朱月紅

數(shù)學(xué)世界浩瀚如海，數(shù)學(xué)知識(shí)千差萬(wàn)別，但不同知識(shí)之間卻存在“親緣”關(guān)系、相似之處。只有學(xué)會(huì)有聯(lián)系地思考，我們才能獲得更有益的知識(shí)。下面，我們以蘇科版八年級(jí)上冊(cè)第五章“平面直角坐標(biāo)系”為例，共同體會(huì)其中的奧妙。

一、類比學(xué)習(xí)，形成完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)的概念與概念之間具有聯(lián)系性。當(dāng)知識(shí)與知識(shí)聯(lián)系在一起時(shí)，新知識(shí)因?yàn)橛辛恕案辈拧俺苫睢保M(jìn)而成為“活”的知識(shí)，最終轉(zhuǎn)化為“力量”。

請(qǐng)同學(xué)們思考一下：“平面直角坐標(biāo)系”的“上一代”是什么？研究了什么內(nèi)容？怎么研究的？后續(xù)將研究什么問(wèn)題？

如果類比數(shù)軸（一維）研究的對(duì)象和路徑，來(lái)研究?jī)蓷l數(shù)軸（二維），建立平面直角坐標(biāo)系，對(duì)比“前世”（數(shù)軸）和“今生”（平面直角坐標(biāo)系）（如圖1），同學(xué)們是不是有種豁然開(kāi)朗的感覺(jué)？

二、有邏輯地思考，讓思維更靈活

有的同學(xué)每攻克一道難題，就志得意滿，其實(shí)這還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。同學(xué)們要學(xué)會(huì)從多個(gè)角度思考：這道題還有沒(méi)有其他解法？如果遇到同類問(wèn)題，自己還能快速地做出來(lái)嗎？

例 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（3，2）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）。

A.（-3，2）? ? B.（3，-2）

C.（-2，-3）? D.（-3，-2）

【分析】?jī)蓚€(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則它們的橫縱坐標(biāo)符號(hào)相反，即點(diǎn)P（x，y）關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)是P′（-x，-y）。因此，點(diǎn)A（3，2）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是A′（-3，-2）。故選D。

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)的性質(zhì)，正確記憶橫縱坐標(biāo)的符號(hào)是解題關(guān)鍵。

變式訓(xùn)練1 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（-3，-1）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）。

A.（-3，1） B.（3，1）

C.（3，-1）? D.（-1，-3）

【分析】根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，即橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變，可得出答案。因此，點(diǎn)A（-3，-1）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)是（3，-1）。故選C。

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵是掌握點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)。

變式訓(xùn)練2 若點(diǎn)P（x，y）在第三象限，則點(diǎn)M（y-1，-x+1）在第 ? ? 象限。

【分析】首先，根據(jù)各象限內(nèi)的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的特征，判斷出x、y的正負(fù)情況;再根據(jù)對(duì)橫、縱坐標(biāo)的理解，判斷出點(diǎn)M的橫、縱坐標(biāo)的正負(fù)情況;最后，根據(jù)各象限內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)特征進(jìn)行解答。

方法一（特殊值法，解決填空、選擇題最快捷的方法）：

令x=-1，y=-1，則y-1=-2，-x+1=2，

∴M（-2，2）。

故點(diǎn)M在第二象限。

方法二（根據(jù)各象限內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)）：

∵點(diǎn)P（x，y）在第三象限，

∴x<0，y<0，

∴y-1<0，-x+1>0。

故點(diǎn)M（y-1，-x+1）在第二象限。

方法三（數(shù)形結(jié)合，如圖2）：

∵點(diǎn)P（x，y）在第三象限，

∴x<0，y<0，

∴-x>0，y<0，

∴點(diǎn)（y，-x）在第二象限，

∴點(diǎn)（y-1，-x+1）為點(diǎn)（y，-x）向左平移1個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位，平移后的點(diǎn)仍在第二象限。

故點(diǎn)M（y-1，-x+1）在第二象限。

【點(diǎn)評(píng)】一道例題有多種變法，一個(gè)問(wèn)題有多種解法，同學(xué)們只有做到觸類旁通，才能真正弄懂、弄透一類題，才能以不變應(yīng)萬(wàn)變，享受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣。下面我們?cè)僮円蛔?，?qǐng)同學(xué)們?cè)囈辉嚒?/p>

變式訓(xùn)練3 在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)P（a-3，1）與點(diǎn)Q（2，b+1）關(guān)于x軸對(duì)稱，則a+b的值是（ ）。

A.1 B.2 C.3 D.4

變式訓(xùn)練4 在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)不同的兩點(diǎn) P（2a，6）與 Q（4+b，3-b）的直線 PQ //x 軸，則 a，b滿足的條件是 ? ? ? ? ? ? 。

同學(xué)們要學(xué)會(huì)從不同角度、不同思想、不同方法和不同的運(yùn)算過(guò)程進(jìn)行聯(lián)想，這樣可以將一些繁瑣的甚至枯燥無(wú)味的習(xí)題變得充滿趣味。

[參考答案]

變式訓(xùn)練3.C;變式訓(xùn)練4.a≠[12]，

b=-3。

（作者單位：江蘇省泰州市高港區(qū)教師發(fā)展中心）