朱 劍,李顯勇,高海平
(1.新疆工程學(xué)院數(shù)理學(xué)院,新疆 烏魯木齊 830023;2.西華大學(xué)計算機與軟件工程學(xué)院,四川 成都 610039;3.新疆輕工職業(yè)技術(shù)學(xué)院公共基礎(chǔ)部,新疆 烏魯木齊 830021)
自然界中最常見的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)包括神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、新陳代謝網(wǎng)絡(luò)、金融網(wǎng)絡(luò)、鳥類的群體飛行網(wǎng)絡(luò)、社交網(wǎng)絡(luò)等。近年來,復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)已經(jīng)成為不同領(lǐng)域科學(xué)家們的熱點研究方向。隨著研究的深入,復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)在很多方面都取得了新進展,如多層網(wǎng)絡(luò)同步[1?8]、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)建模與拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)[9?10]、疾病傳播和信息傳播[11]、動力學(xué)性質(zhì)[12]、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的魯棒性與脆弱性[13?14]等。
在研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的過程中,一個很重要問題就是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步。同步現(xiàn)象經(jīng)常發(fā)生在我們的生活中,如演出時掌聲同步、螢火蟲同時閃爍及無人機編隊同步等。在物理、生物、工程技術(shù)以及社會科學(xué)等領(lǐng)域都出現(xiàn)了各種各樣的同步現(xiàn)象。目前對單個復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步已經(jīng)有了比較成熟的研究成果,但對更實際的多層有向網(wǎng)絡(luò)的同步研究[15?17]極少。文獻 [15]在同步域為有界和無界2 種情況下研究了2 層星形網(wǎng)絡(luò)的同步能力,對于中心節(jié)點與中心節(jié)點相連、葉子節(jié)點之間相連的2 層星形網(wǎng)絡(luò)給出了特征值的表達(dá)式,并分析了網(wǎng)絡(luò)的同步能力與節(jié)點數(shù)、層間耦合強度和層內(nèi)耦合強度的關(guān)系。文獻[16]給出了3 層層內(nèi)單向耦合的星形網(wǎng)絡(luò)的特征值多項式,在同步域無界和有界2 種情況下分析了網(wǎng)絡(luò)層數(shù)、每層網(wǎng)絡(luò)節(jié)點數(shù)、層內(nèi)耦合強度、層間耦合強度與網(wǎng)絡(luò)同步能力的關(guān)系。文獻[17]給出了多層雙向?qū)觾?nèi)耦合的星形網(wǎng)絡(luò),并對星形圓環(huán)狀網(wǎng)絡(luò)在同步域無界和有界2 種情況下各參數(shù)與網(wǎng)絡(luò)同步能力的關(guān)系進行了分析。
由于實際的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)更接近于有向網(wǎng)絡(luò),因此,本文研究更貼近實際的多層層間有向耦合星形網(wǎng)絡(luò)的特征值譜及同步能力。首先,根據(jù)主穩(wěn)定性函數(shù)方法給出4 層層間單向耦合星形網(wǎng)絡(luò)的超拉普拉斯矩陣,得到反映網(wǎng)絡(luò)同步能力的重要指標(biāo)λ2和r;然后,給出K層層間單向耦合的星形網(wǎng)絡(luò)的特征值多項式以及特征值譜;在同步域無界和有界2 種情況下,分析各參數(shù)與K層層間單向耦合的星形網(wǎng)絡(luò)同步能力的關(guān)系;最后,給出K層層間單向耦合星形網(wǎng)絡(luò)同步能力的仿真圖像(K=15),討論網(wǎng)絡(luò)同步能力與各參數(shù)之間的關(guān)系。
K層網(wǎng)絡(luò)中第M層第i個節(jié)點的動力學(xué)方程為
結(jié)合層內(nèi)與層間相關(guān)矩陣,定義超拉普拉斯矩陣Ψ=ΨI+ΨL,其中矩陣ΨI=LI?IN,LI=?dD,IN為N×N單位矩陣,?為Kronecker 積。
多層網(wǎng)絡(luò)的同步能力由超拉普拉斯矩陣的非零最小特征值 λ2和最大特征值r決定:當(dāng)同步域無界時,多層網(wǎng)絡(luò)的同步能力由超拉普拉斯矩陣的非零最小特征值 λ2決定,此時網(wǎng)絡(luò)的同步能力與 λ2成正比;當(dāng)同步域有界時,多層網(wǎng)絡(luò)的同步能力由r=λmax/λ2決定,此時多層網(wǎng)絡(luò)的同步能力與r成反比[17]。
首先,考慮4 層層間單向耦合星形網(wǎng)絡(luò),如圖1 所示,黑色有向虛線代表葉子節(jié)點鄰接,紅色有向虛線代表中心節(jié)點鄰接。其中每層網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)一致,且高層的中心節(jié)點、葉子節(jié)點與低層相對應(yīng)的中心節(jié)點、葉子節(jié)點存在有向鄰接,則4 層層間單向耦合星形網(wǎng)絡(luò)的超拉普拉斯矩陣為
圖1 4 層層間單向耦合星形網(wǎng)絡(luò)
其全部特征根為:
其中i=1,2,3。通過對比分析,i=3時,式(2)取到最大值;i=1時,式(3)取到最小值。比較全部特征值的大小,可得
因此:在同步域無界的情況下,4 層層間單向耦合星形網(wǎng)絡(luò)的同步能力由λ2=min{a,d}決定;在同步域有界的情況下,4 層層間單向耦合星形網(wǎng)絡(luò)的同步能力由r=λmax/λ2=(Na+3d0)/min{d,a}決定。
類似地,考慮K層層間單向耦合星形網(wǎng)絡(luò),可得K層層間單向耦合星形網(wǎng)絡(luò)的超拉普拉斯矩陣為
其全部特征根為:
其中i=1,2,···,K?1。為了便于比較它們之間的大小關(guān)系,設(shè)
于是
類似地,λ1i→Na+(K?i)d0,N?a,d,d0,K。i=1,2,···,K?1。
因此λ2i<λ1i。
比較全部特征值的大小,可得λ2=min{λ2(K?1),a}→min{d,a},λmax→Na+(K?1)d0。
由此可以推出:在同步域無界的情況下,K層層間單向耦合星形網(wǎng)絡(luò)的同步能力由λ2=min{d,a}決定;在同步域有界的情況下,K層層間單向耦合星形網(wǎng)絡(luò)的同步能力由r=λmax/λ2=(Na+(K?1)d0)/min{d,a}決定。即 λ2越大,同步能力越強;r越大,同步能力反而越弱。
采用MATLAB 進行數(shù)值模擬實驗,討論各參數(shù)與同步能力之間的關(guān)系。仿真實驗的主要步驟為:首先根據(jù)第2 節(jié)得到的在同步域無界和有界2 種情況下的重要指標(biāo)進行數(shù)值模擬,給定符合實際的5 個參數(shù)中的4 個參數(shù),變化剩下的1 個參數(shù),數(shù)值模擬仿真出同步域無界時λ2變化情況和同步域有界時r的變化情況。以下實驗中:a為層內(nèi)耦合強度;d為葉子節(jié)點間的層間耦合強度;d0為中心節(jié)點間耦合強度;K為層數(shù);N為節(jié)點數(shù)。
由圖2 可知,在同步域為無界或有界的情況下,網(wǎng)絡(luò)的同步能力都隨葉子節(jié)點的層間耦合強度d的增加而增大,其同步能力增大到一定程度后同步能力基本不變,也就是說,在這種情況下要使網(wǎng)絡(luò)同步能力達(dá)到最大,一直增加葉子節(jié)點的層間耦合強度d是不行的。
圖2 在不同同步域下,同步能力隨葉子節(jié)點間的層間耦合強度d的變化(N=300,a=3,d0=2,K=15)
由圖3 可知:在同步域無界的情況下,網(wǎng)絡(luò)的同步能力隨中心節(jié)點的層間耦合強度d0的增加而保持不變;在同步域有界的情況下(a 圖3 在不同同步域下,同步能力隨中心節(jié)點間的層間耦合強度 d0的變化(N=300,a=3,d=4,K=15,a 由圖4 可知:在同步域無界的情況下,網(wǎng)絡(luò)的同步能力隨中心節(jié)點的層間耦合強度d0的增加而保持不變;在同步域有界的情況下(a>d),網(wǎng)絡(luò)的同步能力隨中心節(jié)點的層間耦合強度d0的增加而緩慢減小。 圖4 在不同同步域下,同步能力隨中心節(jié)點間的層間耦合強度 d0的變化(N=300,a=3,d=1,K=15,a>d) 由圖5 可知:在同步域無界的情況下,網(wǎng)絡(luò)的同步能力隨層內(nèi)耦合強度a的增加而增大,但增大到一定程度后保持不變;在同步域有界的情況下,網(wǎng)絡(luò)的同步能力隨層內(nèi)耦合強度a的增加先增強后減弱。 圖5 在不同同步域下,同步能力隨層內(nèi)耦合強度a的變化(N=300,d0=2,d=1,K=15) 由圖6 可知:在同步域無界(a 圖6 在不同同步域下,同步能力隨網(wǎng)絡(luò)規(guī)模N的變化(a=0.5,d0=2,d=1,K=15,a 由圖7 可知:在同步域無界(a>d)的情況下,網(wǎng)絡(luò)的同步能力隨節(jié)點數(shù)N的增加而保持不變;在同步域有界的情況下,網(wǎng)絡(luò)的同步能力隨節(jié)點數(shù)N的增加而減弱。 圖7 在不同同步域下,同步能力隨網(wǎng)絡(luò)規(guī)模N的變化(a=0.5,d0=2,d=1,K=15,a>d) 由圖8 可知:在同步域無界的情況下,網(wǎng)絡(luò)的同步能力隨網(wǎng)絡(luò)層數(shù)K的增加而保持不變;在同步域有界的情況下,網(wǎng)絡(luò)的同步能力隨網(wǎng)絡(luò)層數(shù)K的增加而減弱。 圖8 在不同同步域下,同步能力隨星形網(wǎng)絡(luò)層數(shù)的變化(a=3,d0=2,d=1,N=300) 多層網(wǎng)絡(luò)的同步能力隨a,d0,d,K,N的變化情況如表1 所示。 表1 λ2,r=λmax/λ2隨a,d0,d,K,N的變化 綜合以上的分析可知:在同步域為無界的情況下,K層層間單向耦合星形網(wǎng)絡(luò)的同步能力只與層內(nèi)耦合強度、葉子節(jié)點間的層間耦合強度有關(guān),而且同步能力取決于層內(nèi)耦合強度、葉子點之間的層間耦合強度較小的一個;在同步域為有界的情形下,K層層間單向耦合星形網(wǎng)絡(luò)的同步能力與層內(nèi)耦合強度、葉子節(jié)點的層間耦合強度、層數(shù)及中心節(jié)點耦合強度都有關(guān)。 同時,本文結(jié)論與文獻[17]給出的同條件下的星形網(wǎng)絡(luò)的結(jié)果既有區(qū)別又有聯(lián)系。在同步域無界時的相同點是2 種結(jié)構(gòu)的星形網(wǎng)絡(luò)同步能力都與層內(nèi)耦合強度、葉子節(jié)點的層間耦合強度有關(guān);不同之處在于本文的結(jié)果與層數(shù)無關(guān),文獻[17]的結(jié)果與層數(shù)有關(guān)。在同步域無界時本文與文獻[17]的結(jié)果完全不同。 多層層間單向耦合星形網(wǎng)絡(luò)的研究依然有很多問題需要解決,比如:在本文的多層層間單向耦合星形網(wǎng)絡(luò)改變層內(nèi)耦合強度時,怎樣改變其他參數(shù)來使同步能力保持不變;改變其中一個參數(shù)時,怎樣改變其他參數(shù)來使同步能力保持不變。4 結(jié)論