陳麒任 馮秀梅

(華中師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 湖北 武漢 430079)

隨著信息技術(shù)與物理教學(xué)的不斷融合，計算機數(shù)值模擬在物理學(xué)習(xí)過程中得到廣泛應(yīng)用.數(shù)值模擬往往可以將物理學(xué)中一些復(fù)雜、抽象的內(nèi)容以圖像形式具體、形象地呈現(xiàn)在學(xué)生面前，從而活躍學(xué)生思維，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，加深學(xué)生對物理知識的理解.常見的數(shù)值模擬軟件有Excel,Matlab,Mathcad等，這些軟件普及率高且功能強大，但這些軟件只能在個人電腦環(huán)境下運行，大大制約了數(shù)值模擬的有效利用.而將數(shù)值模擬與移動學(xué)習(xí)進(jìn)行有效結(jié)合，可以充分利用移動終端的便攜性和普及性，構(gòu)建更為高效的開放型教學(xué)形式，提高物理教和學(xué)的效果.

Phyphox就是一款可以在移動終端便捷開發(fā)數(shù)值模擬功能的軟件.目前，結(jié)合手機內(nèi)部各種傳感器，利用Phyphox開發(fā)各類物理實驗，已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于物理實驗教學(xué)[1～4].但是Phyphox的數(shù)值模擬功能卻較少被物理教育工作者關(guān)注到.可以通過Phyphox官網(wǎng)進(jìn)入編輯器頁面(https://phyphox.org/editor/)，該編輯器包含各種常見的函數(shù)，功能強大，并且采用模塊化的編程，零基礎(chǔ)的學(xué)習(xí)者也可快速上手，通過簡單編程即可實現(xiàn)數(shù)值模擬.程序編寫完畢后，可以生成二維碼，任何已下載Phyphox的移動終端都可通過掃二維碼下載使用該程序.本文以數(shù)值模擬求解拋體射程的極值為例，展示如何在移動終端利用Phyphox進(jìn)行簡單編程，實現(xiàn)動態(tài)化展現(xiàn)求解過程，提升學(xué)生交互學(xué)習(xí)的體驗.

1 問題與分析

問題：某人以初速度v0投擲鉛球，若鉛球出手高度為h，空氣阻力不計，那么此人如何投擲可使鉛球的射程最大？

分析：已知拋射點距離地面高度為h，出手速度為v0，設(shè)拋射角為θ，重力加速度為g.投擲鉛球后，鉛球出手后的運動為斜拋運動.由運動的合成與分解可知，鉛球的水平方向的軌跡方程為

x=v0tcosθ

(1)

鉛球的豎直方向的軌跡方程為

(2)

設(shè)鉛球的射程為s，飛行時間為τ，那么根據(jù)斜拋的運動規(guī)律可以列出下列方程

(3)

s=v0τcosθ

(4)

由式(3)解得(舍去負(fù)值解)

(5)

將式(5)帶入式(4)可以得到斜拋射程的表達(dá)式

(6)

以我國優(yōu)秀運動員鞏立姣在十一屆全運會女子鉛球項目中取得冠軍的投擲情況為例來進(jìn)行分析.她投擲鉛球的出手速度v0=13.841 m/s，出手角度θ=33.875°，出手高度h=2.01 m[5]，她的投擲成績?yōu)?0.35 m.由式(6)可知，當(dāng)鉛球出手速度、高度為定值時，鉛球的射程與出手角度唯一相關(guān).那么這個射程有沒有對應(yīng)的極大值呢？她的投擲角度是否對應(yīng)著射程的最大值？接下來我們利用Phyphox的數(shù)值模擬功能來解決這個問題.

2 利用Phyphox求解拋體極值

2.1 人機交互 展現(xiàn)全參數(shù)θ角拋體的運動軌跡

利用Phyphox編輯器設(shè)計人機交互界面，學(xué)生在對話框中輸入任意角度(0～90°)均可得該角度的拋體運動軌跡圖案，并且可以同時展示多條運動軌跡曲線，使用不同顏色進(jìn)行區(qū)分，這樣一來學(xué)生便可以直觀地感受不同拋射角度下拋體運動軌跡間的差異，形成對拋體問題的初步認(rèn)識.

圖1 拋體運動軌跡程序設(shè)計與二維碼

具體程序代碼如圖1(a)所示，圖2(b)是該程序的二維碼.該程序的設(shè)計思路是，首先調(diào)用sensor模塊的t作為時間，edit模塊是一個輸入框，學(xué)習(xí)者可以在里面輸入任意角度，將edit和t分別輸入至第一個formula模塊的1和2入口，并在其中填寫公式[參照式(1)]：

13.841*cos([1]*3.141 592 6/180)*[2_]，第一個formula輸出為graph模塊的x，表示拋體在x方向的位移.然后，將edit和t分別輸入至第二個formula模塊的1和2入口，并在其中填寫公式：2.01+13.841*sin([1]*3.141 592 6/180)*[2_]-0.5*9.8*[2_]*[2_]，第二個formula輸出為graph的y，表示拋體在y方向的位移.最后，重復(fù)上述操作兩次，實現(xiàn)3條拋體曲線共同顯示.(注：由于Phyohox軟件本身的問題，本實驗程序通過掃碼加載只能顯示3條黃色曲線，若想要3條不同顏色曲線需要將生成的后綴名為.phyphox文件中的線條顏色代碼進(jìn)行修改，隨后傳輸至移動設(shè)備中打開即可)

加載完實驗程序后，在操作界面的edit對話框中分別輸入30，40，50，得到如圖2(a)所示的3條拋體運動軌跡圖像，顏色分別為綠、紅、藍(lán).如圖2(b)所示，從拋物線與y=0.00相交點離坐標(biāo)原點距離的遠(yuǎn)近可以看出，紅色所代表的40°角的射程是最遠(yuǎn)的，似乎存在一個中間角度為最佳拋射角.學(xué)生形成了這樣的初步認(rèn)識后，為進(jìn)一步分析拋體極值問題奠定了基礎(chǔ).

圖2 拋體運動軌跡

2.2 繪制θ-s圖像 利用max函數(shù)自動定位最大值

當(dāng)拋體的出手速度和高度一定時，射程與拋射角度的關(guān)系如式(6)所示.本文利用phyphox編輯器實現(xiàn)射程的數(shù)值求解，并動態(tài)展示0～90°范圍內(nèi)的拋射角與射程的關(guān)系曲線，讓學(xué)生直觀體會最大射程確實存在.

具體程序代碼如圖3(a)所示，圖3(b)是該程序的二維碼.該程序的設(shè)計思路是，首先調(diào)用sensor模塊的t作為自變量，自變量t即為式(7)中的拋射角θ，將其輸入到formula模塊.然后，在formula模塊中填寫公式：

(13.841*13.841/2/9.8)*(sin(2*[1_]*

3.1415926/180)+((sin(2*[1_]*3.1415926/180))＾2+

(8*9.8*2.01/13.841/13.841)*(cos([1_]*

3.1415926/180))＾2)＾0.5).自變量t經(jīng)過該公式計算后，輸出給graph模塊的y作為圖像的縱坐標(biāo)，graph的x橫坐標(biāo)由sensor模塊的t輸入，將sensor模塊的t和formula的輸出分別輸入至max模塊的x和y，max模塊的作用是自動尋找縱坐標(biāo)為最大值時的橫、縱坐標(biāo).最后將max找到的橫、縱坐標(biāo)輸入至兩個value模塊，在軟件交互界面中顯示出來.

圖3 θ-s圖像程序設(shè)計與二維碼

圖4 求解極值問題的模擬過程圖

鞏立姣在十一屆全運會上奪得冠軍時的出手角度為33.875°，這比我們得到的理論最佳拋射角要小，說明鞏立姣要想取得更好的成績，需要提高鉛球的出手角度.該結(jié)論與文獻(xiàn)[5]中的結(jié)論一致.

3 總結(jié)

本文利用Phyphox軟件在移動終端上對拋體極值問題進(jìn)行了數(shù)值模擬，不僅精準(zhǔn)、快速地得到了極值的具體解，而且設(shè)置了人機交互，利用全參數(shù)、動態(tài)化的圖形展現(xiàn)了拋體的具體軌跡，使得該內(nèi)容變得生動、直觀、有趣，不僅方便學(xué)生隨時學(xué)習(xí)，而且有利于加深其對該問題的理解，提高物理學(xué)習(xí)的興趣.