-Pomraning模型定義了一種統(tǒng)計(jì)學(xué)上的等效宏觀截面：

Σt=Σt,matrix+

(1)

由于式(1)是關(guān)于Σt的隱式方程，通過(guò)迭代式(2)求解Σt。

(2)

基于等效總截面，平源區(qū)的出射通量如式(3)所示，等效源項(xiàng)q=φasΣt，φas為漸近通量，由式(4)計(jì)算得到。

(3)

(4)

式中：φout和φin分別為出射和入射通量；L為特征線段長(zhǎng)度；m為特征線方向索引；Smatrix和Si,k分別為基體和顆粒材料對(duì)應(yīng)的源項(xiàng)。

通過(guò)式(3)建立傳統(tǒng)MOC與雙重非均勻系統(tǒng)的聯(lián)系，在不含彌散顆粒的平源區(qū)，φas計(jì)算與傳統(tǒng)MOC相同。而在彌散燃料區(qū)域，顆粒內(nèi)部各層通量可通過(guò)基體通量由式(5)重構(gòu)。

(5)

式中：Pik,il為第i種顆粒、第k層材料產(chǎn)生的中子在第l層材料發(fā)生首次碰撞的概率；Vik為顆粒i種顆粒、第k層材料的體積；q為源項(xiàng)。

1.2 雙重非均勻共振積分表制作

通過(guò)Sanchez-Pomraning模型應(yīng)用于特征線固定源計(jì)算，采用超細(xì)群慢化方程求解共振自屏截面，本文選取的超細(xì)群在共振能量段有34 000群，最終通過(guò)式(6)歸并得到多群有效截面。

(6)

整個(gè)過(guò)程采用嵌入式共振計(jì)算思路實(shí)現(xiàn)，計(jì)算核心是針對(duì)燃料組件的實(shí)際幾何，求解1個(gè)單群的固定源輸運(yùn)方程，由此獲得燃料區(qū)域的標(biāo)通量。

(7)

獲得標(biāo)通量后，通過(guò)式(8)計(jì)算出燃料顆粒的等效背景截面。

(8)

整個(gè)雙重非均勻共振積分表制作流程如圖1所示，主要分為如下幾步。

圖1 雙重非均勻積分表產(chǎn)生流程Fig.1 Generation process of double heterogeneous integral table

1) 根據(jù)目標(biāo)堆型中的典型隨機(jī)分布介質(zhì)燃料元件，在某一溫度下，改變慢化劑與彌散顆粒的燃料密度，建立一系列用于制作雙重非均勻共振積分表的基礎(chǔ)問(wèn)題。

2) 對(duì)于這些基礎(chǔ)問(wèn)題，在超細(xì)群結(jié)構(gòu)上，遞歸求解慢化方程。求解過(guò)程中，調(diào)用Sanchez-Pomraning模型固定源方程求解方法，以獲得精細(xì)能群結(jié)構(gòu)能譜，歸并得到燃料顆粒的共振自屏截面。

3) 將彌散顆粒燃料與基體打混，燃料區(qū)域均勻化后的核子密度由式(9)得到，并用于單群固定源計(jì)算獲得標(biāo)通量。

(9)

4) 對(duì)于設(shè)計(jì)的所有基礎(chǔ)問(wèn)題，利用超細(xì)群求解得到的共振自屏截面，重新計(jì)算式(7)、(8)，得到每個(gè)問(wèn)題對(duì)應(yīng)的背景截面。

5) 每個(gè)問(wèn)題的背景截面與共振自屏截面一一對(duì)應(yīng)，形成雙重非均勻系統(tǒng)下的共振積分表。

本文針對(duì)單柵元幾何下的全陶瓷微膠囊封裝燃料(fully ceramic microencapsulated fuel, FCM)制作了235U和238U的共振積分表，選擇的溫度為300 K，該柵元燃料半徑0.625 2 cm,氣隙半徑0.633 7 cm，鋯包殼半徑0.690 7 cm，柵元邊長(zhǎng)1.65 cm。TRISO顆粒由內(nèi)到外分為5層，分別是燃料內(nèi)核、緩沖區(qū)、內(nèi)層熱解碳、碳化硅層、外層熱解碳，其幾何半徑依次為0.025 0、0.034 0、0.038 0、0.041 5、0.045 5 cm。表1列出單柵元材料信息，此時(shí)燃料顆粒填充率為40%。以表1中慢化劑以及燃料密度數(shù)據(jù)為基準(zhǔn)，設(shè)計(jì)了37個(gè)不同的雙重非均勻問(wèn)題列于表2。

表1 FCM單柵元材料信息Table 1 FCM pin cell composition date

表2 雙重非均勻共振積分表制作設(shè)計(jì)問(wèn)題Table 2 Double heterogeneous problem used to develop resonance integral table

設(shè)計(jì)的問(wèn)題盡量保證背景截面在不同數(shù)量級(jí)上都有對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)點(diǎn)。對(duì)所有設(shè)計(jì)的問(wèn)題進(jìn)行計(jì)算后，整合背景截面與共振截面數(shù)據(jù)，得到雙重非均勻積分表。圖2示出238U第10共振群(能群邊界為6.476 0～6.868 0 eV)在300 K時(shí)微觀吸收截面隨背景截面的變化。

圖2 微觀吸收截面隨背景截面的變化Fig.2 Microscopic absorption cross section vs. background cross section

1.3 子群參數(shù)轉(zhuǎn)換

當(dāng)前產(chǎn)生子群參數(shù)主要有擬合方法和矩方法[10-11]。擬合法直接采用有效共振積分表來(lái)擬合出子群參數(shù)，而矩方法利用真實(shí)截面的“矩”來(lái)產(chǎn)生子群參數(shù)，還需額外開(kāi)發(fā)工具產(chǎn)生“矩”。本文通過(guò)擬合方法產(chǎn)生子群參數(shù)，獲得雙重非均勻共振積分表后，即可根據(jù)背景截面與共振截面聯(lián)立式(10)、(11)求解子群參數(shù)。

(10)

(11)

式中：σt,sg、psg分別為第sg子群的總截面和概率；σ0,n、σt,g(σ0,n)分別為第n個(gè)背景截面和該背景截面對(duì)應(yīng)的第g群總截面；N為子群數(shù)目。

獲得子群總截面和子群概率后，可根據(jù)式(12)計(jì)算子群分截面。

(12)

式中：σx,n為第n子群的x分截面；x為反應(yīng)類型，包括吸收、散射和裂變。

2 數(shù)值驗(yàn)證

本文計(jì)算使用的多群數(shù)據(jù)庫(kù)版本為ENDF/B-Ⅶ，采用HELIOS-1.11程序的47群能群結(jié)構(gòu)[12]，共振群能量范圍為1.855～9 188 eV。選取FCM燃料單柵元問(wèn)題對(duì)得到的雙重非均勻子群參數(shù)(DHSP)進(jìn)行驗(yàn)證，通過(guò)調(diào)用基于Sanchez-Pomraning方法的MOC輸運(yùn)模塊恢復(fù)出FCM燃料的238U和235U共振截面，最后調(diào)用相同的輸運(yùn)模塊進(jìn)行本征值計(jì)算。以基于Sanchez-Pomraning方法的超細(xì)群(UFGSP)[13]求得的共振截面為基準(zhǔn)，最后以相同的輸運(yùn)模塊計(jì)算keff，分析由子群共振部分對(duì)keff帶來(lái)的偏差，總的偏差以蒙特卡羅程序serpent[14]計(jì)算為基準(zhǔn)。

2.1 算例描述

本文的積分表以UFGSP計(jì)算得到的截面為基準(zhǔn)，進(jìn)而轉(zhuǎn)換得到子群參數(shù)。積分表在柵元尺寸1.6 cm、填充率為40%、富集度17.08%的條件下得到，驗(yàn)證子群參數(shù)時(shí)，對(duì)柵元尺寸、填充率和富集度進(jìn)行擴(kuò)展驗(yàn)證。算例采用的FCM燃料柵元如圖3所示，其幾何信息與內(nèi)部填充的TRISO顆粒信息列于表3，材料信息見(jiàn)表1。

表3 FCM燃料內(nèi)部材料與幾何尺寸Table 3 Information of material and geometry for FCM fuel

圖3 FCM柵元結(jié)構(gòu)(a)及TRISO顆粒(b)Fig.3 FCM cell structure (a) and TRISO particles (b)

2.2 不同柵元幾何計(jì)算驗(yàn)證

將柵元尺寸從1.65 cm擴(kuò)展到1.55～1.85 cm進(jìn)行計(jì)算，DHSP與UFGSP調(diào)用相同的輸運(yùn)求解器，以UFGSP的截面為基準(zhǔn)，兩個(gè)結(jié)果的偏差近似認(rèn)為由子群共振額外引入(表4和圖4)。從表4和圖4上看，共振部分偏差在100 pcm以內(nèi)。238U吸收截面相對(duì)偏差為3.5%，235U吸收截面相對(duì)偏差在1%以內(nèi)。

圖4 不同柵元尺寸下238U和235U吸收截面相對(duì)偏差Fig.4 Relative deviation of absorption cross-section of 238U and 235U under different cell sizes

表4 不同柵元尺寸計(jì)算結(jié)果Table 4 Geometric calculation results of different pin cell sizes

2.3 不同填充率計(jì)算驗(yàn)證

驗(yàn)證不同填充率下的計(jì)算情況，本問(wèn)題從制作積分表時(shí)40%的填充率擴(kuò)展到35%～45%進(jìn)行測(cè)試。測(cè)試問(wèn)題中，柵元邊長(zhǎng)1.65 cm，富集度17.08%，其余信息與表3相同，計(jì)算結(jié)果列于表5。圖5為不同填充率下238U和235U吸收截面相對(duì)偏差。

從表5和圖5可知，驗(yàn)證結(jié)果中共振部分出現(xiàn)的最大絕對(duì)偏差為-149 pcm，與基準(zhǔn)相比總偏差最大達(dá)到-205 pcm。在35%填充率時(shí)，238U吸收截面相對(duì)偏差達(dá)到了4%。由于子群參數(shù)根據(jù)積分表擬合得到，在不同背景截面范圍的擬合程度存在差異，當(dāng)填充率增大背景截面減小時(shí)引入的共振偏差有所降低。

表5 不同填充率下的計(jì)算結(jié)果Table 5 Calculated results of different filling rates

圖5 不同填充率下238U和235U吸收截面相對(duì)偏差Fig.5 Relative deviation of absorption cross-section of 238U and 235U under different filling rates

2.4 不同富集度計(jì)算驗(yàn)證

改變算例富集度進(jìn)行測(cè)試，從制作積分表時(shí)17.08%的富集度擴(kuò)展到9%～25%進(jìn)行計(jì)算。測(cè)試問(wèn)題中，柵元邊長(zhǎng)1.65 cm，其余信息與表3相同，計(jì)算結(jié)果列于表6，圖6示出不同富集度下238U和235U吸收截面的計(jì)算精度。

圖6 不同富集度下238U和235U吸收截面相對(duì)偏差Fig.6 Relative deviation of absorption cross-section of 238U and 235U under different enrichments

表6 不同富集度下的計(jì)算結(jié)果Table 6 Calculated results of different enrichments

可看出，富集度為9%時(shí)，子群共振引入的偏差達(dá)到-167 pcm，與蒙特卡羅的基準(zhǔn)之間總偏差達(dá)到-247 pcm。對(duì)于截面計(jì)算，238U的吸收截面相對(duì)偏差最大達(dá)到4%，235U的吸收截面最大相對(duì)偏差也達(dá)到2%。這些情況同樣是子群參數(shù)對(duì)不同背景截面段的擬合程度存在差異，驗(yàn)證算例的富集度變化范圍較大，對(duì)應(yīng)的背景截面變化稍大，由結(jié)果來(lái)看，合理推測(cè)存在某個(gè)富集度使得引入共振偏差恰好為0，偏離該富集度越遠(yuǎn)偏差越大。

2.5 燃耗問(wèn)題

用于燃耗問(wèn)題的子群參數(shù)在填充率30%，富集度17.08%的情況下重新獲得，同樣以此作為初始條件計(jì)算FCM燃料的燃耗過(guò)程，其中每個(gè)燃耗步的核子密度與有效增殖因數(shù)由serpent提供，對(duì)各燃耗步的核素組成，利用該子群參數(shù)恢復(fù)出238U與235U的共振截面，其余共振核素的截面仍由超細(xì)群計(jì)算得到。整體上看，在圖7中計(jì)算的燃耗過(guò)程中，該子群參數(shù)可較好地計(jì)算FCM燃料的燃耗過(guò)程。

圖7 燃耗過(guò)程的keff偏差Fig.7 Deviation of keff during burn-up process

3 結(jié)論與展望

針對(duì)彌散顆粒型燃料隨機(jī)性及雙重非均勻性問(wèn)題，本文通過(guò)基于Sanchez-Pomraning的超細(xì)群方法，制作了一套耦合宏觀與微觀尺度的雙重非均勻性共振積分表，并結(jié)合子群方法實(shí)現(xiàn)隨機(jī)介質(zhì)燃料元件共振截面的計(jì)算。數(shù)值結(jié)果表明，該套子群參數(shù)很好的延續(xù)了子群方法在幾何適應(yīng)性上優(yōu)勢(shì)，同時(shí)對(duì)于35%～45%的顆粒填充率，以及9%～25%的富集度擴(kuò)展問(wèn)題上仍舊有較高的計(jì)算精度。在多顆粒問(wèn)題上情況變得復(fù)雜，不便于共振積分表的建立，此方法尚不適用，日后將展開(kāi)研究，同時(shí)本文僅在300 K下建立了共振積分表，在更大的溫度范圍，以及更多種不同的工況下還需要建立額外的積分表驗(yàn)證測(cè)試。