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        Amenable群作用下的局部熵的重分形分析

        2022-01-25 05:10:22威,曹
        安徽大學學報(自然科學版) 2022年1期
        關(guān)鍵詞:性質(zhì)定義

        王 威,曹 潔

        (1.南通理工學院 基礎(chǔ)教學學院,江蘇 南通 226002;2.南京師范大學 數(shù)學科學學院,江蘇 南京 210023)

        重分形分析是動力系統(tǒng)維數(shù)理論中一個主要研究內(nèi)容,現(xiàn)主要推廣為兩個部分:重分形譜和集合上的維數(shù)性質(zhì).20世紀以來有較多研究,如文獻[1-3],分別在Gibbs測度下和具有Specification性質(zhì)的擴張同胚上對局部熵和加權(quán)熵等問題進行了重分形研究.文獻[4-5]也在局部熵的重分形上進行了研究,并獲得了較好的結(jié)果.設(shè)(X,d,T)是動力系統(tǒng),其中(X,d)是緊致度量空間,T:X→X是連續(xù)映射,M(X)為所有弱*拓撲條件下概率測度.記M(X,T)為所有T-不變測度,顯然M(X,T)?M(X), 重分形分析研究Borel測度μ的點態(tài)維數(shù).令

        其中:B(x,ε)是x開ε-領(lǐng)域.定義集合

        Xα:={x∈X:dμ(x)=α}.

        其中:g可以定義Birkhoff平均值、Lyapunov指數(shù)、點態(tài)維數(shù)或者局部熵,G可以定義拓撲熵、拓撲壓或者Hausdorff維數(shù).固定q∈和μ∈M(X),文獻[12]定義了廣義的Hausdorff維數(shù)并且建立了綱量關(guān)系式.在文獻[13]中, Olsen在d中利用分離條件研究了自仿重分形分析.

        設(shè)(X,G)是G-作用下的拓撲動力系統(tǒng),X是帶有度量d的緊致度量空間,G是拓撲群,以下假設(shè)G是可數(shù)離散amenable群.群G是amenable的,如果它含有左不變平均值,即存在G的有限序列子集{Fn}是漸進不變的,亦即

        這樣的序列稱為F?lner序列,詳情見文獻[14].

        下面定義(X,G)的拓撲熵.設(shè)U是X的開覆蓋,U的拓撲熵定義為

        其中:UFn=∨g∈Fng-1U.可見htop(G,U)不依賴F?lner序列{Fn}的選擇,(X,G)的拓撲熵定義為

        其中:上確界取遍X的所有開覆蓋.

        文獻[15]在Hausdorff維數(shù)的啟發(fā)下定義了子集上的拓撲熵.在amenable群作用下的動力系統(tǒng)(X,G),利用下列方法定義Bowen熵.

        設(shè){Fn}是G的F?lner序列,U是X的有限開覆蓋.記diam(U):=max{diam(u):u∈U}.對n≥1,用WFn(U)表示集族V={ug}g∈Fn,ug∈U.若V∈WFn(U),整數(shù)m(V)=|Fn|稱為V的長度.定義

        定義

        Z作用下子集Bowen拓撲熵也有類似定義,文獻[10]證明了

        可見Bowen拓撲熵定義有替代方法.

        1 相關(guān)定義和引理

        定義1若Z?X,s≥0,N∈,{Fn}是G中的F?lner序列,ε>0,定義

        定義2設(shè)(X,G)是G-作用緊致度量拓撲動力系統(tǒng),G是可數(shù)離散amenable群.?μ∈M(X),x∈X,n∈,ε>0,{Fn}是G的F?lner序列, 定義

        若α≥0,μ∈M(X,T),定義集合

        htop(Kα(μ))=qα+hμ(T,q,Kα(μ)),

        等式左側(cè)為拓撲熵.

        下面研究amenable群作用下的局部熵及其譜,并討論Kα的大小.設(shè)μ為不變非原子測度.不失一般性,假設(shè)在任意非空開集上μ是正的.對任意至多可數(shù)集r={BFn(x,ε)},?q,t∈,令Fμ(r,q,t)=為r的自由能量,記為(r,q,t).對任意給定的非空集合Z?X,?q,t∈,ε>0,N∈,令

        上確界取遍所有有限或者可數(shù)集合r={BFni(xi,ε)},其中xi∈Z,ni≥N,且滿足

        再假定Mμ,c(φ,q,t,ε,N)=0.

        對任意的q,t,ε,N,量Mμ,c(Zq,t,ε,N)對N是不減的,因此下面的極限存在

        下面描述一些性質(zhì),這些都是Hausdorfff維數(shù)類型的標準證明,類似于文獻[15]中的拓撲熵性質(zhì)及文獻[16]中的拓撲壓力性質(zhì).

        引理1?t∈,Mμ(Z,q,t,ε)具有如下性質(zhì):

        (1)Mμ(?,q,t,ε)=0;

        (2)?Z1?Z2,都有Mμ(Z1,q,t,ε)≤Mμ(Z2,q,t,ε);

        注1易證Mμ(·,q,t,ε)是一個外測度.

        引理2存在臨界值hμ({Fn},q,Z,ε)∈[-∞,∞],滿足

        引理3下列結(jié)果成立:

        (1)hμ({Fn},q,φ,ε)=-∞;

        (2)?Z1?Z2,都有hμ({Fn},q,Z1,ε)≤hμ({Fn},q,Z2,ε);

        性質(zhì)1下列結(jié)果成立:

        (1)hμ({Fn},q,φ)=-∞;

        (2)?Z1?Z2,都有hμ({Fn},q,Z1)≤hμ({Fn},q,Z2);

        2 主要結(jié)果及證明

        定理假設(shè)μ為任意非空開集上非原子G-不變正測度.對?α≥0,每個q∈,有

        性質(zhì)2假設(shè)μ為任意非空開集上非原子G-不變正測度.對Z?X,有

        證明如果Z=?, 兩側(cè)皆為-∞,顯然成立.假設(shè)Z≠?, 現(xiàn)證

        由r的任意性, 考慮如下定義

        由拓撲熵的定義可知,存在開覆蓋U且diam(U)<ε,滿足

        (1)

        設(shè)Z′是Z的任意子集,Γ={Uni}是任意弦覆蓋Z′的集族.假定對于Uni∈Γ,Uni∩Z′≠?.否則,就刪除這些弦而獲得更小的弦.它們?nèi)匀桓采wZ′.?Uni∈Γ, ?xUni∈Uni∩Z′.所以xUni∈Uni?BFni(xUni,ε).

        因此集族γ={BFn(xUni,ε)}是Z′的開覆蓋.根據(jù)加權(quán)自由能量定義, 可得?s∈,有

        Mμ,c(Z′,0,t,ε)≤M(Z′,U,s),

        由M(·,U,s)的單調(diào)性可知最后不等式成立,可得hμ({Fn},0,Z,ε)≥h({Fn},Z,U),與(1)矛盾.

        注2若q=0, 由性質(zhì)1知定理只需證q≠0的情形.

        考慮α≥0對應(yīng)的水平集

        取x∈Kα,M,存在N0=N0(x,δ,εM),滿足

        ?n≥N0,取

        Kα,M,N={x∈Kα,M:N0=N0(x,δ,εM)

        引理4設(shè)U是X的開覆蓋.取M,N∈.考慮集合Kα,M,N滿足其中γ(U)是ULebesgue數(shù).那么對于s≥qα+|q|δ+t,可得

        M(Kα,N,M,U,s)≤Mμ,c(Kα,N,M,q,t,εM).

        證明設(shè)n>N,γ={BFni(xi,εM)}是Kα,N,M任意覆蓋,且滿足xi∈Kα,N,M.對任意i,都有ni≥n≥N.對每個xi,可得某弦覆蓋Uni,滿足Bni(xi,εM)?Uni,即存在Γn={Uni},滿足

        由于對?i,都有ni≥n≥N,xi∈Kα,N,M,有

        exp(-(α+δ)|Fni|)≤μ(BFni(xi,εM))≤exp(-(α-δ)|Fni|).

        如果q≥0,那么μ(BFni(xi,εM))q≥exp(-q(α+δ)|Fni|),且對s≥qα+qδ+t,有

        (2)

        另一方面, 如果q≤0,那么μ(BFni(xi,εM))q≥exp(-q(α-δ)|Fni|),且s≥qα-qδ+t,有

        (3)

        結(jié)合(2),(3),得

        M(Kα,N,M,U,s,n)≤Mμ,c(Kα,N,M,q,t,εM,n).

        令n→∞,有

        M(Kα,N,M,U,s)≤Mμ,c(Kα,N,M,q,t,εM).

        引理5取M,N∈,考慮集合Kα,M,N,設(shè)U是X的開覆蓋,滿足那么對s≤qα-|q|δ+t,有

        Mμ(Kα,N,M,q,t,εM)≤M(Kα,N,M,U,s).

        集族BFn(x,εM)是Z的中心覆蓋.因為xUni∈Z?Kα,N,M且n>N,所以

        exp(-(α+δ)|Fni|)≤μ(BFn(xUFni,ε))≤exp(-(α-δ)|Fni|).

        若q≥0,有

        若s≤qα-qδ+t.由Γn的任意性,有

        Mμ,c(Z,q,t,εM,n)≤M(Z,U,s,n).

        令n→∞,有

        Mμ,c(Z,q,t,εM)≤M(Z,U,s)≤M(Kα,M,N,U,s).

        Mμ(Kα,M,N,q,t,εM)≤M(Kα,M,N,U,s).

        (4)

        若q≤0,有

        μ(BFni(xUni,εM))q≤exp(-q(α+δ)|Fni|).

        因此,有

        對s≤qα+qδ+t, 類似于q≥0,有

        Mμ(Kα,M,N,q,t,εM)≤M(Kα,M,N,U,s).

        (5)

        結(jié)合(4),(5)得證.

        下面完成定理的證明.根據(jù) Bowen拓撲熵的定義需證

        假設(shè)Kα(μ)≠?.否則,由于等式兩邊都趨于-∞,顯然成立.當Kα(μ)≠?時,證明分兩步.

        假設(shè)不成立,取

        (6)

        因為

        由s=qα+hμ({Fn},q,Kα(μ))+2r,t=hμ({Fn},q,Kα(μ))+r-|q|δ和引理4,有

        (7)

        與假設(shè)矛盾.事實上

        hμ({Fn},q,Kα(μ),εM)≥hμ({Fn},q,Kα,M,N,εM),

        所以,有

        Mμ(Kα,N,M,q,hμ(T1,q,Kα(μ))+r-|q|δ,εM)=0,

        與(7)矛盾.

        假設(shè)不成立.取

        qα+hμ({Fn},q,Kα(μ))>h({Fn},Kα(μ),U)+3r.

        下列表達式成立

        (8)

        當M,N充分大,這是可能的,因為

        M(Kα,N,M,U,qα+hμ({Fn},q,Kα(μ)-2r))=0.

        由s=qα+hμ(T,q,Kα(μ))-2r,t=hμ({Fn},q,Kα(μ))-r+|q|δ和引理5,有

        Mμ(Kα,N,M,q,hμ({Fn},q,Kα(μ))-r+|q|δ,εM)=0,

        (9)

        與假設(shè)矛盾, 事實上

        hμ({Fn},q,Kα(μ),εM)-r≤hμ({Fn},q,Kα,M,N,εM),

        所以,有

        Mμ(Kα,N,M,q,hμ(T1,q,Kα(μ))-r+|q|δ,εM)=∞,

        與(9)矛盾.

        根據(jù)(i),(ii),知定理成立.

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