王美芳

(復(fù)旦大學(xué)附屬中學(xué) 上海 200433)

1 是我做錯(cuò)了嗎

有個(gè)學(xué)生告訴我他做了今年的青浦物理二模卷最后一題的最后一小題，用了自己的方法，得到了一個(gè)跟參考答案完全不一樣的解，他自己找不出問題在哪里，希望我?guī)退匆豢?我看了他的解法，是利用牛頓第二定律，積分求解的.他提供的計(jì)算過程有些錯(cuò)誤的地方，我?guī)退拚蟮玫降慕庖廊皇遣煌趨⒖即鸢傅?這個(gè)事情比較有意思，所以和大家分享一下.

【題目】如圖1(a)所示，在豎直平面內(nèi)平行放置了兩根完全相同的金屬導(dǎo)軌，間距為L(zhǎng)=0.2 m.其中a1b1段和a2b2段是豎直放置的足夠長(zhǎng)的光滑直軌道；b1c1和b2c2段是半徑為R=0.25 m的光滑圓弧軌道，圓心角為127°，圓心O1和O2與b1和b2在同一高度；c1d1和c2d2段是粗糙的傾斜直軌道，與水平面成37°角放置，軌道長(zhǎng)度足夠長(zhǎng).圖1(b)是其正面視圖.a1a2之間連接一阻值為R0=0.5 Ω的電阻.現(xiàn)有一質(zhì)量為m=0.1 kg，電阻為r=0.5 Ω的金屬棒通過兩端的小環(huán)套在兩根軌道上，棒與軌道的c1d1和c2d2段之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.25.棒從傾斜軌道上距離c1c2為s=2 m處由靜止釋放，在棒到達(dá)b1b2瞬間，在豎直軌道區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)水平向右的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=0.5 T，運(yùn)動(dòng)中棒始終與導(dǎo)軌垂直.(sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，g=10 m/s2)

(1)求棒在傾斜軌道上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t1；

(2)求棒到達(dá)b1b2處時(shí)R0的電功率P0；

(3)請(qǐng)分析說明棒在磁場(chǎng)區(qū)域運(yùn)動(dòng)的情況；

(4)若棒剛越過b1b2處時(shí)的速度設(shè)為v1，在磁場(chǎng)內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間設(shè)為t2，求棒剛離開磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)的速度v2.

圖1 題目題圖

其中第(4)小題獨(dú)立于前面3個(gè)小題，所以這里跳過前面3小題，直接討論第(4)小題.第(4)小題的參考答案是v2=gt2-v1,下面給出兩種不同的解法.

(1)微元累加解法

先給出常規(guī)的微元累加的解法：

以豎直向下為正，由牛頓第二定律得

經(jīng)過一小段時(shí)間Δt

考慮在磁場(chǎng)中的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程，對(duì)時(shí)間分割，再微元累加得

整個(gè)過程，時(shí)間為t2，位移為零，速度的變化量為v2-(-v1)，注意：進(jìn)入磁場(chǎng)的初速度為-v1(在本題中，已知條件中的v1是初速度的大小部分，實(shí)際滿足以上公式的初速度應(yīng)為-v1)，所以有

∑Δt=t2

∑vΔt=0

∑aΔt=v2-(-v1)

聯(lián)立得

(2)積分解法

再來看另一種解法：

由牛頓第二定律得

mg+F安=ma

以豎直向下為正，則

兩邊分別積分

由此得t2時(shí)刻對(duì)應(yīng)速度v2

(1)

于是，這里我們看到了兩種解，放在一起對(duì)比一下

這里積分求解得到的答案看著比較復(fù)雜，和參考答案形式上很不一樣，那么，它錯(cuò)了嗎？

2 兩個(gè)答案等價(jià)性證明

對(duì)積分求解繼續(xù)深入，可得到s(t)，令s(t)=0，得到在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t2滿足的關(guān)系式，代回v2的積分求解表達(dá)式，可證明兩個(gè)答案的等價(jià)性.

(1)寫出s(t)

(2)給出磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t2滿足的表達(dá)式

令s=0，對(duì)應(yīng)的t有兩個(gè)解，t1=0，即剛進(jìn)入磁場(chǎng)位移為零，另一解t2應(yīng)對(duì)應(yīng)出磁場(chǎng)時(shí)刻，所以t2滿足

整理得t2滿足

(2)

(3)證明兩種解的等價(jià)性

兩個(gè)解的等價(jià)性得證.所以，式(1)雖然形式與參考答案不同，也是本題的一個(gè)正確答案.

3 反思

為什么會(huì)有兩個(gè)看似不同的正確答案？問題的關(guān)鍵是本題中，在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t2不是一個(gè)獨(dú)立變量.從剛才的證明中可以看出，t2是可以根據(jù)已知條件求得.這就導(dǎo)致了本題v2的表達(dá)形式不唯一.

實(shí)際上，由于題目中給定的物理量不是獨(dú)立變量，造成答案不唯一情況并非只有這一個(gè)例.2008年江蘇物理高考最后一題類似于這種情況[1]，學(xué)生有可能會(huì)給出不用于參考答案的另一個(gè)正確答案，原因就是題目中給的已知量并非全部獨(dú)立變量.

對(duì)我們教師來說，由此得到的經(jīng)驗(yàn)應(yīng)該是：在電磁感應(yīng)計(jì)算題的命題過程中要做好設(shè)計(jì)探析[2]，其中就要注意考慮到獨(dú)立變量問題.如果題目中出現(xiàn)類似情況，對(duì)做出其他解而感覺迷惑的學(xué)生應(yīng)加以鼓勵(lì)并對(duì)其解分析解釋.在注重物理核心素養(yǎng)培養(yǎng)的背景下，更應(yīng)注意培養(yǎng)學(xué)生的質(zhì)疑精神和發(fā)散性思維，不能因?yàn)楹蛥⒖即鸢覆灰恢露鋽嗟嘏卸▽W(xué)生解答錯(cuò)誤.