廣東省佛山市順德區(qū)李偉強(qiáng)職業(yè)技術(shù)學(xué)校 (528300) 王曉敏

在2019年版高中數(shù)學(xué)教材選擇性必修第一冊(cè)第二章《直線與圓》中，第98頁中有如下幾道關(guān)于圓的方程的問題.

題1 求經(jīng)過點(diǎn)M(2,-2)以及圓x2+y2-6x=0與圓x2+y2=4交點(diǎn)的圓的方程.

題2 求圓心在直線：x-y-4=0上，并且經(jīng)過圓x2+y2+6x-4=0與圓x2+y2+6y-28=0的交點(diǎn)的圓的方程.

題3 求圓x2+y2-4=0與圓x2+y2-4x+4y-12=0的公共弦的長(zhǎng).

題4 求經(jīng)過點(diǎn)M(3,-1)且與圓x2+y2+2x-6y+5=0相切于點(diǎn)N(1,2)的圓的方程.

上述4道題目的難度并不大，均可通過待定系數(shù)法求得相應(yīng)的參數(shù)，但求解的運(yùn)算量較大.結(jié)合問題的信息，本文通過構(gòu)造“圓系”方程來進(jìn)行求解.

一、“圓系”方程簡(jiǎn)介

“圓系”方程，顧名思義即是滿足某類條件的一些列的“圓”的方程.常見的構(gòu)造“圓系”方程的技巧有如下幾種：

(1)同心圓的圓系方程：(x-a)2+(y-b)2=λ2(λ>0)或x2+y2+Dx+Ey+λ=0.

(2)設(shè)直線當(dāng)l與圓C相交，則有過直線l:Ax+By+C=0與圓C:x2+y2+Dx+Ey+F=0交點(diǎn)的圓系方程為：C+λl=0,即x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0.特別地，當(dāng)l與C相切時(shí)，上方程依然成立.

(3)與直線l:Ax+By+C=0上一點(diǎn)P(x0,y0)相切的圓系方程為：(x-x0)2+(y-y0)2+λ(Ax+By+C)=0.

(4)設(shè)圓C1與圓C2相交，則過圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0與圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交點(diǎn)的圓系方程為：C1+λC2=0，即x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0.特別地，當(dāng)λ=-1時(shí)，上方程則退化為過圓C1與圓C2交點(diǎn)的直線方程.

當(dāng)上述方程無法表示圓C2，可利用交點(diǎn)直線改進(jìn)上方程如下：x2+y2+D1x+E1y+F1+λ[(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)]=0[1].

觀察可知，利用上述第(4)點(diǎn)即可快速求解前三題.對(duì)于題4，也可選擇構(gòu)造圓系方程求解.主要思路如下：

評(píng)注：原問題僅提到“相切”關(guān)系，常規(guī)解法還需要判斷是“內(nèi)切”還是“外切”，利用“圓系”方程回避了該問題，且降低了運(yùn)算量.

二、利用“圓系方程”求解舉例

例2 已知拋物線y=x2+mx-2與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,1)，圓Q過A，B，C三點(diǎn)，當(dāng)實(shí)數(shù)m變化時(shí)，存在一條定直線l被圓Q截得的弦長(zhǎng)為定值，求此定直線l的方程.

解析：設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)為(x1,0)，(x2,0).根據(jù)韋達(dá)定理可得x1+x2=-m，x1·x2=-2.則以AB為直徑的圓的方程為P:(x-x1)(x-x2)+y2=0，化簡(jiǎn)可得P:x2+y2+mx-2=0.

設(shè)圓M為過點(diǎn)A，B的所有圓.點(diǎn)A，B所在的直線方程為y=0，再結(jié)合第(2)類模型可得以AB為直徑的圓的方程可得對(duì)應(yīng)的“圓系方程”為M:x2+y2+mx-2+λy=0，再令M過點(diǎn)C，則有λ=-3m-8，代入圓系方程則可得圓Q的方程為x2+y2+mx-2-(3m+8)y=0(這也是一個(gè)圓系方程).化簡(jiǎn)得x2+y2-8y-2+m(x-3y)=0.設(shè)圓N:x2+y2-8y-2=0，直線l:x-3y=0，設(shè)圓N與直線l的交點(diǎn)C，D，則圓Q為經(jīng)過點(diǎn)C，D的所有圓.因?yàn)辄c(diǎn)C，D為兩個(gè)固定點(diǎn)，所以存在一條定直線l被圓Q截得的弦長(zhǎng)為定值，該直線為l:x-3y=0.

例3 已知ΔABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，a=2.若b2-c2=8，當(dāng)A取得最大值時(shí)，求ΔABC的面積．

解析：如圖1，以點(diǎn)B，C所在直線為x軸，BC線段的中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系.可得點(diǎn)B，C的坐標(biāo)分別為(-1,0)，(1,0).設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x,y).根據(jù)條件b2-c2=8，化簡(jiǎn)可得點(diǎn)A的軌跡為x=-2(y≠0).

圖1

原問題轉(zhuǎn)換為在直線x=-2上找一個(gè)點(diǎn)A使得該點(diǎn)對(duì)BC的張角達(dá)到最大值，并求得此時(shí)對(duì)應(yīng)的ΔABC的面積.

該問題便是非常經(jīng)典的米勒問題：根據(jù)文[2]中的結(jié)論可知，如圖2，當(dāng)點(diǎn)A為對(duì)應(yīng)的米勒?qǐng)A與直線x=-2的切點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)A對(duì)BC的張角(即角A)達(dá)到最大值.

圖2