諶華生

(隨縣小林鎮(zhèn)中心學(xué)校 湖北 隨州 441300)

1 什么是計(jì)算地圖

2017年，筆者主講了復(fù)習(xí)課“浮力相關(guān)計(jì)算中的一般思路”，旨在幫助學(xué)生理清浮力計(jì)算中常見(jiàn)的幾條思路，如M→v→v排M排→G排→F浮等，以提高學(xué)生浮力相關(guān)的計(jì)算能力.在課后反思中，發(fā)現(xiàn)可以把幾條線路(即思路)拼接起來(lái)，且拼接起來(lái)的圖形可以幫助學(xué)生快速找到解題思路，就如同生活中的交通地圖能為出行的人們提供導(dǎo)航一樣.鑒于沒(méi)有描述這種圖形的相關(guān)概念，筆者把這種圖形命名為“物理計(jì)算地圖”.如圖1和圖2所示，分別為“平均速度計(jì)算模型”和“浮力之一般計(jì)算模型”的計(jì)算地圖.這種能清晰、完整地反映某物理模型中各個(gè)物理量之間數(shù)理和邏輯關(guān)系的特殊圖形，叫做計(jì)算地圖.

圖1 平均速度計(jì)算模型

圖2 浮力之一般計(jì)算模型

下面以“平均速度計(jì)算模型”的計(jì)算地圖圖1為例，說(shuō)明計(jì)算地圖的繪制過(guò)程及使用方法.該模型往往把物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程分為:速度分別為v1和v2,時(shí)間為t1和t2,路程為s1和s2的兩段,而全程的平均速度,時(shí)間和路程分別用v,t和s表示,共9個(gè)物理量,用 9個(gè)點(diǎn)表示.3個(gè)有數(shù)理或邏輯關(guān)系的物理量拼接成一個(gè)三角形,分別把5個(gè)關(guān)系式s1=v1t1,s2=v2t2,s=s1+s2,t=t1+t2,s=vt所代表的三角形再拼接成一個(gè)大圖，就形成了圖1.使用時(shí),知道一個(gè)三角形上的任兩個(gè)頂點(diǎn)就可以行進(jìn)到第三個(gè)頂點(diǎn)，結(jié)合其他已知量，就可以一步一步地向前行進(jìn)，直至到達(dá)待求量.

2 計(jì)算地圖有什么用

計(jì)算地圖為計(jì)算而生，它能為計(jì)算導(dǎo)航，就如同生活中的各種交通地圖能為人們的日常出行導(dǎo)航一樣.在具體的物理計(jì)算問(wèn)題中，計(jì)算地圖能幫助解題者快速發(fā)現(xiàn)所要求解問(wèn)題的思路，從而順利地解答問(wèn)題.下面舉例說(shuō)明.

【例題】如圖3所示，用彈簧測(cè)力計(jì)在空氣中測(cè)得某物體重8.9 N，將該物體浸沒(méi)在水中，彈簧測(cè)力計(jì)的示數(shù)變?yōu)?.9 N．求該物體的密度．(取g=10 N/kg)

圖3 例題題圖

分析:這是一道經(jīng)典浮力計(jì)算題，對(duì)應(yīng)的計(jì)算地圖為上述的圖2.題目明確給出的條件有兩個(gè)，一個(gè)是物體的重力G=8.9 N，而條件“彈簧測(cè)力計(jì)的示數(shù)變?yōu)?.9 N”告訴我們，此時(shí)物體受到彈簧測(cè)力計(jì)對(duì)它豎直向上的拉力為7.9 N，即告訴我們地圖中的外力“Fx”為7.9 N，我們可以結(jié)合題意，用“F拉”替代“Fx”，即題目的另一個(gè)條件是物體受到豎直向上的拉力F拉=7.9 N.結(jié)合題目的描述，我們不難發(fā)現(xiàn)題目還間接告訴我們另外兩個(gè)隱含條件：一個(gè)是液體的密度ρ水=1.0×103kg/m3；一個(gè)是物體被浸沒(méi)，表示為V露=0，也可以說(shuō)成是它的推導(dǎo)結(jié)論為V排=V.所以，題目共給出4個(gè)條件，下面我們?cè)诘貓D中分別圈出已知量與待求量，其中實(shí)線圓圈所圈注的物理量代表已知量，虛線圓圈所圈注的物理量代表待求量，如圖4所示.

圖5所示計(jì)算地圖中，待求量ρ處在一個(gè)三角形之中，并且該三角形中的另兩個(gè)頂點(diǎn)所代表的物理量m和V未知，所以，必須要先求出物體的質(zhì)量m和體積V.觀察地圖，我們很直觀地就能找出計(jì)算求解物體質(zhì)量m的思路為紅色細(xì)箭頭所標(biāo)示的線路①；接著就可以根據(jù)黑色粗箭頭所標(biāo)示的線路②求出待求量ρ.線路①和線路②分別對(duì)應(yīng)圖5中的兩條紅細(xì)、黑粗線路.

圖5 所確定的解題線路即解題思路

(1)首先根據(jù)地圖中的“G→m”線路①，求出物體的質(zhì)量m，如圖6所示.

圖6 線路①

(2)接著根據(jù)地圖中的“G，F(xiàn)x→F浮→V排→V浸→V→ρ”線路②，先求出物體的體積V(圖7).

圖7 線路②

最后利用密度ρ所在的局部三角形地圖，結(jié)合剛求出的物體的質(zhì)量m，可求出物體的密度ρ.

本題的詳細(xì)求解過(guò)程如下.

解:物體的質(zhì)量為

分析物體的受力如圖8所示(F浮、F拉兩力的示意圖已平移)，則有平衡方程

G=F浮+F拉

所以，物體所受浮力

F浮=G-F拉= 8.9 N - 7.9 N = 1 N

由阿基米德原理F浮=ρ液gV排得

1×10-4m3= 100 cm3

圖8 物體受力示意圖

又因?yàn)榻](méi)，所以，V=V排= 100 cm3，則物體的密度為

求畢.

上述例題是一道經(jīng)典浮力計(jì)算題，難度適中，對(duì)于一般的初中生來(lái)說(shuō)，還是很有挑戰(zhàn)性的.但如果借助上面的計(jì)算地圖，情況就不一樣了，物理計(jì)算就像是在玩游戲，絕大多數(shù)學(xué)生在很短的時(shí)間內(nèi)就可以確定出解題思路，并能獨(dú)立、順利地求解出最終的問(wèn)題.可見(jiàn)，計(jì)算地圖作為一種全新的輔助物理計(jì)算工具，它是真的能為物理計(jì)算導(dǎo)航.

3 計(jì)算地圖為什么能為物理計(jì)算導(dǎo)航

在傳統(tǒng)的計(jì)算過(guò)程中，學(xué)生大腦回憶的是相關(guān)公式，看不到所有物理量間邏輯關(guān)系的全貌.“不識(shí)廬山真面目,只緣身在此山中”，他們當(dāng)然很難找到解題的思路.而計(jì)算地圖所呈現(xiàn)的是所有物理量間的所有邏輯關(guān)系的全貌或整體，它使思維變得可視化，可輕易從計(jì)算地圖中找到解題思路，為物理計(jì)算導(dǎo)航.

計(jì)算地圖把某種物理模型中各個(gè)物理量間的邏輯關(guān)系清晰、完整地呈現(xiàn)在我們的眼前，所以，物理量與物理量間的關(guān)系一目了然.題目中的已知物理量(常被稱(chēng)為“已知條件”)類(lèi)似于始發(fā)地，待求物理量類(lèi)似于目的地，所以對(duì)照計(jì)算地圖就可以直觀地找出從已知物理量到待求物理量間的線路即解題思路，根本不需要冥思苦想.接下來(lái)，只需按照解題思路，先后計(jì)算出必要的中間物理量(類(lèi)似于日常出行時(shí)要經(jīng)過(guò)的中間站點(diǎn))，直至最終求解出待求的物理量.

從上述例題的求解過(guò)程可以發(fā)現(xiàn)，運(yùn)用計(jì)算地圖解題的步驟共有3步：

首先，通過(guò)審題弄清題目的已知量與待求量，并在計(jì)算地圖中分別圈出已知量與待求量，相當(dāng)于明確自己的位置在哪里；

然后，觀察計(jì)算地圖，尋找并確定已知量與待求量之間的可行線路，即確定解題的思路；

最后，按照既定的思路，一步一步地計(jì)算求解，直至最終求解出待求量，簡(jiǎn)單而完美.

4 如何繪制計(jì)算地圖

那么如何繪制計(jì)算地圖呢？或者說(shuō)優(yōu)秀的計(jì)算地圖的標(biāo)準(zhǔn)是什么呢？筆者認(rèn)為，繪制計(jì)算地圖應(yīng)遵循以下幾個(gè)原則：

(1)對(duì)應(yīng)性.沒(méi)有一個(gè)可用于所有計(jì)算題的萬(wàn)能地圖，所謂的計(jì)算地圖都是針對(duì)某一物理情境或某一計(jì)算模型來(lái)說(shuō)的.所以，計(jì)算地圖必須與某一類(lèi)型的計(jì)算模型對(duì)應(yīng)，這就是計(jì)算地圖的對(duì)應(yīng)性或一致性.用交通地圖類(lèi)比，北京市有北京市的交通地圖，湖北省有湖北省的交通地圖，沒(méi)有一張既可適用于北京又可適用于湖北省的交通地圖.

(2)科學(xué)性.計(jì)算地圖的繪制會(huì)受到個(gè)人因素的影響，不同的人針對(duì)同一個(gè)計(jì)算模型所畫(huà)出的計(jì)算地圖的外形不盡相同.但這種不同一定是微小的、局部的.計(jì)算地圖要從根本上反映相關(guān)計(jì)算模型中各個(gè)物理量間的邏輯關(guān)系，這種關(guān)系是眾多物理概念和規(guī)律的反映，它是客觀存在的，也是穩(wěn)定的，更是不以人的意志改變的.某兩個(gè)物理量間到底有沒(méi)有通路，不是你我能決定的，而是決定于實(shí)際的問(wèn)題情境和已總結(jié)出的物理規(guī)律.所以，所繪制出的計(jì)算地圖要符合科學(xué)規(guī)律，而不能人為的臆造，這就是計(jì)算地圖的科學(xué)性.圖9這個(gè)計(jì)算地圖其實(shí)與圖1沒(méi)有什么兩樣，你把它旋轉(zhuǎn)任何角度，它們間的關(guān)系也不會(huì)受到絲毫影響.

圖9 平均速度計(jì)算的另一種計(jì)算地圖

(3)完整性.在敘述“對(duì)應(yīng)性”時(shí)說(shuō)道，某一個(gè)計(jì)算地圖是針對(duì)某一物理情境或某一計(jì)算模型來(lái)說(shuō)的，計(jì)算地圖要與某一類(lèi)型的計(jì)算模型對(duì)應(yīng).在一個(gè)具體的物理問(wèn)題情境中，到底涉及哪些物理量，又有哪些物理量間存在著一定的數(shù)量邏輯關(guān)系，這取決于問(wèn)題本身.也就是說(shuō)，在一個(gè)具體的物理問(wèn)題情境中，涉及的物理量的個(gè)數(shù)是一定的，物理量間的數(shù)量邏輯關(guān)系或關(guān)系式的數(shù)量也是一定的，如在平均速度計(jì)算模型中，存在的物理量分別是：

s1——物體所通過(guò)的第一段路程；

t1——物體通過(guò)第一段路程所用的時(shí)間；

v1——物體通過(guò)第一段路程的速度；

s2——物體所通過(guò)的第二段路程；

t2——物體通過(guò)第二段路程所用的時(shí)間；

v2——物體通過(guò)第二段路程的速度；

s——物體所通過(guò)的整段路程即全程；

t——物體通過(guò)整段路程所用的時(shí)間；

v——物體通過(guò)整段路程的速度；

共9個(gè).

這9個(gè)物理量中，存在的關(guān)系式有

s1=v1t1

s2=v2t2

s=s1+s2

t=t1+t2

s=vt

共5個(gè).

所謂平均速度計(jì)算模型對(duì)應(yīng)的計(jì)算地圖，本質(zhì)上就是用5個(gè)關(guān)系式來(lái)表示這9個(gè)物理量間的邏輯關(guān)系圖.所以，在一個(gè)計(jì)算地圖中，少一個(gè)物理量或少一個(gè)關(guān)系式，都是不全面的，這就是計(jì)算地圖的完整性，即計(jì)算地圖要完整地反映某物理模型中各個(gè)物理量之間邏輯關(guān)系.如果在繪制地圖的過(guò)程中，某兩個(gè)物理量的關(guān)系沒(méi)有反映出來(lái)，那么這樣的計(jì)算地圖就不能很好地為我們導(dǎo)航.試想一下，如果在一個(gè)地區(qū)的交通地圖中，少了一個(gè)重要的地點(diǎn)，或少了一條重要的交通路線，那么我們就可能遠(yuǎn)離最理想的出行線路.

(4)簡(jiǎn)潔性.好的東西總讓人覺(jué)得簡(jiǎn)單，給人方便.同樣地，完美的計(jì)算地圖，也一定是清晰的、簡(jiǎn)單的.在計(jì)算地圖的繪制過(guò)程中，各個(gè)物理量的位置擺放在哪里，線條如何勾畫(huà)，都影響著地圖的整體效果.有時(shí)可能會(huì)涉及較多的物理量，而物理量間的關(guān)系又很復(fù)雜，如某一個(gè)物理量與眾多其他物理量間都存在著邏輯關(guān)系，這時(shí)，僅用平面圖形表示可能會(huì)導(dǎo)致線條多且交叉，這樣繪制出來(lái)的計(jì)算地圖中的物理量間的關(guān)系就會(huì)顯得雜亂無(wú)章、模糊不清，從而失去計(jì)算地圖的意義.圖10和圖11，都是針對(duì)“歐姆定律之串聯(lián)電路模型”所繪制的計(jì)算地圖，但地圖的整體效果相差很大.圖11是用立體圖形來(lái)呈現(xiàn)各個(gè)物理量間的關(guān)系，我們可以看到，地圖中線條交叉的不多，圖中各種關(guān)系呈現(xiàn)得很清晰，各種關(guān)系一目了然，使用這種更加簡(jiǎn)潔的地圖能夠幫助解題者更快地找到解題的思路.

圖10 歐姆定律之串聯(lián)電路模型(第1種)

圖11 歐姆定律之串聯(lián)電路模型(第2種)

作為一種全新、高效的物理計(jì)算輔助工具，計(jì)算地圖將倍受關(guān)注，它的出現(xiàn)或許會(huì)打破“物理難學(xué)”的尷尬局面.