曾 文,李日鵬,楊之江，周 揚，李宗祥，李曉麗，扈 震

(1.中國地質(zhì)大學(武漢)地理與信息工程學院，武漢 430078；2.武漢眾智鴻圖科技有限公司，武漢 430223)

供水管網(wǎng)是一個龐大且復雜的系統(tǒng)[1]，受限于投資成本等因素，在進行管網(wǎng)設(shè)計和運維管理時，管理者需要重點關(guān)注管網(wǎng)中的脆弱環(huán)節(jié)[2]。管段是管網(wǎng)的最重要組成部分之一，進行管段的脆弱性分析，對管網(wǎng)的設(shè)計、運維和改造都具有重要意義。管段脆弱性評價研究，主要分為基于水力模擬的方法和基于拓撲結(jié)構(gòu)分析的方法?；谒δM的方法通過水力模型模擬所有可能的管段故障后果評價管段對管網(wǎng)正常運行的重要性。由于考慮多管段故障組合計算量十分龐大，通常將故障場景限制為單管段故障，枚舉各個管段發(fā)生故障后管網(wǎng)的欠缺供應量比評價管段的脆弱性[2]。這類方法的評價結(jié)果比較精細，貼合實際工況，但依賴于水力模型的調(diào)校精度[3]，并且必須針對每根管段執(zhí)行獨立的水力模擬來評估故障影響[4]，計算量耗費很高。

由于水力模擬評價方法的計算復雜性，許多學者嘗試通過拓撲結(jié)構(gòu)來分析管網(wǎng)組件的重要性。Gutiérrez-Pérez等[5]通過PageRank和HITS兩種算法評價和篩選供水管網(wǎng)中的關(guān)鍵節(jié)點。Yazdani等[6]采用介數(shù)中心性來評價管網(wǎng)中節(jié)點的脆弱性，并將各節(jié)點介數(shù)與最大介數(shù)差的平均值作為衡量管網(wǎng)魯棒性的指標。Agathokleous等[7]在考慮了網(wǎng)絡(luò)拓撲時序變化的基礎(chǔ)上，通過邊介數(shù)評價管段和管網(wǎng)局部區(qū)域的脆弱性。但這些經(jīng)典的圖論方法沒有考慮到供水管網(wǎng)中不同節(jié)點的角色和地位，以及需求節(jié)點與水源節(jié)點之間的供需依賴關(guān)系，因此，并不完全適用于供水管網(wǎng)的結(jié)構(gòu)分析。為此，Giustolisi等[8]對需求節(jié)點和水源節(jié)點進行了區(qū)分，通過為水源增加虛擬節(jié)點等方式增強水源的地位，然后通過邊介數(shù)評價管段的中心性。但這種方法沒有考慮到不同供水路徑的重要性，未能精細反映管網(wǎng)真實的結(jié)構(gòu)特征，同時需要修改管網(wǎng)拓撲，不太便于分析。針對上述不足，本研究將供水管網(wǎng)拓撲連接和節(jié)點供需關(guān)系相結(jié)合，考察需求節(jié)點的供水路徑，提出一種新的評價指標——加權(quán)邊介數(shù)(weighted edge betweenness,WEB)來評價供水管網(wǎng)中管段的脆弱性。

1 邊介數(shù)中心性

介數(shù)中心性最早由Freeman[9]于1977年提出，刻畫了網(wǎng)絡(luò)中一節(jié)點對于其他節(jié)點沿著最短路徑傳輸信息的控制能力，是復雜網(wǎng)絡(luò)理論中常用的節(jié)點重要性衡量指標。Girvan等[10]將其擴展至網(wǎng)絡(luò)的邊，提出了邊介數(shù)的概念，以衡量網(wǎng)絡(luò)中邊的重要性，其定義為

(1)

在社交、生物等網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點是信息共享和交換的主體，因此，重要性評價主要聚焦于網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點上。而在供水管網(wǎng)中，管段是管網(wǎng)的最主要組成部分，承載著管網(wǎng)中水的傳輸，顯著影響管網(wǎng)的水力狀況和功能[8]。因此，邊介數(shù)更符合供水管網(wǎng)的可靠性分析需求。管段的中心性越強，其對管網(wǎng)中水的傳輸控制能力越強，當其發(fā)生故障時，對管網(wǎng)的影響越大，即管段的脆弱性越大。

2 加權(quán)邊介數(shù)

水源是供水管網(wǎng)供水的基礎(chǔ)，需求節(jié)點的用水依賴于其與水源間的連通路徑，需求節(jié)點之間的連通路徑并不能保證管網(wǎng)的正常供水，因此，將邊介數(shù)計算中的節(jié)點對修改為需求節(jié)點與水源節(jié)點組成的節(jié)點對，更符合供水管網(wǎng)實際情況。由于求解每一個需求節(jié)點與各個水源之間的所有供水路徑計算代價過大，將需求節(jié)點與水源間的供水路徑數(shù)量限制為K。實驗表明，K通常取為網(wǎng)絡(luò)節(jié)點數(shù)的5%～10%就可以達到統(tǒng)計上比較魯棒的度量結(jié)果[4]。本研究使用水源與需求節(jié)點間的K最短路徑代表實際的供水路徑，K取為節(jié)點總數(shù)的10%。

將供水路徑需要克服的阻力作為路徑的距離，并采用Herrera等[11]提出的對于供水路徑阻力的度量，參考普遍采用的Darcy-Weisbach水頭損失公式[12]。水源s與需求節(jié)點t之間的第k條最短路徑的距離可表示為

(2)

式中：M為第k條最短路徑上的管段數(shù)目，fm為管段m的摩阻系數(shù)，Lm為管段m長度，Dm為管段m直徑。

另一方面，不同的供水路徑其重要性也各不相同。供水路徑的重要性主要與其兩端連接的水源和需求節(jié)點有關(guān)。假設(shè)需求節(jié)點t連接s1和s2兩個水源，s2的供應比例大于s1，即節(jié)點t的用水更依賴于水源s2，此時s2與節(jié)點t之間的路徑相比s1與節(jié)點t之間的路徑更加重要。若水源s連接兩個節(jié)點t1和t2，節(jié)點t2的需求大于節(jié)點t1，則節(jié)點t2和水源s的連通路徑發(fā)生故障后，事故的影響更大，節(jié)點t2與水源s之間的路徑相比節(jié)點t1與水源s之間的路徑更加重要。因此，根據(jù)水源在整個管網(wǎng)中的供應比例和需求節(jié)點在整個管網(wǎng)中的需求占比對供水路徑進行加權(quán)，可以更精細刻畫供水路徑的重要性。

水源s的供應比例可表示為

(3)

式中：cs為水源s的供應比例，ps為水源s的供應量，S為水源集合。

需求節(jié)點t的需求比例可表示為

(4)

式中：qt為需水節(jié)點t的需求比例，at為節(jié)點t的需水量，T為需水節(jié)點集合。

水源s和節(jié)點t之間供水路徑的重要性總權(quán)值ws,t可表示為

ws,t=csqt

(5)

由于水源s與t之間共有K條供水路徑，而通常水流總是選擇流通阻力更小的路徑，水流對路徑選擇的不確定性本質(zhì)上是各條路徑的流通阻力不同[13]。因此，根據(jù)這K條供水路徑的距離進行反比例加權(quán)。

則水源s和需求節(jié)點t之間的第k條路徑的權(quán)值ws,t,k可表示為

(6)

式中

(7)

管段e的加權(quán)邊介數(shù)BWE(e)計算公式為

(8)

式中：S為水源集合，T為需求節(jié)點集合，K為常量，ws,t,k(e)為水源s到需水節(jié)點t并且經(jīng)過管段e的第k條最短路徑的權(quán)值，ws,t,k為水源s到需水節(jié)點t的第k條最短路徑的權(quán)值。

加權(quán)邊介數(shù)值越大，管段損壞對管網(wǎng)的功能影響越大，即管段脆弱性越大。

3 實驗與分析

使用Net3和ZJ兩個管網(wǎng)作為研究對象。這兩個管網(wǎng)規(guī)模較為接近，同時分別代表枝狀和環(huán)狀兩種不同布局類型的管網(wǎng)。管網(wǎng)Net3是供水管網(wǎng)分析開源庫WNTR提供的示例管網(wǎng)數(shù)據(jù)[14]，包含兩個水源，環(huán)路較少，整體布局呈狹長枝狀。管網(wǎng)ZJ是肯塔基大學提供的開放管網(wǎng)數(shù)據(jù)[15]，包含1個水源，環(huán)路較多，整體布局呈較均勻網(wǎng)格狀。兩管網(wǎng)具體特征參數(shù)如表1所示。

表1 兩個管網(wǎng)特征Tab.1 Characteristics of two WDNs

首先，使用欠缺供應量比、水齡增長比、經(jīng)典邊介數(shù)和WEB對上述兩個管網(wǎng)進行管段脆弱性評價，對比其脆弱性分布，然后分別采用經(jīng)典邊介數(shù)和WEB作為攻擊依據(jù)進行供水管網(wǎng)蓄意攻擊模擬，驗證WEB的敏感度。最后，基于WEB對管網(wǎng)管段進行優(yōu)化，對比優(yōu)化前后的管段脆弱性分布。

3.1 脆弱性分布

使用經(jīng)典邊介數(shù)和WEB對管網(wǎng)Net3和管網(wǎng)ZJ的所有管段進行脆弱性評價，并分別與使用管段欠缺供應量比、水齡增長比的評價相比照。管段欠缺供應量比指的是一管段發(fā)生故障后，采用壓力驅(qū)動的水力模擬方式計算出24 h內(nèi)管網(wǎng)不能滿足的用水需求量占總需求量的比例，因為考慮了延時運行工況，可以認為比較符合實際狀況[16]。而水齡增長比是指管段故障后24 h內(nèi)所有節(jié)點總水齡的增量占故障前24 h內(nèi)所有節(jié)點總水齡的比例[17]。

兩個管網(wǎng)的管段脆弱性評價結(jié)果分級分別見圖1、2。對于管網(wǎng)Net3，按照欠缺供應量比(圖1(a))和水齡增長比評價指標(圖1(b))，存在一條連接水源River的脆弱性顯著的路徑，該路徑上的管段脆弱性明顯高于管網(wǎng)其他區(qū)域的管段，即發(fā)生故障時對管網(wǎng)的影響更大。使用WEB的評價(圖1(d))也識別出一條連接水源River的脆弱性顯著的路徑，與欠缺供應量比和水齡增長比的評價結(jié)果基本一致。而經(jīng)典邊介數(shù)評價(圖1(c))識別出的脆弱性最高的管段普遍位于遠離水源的管網(wǎng)較末端區(qū)域，與欠缺供應量比和水齡增長比的評價結(jié)果相差較大。由此也可以看出，越靠近水源的管段其脆弱性往往越大。但圖1中靠近水源River處存在一個三角環(huán)，該環(huán)中的管段脆弱性小于其直接相連的無環(huán)下游管段。這是因為環(huán)中的任一管段發(fā)生故障時，水流的傳輸可以經(jīng)由環(huán)中其他管段替代,而其直接相連的下游管段雖同為大多數(shù)節(jié)點供水的必經(jīng)之路但卻不存在其他替代路徑，因此，該下游管段的脆弱性相對更大。

圖1 管網(wǎng)Net3管段脆弱性分布Fig.1 Pipe vulnerability distributions of WDN Net3

同樣，對于管網(wǎng)ZJ，WEB與欠缺供應量比和水齡增長比的評價結(jié)果也較為一致，都將連接唯一水源與管網(wǎng)主體的管段評價為最脆弱。而經(jīng)典邊介數(shù)識別出的最脆弱管段位于管網(wǎng)中部。管網(wǎng)ZJ雖然整體呈網(wǎng)格狀，但只有一個水源通過一根管段與管網(wǎng)主體相連，該管段發(fā)生故障后管網(wǎng)將完全失效，WEB和欠缺供應量比的評價結(jié)果更符合實際。

兩個管網(wǎng)的實驗結(jié)果都表明，WEB相比經(jīng)典邊介數(shù)的評價結(jié)果更接近欠缺供應量比和水齡增長比的評價結(jié)果，原因主要在于經(jīng)典邊介數(shù)將水源與所有需求節(jié)點等同看待，沒有考慮供水管網(wǎng)的水力特征，在評價中未能體現(xiàn)水源的中心地位。

3.2 敏感度分析

在復雜網(wǎng)絡(luò)中常使用蓄意攻擊模擬來分析管網(wǎng)的魯棒性。蓄意攻擊模擬通過逐步移除網(wǎng)絡(luò)中最脆弱的組件方式對網(wǎng)絡(luò)進行攻擊，然后通過網(wǎng)絡(luò)性能評價指標的變化衡量網(wǎng)絡(luò)的魯棒性。使用不同脆弱性評價指標，網(wǎng)絡(luò)性能變化幅度不同，體現(xiàn)出評價指標的敏感度差異。敏感度較高的指標更有利于管網(wǎng)魯棒性分析。

圖2 管網(wǎng)ZJ管段脆弱性分布Fig.2 Pipe vulnerability distributions of WDN ZJ

針對實驗管網(wǎng)Net3和ZJ，分別采用經(jīng)典邊介數(shù)和WEB指標選擇最脆弱管段實施蓄意攻擊模擬，以最大連通子圖規(guī)模比和平均節(jié)點效率比兩個指標衡量供水管網(wǎng)的性能變化。

最大連通子圖規(guī)模定義為包含至少一個水源節(jié)點的最大連通子圖的節(jié)點數(shù)。最大連通子圖規(guī)模比為

(9)

式中s和s′分別為攻擊前和攻擊后的最大連通子圖規(guī)模。

定義平均節(jié)點效率為

(10)

式中：n為所有需求節(jié)點的總數(shù)，di為節(jié)點i到任一水源的最短路徑距離。

相應地，平均節(jié)點效率比定義為

(11)

式中c和c′分別為攻擊前和攻擊后的平均節(jié)點效率。

將管段按脆弱性評價結(jié)果從高到低從管網(wǎng)中移除。表2為針對管網(wǎng)Net3的實驗結(jié)果。使用經(jīng)典邊介數(shù)指標，移除前5%管段后，最大連通子圖規(guī)模比和平均節(jié)點效率比變化都較小，說明管網(wǎng)性能未受到顯著影響，管網(wǎng)仍保持較高服務能力。而使用WEB，移除5%的管段后，最大連通子圖規(guī)模比已降為0，說明此時管網(wǎng)所有節(jié)點都已經(jīng)與所有水源斷開連接，管網(wǎng)已經(jīng)完全失效。

表2 管網(wǎng)Net3模擬攻擊結(jié)果Tab.2 Attack simulation results of WDN Net3

表3為針對管網(wǎng)ZJ的攻擊實驗結(jié)果。使用經(jīng) 典邊介數(shù)作為攻擊策略，移除前5%管段后，最大連通子圖規(guī)模比未變化，平均節(jié)點效率比變化較小，管網(wǎng)仍保持著較高的服務能力。而使用WEB作為攻擊策略，僅移除1%的管段后，上述兩個指標即下降為0，管網(wǎng)完全失效。這是因為管網(wǎng)ZJ雖然呈網(wǎng)格狀，但只有一個水源與管網(wǎng)主體連接，與水源直接相連的管段為最脆弱管段，移除該管段后，管網(wǎng)中所有節(jié)點便與水源失去聯(lián)系，這與實際情況相符。

表3 管網(wǎng)ZJ模擬攻擊結(jié)果Tab.3 Attack simulation results of WDN ZJ

從兩個管網(wǎng)的實驗結(jié)果容易看出，WEB相比經(jīng)典邊介數(shù)在管網(wǎng)可靠性評價上具有更高敏感度。

3.3 基于WEB的管網(wǎng)優(yōu)化

WEB值較大的管段屬于管網(wǎng)的薄弱環(huán)節(jié)，針對這些管段的優(yōu)化，可以提升管網(wǎng)整體魯棒性。本研究以添加平行管段的優(yōu)化方法為例，印證WEB指標評價對管網(wǎng)優(yōu)化的作用。具體做法是選擇WEB值最大的若干管段，添加管徑、管長和管材都相同的平行管段，以形成新的環(huán)路，然后重新計算所有管段的WEB指標，通過對比優(yōu)化前后的管段脆弱性分布考察整體魯棒性提升狀況。

對管網(wǎng)Net3，按WEB值從大到小選取前15%的管段，添加平行管段，優(yōu)化后的管段脆弱性分布見圖3(b)?？梢钥闯?，最脆弱的管段仍主要位于水源附近，但管段脆弱性已經(jīng)顯著降低，全部管段WEB值從0～0.67變?yōu)?～0.36。

圖3 管網(wǎng)Net3優(yōu)化前后管段脆弱性分布Fig.3 Pipe vulnerability distributions of WDN Net3 before and after optimization

管網(wǎng)ZJ本身存在很多環(huán)狀連接，故僅選取WEB值前5%的管段添加平行管段。圖4(b)顯示，與水源直接相連的管段仍最脆弱，但脆弱性也顯著降低，全局看管段WEB值從0～1變?yōu)?～0.5。

圖4 管網(wǎng)ZJ優(yōu)化前后管段脆弱性分布Fig.4 Pipe vulnerability distributions of WDN ZJ before and after optimization

針對兩個管網(wǎng)的實驗表明，WEB指標對管網(wǎng)優(yōu)化可以發(fā)揮明顯指導作用。

4 結(jié) 語

基于需求節(jié)點與水源之間的K最短路徑，結(jié)合供水管網(wǎng)的水力屬性和物理屬性信息，提出了適用于供水管網(wǎng)的管段脆弱性評價新指標——WEB。WEB考慮了需求節(jié)點和水源的供需依賴關(guān)系，以及水源節(jié)點和需求節(jié)點在管網(wǎng)中不同的角色和重要性，能更加精細地反映各個管段在供水管網(wǎng)功能結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性中的作用。實驗表明，相比經(jīng)典邊介數(shù)指標，WEB更加接近管網(wǎng)實際運行狀況，有助于識別管網(wǎng)中脆弱性大的管段。同時可以發(fā)現(xiàn)，供水管網(wǎng)中越靠近水源的管段，其脆弱性往往更大，但與水源的距離并不是唯一的影響因素，還與其可替代性有關(guān)，若該管段處于一個環(huán)中，則其發(fā)生故障時管網(wǎng)中將存在其他路徑替代，此時其脆弱性反而可能小于其無環(huán)的下游管段。WEB可以作為一種較好的供水管網(wǎng)可靠性分析指標，為管網(wǎng)設(shè)計驗證、加固和改造提供參考依據(jù)。

WEB與基于水力模擬的欠缺供應量比、水齡增長比的評價結(jié)果較為接近，但屬于代理指標法范疇，計算更加簡單快捷，更適合于管網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計等需要反復迭代計算可靠性的場景。

后續(xù)的研究可以進一步挖掘供水管網(wǎng)自身特性，如在計算供水路徑時加入部分流向的約束信息，進而基于含有向邊和無向邊的混合圖分析管段脆弱性；還可以進一步考慮水箱、閥門等組件對于管網(wǎng)供水的影響，更精細地評價管段的脆弱性。