安 欣， 高 峰， 楊巧玉， 楊學(xué)山

(1.中國(guó)地震局工程力學(xué)研究所 中國(guó)地震局地震工程與工程振動(dòng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，哈爾濱 150080；2.哈爾濱理工大學(xué) 測(cè)控技術(shù)與儀器黑龍江省高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，哈爾濱 150080)

電磁式振動(dòng)臺(tái)[1]適用于校準(zhǔn)速度和加速度傳感器[2]，以往校準(zhǔn)多用正弦波和沖擊波作為信號(hào)源，而地震波拾振器專用于地震波采集，用地震波信號(hào)校準(zhǔn)測(cè)震儀器更符合儀器真實(shí)工作環(huán)境[3]。此外部分測(cè)振儀器需要實(shí)時(shí)處理地震信號(hào)，如烈度計(jì)、地震緊急處置觸發(fā)裝置，因此，需要用地震波信號(hào)完成對(duì)此類儀器的檢測(cè)及校準(zhǔn)，從而提高振動(dòng)臺(tái)上地震波信號(hào)的復(fù)現(xiàn)精度。

前饋補(bǔ)償技術(shù)可在一定程度上拓寬振動(dòng)臺(tái)系統(tǒng)的頻帶，改善動(dòng)態(tài)特性，提高臺(tái)面波形復(fù)現(xiàn)精度[4]。前饋補(bǔ)償技術(shù)通常采用構(gòu)建系統(tǒng)逆模型的方法拓展頻帶寬度及增加穩(wěn)定性[5]。系統(tǒng)模型參數(shù)辨識(shí)常采用如最小二乘法[6]、最小均方差法[7]等方法。文獻(xiàn)[8]利用子帶自適應(yīng)辨識(shí)液壓振動(dòng)臺(tái)系統(tǒng)模型，并復(fù)現(xiàn)振動(dòng)臺(tái)功率譜密度。文獻(xiàn)[9]提出自適應(yīng)陷濾波器在線辨識(shí)頻率的自適應(yīng)反饋補(bǔ)償，消除試件與臺(tái)面對(duì)振動(dòng)臺(tái)的影響，提高復(fù)現(xiàn)精度。文獻(xiàn)[10]提出了一種結(jié)合離線補(bǔ)償器的自適應(yīng)控制器，通過最小二乘法辨識(shí)加速度閉環(huán)傳遞函數(shù)并計(jì)算離線逆模型補(bǔ)償器。算法收斂速度快，跟蹤精度高。

迭代學(xué)習(xí)控制(iterative learning control，ILC)是一種不依賴于精確系統(tǒng)模型，僅需要少量信息即可達(dá)到很好控制效果的控制方法。由于計(jì)算過程不需要太多系統(tǒng)信息，所以在振動(dòng)臺(tái)波形復(fù)現(xiàn)領(lǐng)域有很大的應(yīng)用空間。文獻(xiàn)[11]針對(duì)位移控制的振動(dòng)臺(tái)提出了一種基于位移-加速度迭代控制方法，較以往位移迭代控制法收斂速度快。文獻(xiàn)[12]針對(duì)振動(dòng)臺(tái)模型不確定性和外部擾動(dòng)的干擾，提出自適應(yīng)重復(fù)學(xué)習(xí)控制算法，在系統(tǒng)中插入學(xué)習(xí)控制器，可不依賴于具體模型。但在振動(dòng)臺(tái)迭代學(xué)習(xí)控制過程中需要優(yōu)化控制律參數(shù)。控制律參數(shù)的好壞直接影響控制算法的收斂速度以及復(fù)現(xiàn)精度。

粒子群(particle swarm optimization,PSO)算法在參數(shù)優(yōu)化算法中具有容易實(shí)現(xiàn)、收斂速度快等優(yōu)點(diǎn)。可以為多種算法優(yōu)化參數(shù)，如PID控制[13-14]、模糊控制[15]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等[16]。孫明翰等[17]在粒子群算法收縮因子中加入擾動(dòng)因子并仿真了雙輥薄帶振動(dòng)鑄軋機(jī)液壓控制系統(tǒng)，提高了收斂速度和求解精度。王闖等[18]提出了魚群-粒子群算法，引入了擁擠因子和馬爾科夫鏈并將該算法應(yīng)用于K-means聚類算法中。Xia等[19]改進(jìn)了粒子群速度項(xiàng)的權(quán)重算法，提出了多角色的控制規(guī)則，提高粒子群收斂速度。

本文通過前饋逆模型補(bǔ)償電磁式振動(dòng)臺(tái)系統(tǒng)頻帶寬度，改善系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性，根據(jù)實(shí)際振動(dòng)臺(tái)情況修改逆模型的構(gòu)造。簡(jiǎn)化自適應(yīng)粒子群算法中的速度項(xiàng)目，提高收斂速度，并離線優(yōu)化帶遺忘因子的迭代學(xué)習(xí)律參數(shù)，在減少迭代次數(shù)的同時(shí)，達(dá)到提高波形復(fù)現(xiàn)精度的目的。

1 振動(dòng)臺(tái)模型

圖1為L(zhǎng)VC-5型小型電磁式振動(dòng)臺(tái)3D示意圖，四片彈簧片作為彈性懸掛，穩(wěn)定臺(tái)面使其靜止在標(biāo)尺零點(diǎn)。由動(dòng)圈產(chǎn)生磁場(chǎng)推動(dòng)臺(tái)面做水平運(yùn)動(dòng)。系統(tǒng)可看成單自由度系統(tǒng)。

圖1 電磁式振動(dòng)臺(tái)3D模型Fig.1 3D model of electric shaking table

圖2(a)為振動(dòng)臺(tái)力學(xué)模型，激振器通過電磁感應(yīng)產(chǎn)生推力F推動(dòng)振動(dòng)臺(tái)做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，k為懸掛彈簧剛度；C為阻尼力系數(shù)(忽略空氣阻尼)；M為臺(tái)面和載荷質(zhì)量；x為臺(tái)面相對(duì)于底座的運(yùn)動(dòng)位移；圖2(b)中驅(qū)動(dòng)電壓為e，通過放大器放大K0倍生成輸入信號(hào)u加入激振器中。圖2(c)為激振器動(dòng)圈上的等效電路，動(dòng)圈等效電阻為R0；等效電感為L(zhǎng)0；形成感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)G0sx。

(a)

(b)

(c)圖2 振動(dòng)臺(tái)模型Fig.2 Mechanical model

振動(dòng)臺(tái)的運(yùn)動(dòng)和電氣方程可表示成

(1)

圖3為振動(dòng)臺(tái)的結(jié)構(gòu)框圖。

圖3 振動(dòng)臺(tái)結(jié)構(gòu)框圖Fig.3 Structural block diagram of shaking table

設(shè)：

(2)

則式(1)可寫成

(3)

式(3)為位移對(duì)驅(qū)動(dòng)信號(hào)的傳遞函數(shù)，而地震波采樣信號(hào)多取加速度信號(hào)，所以將式(3)位移量取兩次微分得到式(4)。

(4)

由式(4)可看出，加速度信號(hào)增益在n11與nn之間較為平坦。本文所用振動(dòng)臺(tái)實(shí)際參數(shù)如表1所示。

表1 振動(dòng)臺(tái)參數(shù)

振動(dòng)臺(tái)頻域分析實(shí)際上是求取不同頻點(diǎn)輸入輸出的幅值和相位關(guān)系，通過輸入如下形式的不同頻率簡(jiǎn)諧波信號(hào)

x(t)=Xsinωt=X(ejωt-e-jωt)/2j

(5)

式中:X為信號(hào)的幅值;ω為信號(hào)角頻率。系統(tǒng)傳遞函數(shù)為G(jω)，輸入輸出關(guān)系可表示成

y(t)=X|G(jω)|sin(ωt+argG(jω))

(6)

式中:|G(jω)|表示系統(tǒng)的幅頻特性;arg(G(jω))為系統(tǒng)的相頻特性;ω=2πf為角頻率與頻率關(guān)系。

根據(jù)式(6)實(shí)測(cè)水平振動(dòng)臺(tái)頻響特性如表2所示。

表2 水平振動(dòng)臺(tái)頻響特性參數(shù)

從圖4中可看出仿真模型與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)在頻域中表現(xiàn)基本一致，在1～60 Hz頻段內(nèi)較為平坦。

為驗(yàn)證振動(dòng)臺(tái)模型一致性，將振動(dòng)臺(tái)實(shí)際參數(shù)(表1)所示代入式(4)。并與表2中水平振動(dòng)臺(tái)實(shí)測(cè)參數(shù)繪制到一張波特圖中作對(duì)比。

圖4 仿真與實(shí)測(cè)傳遞函數(shù)對(duì)比圖Fig.4 Comparison between simulation and measurement bode

2 基于加速度模型逆?zhèn)鬟f函數(shù)模型設(shè)計(jì)

為拓寬振動(dòng)臺(tái)頻帶寬度，提高波形復(fù)現(xiàn)效果，在振動(dòng)臺(tái)系統(tǒng)前加入前饋補(bǔ)償器，亦可看作前置濾波器，即構(gòu)造模型的逆函數(shù)

G(s)-1G(s)=1

(7)

式(7)的逆?zhèn)骱趯?shí)際構(gòu)造時(shí)需根據(jù)情況編輯模型。逆系統(tǒng)對(duì)低頻信號(hào)增益較大，如果驅(qū)動(dòng)信號(hào)存在較大的直流分量，將會(huì)導(dǎo)致輸出信號(hào)產(chǎn)生偏移量。而地震波低頻成分較豐富，因此需要重新編輯逆模型。首先，對(duì)增益較大部分進(jìn)行平滑衰減，并保證曲線中不存在非線性部分；其次，需要拉平曲線首尾部分，由于后期要擬合并構(gòu)建逆?zhèn)鬟f函數(shù)曲線，在低頻和高頻擬合過程中，擬合曲線會(huì)沿曲線趨勢(shì)繼續(xù)提升，因此，也會(huì)造成低頻產(chǎn)生較大的增益，最后，通過系統(tǒng)零極點(diǎn)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。圖5為直接通過式(7)得到的逆系統(tǒng)與通過上述方法修正后的逆系統(tǒng)對(duì)比圖。

圖5 逆函數(shù)數(shù)據(jù)優(yōu)化Fig.5 Inverse function data optimization

利用Levy法參考圖3模型擬合逆?zhèn)鬟f函數(shù)參數(shù)

(8)

3 帶遺忘因子的反饋輔助PD型迭代學(xué)習(xí)算法

3.1 系統(tǒng)描述及算法

振動(dòng)臺(tái)可近似認(rèn)為是一種重復(fù)運(yùn)行的線性定常系統(tǒng)，而復(fù)現(xiàn)地震波形的目的是要尋找控制輸入，使被控系統(tǒng)的實(shí)際輸出在有限次數(shù)重復(fù)運(yùn)行過程中追蹤地震波期望信號(hào)。電磁式振動(dòng)臺(tái)可視為線性定常系統(tǒng)

(9)

式中:系統(tǒng)狀態(tài)向量xk∈Rn，控制輸入uk∈Rr，輸出向量yk∈Rm；A∈Rn×n,B∈Rn×r,C∈Rm×n為實(shí)數(shù)矩陣。假設(shè)系統(tǒng)滿足(1)期望可達(dá)(2)初始狀態(tài)恒定。

目前地震波復(fù)現(xiàn)主要采用迭代控制(iterative learning control, ILC)方法。本文提出一種帶遺忘因子的反饋輔助PD型迭代學(xué)習(xí)算法

(10)

式中:k為迭代次數(shù);r為遺忘因子，r∈[0,1]當(dāng)系統(tǒng)產(chǎn)生大幅擾動(dòng)時(shí)，遺忘因子可消減擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)的影響;Γ為微分增益系數(shù);L為比例增益系數(shù);yk、uk為系統(tǒng)第k次迭代的驅(qū)動(dòng)信號(hào)和輸出信號(hào);yd為振動(dòng)臺(tái)期望信號(hào);ek為系統(tǒng)實(shí)際輸出與期望信號(hào)的誤差。

3.2 收斂性分析

定理 若系統(tǒng)滿足

(2) 系統(tǒng)初始不變xk(0)=x0(k=1,2,3…)

證明 式(10)中第k+1次迭代誤差可寫成

(11)

(12)

求導(dǎo)得

(13)

(14)

上式兩端取λ范數(shù)

(15)

由Bellman-Gronwall引理和式(9)可得

(16)

對(duì)式(16)取λ范數(shù)

(17)

式(17)代入式(15)得

(18)

(19)

通過上述分析，本文所用的帶遺忘因子的反饋輔助PD型學(xué)習(xí)算法能夠跟蹤期望軌跡，并且由于引入了上一次迭代和當(dāng)前迭代的誤差信號(hào)更新控制輸入，形成閉環(huán)控制，能保證系統(tǒng)快速收斂。

4 改進(jìn)粒子群迭代學(xué)習(xí)(PSO-ILC)算法

4.1 自適應(yīng)權(quán)重粒子群算法

粒子群算法可提前預(yù)估學(xué)習(xí)律模型中的參數(shù)。粒子群算法是一種仿生學(xué)算法，結(jié)合鳥群捕食的策略，通過群體獲取的信息更新個(gè)體信息。

(20)

權(quán)重信息ω為公式中較重要的參數(shù)。慣性權(quán)重參數(shù)選擇過大和過小都不合理，ω過大系統(tǒng)全局搜索能力強(qiáng)，ω過小的話系統(tǒng)局部搜索能力強(qiáng)。所以參數(shù)ω調(diào)整應(yīng)該結(jié)合自身位置、迭代次數(shù)等參數(shù)動(dòng)態(tài)調(diào)整。設(shè)定ω調(diào)節(jié)范圍[ωmin,ωmax]

(21)

式中:f為粒子群的目標(biāo)函數(shù)值；fmin代表粒子群目標(biāo)函數(shù)最小值；favg代表粒子群目標(biāo)函數(shù)平均值。

式(21)中，當(dāng)粒子群距離比較分散時(shí)，即所處位置目標(biāo)函數(shù)值低于平均標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，減小慣性權(quán)重。增強(qiáng)尋找局部最優(yōu)解的能力，當(dāng)粒子目標(biāo)值高于平均值時(shí)，則加大慣性權(quán)重加速收斂。

4.2 改進(jìn)粒子群算法

將式(20)更改為如下形式

(22)

(23)

式(23)變換得

(24)

將式(24)整理得

(25)

式(25)說明位置信息迭代式與速度項(xiàng)無關(guān)，可化簡(jiǎn)：

(26)

式(26)由二階方程化簡(jiǎn)為一階方程，計(jì)算過程更簡(jiǎn)單，效率更高。

粒子群算法的適應(yīng)度函數(shù)測(cè)試函數(shù)有很多，本文選取Griewank、Rastrigin及Schaffer三個(gè)函數(shù)作測(cè)試函數(shù)，測(cè)試改進(jìn)粒子群算法的執(zhí)行效果。

Griewank函數(shù)是一個(gè)多峰值函數(shù)x=0為全局最優(yōu)解f(x)=0函數(shù)有多處局部最小值點(diǎn)。容易陷入局部最優(yōu)解?？简?yàn)逃出局部極小值點(diǎn)的能力。表達(dá)式為

(27)

x∈[-600,600]

Rastrigrin在x=0有全局最優(yōu)解f(x)=0函數(shù)有多處局部最小值點(diǎn)，峰值較Griewank更多，表達(dá)式為

(28)

x∈[-600,600]

Schaffer函數(shù)全局最大點(diǎn)在0點(diǎn)處，在距全局最大點(diǎn)3.14的范圍內(nèi)，有無限個(gè)局部最大值點(diǎn)。其表達(dá)式為

(29)

x∈[-100,100]

圖6中改進(jìn)粒子群算法標(biāo)記為SPSO，基本PSO算法標(biāo)記為BPSO。為了增加測(cè)試難度，將維度設(shè)置為30，迭代次數(shù)：100，種群大小為40。對(duì)比三種測(cè)試函數(shù)的適應(yīng)度迭代曲線，改進(jìn)粒子群算法尋優(yōu)速度快，逃離局部極小值效果比未做改進(jìn)的粒子群算法更快。

4.3 目標(biāo)函數(shù)選取

粒子群算法中的目標(biāo)函數(shù)是算法中個(gè)體位置好壞的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。本文粒子群算法需計(jì)算迭代學(xué)習(xí)律中參數(shù)，以保證臺(tái)面復(fù)現(xiàn)精度快速提升。所以采用相關(guān)系數(shù)作為粒子群算法的目標(biāo)函數(shù)，相關(guān)系數(shù)可評(píng)價(jià)兩個(gè)波形相似程度。假設(shè)采用X的線性表達(dá)式a+bX與Y比較，求得均方誤差為

(30)

均方誤差可衡量a+bX與Y的相似程度。e越小則兩曲線越相似。改變a、b值使e最小即X線性變換后與Y的相似度最高。對(duì)e求a、b偏導(dǎo)數(shù)并令其等于零

(31)

(a) Griewank測(cè)試函數(shù)下BPSO與SPSO性能比較

(b) schaffer測(cè)試函數(shù)下BPSO與SPSO性能比較

設(shè)

(32)

將a0，b0代入式(30)得

(33)

4.4 算法實(shí)現(xiàn)流程

首先，通過粒子群算法尋找最優(yōu)迭代控制律參數(shù)r、Γ、L，使迭代波形復(fù)現(xiàn)度提升到最高。

如圖7所示，PSO算法首先生成隨機(jī)的r、Γ、L控制率參數(shù)、計(jì)算出新的驅(qū)動(dòng)函數(shù)uk+1并疊加噪聲新號(hào)。經(jīng)過式(8)的逆系統(tǒng)后輸入給振動(dòng)臺(tái)的傳遞函數(shù)，得到振動(dòng)臺(tái)仿真輸出信號(hào)yk與期望信號(hào)yd的誤差作為迭代學(xué)習(xí)控制系統(tǒng)的ek，同時(shí)計(jì)算輸出與期望信號(hào)的相關(guān)系數(shù)作為改進(jìn)PSO算法的適應(yīng)值。通過PSO不斷迭代求得最優(yōu)rbest、Γbest、Lbest，以減少迭代次數(shù)及提高復(fù)現(xiàn)精度。然后將最低適應(yīng)值對(duì)應(yīng)的驅(qū)動(dòng)信號(hào)uk代入真實(shí)振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)中

(34)

經(jīng)式(34)，進(jìn)行過少量迭代繼續(xù)提高復(fù)現(xiàn)精度，使相關(guān)系數(shù)波動(dòng)不超過0.05為止。

圖7 粒子群算法計(jì)算最優(yōu)迭代控制率Fig.7 Calculation of optimal ILC rate by PSO

5 電磁式振動(dòng)臺(tái)波形復(fù)現(xiàn)實(shí)例

2008年汶川地震臺(tái)網(wǎng)數(shù)字記錄質(zhì)量較高，從14個(gè)臺(tái)站42組記錄中選取不同的震中距、峰值加速度、頻譜分布范圍等參數(shù)的5組地震波數(shù)據(jù)作為驅(qū)動(dòng)信號(hào)，如表3所示。

表3 地震波記錄對(duì)比

圖8為該5組數(shù)據(jù)的加速度時(shí)域波形及自功率譜密度。

圖8 地震波波形及自功率譜Fig.8 Seismic waveform and self-power spectrum

采用式(26)改進(jìn)粒子群算法，粒子群數(shù)為40、c1、c2為2，最大迭代次數(shù)為60次，迭代速度控制在[-1,1]區(qū)間。驅(qū)動(dòng)波形信噪比設(shè)為50 dB。振動(dòng)臺(tái)模型根據(jù)式(11)和表1中參數(shù)設(shè)定。迭代結(jié)果如圖9所示。

圖9適應(yīng)值均收斂到0附近(適應(yīng)值為0表明復(fù)現(xiàn)波形與地震波信號(hào)完全一致)。對(duì)于以上五種地震波信號(hào)，基于改進(jìn)粒子群迭代學(xué)習(xí)算法均有效的計(jì)算出最優(yōu)迭代學(xué)習(xí)控制率參數(shù)，能在較少的迭代次數(shù)下達(dá)到較高的復(fù)現(xiàn)精度。

為驗(yàn)證算法結(jié)果的有效性，將計(jì)算得到參數(shù)在圖10所示LVC-5型小型振動(dòng)臺(tái)中測(cè)試。通過NI PXI-6281數(shù)采卡發(fā)送和采集數(shù)據(jù)。與文獻(xiàn)[12]中方法對(duì)比。

表4中數(shù)據(jù)可以看到，PSO-ILC在迭代次數(shù)和復(fù)現(xiàn)精度方面均優(yōu)于同類算法。

表4 算法對(duì)比

(a) 茂縣地辦：r=0.28,Γ=1.79,L=0.61

(b) 沙灣：r=0.32,Γ=0.74,L=0.03

(c) 廣元石井r=9.32,Γ=1.69,L=0.14

(d) 臥龍：r=0.12,Γ=0.25,L=0.13

(e) 綿竹清平：r=1.49,Γ=0.97,L=0.35圖9 粒子群參數(shù)優(yōu)化曲線Fig.9 Particle swarm parameter optimization curve

圖10 電磁式振動(dòng)臺(tái)Fig.10 Electric shaking table

6 結(jié) 論

本文首先建立系統(tǒng)模型，并在模型前加入前饋逆模型，用來改善系統(tǒng)頻帶寬度，增強(qiáng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性。然后提出了帶遺忘因子的反饋輔助PD型迭代學(xué)習(xí)控制算法，并驗(yàn)證了算法的收斂性。遺忘因子可消除擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)的影響，誤差迭代效果更平滑。此外，引入反饋輔助利用之前的誤差導(dǎo)數(shù)及當(dāng)前的誤差信號(hào)作為修正項(xiàng)，加快收斂速度的同時(shí)解決了當(dāng)前誤差信號(hào)求導(dǎo)帶來的非因果問題。之后，通過粒子群算法優(yōu)化迭代控制律中參數(shù)，提出了一種簡(jiǎn)化速度項(xiàng)的粒子群算法，把算法變?yōu)橐浑A方程，通過三個(gè)測(cè)試函數(shù)對(duì)比基本粒子群算法，改進(jìn)算法收斂速度快，逃離局部最優(yōu)解能力強(qiáng)。最后利用改進(jìn)粒子群算法優(yōu)化帶遺忘因子的反饋輔助PD型迭代學(xué)習(xí)律中的三個(gè)參數(shù)。使迭代過程更快速的收斂，減少迭代次數(shù)的同時(shí)提高復(fù)現(xiàn)精度。

將模型離線計(jì)算出的迭代學(xué)習(xí)律參數(shù)用于實(shí)際振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)中，并對(duì)比其他迭代算法。本文所采用的方案具有迭代速度快、復(fù)現(xiàn)精度高的特點(diǎn)。