福建省莆田第四中學 (351100) 羅夢柱

知識是載體，方法是手段，思想是靈魂，它們是知識體系的三個層次.在日常教學中，教師往往注重知識的講解，方法的傳授，卻將數(shù)學思想的滲透丟棄一邊.為什么很多學生數(shù)學的學習僅僅停留在最初級的模仿階段？題目變一下，就不會了呢？究其原因，絕大多數(shù)學生是不懂得站在思想的高度來思考和引領方法，或者是由于思維混亂導致想不起來用什么方法來求解數(shù)學問題.因此，教師在講解知識和傳授方法的同時，進行數(shù)學思想方法的滲透，能夠幫助學生站在更高的層次思考問題，更有利于學生能力的提升.

數(shù)形結合思想體現(xiàn)了數(shù)學是研究數(shù)量關系和空間形式的科學的本質，利用數(shù)形結合思想引領數(shù)學解題，有利于分析題中圖形與數(shù)量之間的內在聯(lián)系，啟發(fā)學生思維，幫助學生快速尋得問題求解的方向.本文以多個典型例題為例，從以“數(shù)”化“形”、以“形”變“數(shù)”、“形”“數(shù)”互變三個方面闡述在教學中滲透數(shù)形結合思想對于數(shù)學解題的深刻意義.

1、以“數(shù)”化“形”，將抽象問題直觀化

高中數(shù)學中數(shù)量關系占據著重要的地位，對數(shù)量關系進行分析可以鍛煉學生的邏輯思維能力，而這正是教學的一大難點.為了突破這個難點，在教學過程中，教師要有意識的引導學生借助幾何圖形將題設條件直觀化，通過圖形反映出來的數(shù)量關系，找到數(shù)與式的本質.

分析：本題若從代數(shù)的角度去求解，勢必異常繁瑣，違背了命題者的命題意圖，在教學中可嘗試引導學生通過建立平面直角坐標系，將“數(shù)”化“形”，通過圖形反映出的數(shù)量關系，能夠將問題輕松解決.

圖1

例2 (2021年八省適應性考試第8題)已知a<5且ae5=5ea，b<4且be4=4eb，c<3且ce3=3ec，則( ).

A.c

C.a

結合f(x)的圖像如圖2，0f(b)>f(c)，從而a

圖2

分析：破解圓錐曲線問題往往需要根據題目所涉及圖形的幾何性質，從“幾何角度”入手，利用圖形反映出的數(shù)量關系，可以更簡便地求解出問題，更彰顯問題本質.

2、以“形”變“數(shù)”，將復雜問題簡單化

“形”具有直觀的特點，可以將一些抽象的思維直觀地表現(xiàn)出來，然而在量方面，卻存在一定的不足，還需要借助“數(shù)”進行計算，尤其是在一些比較復雜的圖形中，由于直接觀察不能得到結論，這時就需要從“形”出發(fā)，轉化為對應形式的“數(shù)”，借助數(shù)量解決圖形問題，這種“形”變“數(shù)”的模式，可以將不容易計算的問題變得易于計算，進而快速解決圖形問題.

圖4

分析：單純依賴圖形，無法準確刻畫邊、角之間的關聯(lián)，利用AD⊥AB，建立平面直角坐標系，通過坐標運算，能夠更直觀、更快速地求解問題.

圖5

圖6

分析:從“形”的角度，本題無法直接求解，需要將“形”變?yōu)椤皵?shù)”，通過“數(shù)”的運算，揭示各種量的內在關聯(lián)，達到問題求解的目的.

圖7

3、“形”“數(shù)”互變，強化代數(shù)與幾何的聯(lián)系

數(shù)學家華羅庚曾說過:“數(shù)缺形時少直覺,形少數(shù)時難入微.”這句話深刻地揭示了數(shù)形之間的辯證關系以及數(shù)形結合的重要性[3].對于一些較復雜的數(shù)學問題，單純地以“數(shù)”化“形”或以“形”變“數(shù)”無法實現(xiàn)問題的解決，需用綜合兩種方法，根據題目要求進行“數(shù)”與“形”互化，以找到解題的突破口，實現(xiàn)問題的順利求解.

例6 (2018年全國卷理數(shù)第16題)已知函數(shù)f(x)=2sinx+sin2x，則f(x)的最小值是________.

分析：從“數(shù)”的層面理解函數(shù)f(x)，可知f(x)為R上的周期函數(shù)，最小正周期為2π，同時f(x)為R上的奇函數(shù).從“形”的層面理解f(x)，由周期性，故本題只需求f(x)在一周期內的最小值，由奇偶性，問題轉化為求解f(x)在區(qū)間[-π,π]內的最小值，根據圖像的對稱性，問題轉化為研究f(x)在區(qū)間[0,π]內的最值情況.

例7 (2020新高考全國卷 I第21題(2)小題)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna，若f(x)≥1，求a的取值范圍.

分析：處理含參問題，若能夠充分利用表達式“數(shù)”的結構特點和函數(shù)圖像“形”的特征，通過“形”“數(shù)”互變、互補來進行求解，則往往能收到意想不到的效果.

個人數(shù)學學習的優(yōu)劣和數(shù)學才能的大小往往不在于數(shù)學知識的多寡，而在于數(shù)學思想方法的素養(yǎng)[2].隨著學生畢業(yè)走向社會，學校所學知識會慢慢忘記，方法會漸漸生疏，唯有哪些數(shù)學的精神、數(shù)學的思維方法能夠長久植根于學生的內心，伴隨他們成長，讓他們受益一生.教師在日常教學中，要充分發(fā)掘教學資源中所蘊含的數(shù)學思想，有意識的在教學中進行滲透，讓學生在潛移默化中去領悟、積淀、凝結并內化為他們的思維品質，達到促進學生能力與素養(yǎng)提升的目的.