朱 劍，李顯勇，高海平

（1.新疆工程學(xué)院數(shù)理學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830023；2.西華大學(xué)計(jì)算機(jī)與軟件工程學(xué)院，四川 成都 610039；3.新疆輕工職業(yè)技術(shù)學(xué)院公共基礎(chǔ)部，新疆 烏魯木齊 830021）

自然界中最常見的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)包括神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、新陳代謝網(wǎng)絡(luò)、金融網(wǎng)絡(luò)、鳥類的群體飛行網(wǎng)絡(luò)、社交網(wǎng)絡(luò)等。近年來(lái),復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)已經(jīng)成為不同領(lǐng)域科學(xué)家們的熱點(diǎn)研究方向。隨著研究的深入，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)在很多方面都取得了新進(jìn)展，如多層網(wǎng)絡(luò)同步[1?8]、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)建模與拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)[9?10]、疾病傳播和信息傳播[11]、動(dòng)力學(xué)性質(zhì)[12]、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的魯棒性與脆弱性[13?14]等。

在研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的過(guò)程中，一個(gè)很重要問(wèn)題就是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步。同步現(xiàn)象經(jīng)常發(fā)生在我們的生活中,如演出時(shí)掌聲同步、螢火蟲同時(shí)閃爍及無(wú)人機(jī)編隊(duì)同步等。在物理、生物、工程技術(shù)以及社會(huì)科學(xué)等領(lǐng)域都出現(xiàn)了各種各樣的同步現(xiàn)象。目前對(duì)單個(gè)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步已經(jīng)有了比較成熟的研究成果，但對(duì)更實(shí)際的多層有向網(wǎng)絡(luò)的同步研究[15?17]極少。文獻(xiàn) [15]在同步域?yàn)橛薪绾蜔o(wú)界2 種情況下研究了2 層星形網(wǎng)絡(luò)的同步能力，對(duì)于中心節(jié)點(diǎn)與中心節(jié)點(diǎn)相連、葉子節(jié)點(diǎn)之間相連的2 層星形網(wǎng)絡(luò)給出了特征值的表達(dá)式，并分析了網(wǎng)絡(luò)的同步能力與節(jié)點(diǎn)數(shù)、層間耦合強(qiáng)度和層內(nèi)耦合強(qiáng)度的關(guān)系。文獻(xiàn)[16]給出了3 層層內(nèi)單向耦合的星形網(wǎng)絡(luò)的特征值多項(xiàng)式，在同步域無(wú)界和有界2 種情況下分析了網(wǎng)絡(luò)層數(shù)、每層網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)、層內(nèi)耦合強(qiáng)度、層間耦合強(qiáng)度與網(wǎng)絡(luò)同步能力的關(guān)系。文獻(xiàn)[17]給出了多層雙向?qū)觾?nèi)耦合的星形網(wǎng)絡(luò)，并對(duì)星形圓環(huán)狀網(wǎng)絡(luò)在同步域無(wú)界和有界2 種情況下各參數(shù)與網(wǎng)絡(luò)同步能力的關(guān)系進(jìn)行了分析。

由于實(shí)際的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)更接近于有向網(wǎng)絡(luò)，因此，本文研究更貼近實(shí)際的多層層間有向耦合星形網(wǎng)絡(luò)的特征值譜及同步能力。首先，根據(jù)主穩(wěn)定性函數(shù)方法給出4 層層間單向耦合星形網(wǎng)絡(luò)的超拉普拉斯矩陣，得到反映網(wǎng)絡(luò)同步能力的重要指標(biāo)λ2和r；然后，給出K層層間單向耦合的星形網(wǎng)絡(luò)的特征值多項(xiàng)式以及特征值譜；在同步域無(wú)界和有界2 種情況下，分析各參數(shù)與K層層間單向耦合的星形網(wǎng)絡(luò)同步能力的關(guān)系；最后，給出K層層間單向耦合星形網(wǎng)絡(luò)同步能力的仿真圖像（K=15），討論網(wǎng)絡(luò)同步能力與各參數(shù)之間的關(guān)系。

1 基礎(chǔ)知識(shí)

K層網(wǎng)絡(luò)中第M層第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)方程為

結(jié)合層內(nèi)與層間相關(guān)矩陣，定義超拉普拉斯矩陣Ψ=ΨI+ΨL，其中矩陣ΨI=LI?IN，LI=?dD，IN為N×N單位矩陣，?為Kronecker 積。

多層網(wǎng)絡(luò)的同步能力由超拉普拉斯矩陣的非零最小特征值 λ2和最大特征值r決定：當(dāng)同步域無(wú)界時(shí)，多層網(wǎng)絡(luò)的同步能力由超拉普拉斯矩陣的非零最小特征值 λ2決定，此時(shí)網(wǎng)絡(luò)的同步能力與 λ2成正比；當(dāng)同步域有界時(shí)，多層網(wǎng)絡(luò)的同步能力由r=λmax/λ2決定,此時(shí)多層網(wǎng)絡(luò)的同步能力與r成反比[17]。

2 K 層層間單向耦合星形網(wǎng)絡(luò)的特征值譜及同步能力分析

首先，考慮4 層層間單向耦合星形網(wǎng)絡(luò)，如圖1 所示，黑色有向虛線代表葉子節(jié)點(diǎn)鄰接，紅色有向虛線代表中心節(jié)點(diǎn)鄰接。其中每層網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)一致，且高層的中心節(jié)點(diǎn)、葉子節(jié)點(diǎn)與低層相對(duì)應(yīng)的中心節(jié)點(diǎn)、葉子節(jié)點(diǎn)存在有向鄰接，則4 層層間單向耦合星形網(wǎng)絡(luò)的超拉普拉斯矩陣為

圖1 4 層層間單向耦合星形網(wǎng)絡(luò)

其全部特征根為：

其中i=1,2,3。通過(guò)對(duì)比分析，i=3時(shí)，式（2）取到最大值；i=1時(shí)，式（3）取到最小值。比較全部特征值的大小，可得

因此：在同步域無(wú)界的情況下，4 層層間單向耦合星形網(wǎng)絡(luò)的同步能力由λ2=min{a,d}決定；在同步域有界的情況下，4 層層間單向耦合星形網(wǎng)絡(luò)的同步能力由r=λmax/λ2=(Na+3d0)/min{d,a}決定。

類似地，考慮K層層間單向耦合星形網(wǎng)絡(luò)，可得K層層間單向耦合星形網(wǎng)絡(luò)的超拉普拉斯矩陣為

其全部特征根為：

其中i=1,2,···,K?1。為了便于比較它們之間的大小關(guān)系，設(shè)

于是

類似地，λ1i→Na+(K?i)d0,N?a,d,d0,K。i=1,2,···,K?1。

因此λ2i<λ1i。

比較全部特征值的大小，可得λ2=min{λ2(K?1),a}→min{d,a}，λmax→Na+(K?1)d0。

由此可以推出：在同步域無(wú)界的情況下，K層層間單向耦合星形網(wǎng)絡(luò)的同步能力由λ2=min{d,a}決定；在同步域有界的情況下，K層層間單向耦合星形網(wǎng)絡(luò)的同步能力由r=λmax/λ2=(Na+(K?1)d0)/min{d,a}決定。即 λ2越大，同步能力越強(qiáng)；r越大，同步能力反而越弱。

3 數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)與分析

采用MATLAB 進(jìn)行數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)，討論各參數(shù)與同步能力之間的關(guān)系。仿真實(shí)驗(yàn)的主要步驟為：首先根據(jù)第2 節(jié)得到的在同步域無(wú)界和有界2 種情況下的重要指標(biāo)進(jìn)行數(shù)值模擬，給定符合實(shí)際的5 個(gè)參數(shù)中的4 個(gè)參數(shù)，變化剩下的1 個(gè)參數(shù)，數(shù)值模擬仿真出同步域無(wú)界時(shí)λ2變化情況和同步域有界時(shí)r的變化情況。以下實(shí)驗(yàn)中：a為層內(nèi)耦合強(qiáng)度；d為葉子節(jié)點(diǎn)間的層間耦合強(qiáng)度；d0為中心節(jié)點(diǎn)間耦合強(qiáng)度；K為層數(shù)；N為節(jié)點(diǎn)數(shù)。

由圖2 可知，在同步域?yàn)闊o(wú)界或有界的情況下，網(wǎng)絡(luò)的同步能力都隨葉子節(jié)點(diǎn)的層間耦合強(qiáng)度d的增加而增大，其同步能力增大到一定程度后同步能力基本不變，也就是說(shuō)，在這種情況下要使網(wǎng)絡(luò)同步能力達(dá)到最大，一直增加葉子節(jié)點(diǎn)的層間耦合強(qiáng)度d是不行的。

圖2 在不同同步域下，同步能力隨葉子節(jié)點(diǎn)間的層間耦合強(qiáng)度d的變化（N=300，a=3，d0=2，K=15）

由圖3 可知：在同步域無(wú)界的情況下，網(wǎng)絡(luò)的同步能力隨中心節(jié)點(diǎn)的層間耦合強(qiáng)度d0的增加而保持不變；在同步域有界的情況下（a

圖3 在不同同步域下，同步能力隨中心節(jié)點(diǎn)間的層間耦合強(qiáng)度 d0的變化（N=300，a=3，d=4，K=15，a

由圖4 可知：在同步域無(wú)界的情況下，網(wǎng)絡(luò)的同步能力隨中心節(jié)點(diǎn)的層間耦合強(qiáng)度d0的增加而保持不變；在同步域有界的情況下（a>d），網(wǎng)絡(luò)的同步能力隨中心節(jié)點(diǎn)的層間耦合強(qiáng)度d0的增加而緩慢減小。

圖4 在不同同步域下，同步能力隨中心節(jié)點(diǎn)間的層間耦合強(qiáng)度 d0的變化（N=300，a=3，d=1，K=15，a>d）

由圖5 可知：在同步域無(wú)界的情況下，網(wǎng)絡(luò)的同步能力隨層內(nèi)耦合強(qiáng)度a的增加而增大，但增大到一定程度后保持不變；在同步域有界的情況下，網(wǎng)絡(luò)的同步能力隨層內(nèi)耦合強(qiáng)度a的增加先增強(qiáng)后減弱。

圖5 在不同同步域下，同步能力隨層內(nèi)耦合強(qiáng)度a的變化（N=300，d0=2，d=1，K=15）

由圖6 可知：在同步域無(wú)界（a

圖6 在不同同步域下，同步能力隨網(wǎng)絡(luò)規(guī)模N的變化（a=0.5，d0=2，d=1，K=15，a

由圖7 可知：在同步域無(wú)界（a>d）的情況下，網(wǎng)絡(luò)的同步能力隨節(jié)點(diǎn)數(shù)N的增加而保持不變；在同步域有界的情況下，網(wǎng)絡(luò)的同步能力隨節(jié)點(diǎn)數(shù)N的增加而減弱。

圖7 在不同同步域下，同步能力隨網(wǎng)絡(luò)規(guī)模N的變化（a=0.5，d0=2,d=1，K=15，a>d）

由圖8 可知：在同步域無(wú)界的情況下，網(wǎng)絡(luò)的同步能力隨網(wǎng)絡(luò)層數(shù)K的增加而保持不變；在同步域有界的情況下，網(wǎng)絡(luò)的同步能力隨網(wǎng)絡(luò)層數(shù)K的增加而減弱。

圖8 在不同同步域下，同步能力隨星形網(wǎng)絡(luò)層數(shù)的變化（a=3，d0=2，d=1，N=300）

多層網(wǎng)絡(luò)的同步能力隨a，d0，d，K，N的變化情況如表1 所示。

表1 λ2,r=λmax/λ2隨a，d0，d，K，N的變化

4 結(jié)論

綜合以上的分析可知：在同步域?yàn)闊o(wú)界的情況下，K層層間單向耦合星形網(wǎng)絡(luò)的同步能力只與層內(nèi)耦合強(qiáng)度、葉子節(jié)點(diǎn)間的層間耦合強(qiáng)度有關(guān)，而且同步能力取決于層內(nèi)耦合強(qiáng)度、葉子點(diǎn)之間的層間耦合強(qiáng)度較小的一個(gè)；在同步域?yàn)橛薪绲那樾蜗拢琄層層間單向耦合星形網(wǎng)絡(luò)的同步能力與層內(nèi)耦合強(qiáng)度、葉子節(jié)點(diǎn)的層間耦合強(qiáng)度、層數(shù)及中心節(jié)點(diǎn)耦合強(qiáng)度都有關(guān)。

同時(shí)，本文結(jié)論與文獻(xiàn)[17]給出的同條件下的星形網(wǎng)絡(luò)的結(jié)果既有區(qū)別又有聯(lián)系。在同步域無(wú)界時(shí)的相同點(diǎn)是2 種結(jié)構(gòu)的星形網(wǎng)絡(luò)同步能力都與層內(nèi)耦合強(qiáng)度、葉子節(jié)點(diǎn)的層間耦合強(qiáng)度有關(guān)；不同之處在于本文的結(jié)果與層數(shù)無(wú)關(guān)，文獻(xiàn)[17]的結(jié)果與層數(shù)有關(guān)。在同步域無(wú)界時(shí)本文與文獻(xiàn)[17]的結(jié)果完全不同。

多層層間單向耦合星形網(wǎng)絡(luò)的研究依然有很多問(wèn)題需要解決，比如：在本文的多層層間單向耦合星形網(wǎng)絡(luò)改變層內(nèi)耦合強(qiáng)度時(shí)，怎樣改變其他參數(shù)來(lái)使同步能力保持不變；改變其中一個(gè)參數(shù)時(shí)，怎樣改變其他參數(shù)來(lái)使同步能力保持不變。